%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{20 Suites, limite monotone.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{20 Suites, limite monotone.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats vus dans cette leçon permettent de lever certaines indéterminations mais surtout de savoir si une suite converge ou pas, sans pour autant être forcément capable de trouver l'éventuelle limite. Un résultat souvent nécessaire pour les suites définies par récurrence.
	
\end{lecon}

\subsection{Limite finie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Contrairement au théorème des gendarmes, celui-ci ne permet pas de connaître la limite mais uniquement son existence.
		
		\item L'utilisation de ce résultat se prolonge en général par une recherche d'encadrement de la limite par divers procédés notamment algorithmiques.
		
		\item En général la limite n'est pas le majorant ou le minorant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsection{Limite infinie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et non majorée a pour limite $+\infty$.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et non minorée a pour limite $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		La démonstration du (i) est au programme.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \Coffeecup 
		
		Soit $A\in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(u_n)$ sont dans $]A,+\infty[$.}
		
		Puisque $(u_n)$ n'est pas majorée par $A$ il existe un rang $N\in\mathbb{N}$ pour lequel $u_N>A$.
		
		Et comme $(u_n)$ est croissante: \[ \forall n\geqslant N,\ u_n>A.\]
		
		Autrement dit à partir de ce rang $N$ tous les termes de la suite sont dans $]A,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \Biohazard 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Passer à la limite dans une égalité.}

\begin{lecon}
	
	Nous avons vu qu'il est possible de passer à la limite dans une somme ou un produit: si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $(v_n)$ converge vers $m$ alors $(u_n+v_n)$ converge vers $\ell +m$ et $(u_n v_n)$ converge vers $\ell m$. Qu'en est-il pour la suite $(\sqrt{u_n})$, ou $\mathrm{e}^{u_n}$, ou, plus généralement, $(f(u_n))$?
	
	Nous verrons plus tard un résultat qui nous autorise à passer à la limite si la fonction $f$ n'est pas trop inhabituelle. Souvent $\lim_{n \to +\infty} f(u_n)= f (\lim_{n \to +\infty} u_n)$.
	
	Nous utiliserons souvent ce résultat pour les suites définies par récurrence car alors $(u_{n+1})$ et $(u_n)$ ont la même limite $\ell$: si $u_{n+1}=\sqrt{u_n+3}+1$ alors $\ell= \sqrt{\ell +3}+1$.
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Virer rien à faire dans cette leçon.
		
	\end{notabene}

	\begin{notabene}
		Repères terminale 124 page 48
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par: \[ u_0=8\ \text{et} \ u_{n+1}= \sqrt{u_n+12}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$.
		
		\item On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
				\def\xY{-12.9};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8.9};
				\def\yZ{5.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-10, -5,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=-12:8.9] plot(\x,{sqrt(\x+12)});
				\draw[Green, thick][samples=100,domain=-0.25:5.9] plot(\x,{\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Construisez les premiers de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et conjecturez son comportement.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$: \[ u_{n+1}-4 \leqslant \frac{1}{4} (u_n-4). \]
			
			\item Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ u_n-4 \leqslant \frac{1}{4^{n-1}}. \]
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite finie que l'on précisera.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de passage à la alimite avec point fixe.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par \[ u_0=8 \ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+2.\]
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $4$.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
		
		\item En passant à la limite dans la formule de récurrence, démontrez que la limite $\ell$ de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut être que $4$.
		
		\begin{notabene}
			Insister sur le fait que le passage à la  limite n'est possible que parce qu'il s'agit des opérations algébriques déjà vue. Pas valable a priori pour sin ou exp.
			
		\end{notabene}
		
		\item Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		140 page 162 de affinités.
		
	\end{notabene}
	
	Posons $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que $(u_n)$ est majorée par $3$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge et montrez que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}u_n=3$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 145 page 166. Série de harmonique
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ a suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Prouvez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $u_{2^m+1}-u_{2^m}\geqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ n'est pas majorée. Concluez.
		
		\item Déterminez avec une machine un entier $N$ tel que $u_N>10$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Repère 110 page 43.
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ v_{n+1}= 1,4v_n-0,05v_n^2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)=1,4x-0,05x^2. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;8]$.
			
			\item Représentez graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ avec le centimètre comme unité graphique, ainsi que les $10 $ premiers termes de la suite $(v_n)$.
			
			\item Conjecturez son comportement.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ 2 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8. \]
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)$ admet une limite finie.
		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrez que \[ f(x)-8=-0,05(x-20)(x-8). \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_{n+1} \leqslant 0,9 \times (8-v_n). \]
			
			
			\item Déduisez-en que, pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_n \leqslant 6 \times 0,9^n. \]
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Exercice bac avec théorème du pont fixe.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/11 métropole exercice 1 partie B
	\end{notabene}
	
	Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
	
	On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite
	progressivement éliminé.
	
	On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30\,\% par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
	
	On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1}  < 6$.
			\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
			\item Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}	
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
			\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
			\item Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
			
			Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 114 page 45
	\end{notabene}
	
	Un démographe étudie l'évolution de la population d'un pays.
	
	Depuis 1969 (cette année-là, ce pays comptait $\np{44500000}$ habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de $35$ pour mille et un taux de mortalité de $17$ pour mille.
	
	À ces variations, il faut ajouter $\np{25000}$ nouveaux arrivant dans ce pays et retirer $\np{9000}$ citoyens qui partent définitivement.
	
	On note $p_n$ la population de $1969+n$, exprimée en milliers d'habitants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $p_0$.
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: \[ p_{n+1}=1,018 p_n +16. \]
		
		\item Déterminez le réel $\ell$ tel que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par \[ u_n=p_n-l\] soit géométrique.
		
		\item Déduisez-en les expressions de $u_n$ et $p_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
		
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2012?
		
		\item Au bout de combien d'années la population va-t-elle tripler, par rapport à celle de 1969?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 116 page 46
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=1\ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n +n-2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Écrivez un algorithme qui, pour une valeur $M\in\mathbb{R}$ donnée, renvoie un entier $n$ pour lequel $u_n>M$.
			
			\item Programmez cet algorithme à l'aide d'une calculatrice, puis exécutez-le pour des valeurs de $M$ telles que $101$, $100$, $\np{1000}$.
			
			\item Déduisez-en une conjecture sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$, si $n\geqslant 4$ alors: \[ u_n\geqslant 0. \]
		
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant 5$ alors: \[ u_n\geqslant n-3. \]
		
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C ~ Partie A.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	On définit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ par $u_0=13$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+\frac{4}{5}; \]
		
		\item la suite $(S_n)$ pour tout entier naturel $n$: \[ S_n= \sum_{k=0}^n u_k. \]
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ u_n=1+ \frac{12}{5^n}. \]
		
		Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez le sens de variation de la suite $(S_n)$.
			
			\item Calculez $(S_n)$ en fonction de $n$.
			
			\item Déterminez la imite de la suite $(S_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ ~ Partie B.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	Étant donnée une suite $(x_n)$, de nombres réels définie  pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(S_n)$ défine par: \[ S_n= \sum_{k=0}^n x_k. \]
	
	Indiquez pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse; justifiez dans chaque cas.
	
	Proposition 1: \og si la suite $(x_n)$ est convergente alors la suite $(S_n)$ l'est aussi.
	
	Proposition 2: les suites $(u_n)$ et $(S_n)$ ont le même sens de variation.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/198 amérique du nord exercice  2.
	\end{notabene}
	
	Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
	
	\[T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel } n, \: T_{n+1} = 0,955T_n + 0,9\]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $T_n \geqslant 20$.
			\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $T_{n+1} -  T_n  = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
		\end{enumerate}	
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n =  T_n - 20$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
			\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$T_n =  20 + 160 \times  0,955^n$.
			\item Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
		\end{enumerate}	
		\item Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. 
		
		On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180 \degres$ C et celle de l'air ambiant de $20 \degres$ C.
		
		La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
		\begin{enumerate}
			\item Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
			\item On considère la fonction Python ci-dessous:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|}\hline
					def temp(x) :\\
					\quad T = 180\\
					\quad n = 0\\
					\quad while T $>$ x :\\
					\qquad T=0.955*T+0.9\\
					\qquad n=n+1\\
					\quad return n\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
		
			Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120).
			
			Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C ~ épisode 1.}
	
	\begin{notabene}
		
		Virer cet exercice déjà déplacé dans leçon limite et opérations.
		
	\end{notabene}
	\begin{notabene}
		Amérique du nord 2022/05/19 exercice 1
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ épisode 2.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 142 page 164. Série de Riemann
		
		Problème de Bâle résolu en 1735 par Euler la limite est $\frac{\pi^2}{6}$.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}. \]
	
	Prouvez que $(u_n)$ est croissante et majorée puis concluez.
	
	Pour établir la majoration on établira; pour tout entier $k>1$: \[ \frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 143 page 164. Presque harmonique.
	\end{notabene}
	
	Montrez que la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ converge.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{E{} Nombre d'Apéry}
	
	\begin{notabene}
		Repère 108 page 42
	\end{notabene}
	
	On pose pour tout entier supérieur ou égale à $1$: \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}= 1 + \frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{1}{n^3}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$: \[ u_n\leqslant 2-\frac{1}{n}.\]
		
		\item Qu'en conclure?
		
		\item Soit $\varepsilon>0$.
		
		Écrivez un algorithme qui renvoie une valeur approchée à $\varepsilon$ près de la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{itemize}
		\item Baccalauréat S Liban 28 mai 2013. Exercice 4.
		
		\item Baccalauréat S Polynésie 
		7 juin 2013. Exercice 4.
		
		\item [ Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Exercice4.
		
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}