%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{31 Représentation paramétrique d'une droite.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{31 Représentation paramétrique d'une droite.}

\subsection{La représentation paramétrique.}

\begin{lecon}
	
	Soit $\mathscr{D}$ une droite de l'espace rapporté à repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} )$ passant par $A(1,-2,3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\-1\end{pmatrix}$.
	
	Dire que $M(x,y,z) \in \mathscr{D}$ équivaut à dire que $\overrightarrow{AM}$ et colinéaire à $\vec{u}$.
	
	Autrement dit, puisque $\vec{u} \ne 0$, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \vec{u}$.
	
	En considérant les coordonnées nous obtenons donc \[ \left\{ \begin{array}{c}x-1 = t \times 2 \\ y+2 = t \times 1 \\ z-3 = t \times -1 \end{array} \right. \]
	
	Ainsi dire que $M \in \mathscr{D}$ signifie qu'il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que les coordonnées de $M$ sont données par \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& 2t+1 \\ y &=& t-2 \\ z &=& -t+3 \end{array} \right. \]
	
	Formellement c'est comme si nous avions $M=t\vec{u}+A$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ et définition.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A(x_A,y_A,z_A)$ un point de l'espace rapporté à un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$,
		
		\item $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur non nul de l'espace,
		
		\item $\mathscr{D}$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& at+x_A \\ y &=& bt+y_A \\ z &=& ct+z_A \end{array} \right. \]
	
	Nous dirons alors que ce système d'équation est une \emph{\color{purple}représentation paramétrique} de la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En physique nous utiliserons une notation fonctionnelle pour indiquer la dépendance de $x$ à $t$: $x(t)=at+x_A$.
		
		D'ailleurs si $x(t)$ représente l'abscisse d'un point $M$, $t$ sera souvent le temps.
		
		\item À chaque vecteur directeur et à chaque point de la droite correspondent une nouvelle représentation paramétrique: il y a donc une infinité de représentations paramétriques d'une droite.
		
		\item Formellement (il ne faut pas l'écrire comme ceci) la représentation paramétrique correspond à: $M=A+t\vec{u}$. C'est une bonne astuce mnémotechnique.
		
		\item Il n'est pas forcément étonnant que la représentation paramétrique d'une droite fasse apparaître des fonctions affines.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Les usages que vous ferez de la représentation paramétrique des droites: vérifier que des droites sont sécantes, ou parallèles, ou orthogonales, ou non coplanaires.
	
	Il faut donc savoir trouver la représentation paramétrique à partir d'un point et d'un vecteur directeur, de deux points mais aussi à partir de la représentation paramétrique retrouver un point de la droite et un vecteur directeur.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir d'un vecteur et d'un point.
		\end{notabene}
		
		La droite passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique
		
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir de deux points.
		\end{notabene}
		
		La droit passant par $A(1;2;3)$ et $B(5;-6;7)$ a pour représentation paramétrique
		
		\item 
		\begin{notabene}
			À partir de la représentation paramétrique donnez deux points et un vecteur directeur.
			
		\end{notabene}
		
		On considère la droite $\mathscr{D}$ dont la représentation paramétrique est \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& 2t+3 \\ y &=& 1 \\ z &=& t-2 \end{array} \right. \] un vecteur directeur et deux points de la droite
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver une représentation paramétrique à partir de deux points ou d'un point et d'un vecteur directeur.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de $\mathscr{E}_3$ définie par:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-1,-2,1)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2\\-3 \end{pmatrix}$,
		\task $A(1,0,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}$,
		\task $A(17,37,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\1\\0 \end{pmatrix}$,
		\task $A(100;2,4;-\frac{1}{3})$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi} \\ 3\times 10^2 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$,
		\task $A(2,3,4)$ et $B(-2,6,5)$,
		\task $A(6,-2,1)$ et $B(1,2,-1)$,
		\task $A(5,7,0)$ et $B(0,1,2)$,
		\task $A(1,2,3)$ et $B(-2,2,2)$,
		\task $A(0,-1,1)$ et $B(0,2,1)$,
		\task $A(2,0,4)$ et $B(1,0,3)$,
		\task $A(1,-1,0)$ et $B(0,2,0)$,
		\task $A(0,0,3)$ et $B(0,0,-2)$,
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& t-1 \\
			y &=& 2t -2\\
			z &=& -3t+1
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t+1 \\ 
			y &=&  -t\\
			z &=&4t
		\end{array} \right. \]
		
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  17\\ 
			y &=& t+ 37\\
			z &=&0
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& \sqrt{\pi}t+100 \\ 
			y &=& -t+ 2,4 \\
			z &=& \frac{2}{3}t -\frac{1}{3}
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -4t+2 \\ 
			y &=&  3t+3\\
			z &=&t+ 4
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -5t+ 6\\ 
			y &=&  4t+-2\\
			z &=&-2t+1
		\end{array} \right. \]
		
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -5t+ 5\\ 
			y &=&  -6t+7\\
			z &=&2t
		\end{array} \right. \]	
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -3t+ 1\\ 
			y &=&  2\\
			z &=&-t+3
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Retrouver deux points distincts et un vecteur directeur d'une droite à partir de sa représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez un vecteur directeur et deux points des droites dont les représentations paramétriques sont données:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 3t+1 \\ 
			y &=& 2t-3 \\ 
			z &=& -4t+2 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -2t+2 \\ 
			y &=& t-2 \\ 
			z &=& 6t+3 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 1 \\ 
			y &=& -t-3 \\ 
			z &=& t+2 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t \\ 
			y &=& 3t-3 \\ 
			z &=& 4 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(1;-3;2)$, $(13;17;-38)$ et $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		\task $(2;-2;3)$, $(-2; 0 ; 15)$, $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		\task $(1;-3;2)$, $(1;-6;5)$, $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		\task $(0;-3;4)$, $(20;27;4)$, $\begin{pmatrix} 4\\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Montrer que deux représentations correspondent à la même droite et pas à la même droite.
	\end{notabene}
	
	Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D'}$ sont-elles égales sachant que: \[ \mathscr{D}:\ \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -5t-3 \\ 
		y &=& -17t+4 \\ 
		z &=& -2t+ 2
	\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R} \ \text{et}\ \mathscr{D'}:\ \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 25t-8 \\ 
	y &=& 85t-13\\ 
	z &=& 10t
	\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires donc elles sont parallèles.
	
	De plus: $\left\{ \begin{array}{l}-5t_1-3=25t_2-8 \\ -17t_1+4 =85t_2-13 \end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5t_1+25t_2=5\\ 17t_1+85t_2=17 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t_1+5t_2=1\\ t_1+5t_2=1 \end{array} \right.$.
	
	Si $t_1=1$ alors $t_2=0$ et effectivement pour $t_1=1$ et $t_2=0$ on obtient un même point avec les deux droites.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Dites si les droites suivantes sont scantes d'après leur représentation paramétriques (raisonnement par analyse synthèse
	\end{notabene}
	
	Déterminez si les droites suivantes de $\mathscr{E}_3$ rapporté à un repère, sont sécantes.
	
	\begin{tasks}
		\task $\Delta_1$ qui passe par $A_1(1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_1 \begin{pmatrix}
			1\\
			2\\
			-1
		\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ qui passe par $A_2(-1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_2 \begin{pmatrix}
			3\\
			6\\
			-3
		\end{pmatrix}$
		\task $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& t \\ 
			y &=& -2t-3 \\ 
			z &=& t+1 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$ et 
		$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t \\ 
			y &=& 3t-3 \\ 
			z &=& 4 +1
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\vec{u}_2=3\vec{u}_1$ donc les droites sont parallèles.
		
		\item {\color{orange}On vérifie que les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.}
			
			Si $M(x,y,z) \in \Delta_1 \cap \Delta_2$ alors il existe des réels $t_1$ et $t_2$ tels que: \[ \left\{ \begin{array}{l} t_1=2t_2\\-2t_1-3=3t_2-3\\t_1+1=5 \end{array} \right.\]
			
			De la première équation nous déduisons: $t_1=2t_2$.
			
			En substituant dans la seconde: $-2(2t_2)-3=3t_2-3$ et donc $t_2=0$.
			
			Puis $t_1=\frac{1}{2}t_2=0$.
			
			Ainsi s'il y a un point commun aux deux droites il ne peut être obtenu que pour $t_1=t_2=0$.
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
			
			Pour $t_1=0$ le point de $\Delta_1$ a pour coordonnées $(0;-3;1)$.
			
			Pour $t_2=0$ le point de $\Delta_2$ a pour coordonnées $(0;-3;5)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\Delta_1$ et $\Delta_2$ ne sont pas sécantes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer le parallélisme de deux droites à partir de leur représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les droites parallèles parmi
	
	$\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t +1\\ 
		y &=& 2t-3 \\ 
		z &=& -t+1 
	\end{array} \right.$, $\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t-17 \\ 
		y &=& -5t+7 \\ 
		z &=& t+45 
	\end{array} \right.$, $\Delta_3: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 4t +24\\ 
		y &=& -10t-3 \\ 
		z &=& 2t-\pi 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_4: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t+12 \\ 
		y &=& 2t-18 \\ 
		z &=& -t+34 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_5: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -6t+1 \\ 
		y &=& -4t-3 \\ 
		z &=& 2t+1 
	\end{array} \right.$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminer représentation paramétrique à partir de la représentation paramétrique d'une autre droite parallèle et les coordonnées d'un point.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 7t-2 \\ 
		y &=& -2t+3 \\ 
		z &=& t+1 
	\end{array} \right.$ une droite et $A(1,0,1)$ un point.
	
	Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta_2$ parallèle à $\Delta_1$ et passant par $A$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 7t1 \\ 
		y &=& -2t \\ 
		z &=& t+1 
	\end{array} \right.$

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice déjà déplacé dans la bonne leçon à virer de celle-ci.
		
		Exercice 76 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABCD$ un tétraèdre.
	
	L'espace est rapporté au repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$.
	
	On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[DC]$ et de $[BC]$.
	
	Soient $E$ et $F$ les points définis par $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}= \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées des points $I$, $J$, $E$ et $F$.
		
		\item Démontrez que $(EF)$ est parallèle à $(IJ)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Identité du parallélogramme: $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD} \right)$. Donc $I\left( 0;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.
			
			\item Identité du parallélogramme: $J\left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0 \right)$.
			
			\item $E \left( \frac{1}{4} ; 0;0 \right)$.
			
			\item $F \left(0;0; \frac{1}{4} \right)$.
		\end{enumerate}
		
		\item $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} -1/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{EF} =\frac{1}{2} \overrightarrow{IJ}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(EF) \parallel (IJ)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 84
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ où $A(1,-1,3)$ et $B(3,2,4)$.
		
		\item On considère le point $E(-5,7,1)$. 
		
		Déterminez une représentation paramétrique  de la droite $d$ contenant $E$ et parallèle à $(AB)$.
		
		\item On considère le point $F(-1,13,3)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $(AF)$ et $d$ ne sont pas parallèles.
			
			\item Déterminez les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 1 15 mars	2021
		
	\end{notabene}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6.5cm}m{4.8cm}}
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_31_representation_parametrique_d_une_droite_01_bac_2022_sujet_1_15_mars.png}
		
	\end{center}
	&
	SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
	
	Le point I est le centre du carré ABCD. 
	
	On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.
	
	Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
	\end{tabular}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
		
		{\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
		\end{tabularx}}
	\end{enumerate}
	
	Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$. Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants: $\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		
		\item  Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
		{\footnotesize \hspace*{-1cm}
		\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
			\end{array}\right.$
			
			$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
			\end{array}\right.$
			
			$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t
			\end{array}\right.$
			
			$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
			\end{array}\right.$
			
			$(t \in \mathbb{R})$
		\end{tabularx}}
	
		\begin{notabene}
			\item Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
					\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
					\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
				\end{tabularx}
			\end{center}
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item c.
		
		\item b. Un raisonnement sur le signe des coordonnées suffit.
		
		\item b.
		
		\item c. Point $S$ et vecteur $\overrightarrow{AS}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 8 juin
		
	\end{notabene}
	
	L'espace  est rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$. 
	
	On considère :
	
	\setlength\parindent{9mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :
		$\left\{\begin{array}{l c l}
			x &=& -4 +3t\\
			y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
			z&=&\phantom{-}8 - 6t
		\end{array}\right.$\quad avec $t \in \mathbb{R}$.
		%\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	\medskip
	
	\textbf{Question 1} : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~} M$_1(-1;3;-2)$&\textbf{b.~} M$_2(11;-9;-22)$&\textbf{c.~} M$_3(-7;9; 2)$&\textbf{d.~}M$_4(-2;3;4)$
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\textbf{Question 2} : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est:
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~~}$\vec{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$&\textbf{b.~~}$\vec{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$&\textbf{c.~~}$\vec{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$&\textbf{d.~~}$\vec{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\textbf{Question 3} : Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~~}sécantes &\textbf{b.~~} strictement parallèles&\textbf{c.~~}non coplanaires&\textbf{d.~~}
			confondues
		\end{tabularx}
	\end{center}
	%\textbf{Question 4} : La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est :
	%\begin{center}
	%	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
	%		\textbf{a.~~}$m =-1$ &\textbf{a.~~} $m = 1$&\textbf{c.~~}$m = 5$&\textbf{d.~~}$m =-2$
	%	\end{tabularx}
	%\end{center}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item b. On résout les systèmes.
		
		\item c. Immédiat.
		
		\item a. Parallèles mais $A \notin \mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 2022/09/13 jour 2
		
	\end{notabene}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
	
	$\left\{\begin{array}{l c r}
		x &=& 1 + 2t\\
		y &=& -2 + t\\ 
		z&=&4 - t
	\end{array}\right., t\, \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} M$(2~;~1~;~-1)$; & \textbf{Réponse B :} N$(-3~;~-4~;~6)$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} P$(-3~;~-4~;~2)$ ; & \textbf{Réponse D :} Q$(-5~;~-5~;~1)$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ admet pour coordonnées : 
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;& \textbf{Réponse B :}$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$& \textbf{Réponse D :} $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :}$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse B :} $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$\\
				\textbf{Réponse C :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse D :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item On considère le point D défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} \parbox[t]{4cm}{$\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires ;} &\textbf{Réponse B :} $\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} \parbox[t]{4cm}{D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$ ;} &\textbf{Réponse D :} \parbox[t]{4cm}{les points A, B, C et D\\ sont alignés.}
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item b.
		\item c.
		\item b. Avec $B$ et $\overrightarrow{BA}$.
		\item a. Combinaison linéaire $\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{CA}$.
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 81
		
	\end{notabene}
	
	Soient $d$ et $d'$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique:
	
	\[ d: \left\{ \begin{array}{l} x=-2t+3 \\y=-3t +1 \\ z=t+2 \end{array} \right. ,\ t\in\mathbb{R} , \quad  d': \left\{ \begin{array}{l} x=t'-1 \\y=-2t' \\ z=4 \end{array} \right. ,\ t' \in\mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour chaque droite donnez un point et un vecteur directeur.
		
		\item Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles? sécantes?
		
		\item Que pouvez-vous conclure?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A(3;1;2)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
		
		$B(-1;0;4)$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		\item $\begin{vmatrix}
			-2 & 1 \\
			-3 & -2
		\end{vmatrix} =8 \ne 0$ pas parallèles. 
		
		$-2t+3=t'-1 \Leftrightarrow t'=-2t+2$ donc $-3t+1=-2(-2t+2) \Leftrightarrow t=\frac{5}{7}$. Or $\frac{5}{7}+2 \ne 4$ donc pas de point d'intersection. Pas sécantes.
		
		\item Les droites sont non coplanaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{enumerate}
		\item Polynésie 13 mars 2023 exercice 2.
		\item Amérique du Nord 19 mai 2022 exercice 3.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage

\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 82
		
	\end{notabene}
	
	Dans chaque cas étudiez la position relative des droites $d$ et $d'$.
	
	\[ d:\left\{ \begin{array}{l} x= \\ y= \\ z= \end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 83
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 315 exercice 88: représentation paramétrique d'un segment.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 316 exercice 91 à 93: positions relatives
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}