%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{14 Suites, opérations sur les limites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{14 Suites, opérations sur les limites.}

\subsection{Devinez.}

\begin{notabene}
	
	Des exemples mettant en évidence les formes indéterminées et les situation plus simples.
	
	Exemple: $\frac{1}{n} \times n$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Conjecturez les limites des suites dont les termes généraux sont: $n^3+n^2$, $\frac{1}{1+0,5^n}$, $-n^7+n^2$, $\frac{n^3+n^2}{n^4+n}$, $\frac{n^3}{0,5^n}$.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	La définition de la convergence permet d'établir la convergence de quelques suites de référence. Pour le reste nous ferons, ce que nous avions déjà fait pour les fonctions dérivées, à savoir obtenir de nouveaux résultat en combinant ceux déjà connus.
		
\end{lecon}

\subsection{Somme.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite somme $(u_n+v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m$ & $m+\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Les situations avec des "?" sont appelées des formes indéterminées. Nous ne pouvons pas déterminer si il y a ou non une limite. Il faudra faire des études plus approfondies.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $3$ est une suite constante (donc qui converge vers $3$) et $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui converge vers $0$ donc $\left( 3 +\frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $3$.
		
		\item $\left( \frac{1}{n}\right)$ converge vers $0$ et $(\sqrt{n})$ tend vers  $+\infty$ donc $\left( \frac{1}{n} + \sqrt{n} \right)$ tend vers $+\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Produit.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite produit $(u_n\times v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell>0$ & $\ell=0$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m>0$ & $m \ell$ & $0$ & $m\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & $0$ & $0$ & ? & ? 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $m\ell$ & $0$ & $m\ell$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & ? & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-2$ est une suite constante (donc qui converge vers $-2$ et $\left( n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui diverge vers $+\infty$ donc $\left( -2 \times n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}n^2=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}-1 \times n^2=-\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}n^2\sqrt{n}=+\infty$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Inverse.}

\begin{lecon}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite dont les termes sont tous non nuls.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$u_n$ & $+\infty$ &	$-\infty$ & $0^+$ & $0^-$ 
			\\
			\hline
			$\dfrac{1}{u_n}$ & $0^+$ & $0^-$ &$+\infty$ & $-\infty$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons, sachant que $n\underset{n \to + \infty} {\longrightarrow}+\infty$, retrouver que $\frac{1}{n} \underset{n \to + \infty} {\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2+n=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2+n}=0$.
		
		\item Puisque $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n} \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow}0$ et $\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n}>0$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n}}=+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Quotient.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats concernant les suites obtenues comme quotient de deux autres suites découlent des résultats sur les produits et les inverses.
	
	\medskip
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite produit $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$u_n$}{$v_n$} & $\ell>0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m>0$ & $\frac{m}{ \ell}$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & ? & ? & $0$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ &  $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & ? & ? 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ &  $-\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? & ? 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsection{Lever l'indétermination.}

\begin{lecon}
	
	Les règles sur les opérations se confrontent souvent à des situations de limite indéterminée.
	
	Pour cette année, le plus efficace est très souvent de factoriser par la plus grande puissance de $n$ apparaissant dans l'expression du terme général de la suite.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $u_n=n^3-n$ alors \emph{a priori} c'est une forme indéterminée. Factorisons par $n^3$: $u_n=n^3\left( 1-\frac{1}{n^2} \right)$. Avec cette expression il n'y a plus de forme indéterminée: $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
		
		\item $u_n=\frac{2n+1}{3n+7}$ correspond à une forme indéterminée, mais, en factorisant par  $n$ au numérateur et au dénominateur: $u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{7}{n}}$.
		
		Or $\lim_{n\to +\infty} 2 + \frac{1}{n}=2$ et $\lim_{n \to +\infty} 3+\frac{7}{n}=3$ donc $(u_n)$ converge et $\lim_{n\to + \infty} u_n=\frac{2}{3}$.
		
		\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ est une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination dans cette expression radicale on utilise les expressions conjuguées. $u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{B}
	
	Déterminez les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^2+n+\frac{1}{n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} \left( n^2-\frac{1}{n^2} \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4}{\sqrt{n}+n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^3+n+\frac{1}{\sqrt{n}}$.		
		\task $\displaystyle u_n=5n^2+3n\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} (2-n-2n^2)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^2+n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n^2 \left( \frac{2}{n+1} -1 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{3}{n} \left( \frac{3}{n^3}-5 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n = \frac{3}{1-2n}-\frac{2}{1-3n}$.		
		\task $\displaystyle u_n= 2-\frac{3}{6+\sqrt{n}}$.	
		\task $\displaystyle u_n= 2-n\sqrt{5n} + \frac{1}{n^2+1}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
		\task $\displaystyle u_n= n(n-4)(1-\sqrt{n})$.		
		\task $\displaystyle u_n= -\mathrm{e}^{1/n^2}n^4$.
		\task $\displaystyle u_n= -\mathrm{e}^{1/n^2}n^{-4}$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $2$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier les formes indéterminées sans aucun calcul.
		
	\end{notabene}
	
	Identifier parmi les suites dont le terme général est donné ci-après, les situations conduisant à une forme indéterminée lors de l'étude de la convergence, sinon donnez la limite.
	
	{\color{orange}\emph{On peut schématiquement résumer les formes indéterminées par:} \[ (+\infty)-(+\infty),\quad (-\infty)-(-\infty),\quad 0 \times \infty,\quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \frac{}{0^?}. \]}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{2^n}$.
		\task $n^2 - 6^n$.
		\task $\sqrt{n^{-1}}+n!$.
		\task $2^{-n}+\sqrt{n}$.
		\task $n^{12}+\dfrac{1}{n^{100}}$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{n}}+n!+1$.
		\task $n^23^n$.
		\task $\dfrac{n^2}{n^{12}}$.
		\task $\dfrac{n!}{2^n}$.
		\task $n^{-2}\left( \dfrac{5}{4} \right)^n$.
		\task $\dfrac{n^{-3}}{\sqrt{n}}$.
		\task $n^5 2^{-n}$.
		\task $n^{-3}+ 0,5^n\sqrt{n}$.
		\task $\dfrac{1}{n^4} \times \mathrm{e}^n+4$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{\mathrm{e}^n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $0$.
		\task Indéterminée.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task $0$.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver la limite avec opérations sur les suites de référence.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez, si possible la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $n^7+12$.
		\task $4^n-7$.
		\task $n^3+\dfrac{0,1^n}{\sqrt{n}}$.
		\task $\dfrac{1}{n}+4$.
		\task $n^{-4}+\sqrt{n}$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2} \right)^n+2+ \dfrac{1}{n^2}$.
		\task $n!n^2+2-\dfrac{1}{n^2}$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{2+\mathrm{e}^{-n}}$.
		\task $\dfrac{n^4+1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^n-4}$.
		\task $\dfrac{n\times 2^n}{3+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2}}$.
		\task $n!-\left( 2-n^2 \right)$.
		\task $n^2 \left( n^3+\dfrac{3}{\sqrt{n}} +1 \right)$.
		\task $2n^3+5n^2+n-12$.
		\task $-5n^3-2n^2-12n-3$.
		\task $4n^2-n+1$.
		\task $\dfrac{n^3}{n^2}$.
		\task $n^2+3^n+4-\dfrac{1}{n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $4$.
		\task $+\infty$.
		\task $2$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task Indéterminée. $4n^2-n+1=n^2(4-\frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2}$. $+\infty$.
		\task Indéterminée. $\frac{n^3}{n^2}=n$. $+\infty$.
		\task $+\infty$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	Déterminez les limites en levant l'indétermination.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^3-n+5$.		
		\task $\displaystyle u_n=n^4-n^2+1$.		
		\task $\displaystyle u_n= 3n\sqrt{n} -2n^3$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-\sqrt{n}}{n+3}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^2-n+4}{3n^2-2n+5}$.
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n^3}- \sqrt{n^3+8}$.		
		\task $\displaystyle u_n=n\sqrt{n^2+3}-n^2$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^2-3n$.		
		\task $\displaystyle u_n=4n^3-3n^2+2$.		
		\task $\displaystyle u_n=3n^4-3n^3-2n+1$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4n-1}{3n+1}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{2n^2-n+1}{3n^2+n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n+4}-\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{5n+4}-\sqrt{5n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{4n^2+n+3}-2n$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n-\frac{n^2}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{2n+1} - \frac{n+3}{3n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2}{n+1}-\frac{n^2}{n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n+1}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sqrt{n^2+1}-n}{n}$.
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}$.	
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{1}{3}$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{4}{3}$.
		\task $1$.
		\task $\frac{2}{3}$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $\frac{1}{4}$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $\frac{1}{6}$.
		\task $1$.
		\task $1$. Problème limite sous racine carré.
		\task $0$.
		\task $-\frac{1}{2}$
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{BAC}
	
	\begin{itemize}
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Etranger_EuropeJ1_21_mars_2023_DV.pdf}{Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023}. Arbre probabiliste, suites, limites.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C ~ épisode 1.}
	
	\begin{notabene}
		Amérique du nord 2022/05/19 exercice 1
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distincts, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ épisode 2.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	\begin{enumerate}
		\item  Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}