%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{09 Raisonnement par récurrence.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}%\exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{09 Raisonnement par récurrence.}

\subsection{Logique: propositions, assertions.}

\begin{lecon}
	
	Dans l'axiomatique classique, le raisonnement par récurrence est un théorème de logique. Cependant nous l'accepterons comme un axiome, un principe.
	
	\medskip
	Une \emph{\color{purple}proposition}, en mathématique, peut désigner un résultat toujours vrai (comme un théorème) ou une phrase (assertion) qui peut être soit vraie soit fausse. Dans la suite de ce chapitre nous l'utiliserons pour désigner une assertion.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		La proposition \og le carré de $-3$ est négatif\fg{} est fausse.
		
		\item La proposition $\mathscr{P}$: \og $\sqrt{2}$ est irrationnel \fg{} est vraie.
		
		\item La négation de la proposition $\mathscr{P}$: \og $x\geqslant 5$\fg{} est $\overline{\mathscr{P}}$: \og $x< 5$ \fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Certaines propositions sont des propriétés universelles, c'est-à-dire des propositions qui dépendent d'un élément $x$ appartenant à un ensemble. Ce sont des phrases qui contiennent le plus souvent les expressions \og quel que soit \fg{} ou \og pour tout \fg{} ou le quantificateur universel $\forall$.
	
	Pour démonter qu'une proposition universelle est fausse il suffit de trouver un contre-exemple.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La proposition $\mathscr{P}(x)$: \og $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est vraie quel que soit $x \in ]0;1[$.
		
		\item \og Pour tout $x \in ]0;2[$, on a $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est fausse puisque, par exemple, pour $x=1$, on a $\frac{1}{1}= \frac{1}{1^2}$.	
		
		\item L'assertion $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est un multiple de $3$.\fg{} est vraie pour tout nombre entier naturel $n$. Cependant la démonstration n'est pour l'instant pas aisée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Certaines proposition contiennent des implications (appelées aussi conditions nécessaires) le plus souvent sous la forme \og si ..., alors ... \fg{}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \og {\color{Green}Pour tout $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $n$ est impair} {\color{red}alors $n^2$ est impair}. \fg{} est une assertion qui est vraie.
		
		Démontrons-le.
		
		{\color{Green}Soit $n \in \mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $n$ est impair} et démontrons qu'alors forcément $n^2$ est aussi impair.
		
		Puisque $n$ est impair il peut s'écrire $n=2k+1$ où $k$ est un certain entier.
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			n^2 &= (2k+1)^2\\
			&= 4k^2+4k+1\\
			&= 2 \times 2k^2 + 2 \times 2k+1\\
			&= 2 \times (2k^2+2k)+1
		\end{align*}
		
		Ainsi $n^2$ est de la forme $2p+1$ où $p$ est un nombre entier. Autrement dit {\color{red}$n^2$ est impair}.
		
		Concluons: nous avons démontré que, quel que soit l'entier $n$, si $n$ est impair, alors, nécessairement, $n^2$ est aussi impair.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Le théorème du raisonnement par récurrence.}

\begin{lecon}
	
	Le raisonnement par récurrence est un procédé qui permet de démontrer des propriétés universelles, $\mathscr{P}(n)$, qui dépendent d'entiers naturels $n$.
	
	La montée de l'échelle. Si j'affirme: \og si on met un pied sur un barreau de l'échelle, alors on met, obligatoirement, l'autre pied sur le barreau supérieur \fg{} alors, pour peu que l'on mette un pied sur le barreau d'en bas il faudra grimper toute l'échelle.
	
\end{lecon}

\begin{theoreme}{}
	
	Soit $\mathscr{P}(n)$ une proposition dépendant d'un entier naturel $n$.
	
	\medskip
	Si les deux assertions suivantes sont vraies
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item {\color{magenta}$\mathscr{P}(0)$ est vraie},
		
		\item {\color{Green}quel que soit $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $\mathscr{P}(n)$ est vraie} {\color{red}alors, forcément, $\mathscr{P}(n+1)$ est aussi vraie},
		
	\end{enumerate}
	
	alors les assertions $\mathscr{P}(n)$ sont vraies pour tous les entiers naturels $n$.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'assertion (i) est appelée \emph{\color{purple}l'initialisation}.
		
		\item L'assertion (ii) est appelée \emph{\color{purple}l'hérédité}.
		
		\item L'initialisation commence avec $n=0$ mais, comme pour les suites, il possible de commencer avec un autre rang.
		
		\item Ce théorème, comme le théorème de Pythagore, est une implication. Pour le théorème de Pythagore il faut d'abord vérifier que $ABC$ est rectangle en $A$ pour pouvoir affirmer que l'égalité $BA^2+AC^2=BC^2$. De même pour utiliser le raisonnement par récurrence il faut vérifier que l'initialisation et l'hérédité sont vraies avant de pouvoir affirmer que toutes les assertions sont vraies.
		
		\item L'assertion de l'hérédité contient à la fois une propriété universelle et une implication nous adopterons systématiquement la rédaction:
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		...
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
		
		\item Lorsqu'on écrit \og {\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} \fg{} on signifie que l'on admet que $\mathscr{P}(n)$ est vraie. Le fait que \og $\mathscr{P}(n)$ est vraie\fg{} est appelée \emph{\color{purple}l'hypothèse de récurrence.}
		
		\item Le raisonnement par récurrence ne permet pas de trouver un nouveau résultat mais il permet de démontrer qu'une conjecture est vraie.		
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Démontrer une propriété.}
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est divisible par trois \fg{}.
		
		\begin{correction}
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit que $4^0-1$ est divisible par $3$.}
			
			$4^0-1=0$ et $3 \times 0=0$. Donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
			
			\item {\color{orange}Hérédité.}
			
			{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			{\color{orange}Nous devons donc démontrer que $4^{n+1}-1$ est un multiple de $3$.}
			
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n-1)+3
			\end{align*}
			
			D'après l'hypothèse de récurrence: $3 | 4^n-1$. 
			
			Autrement dit il est possible d'écrire: $4^n-1=3 \times k$ où $k$ est un nombre entier.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times 3k+3\\
				&= 3(4k+1)
			\end{align*}
			
			Autrement dit $4^{n+1}-1$ est divisible par $3$.
			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par $3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item {\color{orange}Démontrer une formule. Ici la somme des entiers naturels jusqu'à $n$.}
		
		\begin{correction}
			
		Soit $\mathscr{P}(n)$: \og $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $0=\frac{0 \times 1}{2}$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			\begin{align*}
				\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \sum_{k=0}^n k\\
				\intertext{D'après l'hupothèse de récurrence:}
				\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \frac{n(n+1)}{2}\\
				&= \frac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\
				&= \frac{(2+n)(n+1)}{2}
			\end{align*}
			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. \]
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item {\color{orange}Démontrer la formule explicite du terme terme général d'une suite.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=8$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{2}{5}u_n+3$.
		
		Nous souhaitons démontrer que $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right)^n+5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{correction}
		
		\medskip
		Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right) ^n+5$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
		\end{enumerate}
		
		\end{correction}
		
		\item {\color{orange}Démontrer qu'une suite définie par récurrence est croissante.}
		
		Étudions la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer un encadrement.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}= 2+ \frac{1}{u_n}$.
		
		Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$: $2 \leqslant u_n \leqslant 3$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer une inégalité.}
		
		\begin{notabene} 
			
			Comparaison de suites.
			
		\end{notabene}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $2n+1 \leqslant 2^n$ \fg{} est vraie.}
		
		\item {\color{orange}De la nécessité de l'initialisation.}
		
		\begin{notabene}
			
			Exemple de la nécessité de l'initialisation.
			
		\end{notabene}
		
		$\mathscr{P}(n)$: \og $4^n+1$ est divisible par $3$\fg{}.
		
		\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Par hypothèse de récurrence, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $4^n+1=3k$ donc:
			
			
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n+1)-4+1\\
				&= 4 \times 3k-3\\
				&= 3(4k-1)
			\end{align*}
			
			Autrement dit $4^{n+1}+1$ est divisible par $3$.
			
			\item $4^0+1=1$ et $3 \not| 1$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est fausse.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous remarquons que l'hérédité ne suffit pas à démontrer que toutes les propositions sont vraies.
		
		Nous pourrions même démontrer par l'absurde que $4^n+1$ n'est jamais divisible par $3$.
		
		\end{correction}
	
		\item {\color{purple} Inégalité de Bernoulli}.
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{B}(n)$: \og $\color{red}\varheartsuit$ {\color{purple}pour tout nombre $x\geqslant 0$, $(1+x)^n \geqslant 1+nx$}.\fg{}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'une part: $(1+x)^0=1$
			
			d'autre part: $1+0 \times x=1$,
			
			donc: $(1+x)^0 \geqslant 1+ 0 \times x$.
			
			$\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in\mathbb{N}$.
			
			Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'après l'hypothèse de récurrence:
			
			\begin{align*}
				(1+x)^n &\geqslant 1+nx\\
				\intertext{Puisque $(1+x)\geqslant 0$:}
				(1+x)^{n+1} &\geqslant   (1+x)(1+nx)\\
				\intertext{En développant le membre de droite:}
				(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x+nx^2 \quad {\color{blue}(1)}\\
				\intertext{Or, puisque $nx^2\geqslant 0$,}
				1+(n+1)x+nx^2 &\geqslant 1+(n+1)x \quad {\color{blue}(2)}\\
				\intertext{donc, par transitivité entre ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$:} 
				(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x
			\end{align*}
			
			Autrement dit $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			\item Nous avons démontré par récurrence que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}_+,\ (1=x)^n \geqslant 1+nx$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 25 et 26
		
		Arithmétique divisibilité.
		
	\end{notabene}
	
	Montrer que les propositions suivantes sont vraies pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $2^{n+4}+3^{3n+2}$ est divisible par $5$.
		
		\item $3^{6n+2}-2$ est divisible par $7$.
		
		\item $n^3-n$ est divisible par $3$.
		
		\item $4^n-1-3n$ est divisible par $9$.
		
		\item $7 \times 3^{5n}+4$ est divisible par $11$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2^{n+5}+3^{3n+5}\\
			&= 2 \times 2^{n+4}+3^{3n+5}\\
			\intertext{Astuce:}
			2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2 \times2^{n+4} {\color{orange}+2 \times 3^{3n+2}} {\color{blue}-2 \times 3^{3n+2}} + 3^{3n+5}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) -2 \times 3^{3n+2} + 3^3 \times 3^{3n+2}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +\left( -2 + 3^3 \right) \times 3^{3n+2}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +25\times 3^{3n+2}
		\end{align*}
		
		$25$ est divisible par $5$ et, d'après l'hypothèse de récurrence $2^{n+4} 3^{3n+2}$ est divisible par $5$ donc $2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2}$ est divisible par $5$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			3^{6(n+1)+2} -2 &= 3^6 \times 3^{6n+2} -2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+7 \times 208
		\end{align*}
		
		\item Version brève: $(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs et l'un de ces facteurs est forcément multiple de $3$.
		
		\begin{align*}
			(n+1)^3-(n+1) &= n^3+3n^2+3n+1-n-1\\
			&= n^3-n +3(n^2-n)
		\end{align*}
		
		Or $3(n^2-n)$ est divisible par $3$ et, d'après l'hypothèse de récurrence, $n^3-n$ est divisible par $3$ donc $(n+1)^3-(n+1)$ est divisible par $3$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			4^{n+1}-1-3(n+1) &= 4 \times 4^n -1 -3(n+1)\\
			&= 4 \times (4^n-1-3n)+4+12n-1-3(n+1)\\
			&= 4 \times (4^n-1-3n) + 9n
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			7 \times 3^{5(n+1)}+4 &= 7 \times 3^5 \times 3^{5n}+4\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -3^5 \times 4+4\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -968\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -88 \times 11
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 30
		
		Formule explicite suite arithmético-géométrique..
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=\frac{2}{5} u_n +3$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: \[u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right).\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$: \[ u_{n+1}=\frac{2}{5} {\color{WildStrawberry}u_n} +3 \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= \frac{2}{5} \left[  {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)} \right] +3
		\intertext{\color{orange}À ce stade nous avons obtenu une formule explicite de $u_{n+1}$. Mais la présentation n'est pas tout à fait celle désirée. Modifions-la.}
		u_{n+1} &= 2 -5 \times \frac{2}{5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^n +3\\
		&= 5-5 \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \times 1-{\color{green}5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \left( 1- \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 31
		
		Formule explicite.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_1=5$ et, pour $n \geqslant 2$: $u_n=2u_{n-1}-n$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel non nul $n$, que: \[u_n =2(2^{n-1}+1 ) +n.\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n} -(n+1) \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	{\color{orange}Cette formule de récurrence a été obtenue en remplaçant $n$ pa $n+1$ dans la formule de l'énoncé: pas de difficulté puisque cette formule est vraie pour tout $n\geqslant 1$.}
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}2 \left( 2^{n-1}+1 \right) +n}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 2 \left[ {\color{WildStrawberry}\left( 2^{n-1}+1 \right) +n} \right] -(n+1)\\
		&= 2 \times 2 \times 2^{n-1} +4+2n-n-1\\
		&= {\color{green}2} \times 2^n+{\color{green}2}+n\\
		&= {\color{green}2}(2^n+1)+n
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 32
		
		Formule explicite.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=3u_{n}+n+1$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: \[u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}.\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n}+n+1 \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 3\left[ {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}} \right] +n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}{\color{green}-\frac{9}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1} {\color{green}-\frac{3}{4}-\frac{6}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4} -\frac{3}{2} -\frac{3n}{2}+\frac{2n}{2}+\frac{2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-3-3n+2n+2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-n-1}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}-\frac{n+1}{2}
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 41
		
		Formule explicite vrai ou fusse.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=\frac{1}{4} \ \text{et} \ u_{n+1}=5u_n-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les trois premiers termes de la suite $(u_n)$.
		
		\item Conjecturez son expression explicite.
		
		\item Démontrez la.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_0=u_1= u_2= \frac{1}{4}$.
		
		\item $(u_n)$ semble être constante égale à $\frac{1}{4}$.
		
		\item Démonstration par récurrence.
		
		Pour l'hérédité:
		
		\begin{align*}
			u_{n+1} &= 5u_n-1\\
			\intertext{D'arès l'hypothèse de récurrence:}
			u_{n+1} &=5 \times \frac{1}{4}-1\\
			&= \frac{1}{4}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 38
		
		définition factorielle
		
	\end{notabene}
	
	On définit par récurrence la \emph{\color{purple}factorielle} d'un entier naturel $n$ et que l'on note $n!$ de la façon suivante: \[ 0!=1 \ \text{et} \ (n+1)!=(n+1) \times n!. \]
	
	Démontrez que pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $1$, $n!=1 \times \dots \times n$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.
	\end{notabene}
	
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=-2$ est croissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.
	\end{notabene}
	
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=2020$ est décroissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.
	\end{notabene}
	
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\dfrac{2}{3-u_n}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=1,8$ est bornée par $1$ et $2$ et décroissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 28
		
		Divisibilité. Nécessité initialisation. Raisonnement par l'absurde.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la proposition suivante: \[ \mathscr{P}(n):\ \text{\og $9$ divise $10^n+1$ \fg{}.} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez, pour tout $n \in \mathbb{N}$, que: si $\mathscr{P}(n)$ est vraie, alors $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		\item Qu'en est-il de $\mathscr{P}(0)$, $\mathscr{P}(1)$, $\mathscr{P}(2)$ et $\mathscr{P}(3)$? Que semble-t-il légitime de conjecturer?
		
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $9$ divise $10^n-1$.
		
		\item Déduisez-en à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la proposition $\mathscr{P}(n)$ est fausse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			10^{n+1}+1 &= 10 \times (10^n+1)-10+1\\
			&= 10 \times (10^n+1)-9
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			10^0+1 &= 2\\
			10^1+1 &= 11\\
			10^2+1 &= 101\\
			10^3+1 &= 1001
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			10^{n+1}-1 &= 10 (10^n-1)+10-1\\
			&= 10(10^n-1)+9
		\end{align*}
		
		\item Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\mathscr{P}(n)$ est fausse.}
		
		Supposons que $10^n+1$ est divisible par $9$. Donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n+1=9k$.
		
		D'autre part, d'après les questions précédentes $10^n-1$ es divisible par $9$ donc il existe $p\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n-1=9p$.
		
		On en déduit successivement:
		
		\begin{align*}
			10^n+1-(10^n-1) &= 9k-9p\\
			2 &= 9(k-p)
		\end{align*}
		
		Donc $2$ est divisible par $9$ ce qui est absurde car: $0<2<9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $10^+1$ n'est pas divisible par $9$, et ce, quel que soit $n \in \mathbb{N}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 34 ex 43, 44, 45, 46
		
		Calculer des sommes.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez en fonction de $n$ les sommes données.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^n (4p-1)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n-1} (3p+5)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^n \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1} 3 \times 5^{-n}$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n-1} p(p+1)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1} (p-2)^2$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n} 3^{2p+1}$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n-1} 3 \times 2^p-1$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 34 ex 47 et 48
		
		Conjecturer la somme puis calculer des sommes.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez les sommes suivantes à l'aide du symbole $\Sigma$, puis calculez-les.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $S=5+8+11+14+\dots +\np{2012}$.
		
		\task $T=2^2+2^5+2^8+\dots +2^{20}$.
		
		\task $R=1+10^{-2}+ 10^{-4}+ \dots +10^{10}$.
		
		\task $U=x+x^2+x^3+ \dots +x^n$, pour $x\in\mathbb{R}$.
		
		\task $V=1+x^2+x^4+x^6+\dots +x^{2n}$, pour $x \in\mathbb{R}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 24
		
		Formule sommatoires.
		
	\end{notabene}
	
	Montrez, pour tout entier naturel $n$, que:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;
		
		\task $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Quelques éléments pour l'hérédité.
		
		{\color{orange}$\mathscr{P}(n+1)$ est une égalité, donc de la forme $A=B$. Pour la démontrer nous transformer l'écriture de $A$ et de $B$ en montrant $A=C$ et $B=C$ pour conclure $A=B$.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			\sum_{i=0}^{n+1} i^2 &=(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2\\
			&= (n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
			&= \frac{6(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1)}{6}\\
			&= \frac{6 ( n^2+2n+1) +(n^2+n)(2n+1)}{6}\\
			&= \frac{6n^2+12n+6+2n^3+n^2+2n^2+n}{6}\\
			&= \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}
		\end{align*}
		
		d'autre part:
		
		\begin{align*}
			\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\
			&= \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6}\\
			&= \frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6}\\
			&= \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}
		\end{align*}
		
		donc, par transitivité, \[ 
		(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}. \]
		
		Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		\task {\color{orange}Pour démontrer l'hérédité il faut établir une égalité $A=B$. Nous allons partir de $B$ et en développant astucieusement faire apparaître $A$.}
		
		\begin{align*}
			\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= \left[ \frac{(n+1)({\color{blue}n}+{\color{Green}2})}{2} \right]^2 \\
			&= \left[ \frac{(n+1){\color{blue}n}+ (n+1){\color{Green}2}}{2} \right]^2\\
			&= \left[ \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1) \right]^2\\
			\intertext{En dévellopant avec une identité remarquable:}
			\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= {\color{orange}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2} + n(n+1)(n+1)+ (n+1)^2\\
			\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
			\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= n{\color{blue}(n+1)^2} + 1 \times {\color{blue}(n+1)^2}+{\color{orange}\sum_{i=0}^n i^3}\\
			\intertext{En factorisant:}
			\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= (n+1){\color{blue}(n+1)^2}+\sum_{i=0}^n i^3\\
			&= (n+1)^3+\sum_{i=0}^n i^3\\
			&= \sum_{i=0}^{n+1}i^3
		\end{align*}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 40
		
		Formule identité remarquable.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrer, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, que: \[ a^n-b^n=(a-b) \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i.\]
	
	\medskip
	\emph{Aide.} Pour l'hérédité on utilisera le fait que: $a^{n+1}-b^{n+1}= a \times a^n - b \times b^n$ et $a=(a-b)+b$.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 33
		
		Conjecturer et démontrer formule sommatoires.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 35
		
		Récurrence d'ordre deux.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par: \[ u_1=u_2=1 \ \text{et} \ u_{n+2}= -3u_{n+1}-2u_n. \]
	
	Démontrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: \[ u_n=(-2)^n-3 \times (-1)^n. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 42
		
		Démontrer que  si $f$ est est stable alors la suite induite par récurrence l'est aussi.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $I$ un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $I$.
	
	Montrez que, si la fonction $f$ vérifie la propriété: \[ \mathscr{P}:\ \text{\og pour tout } x \in I,\ f(x) \in I \text{\fg{}}, \] alors on peut définir sur $\mathbb{N}$ la suite numérique $(u_n)$ de la façon suivante: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 \in I \\ u_{n+1}=f(u_n)\text{, pour tout } n \in \mathbb{N}. \end{array} \right. \]
	
	De plus, la suite numérique $(u_n)$ vérifie la propriété: \[ \text{Pour tout } n\in \mathbb{N}, u_n \in I. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer un résultat général: si $f$ croissante et $u_0<u_1$ alors croissante.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $f:I \rightarrow I$ une fonction une fonction croissante, $u_0 \in I$ et $(u_n)$ la suite définie par \[ \text{pour tout } n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f(u_n).\]
	
	Démontrez que, si $u_0>u_1$, alors $(u_n)$ est décroissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{itemize}
		\item Baccalauréat S Métropole 12 septembre 2013 Exercice 4
		
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}