%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{07 Succession d'épreuves indépendantes.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Succession d'épreuves indépendantes.}

\subsection{Épreuves indépendantes.}

\begin{lecon}
	
	On appelle épreuve une expérience aléatoire qui participe d'une expérience aléatoire plus complexe. Par exemple si une expérience consiste à lancer une pièce jusqu'à obtenir un pile, chaque lancé de pièce constitue une épreuve.
	
	\medskip
	On dit que des épreuves sont \emph{\color{purple}indépendantes} si les résultats (issues et probabilités) de l'une ne dépendent pas des résultats (issues et probabilités) de l'autre.
	
	Considérons un exemple: on lance une pièce puis on lance un dé à $6$ faces. Une issue est donc un élément de $\Omega= \{ P,F \} \times \llbracket 1,6 \rrbracket$.
	
	\medskip
	Si une expérience est une succession de $n$ épreuves indépendantes d'univers $\Omega_1,\dots,\Omega_n$ alors son univers est le produit cartésien $\Omega_1 \times \dots \times \Omega_n$.
	
	Autrement dit les issues de l'expérience sont des $n$-listes $(i_1,\dots,i_n)$ où $i_1,\dots,i_n$ sont des issues des $n$ épreuves.
	
\end{lecon}

\subsection{"Principe multiplicatif" sur les épreuves indépendantes.}

\begin{lecon}
	
	Si $(i_1,\dots,i_n)$ est une issue d'une succession de $n$ épreuves indépendantes, alors la probabilité de $(i_1,\dots,i_n)$ est le produit des probabilités de chacune des issues $i_1$,...,$i_n$.
	
	En reprenant l'exemple de la pièce puis du dé: $\mathbb{P}\left( (P,3) \right)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$.
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 21 page 233 du manuel Déclic 2015.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, $65\ \%$ des Français âgés de $15$ à $25$ ans ont réalisé au moins un achat par Internet en 2011. Nous supposerons que cette proportion se maintient encore quelques années après.
	
	Nous interrogeons au hasard deux jeunes dans la tranche d'âge $15-25$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Modélisez cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{enumerate}
			\item $A$: \og les deux jeunes interrogés ont effectué au moins un achat sur Internet cette année. \fg{}
			
			\item $B$: \og Un seul des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
			\item $C$: \og Au plus un des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 47 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire et calcul de probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Amy a acheté un sac de berlingots. D'après l'étiquette du sac, celui-ci contient $40\ \%$ de bonbons à la fraise, $30\ \%$ au citron et $30\ \%$ à la pomme.
	
	Amy prend au hasard deux berlingots. On considère que le nombre de bonbons est suffisamment grand pour assimiler son choix à des tirages successifs avec remise.
	
	 Calculez les probabilités des événements suivants:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $E_1$: \og Amy a choisi deux berlingots au citron. \fg{}
			
			\item $E_2$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise puis un au citron. \fg{}
			
			\item $E_3$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise et un au citron.\fg{}
			
			\item $E_4$: \og Amy n'a pas choisi de berlingot à la pomme.\fg{}
			
			\item $E_5$: \og Amy a choisi des berlingots de parfums différents.\fg{}
		\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 48 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	D'après un sondage BVA effectué en octobre 2013 sur un échantillon représentatif de la population, $73\ \%$ des Français âgés de $15$ à $34$ ans préfèrent se coucher tard plutôt que de se lever tôt.
	
	Trois personnes choisies au hasard dans la tranche d'âge $15-34$ ans.
	
	Calculez la probabilité des événements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $A$: \og Les trois personnes interrogées préfèrent se coucher tard. \fg{}
		
		\item $B$: Exactement deux personnes interrogées sur les trois préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
		\item $C$: \og Au moins une des personnes interrogées préfère se coucher tard.\fg{}
		
		\item $D$: \og Au plus une des personnes interrogées préfère se coucher tard. \fg{}
		
		\item $E$: \og Moins de deux personnes interrogées préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Construisons l'arbre pondéré correspondant à l'expérience.}
	
	Notons $T$ le fait qu'une personne préfère se coucher tard et donc $\overline{T}$ sinon.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (6,7);
			\coordinate (A2) at (6,5);
			\coordinate (A3) at (6,3);
			\coordinate (A4) at (6,1);
			\coordinate (A5) at (6,-1);
			\coordinate (A6) at (6,-3);
			\coordinate (A7) at (6,-5);
			\coordinate (A8) at (6,-7);
			\coordinate (B1) at (2,6);
			\coordinate (B2) at (2,2);
			\coordinate (B3) at (2,-2);
			\coordinate (B4) at (2,-6);
			\coordinate (C1) at (-2,4);
			\coordinate (C2) at (-2,-4);
			\coordinate (D1) at (-6,0);
			\coordinate (E1) at (10,7);
			\coordinate (E2) at (10,5);
			\coordinate (E3) at (10,3);
			\coordinate (E4) at (10,1);
			\coordinate (E5) at (10,-1);
			\coordinate (E6) at (10,-3);
			\coordinate (E7) at (10,-5);
			\coordinate (E8) at (10,-7);
			\draw node (A1) at (A1) {$T$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{T}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$T$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{T}$};
			\draw node (A5) at (A5) {$T$};
			\draw node (A6) at (A6) {$\overline{T}$};
			\draw node (A7) at (A7) {$T$};
			\draw node (A8) at (A8) {$\overline{T}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$T$};
			\draw node (B2) at (B2) {$\overline{T}$};
			\draw node (B3) at (B3) {$T$};
			\draw node (B4) at (B4) {$\overline{T}$};
			\draw node (C1) at (C1) {$T$};
			\draw node (C2) at (C2) {$\overline{T}$};
			\draw (B1)--(A1)node[midway,sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B1)--(A2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B3)--(A5)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B3)--(A6)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B4)--(A7)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B4)--(A8)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (C1)--(B1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (C2)--(B3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (C2)--(B4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (D1)--(C1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (D1)--(C2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw node (E1) at (E1) {$TTT$};
			\draw node (E2) at (E2) {$TT\overline{T}$};
			\draw node (E3) at (E3) {$T\overline{T}T$};
			\draw node (E4) at (E4) {$T\overline{T}\overline{T}$};
			\draw node (E5) at (E5) {$\overline{T}TT$};
			\draw node (E6) at (E6) {$\overline{T}T\overline{T}$};
			\draw node (E7) at (E7) {$\overline{T}\overline{T}T$};
			\draw node (E8) at (E8) {$\overline{T}\overline{T}\overline{T}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A=\left\{ TTT\right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(LLL)\\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(A)\approx 0,389$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		$B=\left\{ TT\overline{T} ; T\overline{T}T ; \overline{T}TT \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(TT\overline{T}) + \mathbb{P}(T\overline{T}T) + \mathbb{P}\mathbb{P}(\overline{T}TT) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,27+ 0,73 \times  0,27 \times 0,73 +0,27 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(B)\approx 0,1439$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
		
		{\color{orange}Le nombre de chemins correspondant à l'événement $B$ étant très important il est ici intéressant, mais pas indispensable, de considérer l'événement contraire.}
		
		\medskip
		$\overline{C}$: \og Aucune des trois personnes interrogées n'aime se coucher tard.\fg{}
		
		$\overline{C}=\left\{ \overline{T}\overline{T}\overline{T} \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons la probabilité de $C$:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= 1 -\mathbb{P}(\overline{C})\\
			&= 1-0,27\times 0,27 -0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(C)\approx 0,9803$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
		
		{\color{orange}$D$: \og Aucune ou une seule des trois personnes aime se coucher tard \fg{}.}
		
		\medskip
		$D=\left\{ T\overline{T}\overline{T} ; \overline{T}T\overline{T} ; \overline{T}\overline{T}T ; \overline{T}\overline{T}\overline{T}  \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(T\overline{T}\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}T\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}T)+ \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(D) &= 0,73 \times 0,27 \times 0,27 + 0,27\times 0,73 \times 0,27 + 0,27 \times 0,27 \times 0,73\\
			&\quad  + 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(D)\approx 0,1793$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
		
		Nous remarquons que $E=\overline{A}$.
		
		Donc
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(\overline{A})\\
			&= 1- \mathbb{P}(A) \\
			&= 1 -0,73^3
		\end{align*}
		
		D'où
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(E) \approx 0,6110$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 17 page 258 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Sur son trajet domicile-travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores, indépendants les uns des autres. Il a remarqué que, statistiquement, chaque feu est au vert une fois sur trois.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Pour un trajet domicile-travail, calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux feux sur les trois sont au vert.
			
			\item Un seul feu sur les trois est au vert.
			
			\item Tous les feux sont au vert.
			
			\item Aucun des trois feux n'est au vert.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Création des nœuds
				\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/V, A2/5/\overline{V}, A3/3/V, A4/1/\overline{V}, A5/-1/V, A6/-3/\overline{V}, A7/-5/V, A8/-7/\overline{V}} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
				\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/V, B2/2/\overline{V}, B3/-2/V, B4/-6/\overline{V}} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
				\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/V, C2/-4/\overline{V}} \node (\C) at (0,\ord) {$\n$};
				\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/VVV, D2/5/VV\overline{V}, D3/3/V\overline{V}V, D4/1/V\overline{V}\overline{V}, D5/-1/\overline{V}VV, D6/-3/\overline{V}V\overline{V}, D7/-5/\overline{V}\overline{V}V, D8/-7/\overline{V}\overline{V}\overline{V}} \node (\D) at (12,\ord){$\n$};
				%Branches entre les nœuds
				\foreach \B/\A in {B1/A1, B2/A3, B3/A5, B4/A7} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \B/\A in {B1/A2, B2/A4, B3/A6, B4/A8} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
				\foreach \C/\B in {C1/B1, C2/B3} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \C/\B in {C1/B2,  C2/B4} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
				\foreach \C in {C1} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \C in { C2} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $E_1$ l'événement \og Deux feux sur les trois sont au vert \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			{\color{orange}En lisant les chemins sur l'arbre:}
			
			$E_1= \{ VV\overline{V};\ V\overline{V}V;\ \overline{V}VV \}$.
			
			{\color{orange}Donc du point de vue probabiliste:}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E_1) &= \mathbb{P}(VV\overline) + \mathbb{P}(V\overline{V}V) + \mathbb{P}(\overline{V}VV)\\
				\intertext{Donc, d'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(E_1) &= \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1)= \frac{4}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 18 page 259 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Un restaurateur constate qu'au déjeuner, $9$ clients sur $10$ prennent un café. Quatre clients se présentent pour déjeuner et commandent de façon indépendante. Pour chacun, nous noterons $C$ l'événement \og le client prend un café\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Un seul des quatre clients prend un café.
			
			\item Au moins deux clients prennent un café.
			
			\item Au plus deux clients prennent un café.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl nathan hyperbole 86 page 207.
		
		A vue de nez 20 minutes pour faire un travail propre.
		
	\end{notabene}	
	
	Un sac contient des boules indiscernables au toucher: 3 vertes, 4 rouges et 3 bleues. On prélève successivement et avec remise deux boules du sac en notant la couleur de chaque boule.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_1$:\og tirer deux boules bleues \fg{}.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_2$:\og tirer au moins une boule bleue \fg{}.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_3$:\og tirer des boules uniquement rouge ou verte \fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette barbazo 2015 exercice 61 page 226
		
		Faire le corriger pour vérifier qu'il n'est pas bancal et rajouter  modifier les dernière question pour permettre l'utilisation de l'union
		
	\end{notabene}
	
		Un magazine est proposé sous deux versions: papier ou numérique.
		
		L'éditeur délègue à  une plateforme d'appels de démarcher une liste de clients potentiels.
		
		Le centre d'appel contacte successivement deux personnes sur cette liste.
		
		On considère les événements suivants.
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $A$: \og la personne contactée s'abonne à la version papier \fg{},
			\item $B$:\og la personne contactée s'abonne  à la version numérique \fg{},
			\item $N$:\og la personne contacté ne s'abonne pas \fg{}
		\end{enumerate}
		
		Une étude statistique a montré que
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version papier est de $0,18$;
			\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version numérique est de $0,22$;
			\item la probabilité qu'une personne ne s'abonne à aucune des deux versions est de $0,7$.
		\end{enumerate}
		
		On étudie ce qu'il peut se passer lorsque la plateforme contact deux personnes.
		
		Calculez les probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item $E_1$:\og Les deux personnes contactées ont choisi un abonnement numérique. \fg{}
			
			\item $E_2$: \og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement numérique \fg{}
			
			\item $E_3$:\og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement papier \fg{}
			
			\item $E_4$: \og l'une des personnes contactées a choisi un abonnement papier et l'autre un abonnement numérique\fg{}
			
			\item $E_5$:\og au moins l'une des deux personnes s'est abonnée \fg{}
				
		\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	Le supermarché Rond-Point organise des ventes promotionnelles "flash". Les clients ont quelques minutes pour profiter des promotions.
	
	\medskip
	Lors d'une de ces ventes un ensemble d'ustensiles de salle de bain composé:
	\begin{itemize}
		\item d'une serviette de bain (\textbf{G}rande ou \textbf{P}etite),
		\item d'un gant de toilette (\textbf{V}ert, \textbf{R}ouge ou \textbf{J}aune) et
		\item d'un rideau de douche (\textbf{B}lanc ou \textbf{T}ransparent)
	\end{itemize}
	est proposé.
	
	\medskip
	Chaque client prend exactement un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche.
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez un arbre rendant compte de cette situation.
		\item Inquiet de manquer l'offre promotionnelle, un client prend au hasard un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche. Quelle est la probabilité que ce client prenne une grande serviette (\textbf{G}), un gant rouge (\textbf{R}) et un rideau blanc (\textbf{B})?
		\item On note $A$ l'événement: \og le client prend un gant de toilette jaune \fg . Énumérer les issues qui réalisent $A$. En déduire la probabilité de $A$.
		\item Calculer la probabilité qu'un client prenne un gant de toilette \textbf{V}ert ou \textbf{R}ouge.
		\item On note $B$ l'événement \og le client prend un rideau de douche blanc \fg . Énumérer les issues qui réalisent $B$. En déduire la probabilité de $B$.
		\item Déterminer la probabilité que le client prenne une petite serviette et un rideau de douche blanc.
		\item Décrire l'événement $A\cup B $ par une phrase puis calculer la probabilité de $A\cup B$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0cm]
			\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.4cm]
			\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt, text centered,text width=0.4cm]
			\begin{tikzpicture}
				\node[racine] (A)at(0,5){};
				%Premier niveau nœuds
				\node[noeud](B)at(-2.4,4){$G$};
				\node[noeud](C)at(2.4,4){$P$};
				%Premier niveau branches
				\draw (A)--(B)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};
				\draw (A)--(C)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				%deuxième niveau nœuds
				\node[noeud](D)at(-4,2){$V$};
				\node[noeud](E)at(-2.4,2){$R$};
				\node[noeud](F)at(-0.8,2){$J$};
				\node[noeud](G)at(0.8,2){$V$};
				\node[noeud](H)at(2.4,2){$R$};
				\node[noeud](I)at(4,2){$J$};
				%Deuxième niveau branches
				\draw (B)--(D)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (B)--(E)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (B)--(F)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(G)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(H)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(I)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				%Troisième niveau nœud
				\node[noeud](J)at(-4.4,0){$B$};
				\node[noeud](K)at(-3.6,0){$T$};
				\node[noeud](L)at(-2.8,0){$B$};
				\node[noeud](M)at(-2,0){$T$};
				\node[noeud](N)at(-1.2,0){$B$};
				\node[noeud](O)at(-0.4,0){$T$};
				\node[noeud](P)at(0.4,0){$B$};
				\node[noeud](Q)at(1.2,0){$T$};
				\node[noeud](R)at(2,0){$B$};
				\node[noeud](S)at(2.8,0){$T$};
				\node[noeud](T)at(3.6,0){$B$};
				\node[noeud](U)at(4.4,0){$T$};
				%Troisième niveau branches
				\draw (D)--(J)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (D)--(K)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (E)--(L)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (E)--(M)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (F)--(N)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (F)--(O)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (G)--(P)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (G)--(Q)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (H)--(R)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (H)--(S)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (I)--(T)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (I)--(U)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				%Issues
				\node[noeud](J)at(-4.4,-0.75){\tiny $GVB$};
				\node[noeud](K)at(-3.6,-1.25){\tiny $GVT$};
				\node[noeud](L)at(-2.8,-0.75){\tiny $GRB$};
				\node[noeud](M)at(-2,-1.25){\tiny $GRT$};
				\node[noeud](N)at(-1.2,-0.75){\tiny $GJB$};
				\node[noeud](O)at(-0.4,-1.25){\tiny $GJT$};
				\node[noeud](P)at(0.4,-0.75){\tiny $PVB$};
				\node[noeud](Q)at(1.2,-1.25){\tiny $PVT$};
				\node[noeud](R)at(2,-0.75){\tiny $PRB$};
				\node[noeud](S)at(2.8,-1.25){\tiny $PRT$};
				\node[noeud](T)at(3.6,-0.75){\tiny $PJB$};
				\node[noeud](U)at(4.4,-1.25){\tiny $PJT$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le choix du client correspond au chemin $(G,R,B)$. D'après le principe multiplicatif la probabilité de ce chemin est:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(G,R,B) &= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{12}
		\end{align*}
		
		\item $A=\{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,J,T) \}$.
		
		Donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(G,J,B)+ \mathbb{P}(G,J,T),+ \mathbb{P}(P,J,B)+ \mathbb{P}(P,J,T)\\
			&= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\item Notons $C$ l'événement le client prend un gant de toilette vert ou rouge. $\overline{C}= \{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,JT) \}$. Donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{C}) &= 4\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{3}\\
			\intertext{On en déduit:}
			\mathbb{P}(A) &= 1- \mathbb{P}(\overline{A})\\
			&= 1-\frac{1}{3}\\
			&= \frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\item $B=\{ (G,V,B), (G,R,B), (G,J,B), (P,V,B), (P,R,B), (P,J,B) \}$
		
		On en déduit:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= 6\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\item Notons $D$ l'événement \og le client prend une petite serviette et un rideau de douche blanc\fg .  Il y a 3 issues qui réalisent cet événement: $(P,V,B), (P,R,B), (P,J,B)$ donc: 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(D) &= 3\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item $A\cup B$: \og le client prend un gant de toilette jaune ou un rideau de bain blanc\fg .
		
		L'événement \og le client prend un gant jaune \underline{et} un gant blanc\fg ~ est réalisé par $(G,J,B)$ et $(R,J,B)$ donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A\cap B) &= 2\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{6}
		\end{align*}
		
		\medskip
		On en déduit:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A\cup B) &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \\
			&= \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\
			&= \frac{4}{6}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo spé 2020 page 420 exo 4.
	\end{notabene}
	
	Un examen consiste à passer $3$ épreuves indépendantes.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Épreuve 1: on a $80\ \%$ de chances de réussir.
		\item Épreuve 2: on a $60\ \%$ de chances de réussir.
		\item Épreuve 3: on a $25\ \%$ de chances de réussir.
	\end{enumerate}
	
	On est reçu à l'examen si on réussi au moins deux épreuves sur trois.
	
	Quelle est la probabilité de réussir l'examen?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Épreuves successives dans un jeu vidéo avec des probabiltés différentes.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\newpage 
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}