%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{24 Variables aléatoires et moments.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{24 Variables aléatoires et moments.}

\begin{lecon}
	
	Nous nous limiterons à des univers finis.
	
\end{lecon}

\subsection{Notion de variable aléatoire finie.}

\begin{definition}
		Nous appellerons \emph{\color{purple}variable aléatoire} sur $\Omega$ un ensemble fini toute application $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour un lancer de pièce dont les issues sont $P$ et $F$, en associant à pile le nombre $-1$ et à face $1$ on définie une variable aléatoire. $X (\Omega)=$.
		
		\item $X: \{ P,F\} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $X(P)=12$ n'est pas une variable aléatoire car ce n'est pas une application: elle n'est pas définie en $F$.
		
		\item En associant à un lancer de deux dés la somme des nombres obtenus on définie une variable aléatoire $Y$. $Y(\Omega)=$.
		
		\item On lance un dé tétraédrique. Si le résultat est $1$ ou $2$ on gagne $1\ \text{\euro}$, si on obtient $3$ on perd $3\ \text{\euro}$ et sin on obtient $4$ on perd $4\ \text{\euro}$. Nous venons de définir une variable aléatoire $Z$ associée à cette expérience aléatoire.
		
		\item Il est possible de définir des variables aléatoires sur des univers non finis: à une répétition de pile ou face on associe le nombre qui est le rang du premier pile obtenu.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La définition de variable aléatoire ne nécessite pas de situation aléatoire cependant l'ensemble de définition $\Omega$ sera bien sûr l'univers d'une expérience aléatoire.
		
		\item $X(\Omega)$, l'ensemble des images d'éléments de $\Omega$ par $X$, est appelée le \emph{\color{purple}support de la variable aléatoire} ou son univers-image.
		
		\item Puisque $\Omega$ est fini $X(\Omega)$ l'est aussi.
		
		\item On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire finie $X$ la distribution de probabilité $\left( x,\mathbb{P}(X=x) \right)_{x \in X(\Omega)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ un ensemble fini,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Les $\{ X=a \}$ pour $a \in X( \Omega)$ (ou $a \in \mathbb{R}$) forment un système complet d'événements.
	
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}loi de probabilité de la variable aléatoire} $X$ et nous noterons parfois $\mathbb{P}_X$, la distribution de probabilité $\left( a; \mathbb{P}(X=a) \right)_{a \in \Omega}$. Si $X(\Omega)$ est fini (et de cardinal pas trop grand) on présente cette loi sous forme d'un tableau (comme vous l'avez fait en première).
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X(\Omega)= \{ 0;1\}$ et $p=\mathbb{P}(X=1)$ alors on dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p$ et on note $X \hookrightarrow\mathscr{B}(p)$.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On dit que $X$ suit une loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$ si $X(\Omega)=\llbracket 1, n \rrbracket$ et: $\forall a\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ \mathbb{P}(X=a)=\frac{1}{n}$.
		
		\item Soient $a$ et $b$ des entiers avec $a<b$. On dit que $X$ suit une loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$ si $X(\Omega)=\llbracket a, b \rrbracket$ et: $\forall k\in \llbracket a,b \rrbracket,\ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		
		\item $\Omega =\{\omega_1,\omega_2, \dots, \omega_n\}$ un ensemble (fini),
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \mathbb{P}(X=a)= \sum_{\{ \omega \in \Omega\ | \ X(\omega)=a \}} \mathbb{P}(\omega). \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{P}(X \in A)= \sum \mathbb{P}(X=a)$.
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ une ensemble fini,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow\mathbb{R}$ une variable aléatoire,
		
		\item $g: X(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$g\circ X$ est une variable aléatoire sur $\Omega$ que nous noterons $g(X)$.
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X(\Omega)= \llbracket 1;3 \rrbracket$ alors $X^2-1(\Omega)=$
		\item $aX$, pour $a \in \mathbb{R}$ est une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Somme de variables aléatoires.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ un ensemble fini,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire,
		
		\item $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'application $Z$ définie sur $\Omega$ par \[ \forall \omega \in \Omega,\ Z(\omega)= X(\omega)+Y(\omega)\]  est une variable aléatoire sur $\Omega$ appelée \emph{\color{purple}somme des variables aléatoires $X$ et $Y$}.
	
\end{proposition}

\subsection{Indépendance de variables aléatoires.}

\begin{definition}
	
	Deux variables aléatoires finies $X:\Omega_1\rightarrow \mathbb{R}$ et $Y: \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$ sont dites \emph{\color{purple}indépendantes} si pour tout $x \in X(\Omega_1)$ et tout $y \in Y(\Omega_2)$, $\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \text{ et } \{Y=y\} \right)=\mathbb{P}(X=x) \times \mathbb{P}(Y=y)$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si, pour $n \in \mathbb{N}$,  $X_1,X_2,\dots,X_n \hookrightarrow\mathscr{B}(p)$ des variables aléatoires indépendantes alors on dit que $X_1+X_2+ \dots+X_n$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ et on note $X_1+X_2+\dots + X_n \hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Espérance.}

\begin{definition}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire sur un univers $\Omega$.
	
	Si $X(\Omega)= \{ x_1, \dots, x_n \}$ alors on appelle espérance de $X$ le nombre  réel \[ E(X) := \sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(X=x_i).\]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x_i & -2 & 0 & 1 & 5\\
			\hline
			\mathbb{P}(X=x_i) & \dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{1}{10}\\
			\hline
		\end{array}\]
		
		alors $E(X)=-2 \times \frac{1}{2} +0 \times \frac{1}{10}+1 \times \frac{3}{10} + 5 \times \frac{1}{10}=-0,2$.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque l'espérance est  finie l'espérance est la valeur moyenne que l'on obtient pour la variable aléatoire en recommençant un grand nombre de fois l'expérience.
		
		\item Si $X$ est finie alors $E(X)\in\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $E(X)=p$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ alors $E(X)=\frac{n+1}{2}$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket a, b \rrbracket)$ alors $E(X)=\frac{a+b}{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item La loi de probabilité de $X$ est définie par la distribution
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$a$ & $0$ & $1$ \\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=a)$ & $1-p$ & $p$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		donc $\mathbb{E}(X)=0 \times (1-p)+1 \times p=p$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{theoreme}{ - Formule du transfert.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ un ensemble,
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire finie.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour toute fonction $f$ définie sur $X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n \}$, $E(f(X))=\sum_{i =1 }^n f(x_i) \mathbb{P}(X=x_i)$.
	
\end{theoreme}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons ainsi calculer les espérances de variables aléatoires construites à partir de variables aléatoires qui nous sont connues.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $E(aX+b)=aE(X)+b$.
		\item $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
		\item Si $X \leqslant Y$ alors $E(X) \leqslant E(Y)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un lancer de dé à 6 faces le gain $Y$ égale à 8 euros pour un nombre inférieur ou égale à $2$ et de $-5$ euros sinon. $Y=13X-5$ où $X\hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{3} \right)$.
		
		Donc $\mathbb{E}(Y)=13 \mathbb{E}(X)-5=13 \times \frac{1}{3} -5= -\frac{2}{3}$.
		
		\item Si $X_1 \hookrightarrow \mathscr{B}(p_1)$ et $X_2 \hookrightarrow \mathscr{B}(p_2)$ alors $\mathbb{E}(X_1+X_2)=p_1+p_2$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,n \rrbracket)$ alors $\mathbb{E}(X+Y)= p+\frac{n+1}{2}$.
		
		\item Si $X_1, X_2, \dots ,X_n \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $X=X_1+X_2+ \dots +X_n \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$ et $\mathbb{E}(X)= \sum_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k)=\sum_{k=1}^n p=np$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Variance et écart-type.}

\begin{definition}
	
	Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ fini alors on appelle variance de $X$ le réel $\mathbb{V}(X):=\mathbb{E}\left( (X-\mathbb{E}(X))^2 \right)$.
	
	On appelle alors écart-type le réel $\sigma(X)= \sqrt{\mathbb{V}(X)}$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x_i & -2 & 0 & 1 & 5\\
			\hline
			\mathbb{P}(X=x_i) & \dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{1}{10}\\
			\hline
		\end{array}\]
		
		alors $V(X)=\left( -2 -(-0,2) \right)^2\times \frac{1}{2} +\left( 0 -(-0,2) \right)^2 \times \frac{1}{10}+\left( 1 -(-0,2) \right)^2\times \frac{3}{10} +\left( 5-(-0,2) \right)^2 \times \frac{1}{10}=4,76$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Formule de Koenig-Huygens.}
	
	$\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Permet de calculer plus simplement la variance.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $x:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ et $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ deux variables aléatoires, 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{V}(aX+b)=a^2\mathbb{V}(X)$.
		\item Si $\mathbb{V}(X)=0$ alors $X$ est une variable aléatoire certaine.
		\item Si $X$ et $Y$ sont indépendantes $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $X$ est certaine alors $V(X)=0$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $V(X)=p(1-p)$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ alors $V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket a, b \rrbracket)$ alors $V(X)=\dfrac{(b-a+1)^2-1}{12}$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	\begin{notabene}
		Page 412 exo 44 bordas indice 202.
	\end{notabene}
	
	On lance deux dés tétraédriques équilibrés dont les faces sont numérotées $1$, $1$, $2$ et $2$ pour le premier et $1$, $2$, $3$ et $3$ pour le second.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancé du premier dé associe le numéro inscrit sur la face inférieure et $Y$ celle pour le second dé. Soit $Z=X+Y$.
	
	Déterminez la loi de $Z$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	\begin{notabene}
		Page 412 exo 45 bordas indice 202.
	\end{notabene}
	
	Soient $X\hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{3} \right)$, $Y \hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{4} \right)$ et $Z=X+Y$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\mathbb{P}(Z=1)$.
		\item Déterminez la loi de $Z$.
		\item Calculez $\mathbb{P}_{Z=1}(X=1)$.
		\item Calculez $\mathbb{P}_{X=1}(Z=2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	\begin{notabene}
		Page 412 exo 48 bordas indice 202.
	\end{notabene}
	
	Une agence constate que le nombre d'appartements vendus chaque mois est une variable aléatoire $X$ dont la loi peut être estimée statistiquement:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
		\\
		\hline
		$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $0,02$ & $0,06$ & $0,08$ & $0,25$ & $0,2$ & $0,13$ & $0,12$ & $0,08$ & $0,06$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	Elle a constaté que les ventes des mois successifs étaient indépendantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez l'espérance et l'écart-type du nombre annuel d'appartements vendus.
		
		\item L'agence touche $1000\ \text{\euro}$ pour la vente d'un appartement et les charges fixes annuelles s'élèvent à $\np{50000}\ \text{\euro}$.
		
		Calculez l'espérance et la variance du bénéfice annuel de l'agence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	\begin{notabene}
		Page 412 exo 52 bordas indice 202.
	\end{notabene}
	
	On admet que la demande journalière de véhicules est une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 
		\\
		\hline
		$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $0,22$ & $0,37$ & $0,24$ & $0,10$ & $0,05$ & $0,02$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	On suppose que les $3$ véhicules de l'agence sont en état de marche.
	
	Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de véhicules loués à la journée.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la loi de $Y$.
		
		\item Calculez l'espérance et la variance de $Y$.
		
		\item Le prix de la location par jour et par voiture est de $50 \ \text{\euro}$. Les frais supportés par l'agence sont en moyenne de $10\ \text{\euro}$ par voiture et par jour, que le véhicule soit loué ou non, et de $10\ \text{\euro}$ par véhicule loué.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez la variable aléatoire $B$ égale au bénéfice journalier en fonction de $Y$.
			
			\item Calculez l'espérance et la variance de $B$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $Y(\Omega)= \{ 0, 1,2,3 \}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$a$ & 0 & 1 & 2 & 3\\
				\hline
				$\mathbb{P}(Y=a)$ & $0,22$ & $0,37$ & $0,24$ & $0,17$\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item $\mathbb{E}(X)=1,36$. 
		
		$\mathbb{V}(X)=(0-1,36)^2 \times 0,22+(1-1,36)^2 \times 0,37+(2-1,36)^2 \times 0,24 +(3-1,36)^2 \times0,17=1,0104$
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $B=50X-3 \times 10-10X=40X-30$.
			
			\item $\mathbb{E}(B)=40\mathbb{E}(X)-30$. $\mathbb{V}(B)=40^2 \mathbb{V}(X)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	\begin{notabene}
		Page 412 exo 51 bordas indice 202.
	\end{notabene}
	
	Déterminez l'espérance et la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois uniformes sur $\llbracket 1, n \rrbracket$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\mathbb{E}(X_1+X_2)=n+1$. $\mathbb{V}(X_1+X_2)=\frac{n^2-1}{6}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		%exo 41 tD 8 Henri IV
		
	\end{notabene}

	Un concierge rentre d’une soirée. Il dispose de n clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n’a pas convenu.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
		
		\item En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}