	%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{28 Convexité, dérivée seconde.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{28 Convexité, dérivée seconde.}

\begin{notabene}
	
	Une approche une fonction est croissante; comment est sa courbe représentative courbe vers le haut ou ver le bas nous allons voir un outil qui permet de mesurer cela.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	Dérivée seconde d'une fonction.
	
	Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes. Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de $f'$, la positivité de $f''$.
	
	Point d'inflexion.
	
	Esquisser l'allure de la courbe représentative d'une fonction f à partir de la donnée de tableaux de variations de $f$, de $f'$ ou de $f''$.
	
	Lire sur une représentation graphique de $f$ , de $f'$ ou de $f''$ les intervalles où $f$ est convexe, concave, et les points d'inflexion. Dans le cadre de la résolution de problème, étudier et utiliser la convexité d'une fonction.	
\end{notabene}

\subsection{Définition.}

\begin{lecon}
	
	Comme beaucoup d'anciennes notions mathématiques, la convexité trouve son origine dans la géométrie. La convexité est, à sa naissance, une propriété des ensembles de points de l'espace ou du plan. Un ensemble de point est dit convexe si tout couple de points de cet ensemble peut être relié par un segment qui ne sort pas de l'ensemble.
	
	\begin{notabene}
		
		Exemples avec des figures.
		
	\end{notabene}
	
	Puis cette notion a émergé dans une autre branche des mathématiques en analyse (étude des fonctions). 
	
	Les courbes représentatives de fonctions, du fait de la définition des fonctions, délimitent toujours le plan en deux parties: une partie au-dessus de la courbe et une autre au-dessous. La partie au-dessus, appelée épigraphe, peut être convexe et dans ce cas on dit que la fonction est convexe.
	
	De même que certaines symétries des courbes représentatives se traduisent par une notion analytique (parité, périodicité), la convexité se traduit par ne propriété analytique de la fonction encore appelée convexité.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$,
		\item $f$ une fonction définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}convexe sur} $I$ si et seulement si pour tous point $A$ et $B$ du graphe de $f$, $[AB]$ est tout entier au-dessus de ce graphe.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Convexe.
		
		\item Pas convexe montagnes russe.
		
		\item Pas convexe concave.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous n'utiliserons, \emph{de facto}, jamais cette définition géométrique.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{definition}
	
	Une fonction $f$ est dite \emph{\color{purple}concave} si et seulement si $-f$ est convexe.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Courbe et symétrie axiale correspondant à la définition.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les graphes de $f$ et $-f$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
		
		\item D'après la précédente remarque, dire que $f$ est concave équivaut à dire que pour tous point $A$ et $B$ du graphe de $f$, $[AB]$ est tout entier au-dessous de ce graphe.
		
		\item Nous  appellerons \emph{\color{purple}point d'inflexion} les points du graphe d'une fonction où elle change de convexité: passant de concave à convexe ou de convexe à concave.
		
		\item {\color{orange}\og Étudier la convexité d'une fonction \fg{} c'est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est concave et ceux où elle convexe ainsi que les points d'inflexion.}
		
		\item Il n'est pas possible de lire la convexité à partir du tableau de variation. Ce sont de nouvelles informations décrivant la courbe.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Caractérisations pour les fonctions une fois dérivables.}


\begin{proposition}{ - Caractérisation par les variations de la fonction dérivée.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$,
		\item $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Nécessite une caractérisation de la convexité par l'inégalité de Jensen (confer infra) et l'utilisation de l'égalité des accroissements finis. Sujet de CAPES 2022 épreuve 1.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous avons une caractérisation équivalente pour la concavité: $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$.
		
		\item Avec cette caractérisation, $A \in \mathscr{C}_f$ d'abscisse $a$ est un point d'inflexion de $\mathscr{C}_f$ si $f'$ change de sens de variation en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{ - Caractérisation par les tangentes.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$,
		\item $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, est au-dessus de toutes ses tangentes.
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Étude du signe de $\Delta_a(x)=f(x)-\left[ f'(a)(x-a)+f(a) \right]$ par tableau de variation et minimum.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Graphique: convexe.
		
		\item Graphique concave.
		
		\item Graphique un peu des deux et description par intervalles.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Intuitivement ce résultat n'est pas étonnant puisque les tangentes sont des positions limites des sécantes qui participent de la définition de la convexité.
		
		\item Nous avons une caractérisation équivalente pour la concavité: $f$ est concave sur $I$ si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de toutes ses tangentes.
		
		\item Avec cette caractérisation, $A \in \mathscr{C}_f$ est un point d'inflexion de $\mathscr{C}_f$ si la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ traverse $\mathscr{C}_f$ en $A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Caractérisation pour les fonctions deux fois dérivables.}

\begin{proposition}{ - Caractérisation par le signe de la dérivée seconde.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$,
		\item $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive sur $I$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\objectif{Démontrons que, si $f''$ est positive alors la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ est au-dessus de ses tangentes.}
	
	Si $f''\geqslant 0$ alors $f'$ est croissante est donc d'après une précédente proposition
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ est convexe.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemple graphique.
		
		\item Exemples algébriques en listant les fonctions de référence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous avons une caractérisation équivalente pour la concavité: $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''$ est négative sur $I$.
		
		\item Avec cette caractérisation, $A \in \mathscr{C}_f$ d'abscisse $a$ est un point d'inflexion de $\mathscr{C}_f$ si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Inégalités.}

\begin{proposition}{ - Inégalité de Jensen.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$,
		
		\item $f$ une fonction définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est convexe sur $I$ alors \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ \forall t \in [0;1],\ f \left( tx+(1-t)y \right) \leqslant t f(x) + (1-t) f(y). \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'inégalité de Jensen comprends en fait le cas de plus de deux valeurs $x_1$, $x_2$, $x_3$, ...
		
		\item Cette inégalité est souvent prise comme définition de la fonction convexe.
		
		\item Pour une fonction concave: \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ \forall t \in [0;1],\ f \left( t x+(1-t)y \right) \geqslant t f(x) + (1-t) f(y). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	Si $f$ est convexe alors \[ f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}.\]
	
\end{corollaire}


\subsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Récupérer 4 exos costaux originaux dans les bouquins et 4 sujet de bac
	
\end{notabene}


\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Lire la convexité à partir d'une courbe représentative.
		
	\end{notabene}
	
	Décrivez la convexité de la fonction $f$ si 
	\begin{enumerate}
		\item la courbe représentative ci-dessous est celle de $f$.
		\item la courbe représentative ci-dessous est celle de $f'$.
		\item la courbe représentative ci-dessous est celle de $f''$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{6};
			\def\ycoinbasgauche{-3};
			\def\ycoinhautdroit{3};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%Ligne définie par des points
			\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,1)(-2,-3)(1,3)(6,-2)};
			\draw [orange] (4.25,2.25) node {$\mathscr{C}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		barbazo 2020 page 135 exo 55
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x \mathrm{e}^x+1$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la convexité de $f$.
		
		\item Déterminez une équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
		
		\item Déduisez-en que pour tout réel $x$ appartenant à $[-2,+\infty[$, $f(x)\geqslant x+1$.
		
		\item Retrouvez le précédent résultat en résolvant l'inéquation $f(x) \geqslant x+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier la convexité d'une fonction d'après sa formule algébrique.
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez la convexité de la fonction
	
	\begin{enumerate}
		\item $f: x \mapsto x^3-5x^2+4x+3$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item $g:x \mapsto \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=3x^2-10x+4$ puis $f''(x)=6x-10$.
		
		$f$ convexe sur $\left[ \frac{5}{3},; + \infty\right[$ et concave sinon.
		
		\item $g'(x)=\frac{1}{2}+\frac{3}{x^2}$ puis $g''(x)= -\frac{6}{x^3}$. $g$ est convexe sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		barbazo 2020 page 135 exo 63
		
	\end{notabene}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \sqrt{x^2+9}$. Nous admettons que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est paire.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$ sur $[0,+\infty[$.
		
		\item Étudiez la limite de $f$ en $+\infty$.
		
		\item Déduisez des questions précédentes le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Déterminez l'équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Vérifiez que pour tout réel $x$, $f''(x)= \dfrac{9}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}}$.
			
			\item Déduisez-en les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\Delta$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Démontrons que $f$ est paire.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$.
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$. $f(-x)=\sqrt{(-x)^2+9}=\sqrt{x^2+9}=f(x)$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est paire.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Par translation et composition il est claire que $f_{| \mathbb{R}_+}$ est croissante.}
		
		\medskip
		\objectif{Étudions les variations de $f$.}
		
		$f=\sqrt{u}$ où $u:x\mapsto x^2+9$.
		
		Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et $u>0$ donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et $f'=\frac{u'}{2 \sqrt{u}}$.
		
		Soit $x \in\mathbb{R}_+$.
		\begin{align*}
			f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}
		\end{align*}
		$f'(x)$ est du signe de $x$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions la convergence de $f$ en $+\infty$.}
		
		$\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty$, donc en sommant $\lim_{x \to +\infty} x^2+9=+\infty$ puis, comme $\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X}=+\infty$, en composant
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de variation de $f$.}
		
		Par parité de $f$ on déduit de ce qui précède ce qu'il en est sur $\mathbb{R}_-$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $3$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item \objectif{Déterminons une équation de $\Delta$.}
		
		$f'(3)= \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $f(3)=3\sqrt{2}$ donc \[ \Delta: \ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-3)+ 3\sqrt{2}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\Delta:\ y= \frac{\sqrt{2}}{2}x +\frac{3}{2} \sqrt{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons l'expression algébrique de $f''$.}
			
			$f'=\frac{v}{f}$ où $v:x \mapsto x$. $v$ et $f$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $f>0$ , d'après le précédent tableau de variation, donc $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				f''(x) &= \frac{\sqrt{x^2+9}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}}{x^2+9}\\
				&= \frac{\frac{x^2+9-x^2}{\sqrt{x^2+9}}}{x^2+9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)=\frac{9}{\sqrt{x^2+9}(x^2+9)}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions la position relatives de $\Delta$ et $\mathscr{C}_f$.}
			
			$f''>0$ donc $f$ est convexe donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		bordas indice 219 exo 90
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^6+3x^2+6$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Déterminez une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ en son point d'abscisse $1$.
		
		\item Déduisez-en que pour tout réel $x$: $x^6+3x^2+6 \geqslant 12x-2$
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hatier variation 2020 page 244 exo 85
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{1}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$, $\dfrac{4}{x+5} \leqslant \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{5}$.
		
		\item Déterminez une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$ et déduisez-en que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $\frac{1}{x} \geqslant -\frac{x}{4}+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$ donc
		
		\begin{align*}
			f\left(\frac{x+5}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(5)}{2} & \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{x+5}{2}} \leqslant \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{5}}{2}\\
			&\Leftrightarrow \frac{2}{x+5} \leqslant  \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{5}}{2}\\
			&\Leftrightarrow \frac{4}{x+5} \leqslant \frac{1}{x}+ \frac{1}{5} \text{ car } 2>0
		\end{align*}
		
		\item $y=-\frac{1}{2^2}(x-2)+\frac{1}{2} \Leftrightarrow y=-\frac{1}{4} x +1$.
		
		$f$ est convexe donc sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes: $f(x)\geqslant -\frac{1}{4}x+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hatier variation 2020 page 244 exo 86
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^3$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout $x\in\mathbb{R}_+$, $(x+1)^3 \leqslant 4x^3+4$.
		
		\item Déterminez une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $1$ et déduisez-en que, pour tout nombre réel $x$ positif, $x^3 \geqslant 3x-2$.
		
		\item $h$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ h(x)= \frac{x^4}{4} -\frac{3}{2} x^2+2x+5. \] En utilisant l'inégalité précédente, montrez que la fonction $h$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ donc pour $y=1$, $\left( \frac{x+1}{2} \right) ^3 \leqslant \frac{x^3+1^3}{2}$.
		
		\item $f'(1)=3$, $f(1)=1$, $y=3x+2$.
		
		\item $h'(x)=x^3-3x+2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		barbazo 2020 page 138 exo 78
		
	\end{notabene}
	
	On appelle \og satisfaction \fg{} toute fonction dérivable  qui prend des valeurs comprises entre $0$ et $100$.
	
	Lorsque la fonction \og satisfaction\fg{} atteint $100$ on dit qu'il y a \og saturation\fg{}.
	
	On définit aussi la fonction \og envie \fg{} comme la fonction dérivée de la fonction \og satisfaction\fg{}.
	
	La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction satisfaction $h$ est définie sur $[10;50]$ par: \[ h(x)=\frac{90}{1+\mathrm{e}^{-0,25x+6}}; \] où $x$ est exprimé en milliers d'euros.
	
	On note $\mathscr{C}_h$ la courbe représentative de la fonction $h$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique sur votre calculatrice conjecturez la convexité de la fonction $h$ ainsi que le sens de variation de la fonction \og envie \fg{}. Donnez-en une interprétation.
		
		\item D'après ce modèle serait-il possible d'atteindre la saturation?
		
		\item Vérifiez que pour tout $x \in [10;50]$: \[ h''(x)= \frac{5,625 \mathrm{e}^{-0,25x+6} \left( \mathrm{e}^{-0,25x+6}-1 \right)}{\left( 1+ \mathrm{e}^{-0,25x+6} \right)^3}. \]
		
		\item Déduisez-en la convexité de la fonction $h$.
		
		\item À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og envie \fg{} décroît?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Satisfaction convexe puis concave point. Envie croissante puis décroissante.
		
		\item Limite de 90 donc pas de saturation possible.
		
		\item 
		
		\item $\mathrm{e}^{-0,25x+6}-1\geqslant 0 \Leftrightarrow x\leqslant 24$.
		
		\item À partir d'un salaire de $\np{24000}$ euros.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	\begin{notabene}
		Polynésie
		sujet 2
		14 mars 2023
	\end{notabene}
	
	\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}
	
	\medskip
	
	\textbf{Partie A}
	
	\medskip
	
	Le plan  est ramené à un repère orthogonal.
	
	On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.
		
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{0ieme_30_convexite_01_courbe_sujet_bac.png}
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{8};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{5};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,7} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%fonction
			\draw[red, thick][samples=100,domain=1.5:8] plot({\x},{4/(1+exp(-3*\x+12))});
			\draw [red] (5.25,3.5) node {$\mathscr{C}_2$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=3:6] plot({\x},{4.0*3.0*exp(-3.0*\x+12.0)/(2.0*exp(-3.0*\x+12.0)+(exp(-3.0*\x+12.0))^(2)+1.0)});
			\draw [blue] (5.5,0.75) node {$\mathscr{C}_3$};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=3:7] plot({\x},{(-4.0*3.0^(2.0)*exp(-3.0*\x+12.0)+4.0*3.0^(2.0)*(exp(-3.0*\x+12.0))^(2.0))/(3.0*exp(-3.0*\x+12.0)+(exp(-3.0*\x+12.0))^(3.0)+3.0*(exp(-3.0*\x+12.0))^(2.0)+1.0)});
			%\draw[black, thick][samples=100,domain=2:2.5] plot({\x},{(-4.0*3.0^(2.0)*exp(-3.0*\x+12.0)+4.0*3.0^(2.0)*(exp(-3.0*\x+12.0))^(2.0))/(3.0*exp(-3.0*\x+12.0)+(exp(-3.0*\x+12.0))^(3.0)+3.0*(exp(-3.0*\x+12.0))^(2.0)+1.0)});
			\draw [black] (5.5,-1.5) node {$\mathscr{C}_1$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
		\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse 4.
		\item Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{9}

\begin{exercice}{ (suite)}
	
	\textbf{Partie B}
	
	\medskip
	
	Soit un réel $k$ strictement positif.
	
	On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
	\[g(x) = \dfrac{4}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]
	
	\smallskip
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$,
		\item  Prouver que $g'(0) = k$.
		\item  En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel,
		prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c l|}\hline
				\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
				&g(x) =4/(1 + e{}\^{}(-kx))\\
				1&\\
				&$\to g(x) = \dfrac{4}{\text{e}^{-kx} + 1}$\\ \hline
				&Simplifier$(g''(x))$\\
				2&\\
				&$\to g''(x) = - 4\text{e}^{kx}\left(\text{e}^{kx} - 1\right)\dfrac{k^2}{\left(\text{e}^{kx} + 1 \right)^3}$\\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	A
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{C}_1$ correspond à $f'$, $\mathscr{C}_3$ à $f'$ et $\mathscr{C}_2$ à $f$.
		
		\item $f'(4)=0$
		\item $3,4$, $4$, $4,6$.
	\end{enumerate}
	
	B
	
	\begin{enumerate}
		\item $\lim_{x \to +\infty} g(x)=4$ et $\lim_{x \to -\infty} =0$.
		
		\item $g'(x)=\frac{4k\mathrm{e}^{-kx}}{(1+\mathrm{e}^{-kx}}$ et donc $g'(0)=k$.
		
		\item $g''(x)=0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{kx}-1=0 \Leftrightarrow kx=0 \Leftrightarrow x=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	\begin{notabene}
		entres étrangers groupe 2
		sujet 2
		22 mars 2023
	\end{notabene}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
	\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 3x}}.\]
	
	On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
	
	On nomme A le point de coordonnées $\left(0~;~\dfrac12\right)$ et B le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac54\right)$.
	
	On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.25,yscale=2]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2.5};
			\def\xcoinhautdroit{3};
			\def\ycoinbasgauche{-0.5};
			\def\ycoinhautdroit{1.5};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%fonction
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-2.5:3] plot({\x},{exp(3*\x)/(1+exp(3*\x))});
			\draw [red] (2.75,0.75) node {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=-1.3:1.3] plot({\x},{3/4*\x+0.5});
			\draw [black] (-0.75,-0.5) node {$\mathcal{T}$};			\draw (0,0.5) node[left] {$A$};
			\draw (0,0.5) node {$\times $};
			\draw (1,1.25) node [below right] {$B$};
			\draw (1,1.25) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\textbf{Partie A : lectures graphiques}
	
	\medskip
	
	Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
		\item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{10}
	
\begin{exercice}{ (suite)}
	
	\textbf{Partie B : étude de la fonction}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
		Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
			\item Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $f$.
		\end{enumerate}
		\item \emph{Question infaisable sans la fonction logarithme népérien.} Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0,99$.
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	
	\textbf{Partie C : Tangente et convexité}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
		
	\end{enumerate}
	
		On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. 
		
		On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
		
		On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
		\[f''(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x} \left(\text{e}^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^3}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}	
		\item Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
			\item Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
			\item  En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
			
			Justifier la réponse.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	A
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{T}:\ y=v \frac{3}{4}x+0,5$.
		
		\item Convexe sur $]-\infty,0]$ et concave sur $[0,+\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	B
	
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=\frac{3\mathrm{e}^{-3x}}{\left( 1+ \mathrm{e}^{-3x}\right)^2}$.
		
		\item $f'>0$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$.
			
			\item $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f(x)=0,99 &\Leftrightarrow \frac{1}{0,99}-1=\mathrm{e}^{-3x}\\
			&\Leftrightarrow x= -\frac{1}{3} \ln \left( \frac{1}{0,99}-1 \right)
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	C
	
	\begin{enumerate}
		\item $f''(x)\geqslant 0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-3x}-1\geqslant 0\Leftrightarrow x<0$. $f$ convexe sur $\mathbb{R}_-$ et concave sur $\mathbb{R}_+$.
		\item $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_A=0$ donc $A$ est un point d'inflexion.
		
		\item $\mathcal{C}_f$ est au dessus de ses tangentes sur $\mathbb{R}_-$ car $f$ y est convexe donc $\mathcal{C}_f$ est su-dessus de $\mathcal{T}$ sur $\mathbb{R}_-$. De même $\mathcal{C}_f$ est dessous de $\mathcal{T}$ sur $\mathbb{R}_+$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	\begin{notabene}
		Avec ln
		Métropole, Antilles-Guyane
		sujet 2
		21 mars 2023
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}