%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{16 Loi binomiale.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{16 Loi binomiale.}

\subsection{Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.}

\subsubsection{Loi de Bernoulli.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats obtenus sont les lettres $S$ (succès) et $E$ (échec) ce qui n'est pas le plus pratique pour modéliser mathématiquement. C'est pourquoi nous allons associer une variable aléatoire aux épreuves de Bernoulli.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons q'une variable aléatoire $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi de Bernoulli de paramètre $p$}, si $X$ compte le nombre de succès lors d'une épreuve de Bernoulli de paramètres $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ nous avons donc:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Moments d'une loi de Bernoulli.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in [0;1]$,
		
		\item $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(X)= p$.
		
		\item $\mathbb{V}(X)=p(1-p)$.
		
		\item $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $n\in\mathbb{N}^*$ désigne le nombre de valeurs prisent par la variable aléatoire:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i) x_i\\
			\intertext{Donc ici:}
			\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) x_2 \\
			&= (1-p) \times 0 + p \times 1\\
			&= p
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration n'utilise pas la définition de la variance vue en première mais une caractérisation.}
		
		Puisque
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= \mathbb{E} \left[ \left(X-\mathbb{E}(X) \right)^2 \right]
		\end{align*}
		
		regardons la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y=(X-\mathbb{E}(X))^2$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$y_i$ & $p^2$ & $(1-p)^2$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P} \left( Y=y_i \right)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= (1-p) \times p^2+ p \times (1-p)^2\\
			&= p^2-p^3+p-2p^2+p^3\\
			&= p-p^2\\
			&= p(1-p)
		\end{align*}
		
		\item Trivial.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Schéma de Bernoulli, loi binomiale.}

\subsubsection{Variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une variable aléatoire $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi binomiale de paramètres $n$ et $p$}, et nous noterons $\color{purple}X \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, si $X$ compte le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Par définition $X(\Omega)= \llbracket 0, n\rrbracket$ (en utilisant d'autres notations: $X \in \{ 0;1;\dots;n \}$).
		
		\item En particulier si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p \in [0;1]$ alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}(1,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'exemple typique est celui de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de piles obtenus lors de la répétition de plusieurs piles ou face. Ainsi si on lance $10$ fois la pièce et que celle-ci est parfaitement équilibrée alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}\left( 10; \frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Calcul de probabilité pour une loi binomiale.}

\begin{lecon}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,3$.
	
	La situation peut donc être représentée par l'arbre
	
	\begin{flushleft}
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.6cm]
		\tikzstyle{noeud1}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud](E0)at(1,3.6){Issues};
			\node[noeud](F0)at(2,3.6){$X$};
			\node[noeud1](G0)at(3.8,3.6){Proba};
			\node[noeud](A1)at(0,2.8){$A$};
			\node[noeud](E1)at(1,2.8){$AAA$};
			\node[noeud](F1)at(2,2.8){$3$};
			\node[noeud1](G1)at(4,2.8){$(0,3)^3$};
			\node[noeud](A2)at(0,2){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E2)at(1,2){$AA\overline{A}$};
			\node[noeud](F2)at(2,2){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G2)at(4,2){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A3)at(0,1.2){$A$};
			\node[noeud](E3)at(1,1.2){$A\overline{A}A$};
			\node[noeud](F3)at(2,1.2){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G3)at(4,1.2){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A4)at(0,0.4){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E4)at(1,0.4){$A\overline{A}\overline{A}$};
			\node[noeud](F4)at(2,0.4){$1$};
			\node[noeud1](G4)at(4,0.4){$0,3\times (0,7)^2$};
			\node[noeud](A5)at(0,-0.4){$A$};
			\node[noeud](E5)at(1,-0.4){$\overline{A}AA$};
			\node[noeud](F5)at(2,-0.4){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G5)at(4,-0.4){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A6)at(0,-1.2){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E6)at(1,-1.2){$\overline{A}A\overline{A}$};
			\node[noeud](F6)at(2,-1.2){$1$};
			\node[noeud1](G6)at(4,-1.2){$0,3\times (0,7)^2$};	
			\node[noeud](A7)at(0,-2){$A$};
			\node[noeud](E7)at(1,-2){$\overline{A}\overline{A}A$};
			\node[noeud](F7)at(2,-2){$1$};
			\node[noeud1](G7)at(4,-2){$0,3\times (0,7)^2$};
			\node[noeud](A8)at(0,-2.8){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E8)at(1,-2.8){$\overline{A}\overline{A}\overline{A}$};
			\node[noeud](F8)at(2,-2.8){$0$};	
			\node[noeud1](G8)at(4,-2.8){$(0,7)^3$};
			\node[noeud](B1)at(-2,2.4){$A$};
			\node[noeud](B2)at(-2,0.8){$\overline{A}$};	
			\node[noeud](B3)at(-2,-0.8){$A$};
			\node[noeud](B4)at(-2,-2.4){$\overline{A}$};	
			\draw (A1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (A2)--(B1)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (A3)--(B2)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A4)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (A5)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A6)--(B3)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw (A7)--(B4)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A8)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\node[noeud](C1)at(-4,1.6){$A$};
			\node[noeud](C2)at(-4,-1.6){$\overline{A}$};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (C2)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (C2)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\node (D)at(-6,0){};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(D)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (C2)--(D)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
	Nous souhaitons calculer la probabilité d'obtenir 2 succès. Autrement dit nous cherchons $P(X=2)$.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item La probabilité d'un chemin comportant 2 succès est $0,3\times 0,3\times 0,7=0,3^2\times 0,7$
		\item Il y a $\binom{3}{2}=3$ chemins sur l'arbre comportant (exactement) 2 succès.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons $P(X=2)=3 \times 0,3^2\times 0,7=0,189$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in \mathbb{N}$,
		
		\item $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$,
		
		\item $p\in[0;1]$,
		
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \color{purple}P(X=k)=\binom{n}{k} \times p^k\times (1-p)^{n-k} \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Calcul de probabilité ou de fonction de répartition avec la calculatrice.}

\begin{lecon}
	
	Supposons par exemple que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(12;0,2)$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X=3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFdp(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $A:binomFdp$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X\le 3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFRép(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $B:binomFRép$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Moments d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{proposition}
	
	Soit $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(Y)=np$.
		
		\item $\mathbb{V}(Y)=np(1-p)$.
		
		\item $\sigma(Y)=\sqrt{np(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	La démonstration repose sur des propriétés de l'espérance et de la variance que nous n'avons pas étudiées que nous admettrons.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $X \hookrightarrow \mathscr{B}(1,p)$. Puisque $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, $Y=X+X+\dots + X$. Ainsi
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X+X+...+X)
			\intertext{Donc, par linéarité de l'espérance:}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X) +\mathbb{E}(X) + \dots +\mathbb{E}(X)\\
			&= n\mathbb{E}(X)\\
			&= np
		\end{align*}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 1ime hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que $6\ \%$ des assiettes produites présentent un défaut. On choisit une assiette au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $1$ si l'assiette ne présente pas de défaut et $0$ sinon.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$?
		
		\item Donnez le paramètre de cette loi.
		
		\item Calculez $\mathbb{E}(X)$, $\mathbb{V}(X)$ et $\sigma(X)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(1;0,94)$.
		\item $p=0,94$.
		\item $\mathbb{E}(X)=p=0,94$, $\mathbb{V}(X)=p(1-p)=0,94 \times 0,06=0,024$, $\sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}\approx 0,1549$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		Exercice 19 page 258 du manuel Déclic 2015: justifier une modélisation par une loi binomiale ou non.
	\end{notabene}
	
	Dans un stock de ballons de foot contenant $70\ \%$ de ballons bicolores, on prélève $12$ ballons au hasard, successivement et avec remise.
	
	$X$ donne le nombre de ballons bicolores obtenus.
	
	Justifiez que $X$ suit une loi binomiale.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{PineGreen}\underline{Démontrons que $X$ suit une loi binomiale.}}
	
	\medskip		
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{PineGreen}Épreuve de Bernoulli}
		\begin{itemize}
			\item Épreuve: prélever un ballon
			\item Succès: \og Le ballon est bicolore.\fg{}
			\item $p=\frac{70}{100}$.
		\end{itemize}
		
		\item {\color{PineGreen}Schéma de Bernoulli.}
		
		Le choix du ballon étant répété $n=12$ fois à l'identique et de façon indépendante (avec remise)  nous pouvons affirmer qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Variable aléatoire.}
		
		La variable aléatoire $X$ compte le nombre de ballons bicolores obtenus donc le nombre de succès de notre schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Conclusion.}
		
		{\color{PineGreen}\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=\frac{70}{100}$ \[ X \hookrightarrow \mathcal{B}\left( 12;\frac{70}{100} \right) \] \\ \hline \end{tabularx}}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 19 à 21 page 259 du manuel Déclic ESL 2015: reconnaitre des schémas
		
	\end{notabene}
	
	Dites si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui précisez-en les paramètres.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un supermarché, $20\ \%$ des clients du samedi ont un caddie inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		On choisit au hasard $15$ clients un samedi. $X$ donne le nombre de clients dont le caddie est inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		\item On lance cinq fois de suite une pièce bien équilibrée. $X$ donne le rang du $1\ier{}$ pile obtenu ($X$ prend la valeur $6$ si on a pas obtenu de pile sur les $5$ lancers).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(15;0,2)$.
		\item Pas binomiale.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 75 page 250
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,1$.
	
	Donnez une valeur approchée de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$, $\mathbb{P}(X=2)$, $\mathbb{P}(X=3)$ et $\mathbb{P}(X=4)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 76 page 250
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=\frac{3}{4}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Donnez une valeur approchée de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$ et $\mathbb{P}(X=2)$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{P}(X\geqslant 3)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{P}(X=0) = \frac{1}{4096}$, $\mathbb{P}(X=1) =\frac{9}{2048}$ $\mathbb{P}(X=2) =\frac{135}{4096}$.
		
		\item $\frac{1971}{2048}\approx 0,9624$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 53 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, la proportion de Français de moins de $20$ ans est restée stable à $24,6\ \%$ entre 2012 et 2014. On suppose que cette proportion se maintient pendant quelques années.
	
	On interroge au hasard $12$ Français et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui sont âgés de moins de $20$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez les probabilités des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item $10$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au plus $8$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au moins $4$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant moins de $20$ ans?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 54 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	$18\ \%$ des Français âgés de plus de $15$ ans ont fréquentés au moins une fois une bibliothèque en 2008.
	
	On suppose que cette proportion se maintient pendant les années qui suivent et on interroge au hasard $30$ Français âgés de plus de $15$ ans. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui ont fréquenté une bibliothèque dans l'année.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $\mathbb{P}(X=10)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X\leqslant 5)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X>8)$.
			
		\end{tasks}
		
		Traduisez chaque résultat par une phrase dans le contexte de l'exercice.
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant fréquenté une bibliothèque dans l'année?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(30;0,18)$.
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $P(X=10) \approx 0,0203$. La probabilité que $10$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,0203$.
			\item $P(X\le 5) \approx 0,5395$.  La probabilité qu'au plus $5$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,5395$.
			\item $P(X>8)=1-P(X\le 7) \approx 0,1582$. La probabilité qu'au moins $7$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,1582$.
		\end{enumerate}
		
		\item Le résultat s'obtient avec le tableau de valeur de la calculatrice. Le nombre le plus probable est de $5$ personnes parmi les $30$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 55 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Un fumeur est dit \og fumeur régulier\fg{} s'il fume au moins une cigarette par jour.
	
	En 2010, en France, la proportion de fumeurs réguliers âgés de $15$ à $19$ ans, était de $23,6\ \%$.
	
	On choisit au hasard, et de manière indépendante, quinze jeunes âgés de $15$ à $19$ ans.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fumeurs réguliers parmi ces quinze jeunes.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Précisez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Déterminez les probabilités des événements suivants, en arrondissant à $0,001$ près.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux des jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Aucun des jeunes interrogés n'est un fumeur régulier.
			
			\item Moins de cinq jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Plus d'un jeune interrogé est un fumeur régulier.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 81 page 251
		
	\end{notabene}
	
	Un fabricant vend des stylos par lot de $10$. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de stylos défectueux dans un lot. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $0,034$.
	
	On donnera les résultats à $10^{-3}$ près.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins un stylo défectueux?
		
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins deux stylos défectueux?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 82 page 251
		
	\end{notabene}
	
	On lance simultanément deux dés à six faces parfaitement équilibrés.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Quelle est la probabilité de faire un double $6$?
		
		\item On lance $10$ fois de suite cette paire de dés.
		
		Quelle est la probabilité de faire au moins trois double $6$ lors de ces $10$ parties? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 30: loi binomiale, probabilité maximale, espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Une association organise une tombola et vend un très grand nombre de tickets à gratter? On suppose que deux tickets sur dix sont gagnants.
	
	Une personne achète au hasard vingt tickets.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tickets gagnants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Sans justification donnez la valeur de $k$ telle que $\mathbb{P}(X=k)$ soit maximale. Interprétez ce résultat.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$. Interprétez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 31: loi binomiale, probabilité, espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Un basketteur s'entraîne à tirer des lancers francs. On suppose que, quel que soit le résultat des tirs précédents, la probabilité qu'il réussisse est égale à $0,8$. Il effectue une série de $30$ tirs. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où il réussit son tir.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez la probabilité que le basketteur
		
		\begin{enumerate}
			\item réussisse $18$ tir exactement,
			
			\item réussisse moins de $15$ tirs,
			
			\item réussisse au moins $20$ tirs.
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez le nombre moyen de tirs réussis.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repere 2011;
		87 page 252.
	\end{notabene}
	
	On joue à pile ou face cinq fois de suite. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu face.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$? Donnez ses paramètres.
		
	\end{enumerate}
	Pour jouer à ce jeu, il faut payer $3\ \text{\euro}$. On gagne $1\ \text{\euro}$ à chaque fois qu'on obtient face lors d'un des cinq lancers.
	
	On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) totale lors de ce jeu.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Exprimez $Y$ en fonction de $X$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{E}(Y)$.
		
		\item Ce jeu est-il financièrement intéressant?
		
		\item Quelle somme aurait-il fallu payer au départ pour que le jeu soit équitable?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(5,0,5)$.
		\item $Y=-3+X$.
		\item $\mathbb{E}(Y)=-3+ \mathbb{E}(X)=-3+np=-3+5 \times 0,5=-0,5$.
		\item $\mathbb{E}(Y)<0$ donc ce jeu est défavorable au joueur.
		\item $2,5$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		45 page 358.
	\end{notabene}
	
	Un tireur à l'arc atteint sa cible neuf fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
	
	Il tire $5$ flèches sur la cible. Pour chaque flèche, s'il atteint la cible, il gagne $10\ \text{\euro}$ , sinon il perd $20\ \text{\euro}$. On suppose que les tirs sont indépendants.
	
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $X$ le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont précisera les paramètres.
			
			\item Déterminez la probabilité d'atteindre au moins $2$ fois la cible.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $Y$?
			
			\item Déterminez la loi de $Y$.
			
			\item Quel est le gain moyen (positif ou négatif) du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours? Est-ce intéressant pour lui?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(5;0,9)$.
			\item $\mathbb{P}(X\geqslant 2)= 1- \mathbb{P}(X\leqslant 1)=0,99954$
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $Y \in \{ -100;-70;-40;-10;20;50 \}$.
			\item 
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$y$ & $-100$ & $-70$ & $-40$ & $-10$ & $20$ & $50$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(Y=y)$ & $10^{-5}$ & $4,5 \times 10^{-4}$ & $0,0081$ & $0,0729$ & $0,032805$ & $0,059049$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\item $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(10X-20(5-X)= \mathbb{E}(30X-100)=30 \mathbb{E}(X)-100$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{BAC}
	
	\begin{itemize}
		\item Centres étrangers groupe I sujet 1 13 mars 2023. Arbre, suite, binomiale.
		\item Polynésie sujet 2 14 mars 2023. Arbre, suite, binomiale.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}