%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Loi binomiale, problèmes de seuil.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Loi binomiale, problèmes de seuil.}

\subsection{Échantillon.}

\begin{lecon}
	
	Un résultat d'un schéma de Bernoulli est appelé \emph{\color{purple}un échantillon}. La \emph{\color{purple}taille de l'échantillon} est le paramètre $n$ du schéma, c'est-à-dire le nombre de répétition de l'épreuve de Bernoulli.
	
\end{lecon}

\subsection{Taille minimale de l'échantillon.}

\begin{lecon}
	
	Considérons la situation suivante: je lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir un pile. Intuitivement nous devinons qu'il y a de fortes chances que cela se produise avant $10$ lancers et fort peu de chance que cela arrive après $\np{10000}$ lancers.
	
	Une façon de quantifier cela consiste à répondre par exemple à la question: quel est le plus petit nombre de lancers nécessaire pour avoir $90\ \%$ de chance d'obtenir au moins un pile.
	
	\medskip
	Modélisons: soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenu lors de $n\in \mathbb{N}^*$ lancers.
	
	Évidemment $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( n, \frac{1}{2} \right)$. Et nous cherchons le plus petit $n$ tel que $\mathbb{P}(X \geqslant 1)\geqslant 0,9$.
	
	\medskip
	Dans certains cas il est possible de résoudre algébriquement cette inéquation dont l'inconnue (qui n'apparaît pas dans la précédente écriture de l'inéquation) est $n$: $1-\frac{1}{2^n}\geqslant 0,9$. Nous verrons plus tard qu'en utilisant la fonction logarithme népérien il est possible de résoudre ce type d'inéquation mais pour l'instant nous nous contenterons d'une résolution à la calculatrice en entrant la fonction \verb|1-binomFRep(X,0.5,0)| et en regardant son tableau de valeurs.
	
	Il faut au moins $4$ lancers pour avoir (plus de) $90\ \%$ de chance d'obtenir un pile.
	
\end{lecon}

\subsection{Intervalle de fluctuation.}

\begin{notabene}
	exemple de STMG
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Dans un article, un journaliste affirme que $42\ \%$ des jeunes qui aiment la lecture préfèrent lire le soir.
	
	Nous souhaiterions vérifier si cette assertion est vraie ou fausse.
	
	\medskip
	Pour cela on décide d'interroger au hasard $20$ jeunes qui aiment lire. Le sondage est assimilé à une succession de tirages avec remise et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jeunes qui aiment lire le soir.
	
	Si le pourcentage donné par le journaliste est vrai, nous devrions avoir $X \hookrightarrow \mathscr{B}(20;0,42)$. 
	
	Lorsqu'on effectue réellement le sondage $7$ personnes disent aimer lire le soir. Peut-on dire que le journaliste se trompe ou pas?
	
\end{lecon}

\subsubsection{Trouver le plus petit $b\in\llbracket 0,n \rrbracket$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant b)\geqslant \mu$.}

\begin{lecon}
	
	Le principe est le même qu'auparavant, nous allons utiliser la fonction de répartition, $x \mapsto \mathbb{P}(X \leqslant x)$, déjà programmée dans votre calculatrice.
	
	\medskip
	Si $\mu=0,975$ alors pour le sondage nous aurons donc $\mathbb{P}(X \leqslant b ) \leqslant 0,975$. Avec la calculatrice on obtient: $b=12$.
	
	\medskip
	Si $\mu=0,025$ alors pour le sondage nous aurons donc $\mathbb{P}(X \leqslant a ) > 0,025$. Avec la calculatrice on obtient: $a=4$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Trouver un intervalle $[a,b]$ tel que $\mathbb{P}( X \in [a,b])\geqslant \alpha$.}

\begin{lecon}
	
	$\mathbb{P}(X \leqslant 4 ) > 0,025$ donc \[ \mathbb{P}(X \leqslant 3 ) \leqslant 0,025 \] et enfin \[ -\mathbb{P}(X \leqslant 3 ) \geqslant -0,025.\]
	
	En sommant avec $\mathbb{P}(X \leqslant 12 ) \geqslant  0,975$ on obtient: \[ \mathbb{P}(X \leqslant 12 ) - \mathbb{P}(X\leqslant 3) \geqslant 0,975-0,025. \]
	
	Autrement dit \[ \mathbb{P}(4 \leqslant X \leqslant 12) \geqslant 0,95. \]
	
	Ce qui s'interprète en disant que la probabilité qu'entre $4$ et $12$ personnes répondent aimer lire le soir est supérieure à $95\ \%$.
	
	Si $13$ personnes avaient répondu nous aurions pu mettre en doute l'affirmation du journaliste.
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		page 371 spé hatier 2020
	\end{notabene}
	
	Dans un chaîne de production pharmaceutique, la proportion de gélules non commercialisables en sortie de chaîne est $3\ \%$.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $200$ gélules, associe le nombre de gélules non commercialisables.
	
	\begin{tasks}
		\task Quelle est la loi suivie par $X$?
		\task Déterminez le plus petit entier $b$ tel que $\mathbb{P}(X \in [0,b])\geqslant 0,9$.
		\task Interprétez ce résultat.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		page 371 spé hatier 2020
	\end{notabene}
	
	On lance $100$ fois un dé tétraédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$. On note $Y$ la variable aléatoire qui indique le nombre de $1$ obtenus.
	
	\begin{tasks}
		\task Quelle loi suit $Y$?
		\task Déterminez les entiers $a$ et $b$ tels que $a$ est le plus petit entier tel que $\mathbb{P}(Y\leqslant a)>0,025$ et $b$ le plus petit entier $b$ tel que $\mathbb{P}(Y\leqslant b)\geqslant 0,975$.
		\task Déduisez-en un intervalle $I$ tel que $\mathbb{P}(Y\in I)\geqslant 0,95$. Interprétez ce résultat.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $Y \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 100, \frac{1}{4} \right)$.
		\item Avec la calculatrice, $\mathbb{P}(Y \leqslant 16)\approx 0,02111$ et $\mathbb{P}(Y \leqslant 17)\approx 0,0376$ donc $a=17$.
		
		Avec la calculatrice, $\mathbb{P}(Y \leqslant 33)\approx 0,972$ et $\mathbb{P}(Y \leqslant 34)\approx 0,9835$ donc $b=34$.
		
		\item $a=17$ est les plus petit entier tel que $\mathbb{P}(X\leqslant a)>0,025$ donc $\mathbb{P}(X\leqslant 16) \leqslant 0,025$, ce qui équivaut à: $-\mathbb{P}(X\leqslant 17)\geqslant -0,025$.
		
		En sommant membre à membre avec $\mathbb{P}(X \leqslant 34)\geqslant 0,975$ donne: $\mathbb{P}(X\leqslant 34) - \mathbb{P}(X\leqslant 16) \geqslant 0,975-0,025$.
		
		Autrement dit: $\mathbb{P}(17 \leqslant X \leqslant 34) \geqslant 0,95$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Une publicité affirme que $80\ \%$ des personnes utilisant un certain produit ont des cheveux qui repoussent au cours du premier mois d'utilisation.
	
	Déterminer l'intervalle de fluctuation à $95\ \%$ (même intervalle qu'à l'exercice précédent) de la fréquence des utilisateurs dont les cheveux ont repoussé au cours du premier mois, pour un échantillon de taille $50$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2022 Métropole 2022/05/12 spécialité
		
	\end{notabene}
	Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
	
	Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70\,\% des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
	
	Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si le coyote est malade, le test est positif dans 97\,\% des cas.
		\item[$\bullet~~$] Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95\,\% des cas.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	\bigskip
	
	\textbf{Partie A}
	
	\medskip
	
	Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
	
	On considère les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$M$: \og le coyote est malade \fg;
		\item[$\bullet~~$]$T$: \og le test du coyote est positif \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les évènements contraires de $M$ et $T$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$M$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{M}$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$M$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{M}$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$M$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{M}$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
		\item Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
		\item On appelle \og valeur prédictive positive du test \fg{} la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
		
		Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
		\item  
		\begin{enumerate}
			\item Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la \og valeur prédictive négative du test \fg{} et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
			\item Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ - Suite.}
	
	\textbf{Partie B}
	
	\medskip
	
	On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
		
		On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
			\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
			\item Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
		\end{enumerate}	
		
		\item Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		0iem spécialité hatier variations 2020
		
		4 page 411
		
	\end{notabene}
	
	Au cours d'une soirée, un restaurant accueille $45$ convives.
	
	Pour un convive quelconque il est établi par le restaurateur que la probabilité qu'il prenne un café à la fin du repas est exactement de $0,8$.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cafés effectivement commandés à l'issue de la soirée. X suit la loi binomiale $\mathscr{B}(45;0,8)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Afficher informatiquement les valeurs de $k$ et les probabilités correspondantes $\mathbb{P}(X=k)$ pour $k \in \llbracket 0;45 \rrbracket$.
			
			\item Donnez les valeurs de $k$ pour lesquelles $\mathbb{P}(X=k)\geqslant 0,1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Toujours à l'aide de la machine, affichez les probabilités cumulées croissantes $\mathbb{P}(X\leqslant k)$ pour $k \in \llbracket 0; 45 \rrbracket$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez le plus petit nombre entier $a$ tel que $\mathbb{P}(X\leqslant a) \geqslant 0,9$.
			
			Interprétez ce résultat dans le contexte.
			
			\item Déterminez le plus grand nombre entier $b$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant b) \leqslant 0,1$.
			
			\item Déterminez un ensemble $\llbracket c,d \rrbracket$ d'amplitude minimale tel que $\mathbb{P}( c \leqslant X \leqslant d )\geqslant 0,95$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		0iem spécialité hatier variations 2020
		
		14 page 411
		
	\end{notabene}
	
	Un site internet pose à tout usager une question de satisfaction à l'issue de sa visite?
	
	La probabilité qu'un usager réponde \og non \fg{} à cette question est $0,17$.
	
	Un échantillon de $100$ réponses prises au hasard a été constitué. 
	
	On note $X$ le nombre de réponses \og non \fg{} contenues dans cet échantillon.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la loi suivie par la variable $X$?
			
			\item Avec la calculatrice, déterminez les valeurs de $k$ pour lesquelles on a $\mathbb{P}(X=k)\geqslant 0,05$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item À partir de quelle valeur de $k$ a-t-on $\mathbb{P}(X \leqslant k ) \geqslant 0,9$?
			
			Donnez une interprétation de ce résultat.
			
			\item Déterminez un ensemble $\llbracket k,k' \rrbracket$ d'amplitude minimale tel que $\mathbb{P}(k \leqslant X \leqslant k') \geqslant 0,5$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		\href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Bac_spe_Ame_rique_N_J1_27_mars.pdf}{Amérique du Nord sujet 1 27 mars 2023}.
	\end{notabene}
	
	Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.
	
	Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :
	
	\begin{itemize}
		\item $69\,\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux;
		\item $28\,\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux;
		\item les déchets restants sont des déchets dangereux.
	\end{itemize}
	
	Cette enquête statistique nous apprend également que :
	
	\begin{itemize}
		\item $73\,\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
		\item $49\,\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
		\item $35\,\%$ des déchets dangereux sont recyclables.
	\end{itemize}
	
	\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}
	
	\medskip
	
	\textbf{Partie A}
	
	\medskip
	
	Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :
	
	\begin{itemize}
		\item $M$ : \og Le déchet prélevé est minéral et non dangereux \fg{} ;
		\item $N$ : \og Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux \fg{};
		\item $D$ : \og Le déchet prélevé est dangereux \fg{};
		\item $R$ : \og Le déchet prélevé est recyclable \fg.
	\end{itemize}
	
	On note $\overline{R}$ l'évènement contraire de l'évènement $R$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l'énoncé.
	\end{enumerate}
	
	%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
	\begin{center}
		% Racine à Gauche, développement vers la droite
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			% Styles (MODIFIABLES)
			\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
			% Dimensions (MODIFIABLES)
			\def\DistanceInterNiveaux{3}
			\def\DistanceInterFeuilles{1}
			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {};
			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$R$};
			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$R$};
			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
			\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
			\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$R$};
			\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
			\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw[fleche] (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {$\dots$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	%:Fin
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à \np{0,0105}.
		\item Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \overline{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $P(R)=\np{0,6514}$.
		\item On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ - Suite.}
	
	\textbf{Partie B}
	
	\medskip
	
	On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à \np{0,6514}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.
		
		On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.
		
		\begin{enumerate}
			\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
			
			\item Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. \emph{On donnera la valeur arrondie au dix-millième.}
		\end{enumerate}
		
		\item Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
		
		\begin{enumerate}
			\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
			\item Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à \np{0,9999}.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{BAC}
	
	\begin{itemize}
		
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/La_Reunion_spe_J1_28_mars_2023_DV.pdf}{La Réunion sujet 1 28 mars 2023}.
		
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/La_Reunion_spe_J2_DV_29_mars_2023.pdf}{La Réunion sujet 2 29 mars 2023}.
		
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Bac_Spe_Metropole_Reunion_FK_12_septembre_2023.pdf}{Métropole, Antilles-Guyane sujet 2 12 septembre 2023}.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}