%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{06 Droites de l'espace.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{06 Droites de l'espace.}

\subsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace affine $\mathscr{E}_3$.
	
	\medskip
	Nous noterons \emph{\color{purple}$(AB)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}droite passant par $A$ et $B$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}= \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$ où $\lambda$ décrit l'ensemble des nombres réels.
	
\end{definition}

\subsection{Vecteurs colinéaires.}

\begin{definition}
	
	Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $\lambda$ (\emph{i.e.} on peut en trouver au moins un) tel que \[ \vec u=\lambda \cdot \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \cdot \vec u \]
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	C'est une généralisation de la notion de proportionnalité aux vecteurs (et nous verrons que cette proportionnalité se retrouve aussi sur les coordonnées).
	
	\medskip
	Une autre façon de définir la colinéarité et qui se généralise mieux est: il existe (au moins) une combinaison linéaire $\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}=\vec{0}$ dont les coefficients $\lambda$ et $\mu$ ne sont pas tous les deux nuls.
	
	\medskip
	Lorsque des vecteurs ne sont pas colinéaires ont dit qu'ils sont \emph{\color{purple}libres} ou \emph{\color{purple}linéairement indépendants}.
	
\end{lecon}

\subsection{Vecteurs directeurs d'une droite.}

\begin{lecon}
	
	On appelle \emph{\color{purple}vecteur directeur de la droite} $(AB)$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ou n'importe quel vecteur non nul qui soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
	
	Ainsi un vecteur directeur est toujours non nul.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Des points $A$, $B$ et $C$ de l'espace sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
	
\end{proposition}

\subsection{Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur.}

\begin{lecon}
	
	Une droite est entièrement caractérisée par la donnée d'un point et d'un vecteur directeur. Autrement dit pour parler d'une droite on peut en donner deux points distincts ($A$ et $B$) ou en donner un point ($A$) et un vecteur directeur ($\vec{u}\ne \vec{0}$).
	
	Le couple $\left( A ; \vec{u} \right)$ est un \emph{\color{purple}repère} de la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}


\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 208 exercice 54
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $ABCD$ un carré, $BCL$ et $DIC$ des triangles équilatéraux tels que sur la figure ci-contre.
			
			Nous souhaitons établir l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
			
			Pour cela considérons le repère orthonormé $(D;C;A)$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\coordinate (D) at (0,0);
				\coordinate (A) at (0,1);
				\coordinate (B) at (1,1);
				\coordinate (C) at (1,0);
				\coordinate (I) at (0.5,{sqrt(3)/2});
				\coordinate (L) at ({1+sqrt(3)/2},0.5);
				\draw (A) node[above]{$A$};
				\draw (B) node[above]{$B$};
				\draw (C) node[below]{$C$};
				\draw (D) node[below]{$D$};
				\draw (I) node[right]{$I$};
				\draw (L) node[right]{$L$};
				\draw (B)--(A)--(D)--(C)--(B)--(L)--(C);
				\draw (D)--(I)--(C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification les coordonnées de $D$, $C$, $A$ et $B$.
		\item Déterminez les coordonnées de $I$ et $L$.
		\item Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AL}$.
		\item Démontrez l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 120 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $M(7;3)$, $N(-3;1)$, $C(0;5)$ et $E(3;9)$ des points du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le quadrilatère $MNCD$ est un trapèze.
		
		\item Montrez que $E$ est le point d'intersection de $(NC)$ et $(MD)$.
		
		\item Soient $J$ et $K$ les milieux respectivement de $[NM]$ et $[CD]$. Calculez les coordonnées de $J$ et $K$.
		
		\item Montrez que $E$, $J$ et $K$ sont alignés.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 122 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3;4)$, $B(1;1)$, $C(6;-2)$ et $D(8;1)$ des points, $I$ le milieu de $[BC]$, et $E$ et $F$ les points définis par: \[ \overrightarrow{AE}= \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les coordonnées de $I$, $E$ et $F$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont-ils colinéaires?
			
			\item Qu'en déduisez-vous concernant les droites $(BE)$ et $(IF)$?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la norme du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
			
			\item $ABCD$est -il un rectangle?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Les points $I$, $F$ et $D$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $I$.}
			
			Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
				x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+6}{2}\\
				&= \frac{7}{2}
			\end{align*}
			
			De même: $y_I=-\frac{1}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$I\left( \frac{7}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $E$.}
			
			$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-3 \\ -2-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$.
			
			D'où: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 \\ \frac{1}{3} \times (-6) \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De même: $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E-3 \\ y_E-4 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ nous déduisons donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 = 1 \\ y_E-4 =-2 \end{array} \right. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 {\color{orange}+3} = 1 {\color{orange}+3}\\ y_E-4 {\color{WildStrawberry}+4}=-2 {\color{WildStrawberry}+4} \end{array} \right. \]
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 4 \\ y_E =2 \end{array} \right. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$E(4;2)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même qu'au point précédent 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F-6=\frac{1}{3}(3-6) \\ y_F-(-2) = \frac{1}{3} (4-(-2)) \end{array} \right.\\
				&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F=5 \\ y_F = 0 \end{array} \right.
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F(5;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.}
			
			$\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ donc
			
			\begin{align*}
				\det \left( \overrightarrow{BE} ; \overrightarrow{IF} \right) &= \begin{vmatrix} 3 & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{vmatrix}\\
				&= 3 \times \frac{1}{2} -1 \times \frac{3}{2}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous déduisons de la question précédente que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$(BE) \parallel (IF)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\| \overrightarrow{AC} \|$.}
			
			{\color{orange}La formule pour la distance euclidienne est la même que celle pour la norme du vecteur. Par contre comme le repère n'est pas orthonormé la norme ne correspond pas forcément à une longueur.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
				\| \overrightarrow{AC} \| &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\
				&= \sqrt{(6-3)^2+(-2-4)^2}\\
				&= \sqrt{45}\\
				&= \sqrt{3^2 \times 5}\\
				&= \sqrt{3^2} \times \sqrt{5}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\| \overrightarrow{AC} \| = 3\sqrt{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous ne pouvons pas répondre à cette question car le repère n'étant a priori pas orthonormé nous ne pouvons pas établir la présence d'angle droit  ou d'égalité de longueur (diagonales).
			
			\medskip
			Si nous supposons que le repère est orthonormé alors, comme $\| \overrightarrow{BD} \| = 9$, nous pouvons affirmer que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ne sont pas de même longueur donc ce n'est pas un rectangle.
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que les points $I$, $F$ et $D$ sont alignés.}
		
		{\color{orange}Ils sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.}
		
		\medskip
		$\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF} \begin{pmatrix} -3\\ -1 \end{pmatrix}$ donc
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{IF};\overrightarrow{DF} \right) &= \begin{vmatrix} \frac{3}{2} & -3\\ \frac{1}{2} & -1 \end{vmatrix}\\
			&= \frac{3}{2} \times (-1) -\frac{1}{2} \times (-3)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Donc $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.
		
		Et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$, $F$ et $D$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		Coordonnées d'un point dans un repère d'une droite dans l'espace.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Possibilité de compliquer en ajoutant une seconde droite sécante.
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0)--(8,0);
			\coordinate (A) at (5,0);
			\draw (A) node {\footnotesize |};
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,0);
			\draw (B) node {\footnotesize |};
			\draw (B) node[below left] {$B$};
			\coordinate (C) at (4,0);
			\draw (C) node {\footnotesize |};
			\draw (C) node[below left] {$C$};
			\coordinate (D) at (6,0);
			\draw (D) node {\footnotesize |};
			\draw (D) node[below left] {$D$};
			\coordinate (E) at (2,0);
			\draw (E) node {\footnotesize |};
			\draw (E) node[below left] {$E$};
			\coordinate (F) at (7,0);
			\draw (F) node {\footnotesize |};
			\draw (F) node[below left] {$F$};
			\coordinate (G) at (4,0);
			\draw (G) node {\footnotesize |};
			\draw (G) node[below left] {$G$};
			\coordinate (H) at (3,0);
			\draw (H) node {\footnotesize |};
			\draw (H) node[below left] {$H$};
			\draw [>=latex,violet,->] (2,0.5)--(3,0.5) node [midway, above] {$\vec{u}$};
			\draw [>=latex,purple,->] (6,0.5)--(4,0.5) node [midway, above] {$\vec{v}$};
		\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	
	
	Donnez sans justification
	\begin{tasks}
		\task La coordonnée de $B$ dans le repère $\left( A;\vec{u} \right)$.
		\task La coordonnée de $H$ dans le repère $\left( B;\vec{v} \right)$.
		\task La coordonnée de $G$ dans le repère $\left( D;2\vec{u} \right)$.
		\task La coordonnée de $E$ dans le repère $\left( F;2\vec{v} \right)$.
		\task La coordonnée de $A$ dans le repère $\left( D;2\vec{v} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Dans les exercices lorsqu'on parle d'un parallélépipède rectangle, ou un cube, $ABCDEFGH$ vous raisonnerez sur la figure suivante. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Sur le pavé droit avec les pints milieux à partir d'une description vectorielle de la droite en donner une description affine
	\end{notabene}
	
	On considère un pavé droit $ABCDEFGH$.
	
	Dans chaque cas décrivez par deux points la droite dont on donne un point et un vecteur directeur. Exemple: la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AL}$ est la droite $(AL)$.
	
	\begin{tasks}
		\task La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{DC}$.%AB
		\task La droite passant par $H$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{TJ}$.%HA
		\task La droite passant par $M$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{UD}$.%MI
		\task La droite passant par $K$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{BE}$.%KU
		\task La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{AE}$.%AM
		\task La droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{HM}+ \overrightarrow{HD}$.%BP
		\task La droite passant par $S$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{GH}$.%SU
		\task La droite passant par $G$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{FE}+ \overrightarrow{TC}$.%TU
		\task La droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{KU}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{KP}$.%IE
		\task La droite passant par $G$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{KL}+ \overrightarrow{KJ}$.%GF
		\task La droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CG}$. %IG
		\task La droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{UD}+ \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{BS}$. %IG
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer des alignements, de la colinéarité.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\newpage
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}