%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{38 Logarithme népérien, variation de la fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{38 Logarithme népérien, variation de la fonction.}

\begin{correction}
	
	Pour que cette leçon ait du sens il faut se souvenir que nous avons uniquement la courbe représentative de $\ln$ comme réciproque de $\exp$. Nous allons vérifier certaines propriétés qui semblent claires graphiquement.
	
	L'objectif est ici de faire e $\ln$ une fonction de référence dont les propriétés pourront être utilisées pour étudier d'autres fonctions.
	
\end{correction}

\subsection{Monotonie.}


\begin{proposition}{}
	
	$\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\objectif{Démontrons que $\ln$ est strictement croissante.}
	
	Soit $(y_1,y_2) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2$ avec $y_1 < y_2$.
	
	Notons $x_1=\ln(y_1)$ et $x_2=\ln(y_2)$.
	
	Raisonnons par l'absurde en supposant $x_1 \geqslant x_2$.
	
	Alors la fonction exponentielle étant strictement croissante: \[ \mathrm{e}^{x_1} \geqslant \mathrm{e}^{x_2}. \]
	
	Autrement dit: \[ y_1 \geqslant y_2. \]
	
	Ce qui est impossible puisque nous avions choisi: $y_1<y_2$. Donc, nécessairement, $x_1<x_2$.
	
	\medskip
	Nous avons démontré que \[ \forall (y_1,y_2) \in \left( \mathbb{R}_+^* \right)^2,\ x_1< x_2 \Rightarrow \ln(x_1) < \ln(x_2). \]
	
	Autrement dit
	
	\begin{conclusion}
		
		$\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
		.
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{e}^x > 2 \Leftrightarrow \ln \left( \mathrm{e}^x \right) = \ln(2) \Leftrightarrow x > \ln(2) \Leftrightarrow x \in ]\ln(2),+\infty[$.
		
		\item À partir de quel entier naturel a-t-on $5^n\geqslant 10^9$. % Triche je ne parle pas du signe de $\ln(5)$ car pas encore détaillé.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 18
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\ln(x)<3$.
		\task $2 \ln(x)+200>0$.
		\task $1-2\ln(x) \geqslant 0$.
		\task $2\ln(x)-4\ln(3)<0$.
	\end{tasks}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 20
	\end{notabene}
	
	L'évolution d'une population d'animaux en fonction du temps est modélisée par la fonction $P$ définie par $P(t)=50 \mathrm{e}^{\frac{t}{2}}$, où $t$ est exprimé en années.
	
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien d'années la population initiale aura-t-elle été multipliée par $2$?
		
		\item Au bout de combien d'année la population dépassera-t-elle les $\np{10000}$ individus?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 21
	\end{notabene}
	
	Déterminez le plus petit entier naturel $n$ tel que 
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $0,99^n \leqslant 10^{-30}$.
		\task $1,02^n>10^{2024}$.
	\end{tasks}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 22
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=1,001$. Déterminez s'il existe un plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>\np{100000}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 196 exo 40
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations suivantes après avoir déterminé sur quel ensemble on peut le résoudre.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\ln(3x-4)<0$.
		\task $\ln(-x+3)\geqslant 1$.
		\task $\ln(-x+1)\ln(x)$.
		\task $\ln(3+2x)<\ln(x-3)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Signe.}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\ln$ /0.8}
			{$0$ ,$1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\begin{align*}
			\ln(x)>0 &\Leftrightarrow \exp\circ \ln(x) > \exp(0)\\
			&\Leftrightarrow x>1
		\end{align*}
		
		\item De même, pour $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\ln(x)=0 \Leftrightarrow x=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		
		\item À partir de quel entier naturel a-t-on $0,5^n\geqslant 10^{-9}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Résolution d'inéquations
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\ln(x+1)>0$.
		\task $\dfrac{\ln(x)-1}{x^2+1}>0$.
		\task $\dfrac{\ln(x)}{x^2-3x+2}>0$.
		\task $\left[ \ln(x) \right]^2-5\ln(x)+4<0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Régularité.}

\begin{proposition}{}
	
	$\ln$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{Hors programme.}
	
	Soit $x\in \mathbb{R}_+^*$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\ln$ est continue en $x$.}
	
	Soit $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$.
	
	%Puisque $\exp$ est continue en $\ln(x)$, il existe $\eta \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\forall y \in ]\ln(x)-\eta; \ln(x) +\eta[,\ |\exp(y)- \exp\circ \ln(x)|<\varepsilon$.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	$\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et \[ \forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ \ln'(x)=\frac{1}{x}.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Une justification en admettant la dérivabilité de $\ln$: $\exp\circ \ln(x)=x$ alors en dérivant $\exp \circ \ln(x) \times \ln'(x)= 1$.
	
\end{preuve}

\subsection{Convexité.}

\begin{proposition}{}
	
	$\ln$ est concave (sur $\mathbb{R}_+^*$).
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	$\ln$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et: $\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ \ln''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous en déduisons en particulier que la courbe représentative de $\ln$ est au-dessous de toutes ses tangentes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Limites.}

\begin{proposition}{}
	
	\[ \ln(x) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		La démonstration de la limite en zéro est au programme.
		
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 25
	\end{notabene}
	
	Déterminez la limite en $a$ des fonctions $f$ et $g$ suivantes.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f(x)=2 \left[ \ln(x)\right]^2+3 \ln(x)+1$ avec $a=+\infty$.
		\task $g(x)=-\left[ \ln(x)\right]^2+\ln(x)$ avec $a=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\subsection{Fonctions composées avec $\ln$.}

\begin{proposition}{}
	
	Si $u$ est une application dérivable sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ alors $\ln\circ u$ est dérivable sur $I$ et \[ \left( \ln\circ u \right)'= \frac{u'}{u}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	C'est une application directeur du théorème de dérivation des fonctions composées.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette formule est souvent écrite $(\ln(u))'=\frac{u'}{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Croissances comparées.}

\begin{lecon}
	
	Nous devons comparer la croissance de $\ln$ à celle de $x\mapsto x^n$ et $\exp$ en $+\infty$ et en $0$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n}=0 \quad \text{et} \quad \lim_{\begin{subarray}{} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^n\ln(x)=0. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Notons $y=\ln(x)$ pour $x\in\mathbb{R}_+^*$. 
		
		$\frac{\ln(x)}{x}=\frac{y}{\mathrm{e}^y}$.
		
		Comme $\lim_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty$, par composition et en reconnaissant une croissance comparée usuelle, $\lim_{x \to + \infty} \frac{y}{\mathrm{e}^y}=0$.
		
		\item Soit $n \in\mathbb{N}$ et $n \geqslant 0$.
		
		$\frac{\ln(x)}{x^n}=\frac{1}{x^{n-1}} \frac{\ln(x)}{x}$.
		
		$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{n-1}}=0$ car $n \geqslant 2$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(x)}{x}=0$ , donc par passage à la limite dans le produit: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n}=0$.
		
		\item Notons $X=\frac{1}{x}$ pour $x \in\mathbb{R}_+^*$.
		
		$\lim_{\begin{subarray}{} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} \frac{1}{x}=+\infty$.
					
		Puisque $x^n\ln(x)=-\frac{\ln(X)}{x^n}$ nous déduisons de ce qui précède, par composition, $\lim_{\begin{subarray}{} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^n\ln(x)=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}=1$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 26
	\end{notabene}
	
	Déterminez la limite en $a$ des fonctions $f$ et $g$ suivantes définies sur $]0;+\infty[$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=\left( \mathrm{e}^x-1 \right)\left( 1- \ln(x) \right)$ avec $a=+\infty$.
		
		\item $g(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{x}$ avec $a=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 27
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par: $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{2x+1}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Vérifiez que pour tout réel $x>0$: $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{2+\frac{1}{x}}$.
			
			\item Déduisez-en la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
		\end{enumerate}
		
		\item interprétez graphiquement les résultats précédents.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo 2020 0ieme page 195 exo 30
	\end{notabene}
	
	$a$ et $b$ étant deux nombres réels donnés, on considère la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=a+b\frac{\ln(x)}{x}$.
	
	Sachant que $\mathscr{C}$ admet une asymptote horizontale $\mathscr{D}$ d'équation $y=1$ et une tangente $\mathscr{T}$ au point d'abscisse $1$ d'équation $y=-x+2$, déterminez les valeurs de $a$ et $b$.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 196 exo 35
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 197 exo 42, 43
	\end{notabene}
	
	Déterminez les limites de $f$ au bornes de son domaine de définition $\mathscr{D}$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=\ln(3x-1)$ et $E=\left] \frac{1}{3} , + \infty \right[$.
		\task $f(x)=  \ln(-x^2+4x)$ et $E=]0;4[$.
		\task $f(x)=\ln\left( 1+ \mathrm{e}^{-2x} \right)$ et $E=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x\ln(5x)$ et $E=]0;+\infty[$.
		\task $f(x)=\ln\left(x+\mathrm{e}^{-x} \right)$ et $E=\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 197 exo 49
	\end{notabene}
	
	Soient $f$ la fonction définie sur $]-2;2[$ par$f(x)=\ln \left( \dfrac{2+x}{2-x} \right)$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $f$ est définie sur $]-2;2[$.
		
		\item Montrez que $f$ est impaire puis interprétez graphiquement ce résultat.
		
		\item Démontrez que la courbe $\mathscr{C}$ admet deux asymptotes que vous préciserez.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$ puis donnez son tableau de variation.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 197 exo 50
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\left] \frac{1}{2};+\infty\right[$ par $f(x)=\ln\left( 2x-1 \right)-x+1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la limite de $f(x)$ en $\frac{1}{2}$.
		
		\item Montrez que pour tout réel $x>\frac{1}{2}$: $f(x)=\ln(x)-x+1+\ln\left( 2-\frac{1}{x} \right)$. Déduisez-en la limite de $f$ en $+\infty$.
		
		\item Démontrez que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions distinctes $\alpha$ et $\beta$ ($\alpha< \beta$).
		
		\item Donnez la valeur exacte de $\alpha$ et un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-1$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$\frac{1}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		donc $\lim_{\begin{subarray}{} x \to \frac{1}{2} \\ x >\frac{1}{2}  \end{subarray}} 2x-1=0^+$.
		
		et $\lim_{X \to 0^+} \ln(X)= -\infty$ donc, par composition $\lim_{\begin{subarray}{} x \to \frac{1}{2} \\ x >\frac{1}{2}  \end{subarray}} \ln(2x-1)=-\infty$.
		
		\item $x\ne 0$ donc $\ln(2x-1)=\ln \left[ x \left( 2-\frac{1}{x} \right) \right]$. $x>0$ donc $\ln(2x-1)=\ln(x) \left( 2-\frac{1}{x} \right)$.
		
		\item 
		
		\item $\alpha=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 198 exo 63
	\end{notabene}
	
	Dans une pièce à la température constante de $20\degres \mathrm{C}$ on prépare un tasse de thé. À l'instant initial $t=0$ la température du thé est égale à $100\degres\mathrm{C}$. Quatre minutes plus tard elle est de $80\degres\mathrm{C}$.
	
	On admet que la température du thé $f(t)$ en $\degres\mathrm{C}$, est donnée par $f(t)=C\mathrm{e}^{at}+20$ où $t$ désigne le temps en minute et $a$ et $C$ sont des constantes réelles.
	
	Au-dessus de $50\degres\mathrm{C}$ le thé est trop chaud et on ne peut le boire.
	
	Combien de temps faudra-t-il attendre pour boire le thé?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 199 exo 65
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par: $f(x)=\dfrac{1+\ln(x)}{x^2}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la limite de $f$ en $0$.
			
			\item Déterminez la limite de $f$ en $+\infty$. Donnez-en un interprétation graphique.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que pour tout réel $x>0$: $f'(x)=\dfrac{-1-2\ln(x)}{x^3}$.
			
			\item Déduisez-en les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que la courbe $\mathscr{C}$ admet un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses dont vous préciserez les coordonnées.
			
			\item Déduisez-en, le signe de $f$ sur $]0,+\infty[$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 199 exo 66
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par: $f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x}$ et soit $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1,+\infty$ par $g(x)=x^2-1+\ln(x)$. Montrez que la fonction $g$ est positive sur $[1,+\infty[$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que, pour tout $x$ de $[1,+\infty[$, $f'(x)=\frac{g(x)}{x}$.
			
			\item Déduisez-en le sens de variation de $f$ sur $[1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x$. Étudiez la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$.
		
		
		\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égale à $2$, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez la limite de $M_kN_k$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$.
			
			\item Écrivez un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égale à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
		\end{enumerate}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo page 199 exo 67
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

%Ne garder que les question avec $\ln$.
\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier les formes indéterminées sans aucun calcul.
		
	\end{notabene}
	
	Identifier parmi les suites dont le terme général est donné ci-après, les situations conduisant à une forme indéterminée lors de l'étude de la convergence, sinon donnez la limite.
	
	{\color{orange}\emph{On peut schématiquement résumer les formes indéterminées par:} \[ (+\infty)-(+\infty),\quad (-\infty)-(-\infty),\quad 0 \times \infty,\quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \frac{}{0^?}. \]}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{2^n}$.
		\task $n^2 - 6^n$.
		\task $\ln(n^{-1})+n!$.
		\task $2^{-n}+\ln(n)$.
		\task $n^{12}+\dfrac{1}{n^{100}}$.
		\task $\dfrac{1}{\ln(n)}+n!+1$.
		\task $n^23^n$.
		\task $\dfrac{n^2}{n^{12}}$.
		\task $\dfrac{n!}{2^n}$.
		\task $n^{-2}\left( \dfrac{5}{4} \right)^n$.
		\task $\dfrac{n^{-3}}{\ln(n)}$.
		\task $n^5 2^{-n}$.
		\task $n^{-3}+ 0,5^n\ln(n)$.
		\task $\dfrac{1}{n^4} \times \mathrm{e}^n+4$.
		\task $\dfrac{\ln(n)}{\mathrm{e}^n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $0$.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task 
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver la limite avec opérations sur les suites de référence.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez, si possible la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $n^7+12$.
		\task $4^n-7$.
		\task $n^3+\dfrac{0,1^n}{\ln(n)}$.
		\task $\dfrac{1}{n}+4$.
		\task $n^{-4}+\ln(n)$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2} \right)^n+2+ \dfrac{1}{n^2}$.
		\task $n!n^2+2-\dfrac{1}{n^2}$.
		\task $\dfrac{\ln(n)}{2+\mathrm{e}^{-n}}$.
		\task $\dfrac{n^4+1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^n-4}$.
		\task $\dfrac{n\times 2^n}{3+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2}}$.
		\task $n!-\left( 2-n^2 \right)$.
		\task $n^2 \left( n^3+\dfrac{3}{\ln(n)} +1 \right)$.
		\task $2n^3+5n^2+n-12$.
		\task $-5n^3-2n^2-12n-3$.
		\task $4n^2-n+1$.
		\task $\dfrac{n^3}{n^2}$.
		\task $n^2+3^n+4-\dfrac{1}{n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}