%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{17 Bases et repères de l'espace.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection} \exclure{preuve}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{17 Bases et repères de l'espace.}

\subsection{Vecteurs libres, vecteurs linéairement indépendants.}

\begin{lecon}
	
	Pour définir une base du plan nous avions besoin de vecteur non-colinéaires. Nous allons définir une notion plus générale pour trois vecteurs (ou plus).
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont \emph{\color{purple}linéairement indépendants} (ou forment une famille libre) si la seule combinaison linéaire de ces trois vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous le coefficients sont nuls.
	
	Autrement dit: \[ \forall \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R},\ \lambda \vec{u}+ \mu\vec{v}+ \nu\vec{w}=\vec{0} \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. \]
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Si une famille de trois vecteurs n'est pas libre nous dirons qu'elle est liée.
	
	Si trois vecteurs de l'espace ne sont pas linéairement indépendants nous dirons qu'ils sont \emph{\color{purple}coplanaires}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{u}$ et $\vec{u}$ ne sont pas linéairement indépendants puisque, par exemple: $2\cdot \vec{u}-1\cdot \vec{u} -1\cdot \vec{u}=\vec{0}$.
		
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w} = -\vec{u}-\vec{v}$ ne sont pas linéairement indépendants car: $1\cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v} +1 \cdot \vec{w}=\vec{0}$.
		
		\item Si $ABCDEFGH$ est un cube non réduit à un point alors (et nous l'admettrons pour l'instant) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont des vecteurs linéairement indépendants.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Bases.}

\begin{definition}
	
	Soient :
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de l'espace $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que le triplet $(\vec{u}, \vec {v}, \vec{w} )$ est une \emph{\color{purple}base} de $\mathscr{E}_3$ si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour un cube $ABCDEFGH$ non réduit à un point $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$ est une base de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Coordonnées.}

\begin{theoreme}{ et définition.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k} )$ une base de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\vec{u}$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe un unique triplet $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tel que \[ \vec{u} = x\cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}.\]
	
	Nous dirons que $(x,y,z)$ sont \emph{\color{purple}les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$}.
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Si \[ x\cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}= x'\cdot \vec{i} + y' \cdot \vec{j} + z' \cdot \vec{k} \] alors \[(x-x')\cdot \vec{i} + (y-y') \cdot \vec{j} + (z-z') \cdot \vec{k}= \vec{0}. \]
	
	Or les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ sont libres car formant une base et donc \[ \left\{ \begin{array}{c} x=x' \\ y=y' \ z=z' \end{array} \right. \]
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Autrement dit pour trouver les coordonnées d'un vecteur il suffit de l'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{ - Norme et coordonnées.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ un repère de l'espace,
		
		\item $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ un vecteur de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\[ \|\vec{u} \|= \sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
	
	
\end{corollaire}

\begin{proposition}{ - coordonnées affines et vectorielles.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k} )$ une base de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $I$, $J$ et $K$ les images respective de $O$ dans les translations de vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$,
		
		\item $A$ un point de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ dans $(O,I,J,K)$,
		
		\item $B$ un point de coordonnées $(x_B,y_B,z_B)$ dans $(O,I,J,K)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Les coordonnées du représentant $\overrightarrow{AB}$ sont données par \[ \color{purple} \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix}\]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{B}=(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base de l'espace $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$,
		
		\item $\vec{u} (x,y,z)$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$ dont les coordonnées sont données dans la base $\mathscr{B}$,
		
		\item $\vec{v} (r,s,t)$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$ dont les coordonnées sont données dans la base $\mathscr{B}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On a: \[ \vec{u} +\vec{v} \begin{pmatrix} x+r \\ y+s \\ z+t \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \lambda \cdot \vec{u} \begin{pmatrix} \lambda \times x \\ \lambda \times y \\ \lambda \times z \end{pmatrix}. \]
	
\end{proposition}

\subsection{Exercices.}

\begin{lecon}
	
	$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. Les autres points sont les milieux des arêtes.	
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=0]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{3};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Brown} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Brown} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Brown} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Brown} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below left] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Regarder si un des vecteurs est contenu dans un plan défini par les deux autres.
	\end{notabene}
	
	On considère une pavé droit $ABCDEFGH$.
	
	Dites si les $3$-listes proposées sont des bases de l'espace.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\left( \overrightarrow{AL}, \overrightarrow{CJ}, \overrightarrow{BS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DI}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{PF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{RI}, \overrightarrow{RM}, \overrightarrow{RS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DL}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KG}, \overrightarrow{KT}, \overrightarrow{KU} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{FI}, \overrightarrow{FM}, \overrightarrow{FH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{NL} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{FS}, \overrightarrow{GC} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	Donnez $5$ bases distinctes du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Expliquer que cela revient à rechercher la bonne combinaison linéaire.
		
	\end{notabene}
	
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes.	
	
	Donnez à chaque fois les coordonnées du vecteur dans la base proposée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AG}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left( \overrightarrow{HD}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HG} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DH}$ et $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\overrightarrow{AN}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{QM}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{PJ }$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ou pas dans les cas suivants. 
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\  1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -8 \\  -16 \\ -57 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \pi \\ 1 \\ \sqrt{\pi} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi^3} \\  \sqrt{\pi} \\ \pi \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\  0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Vérifier ou non l'indépendance de deux ou trois vecteurs.
		
		Montrer qu'une famille est une base.
		
		Montrer de la colinéarité.
		
		Repère 0iemes hachette page 310 et peut être montrer aux élève comment résoudre un système avec leur calculatrice.
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 44
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3,-2,-4)$, $B(4,-3,-2)$, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$.
		
		\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils liés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$M(4,-3,-2)$.
		
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$\overrightarrow{AB}=\vec{u}+\vec{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\vec{u} -\vec{v}=\vec{0}$, il existe doc une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls qui égale le vecteur nul, donc la famille est liée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 46
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,3)$, $B(2,0,3)$, et $C(6,3,8)$ des points de l'espace rapporté à un repère, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AB}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w}. \]
		
		\item Déterminez $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$ tels que: \[ \overrightarrow{BC}=\alpha' \vec{u} + \beta' \vec{v}+ \gamma' \vec{w}. \]
		
		\item Déduisez-en les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 67 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,3)$, $B(-1,1,4)$ et $C(3,5,-2)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow 3-x_D=-1-1 \Leftrightarrow x_D=5$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 5-y_D=1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow -2-z_D=4-3 \Leftrightarrow z_D=-3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(5,6,-3)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 68 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,1)$, $B(3,-1,2)$ et $C(-1,3,4)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du milieu de $[AC]$.
		
		\item Déterminez les coordonnées de $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow -1-x_D=3-1 \Leftrightarrow x_D=-3$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 3-y_D=-1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow 4-z_D=2-1 \Leftrightarrow z_D=3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(-3,6,3)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 70 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-1,4,-3)$ et $B(2,1,3)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	$x_A-x_M+x_B-x_A=\frac{1}{3} \left( x_B-x_A \right) \Leftrightarrow -1-x_M+1-x_M=\frac{1}{3}(2-(-3))$	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 74 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $A(0,1,1)$, $B(2,1,1)$, $C(3,1,1)$ et $D(1,1,1)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item Soit $E(2,2,4)$.
		
		Déterminez les coordonnées du point $F$ telles que $ACEF$ soit un parallélogramme.
		
		\item Soient $J$ le milieu de $[EF]$ et $I$ le point tel que $F$ soit le milieu de $[AI]$.
		
		Démontrez que $J$ est le milieu de $[IC]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 77 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,1)$, $B(1,-1,1)$ et $C(3,1,2)$ trois points de l'espace rapporté à un repère. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $G$ (centre de gravité du triangle $ABC$) défini par $\overrightarrow{AG}= \frac{2}{3} \overrightarrow{AI}$.
		
		\item On considère le point $E(3,7,2)$. Déterminez les coordonnées du point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item On note $J$ le milieu de $[BE]$. Les points $G$, $J$ et $F$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 45
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(2,4,-1)$, $B(3,1,2)$, $C(1,0,1)$, $D(3,2,1)$ et $E(1,2,0)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas liés.
		
		\item Le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$ peut-il être un repère de l'espace?
		
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Où se situe le point $M$?
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AE} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} + \gamma \overrightarrow{AD}. \] Quelles sont les coordonnées de $E$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}