%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{05 Suites: limites infinies.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{05 Suites: limites infinies.}

\begin{notabene}
	
	Les exemples, exercices rencontrés ici permettent de conjeturer les différentes situation de limites.
\end{notabene}

\subsection{Majorants et minorants.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle,
		
		\item $M$ et $m$ deux réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}majorée} par $M$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}minorée} par $m$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}bornée} si elle est à la fois majorée et minorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un majorant n'est pas un maximum. Pas plus qu'un minorant n'est un minimum.
		
		Cependant un maximum est un majorant et un minimum un minorant.
		
		\item Ainsi une suite est bornée s'il est possible de trouver des nombres $m$ et $M$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n \leqslant M$.
		
		\item Trouver un minorant et un majorant pour une suite c'est limiter les possibilités de valeurs des termes de la suite. Dans de nombreux cas il faut se contenter de cela.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par une étude de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ on obtient aisément: $0<\frac{1}{x} \leqslant 1$.
		
		Donc $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est minorée par $0$, $-1$, $-234,5$ et majorée par $1$, $3$, $\np{20000}$. Donc elle est bornée.
		
		Remarquons également que cette suite a un maximum mais pas de minimum.
		
		\item $\left( \cos(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( \sin(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ sont bornées puisque nous savons que les fonctions sinus et cosinus sont, par construction, bornées par $-1$ et $1$.
		
		\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ est bornée: $0\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		Nous pouvons le conjecturer d'après la calculatrice ou graphiquement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\subsection{Définition des limites infinies.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $+\infty$} si et seulement si: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
				
		\item Quelque soit le majorant $A$ supposé de la suite, on se rend compte qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes qui soient plus petits.
		
		\item Nous avons également la définition en $-\infty$.
		
		Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $-\infty$} si et seulement si: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]-\infty,A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que la suite définie par $u_n=n$ tend vers $+\infty$.}
		
		Soit $A \in\mathbb{R}$.
		
		Notons $N= \lfloor A\rfloor +1$.
		
		Si $n \geqslant N$ alors
		
		\begin{align*}
			n &\geqslant \lfloor A\rfloor +1\\
			&> A 
		\end{align*}
		
		Autrement dit $n \in ]A;+\infty[$.
		
		À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]A,+\infty[$.
		
		\medskip
		Quelque soit le réel $A$ l'intervalle $]A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=2n-3$ tend vers $+\infty$.
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=-3n-5$ tend vers $-\infty$.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Une condition nécessaire.}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\lim_{n \to + \infty} u_n=+\infty$ alors $(u_n)$ n'est pas majorée.
		
		\item Si $\lim_{n \to + \infty} u_n=-\infty$ alors $(u_n)$ n'est pas minorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Une condition suffisante.}

\begin{proposition}{ - Limite et monotonie.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
		
		\item Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Des suites de référence.}

\begin{proposition}{ - Suites puissances.}
		
	Soit $\alpha\in\mathbb{N}^*$. 
	
	\[ \lim_{n\to +\infty} n^{\alpha} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Suite racine carrée.}
	
	\[ \lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Suite exponentielle.}
	
	Si $q>1$ alors \[ \lim_{n \to + \infty} \mathrm{q}^{n} =+\infty. \]
	
	En particulier: \[ \lim_{n \to + \infty} \mathrm{e}^{n} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	Déterminez ou conjecturez l'éventuelle limite infinie de $(u_n)$ dans les cas suivants (vous pourrez utiliser votre calculatrice).
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n=\frac{1}{n}+\sqrt{n}$.
		\task $u_n=n^4$.
		\task $u_n=4^n$.
		\task $u_n=0,25^n$.
		\task $u_n=\left( -\frac{1}{10} \right)^n$.
		\task $u_n= (-3)^n$.
		\task $u_n=-5n^3+4n^2+n-4$.
		\task $u_n= n^6-4n^5-1000$.
		\task $u_n=-\sqrt{\frac{1}{n^2}}$.
		\task $u_n=\dfrac{\mathrm{e}^n}{n^3}$.
		\task $u_n=\dfrac{4n^2-3n+1}{-2n^2+n-5}$.
		\task $u_n=\dfrac{7n^2+n+1}{5n^6+n^3}$.
		\task $u_n= \mathrm{e}^{n^2}$.
		\task $u_n=\mathrm{e}^{-n^2}$.
		\task $u_n=(-1)^n$.
		\task $u_n=\sin\left( n\frac{\pi}{2} \right)$.
		\task $u_n=\sin\left( n\pi \right)+n^2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n= +\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Pas de limite infinie, suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Pas de limite infini.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
	\end{tasks}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Déterminez ou conjecturez l'éventuelle limite infinie de $(u_n)$ dans les cas suivants (vous pourrez utiliser votre calculatrice).
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $u_0=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2$.
		\task $u_0=3$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n$.
		\task $u_1=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{5}{3}u_n$.
		\task $u_1=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=-2u_n$.
		\task $u_0=4$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$.
		\task $u_0=-12$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$.
		\task $u_0=-3$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{7}{4}u_n-1$.
		\task $u_0=6$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{7}{4}u_n-1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Pas de limite infinie et pas bornée.
		\task Bornée.
		\task Bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 50 51, 52,
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si chacune des suites proposée est minorée, majorée ou bornée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n+3}{2n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-1}{2n-3}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+1}{n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=(-1)^n\times \frac{n^2}{n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+1}-n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\pi^n-3^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+n+1}-2n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n} \sin \left( \frac{1}{n} \right)$, pour $n\in\mathbb{N}^*$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \sin\left( 2^n\times \pi \right)$.
		
	\end{tasks}	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Dans tous les cas il faut calculer les premiers termes pour émettre une conjecture.
		
		Avec une formule explicite il est parfois possible de deviner l'allure de la courbe représentative sans faire d'étude approfondie.}
	
	\begin{tasks}
		\task Clairement minorée par $0$. $(u_n)$ décroissante et $u_0=3$ donc majorée par $3$.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item En utilisant la forme canonique de l'homographie: $u_n=\frac{\frac{1}{2} (2n-3)}{2n-3} +\frac{\frac{3}{2}-1}{2n-3}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{n-\frac{3}{2}}$
			
			Le tableau de variation de $f:x \mapsto \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{3}}{x-\frac{3}{2}}$ est:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,  $f$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$\frac{3}{2}$, $+\infty$}
					\tkzTabVar {+/ , -D+ / / , - /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Nous voyons qui faut tenir compte de ce qui se passe avant $\frac{3}{2}$ et après $\frac{3}{2}$.
			
			Donc $u_n$ est inférieur ou égale au maximum de $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_2=1$. Ainsi $(u_n)$ admet un majorant égale à $1$ qui est aussi un maximum.
			
			\item Si $n\geqslant 2$, clairement $u_n\geqslant 0$. Comme de plus $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_1=0$ nous pouvons conclure $(u_n)$ admet un minorant égale à $0$ qui est atteint c'est donc in minimum.
			
		\end{enumerate}
		
		\task Là encore utilisons la forme canonique de l'homographie: $u_n=1+\frac{1}{n}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=3]
				\def\xY{-0.1};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{5.5};
				\def\yZ{2.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/2.1}:5] plot(\x,{1/\x});
				\draw[red, thick][samples=100,domain={1/1.1}:5] plot(\x,{1+1/\x});
				\draw[blue] (4,0.5) node[fill=white] {$y=\frac{1}{x}$};
				\draw[red] (4,1.5) node[fill=white] {$y=1+\frac{1}{x}$};
				\foreach \u in {1,2,...,5} \draw [color=black] ({\u},{1+1/\u}) node {$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$(u_n)$ admet un maximum égale à $2$ car décroissante et est minorée (apparemment par $1$) mais clairement par $0$.
		
		\task Nous ne pouvons pas pour l'instant l'établir mais cette suite n'est pas bornée les termes de rangs pairs prennent des valeurs infiniment grandes et ceux de rangs impairs infiniment petites.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $\sqrt{n^2+1}-n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}$ et puisque la fonction racine carrée est croissante: $\sqrt{n^2+1}-n\geqslant 0$. Autrement dit $(u_n)$ est minorée par $0$.
			
			\item En utilisant l'astuce de la quantité conjuguée:
			
			\begin{align*}
				u_n &= \frac{\left( \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2} \right) \left( \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2} \right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\\
				&= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}
			\end{align*}
			
			Clairement $(u_n)$ est décroissante (puisque racine carré est croissante) donc $(u_n)$ est décroissante.
			
			$(u_n)$ admet un maximum qui est $u_0=1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\task 		
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $u_n \geqslant 0$ car les fonctions puissances sont croissantes sur $\mathbb{R}_+$ et $\pi\geqslant 3$.
			
			\item $(u_n)$ n'est pas majorée.
			
		\end{enumerate}
		
		\task $(u_n)$ est majorée par $1$ qui est d'ailleurs unmmaximum. En effet:
		
		\begin{align*}
			n^2+n+1 &\leqslant n^2+2n+1\\
			\sqrt{n^2+n+1} & \leqslant \sqrt{(n+1)^2}\\
			\sqrt{n^2+n+1} -2n &\leqslant n+1-2n\\
			\sqrt{n^2+n+1}-2n &\leqslant -n+1
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons également que $(u_n)$ ne sera pas minorée.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 53, 54, 56
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que les suites suivantes sont bornées.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=10-2 \sin \left( \frac{1}{n} \right)$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+2}$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n} -\frac{1}{\sqrt{n}}$ pour $n \geqslant 1$;
		
		\task $\displaystyle u_n=1+ \frac{2}{7}+ \left( \frac{2}{7} \right)^2+ \dots + \left( \frac{2}{7} \right)^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=25+5+1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=9+3+1+\dots + 3^{-n+2}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Puisque $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ 10-2 \times 1 \leqslant 10-2 \sin\left( \frac{1}{n} \right) \leqslant 10-2 \times 1.\]
		
		Donc \[ 8 \leqslant u_n \leqslant 12. \]
		
		\task $0\leqslant u_n$ et, comme $n <n+2$, $\frac{n}{n+2}<1$ donc \[0\leqslant u_n<1. \]
		
		\task 
		
		\task Clairement $v_n \geqslant 0$.
		
		En notant $v_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}= \frac{2}{7} v_n$, nous remarquons que $u_n=\sum_{k=0}^n v_k$. Autrement dit c'est la somme des termes d'une suite géométrique. 
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			u_n &= 1 \times  \frac{1-\left( \frac{2}{7}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{7}}\\
			&= \frac{7}{5} \left[ 1 -\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \right]
		\end{align*}
		
		De $0\leqslant \left( \frac{2}{7}\right)^n \leqslant \frac{2}{7}$, nous déduisons: $1 \geqslant 1-\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \geqslant 0$.
		
		\task Comme la précédente question.
		
		\task Comme la précédente question.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 35 exo 58,
		
	\end{notabene}
	
	Considérons la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=\frac{2}{7}$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+ \frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On considère le programme suivant où $M$ est un nombre dans $\left]0; \frac{3}{4} \right[$.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={programme}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]M,u,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
					def programme(M):
					n=0
					u=2/7
					while u<M:
					n=n+1
					u=1/3*u+1/2
					return(n)
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Quel est l'intérêt de cet algorithme?
		
		\item Testez ce programme avec différentes valeurs de $M$, de plus en plus proche de $\frac{3}{4}$. Que remarquez-vous?
		
		\item Complétez la conjecture suivante: \og $\frac{3}{4}$ semble le plus ... des majorants de la suite $(u_n)$\fg{}.
		
		\item Montrez que, pour tout entier naturel $n$: \[ \frac{3}{4}-u_n = \frac{13}{28 \times 3^n}.\]
		
		\item Pourquoi la conjecture précédente est-elle vraie?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	Démontrez à partir de la définition les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \left( n^2 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
		\task $\displaystyle \left( \sqrt{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\newpage
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}