%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Devoir de 2 heures du 15/11/2022.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir de 2 heures du 15/11/2022.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.
	
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\def\longueur{4};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{3};
		\def\angledefuite{40};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		%Points milieux du bas.
		\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
		\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%\draw (I) node [below left] {\color{Brown} $I$};
		\draw (J) node [below right] {$J$};
		%\draw (K) node [above left] {\color{Brown} $K$};
		%\draw (L) node [above left] {\color{Brown} $L$};
		%\draw (I) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%\draw (J) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%\draw (K) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%\draw (L) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%Points milieux du haut.
		\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\draw (M) node [above] { $I$};
		%\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
		%\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
		%\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
		%\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%Points des arêtes verticales.
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\draw (R) node [left] {$K$};
		%\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
		%\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
		%\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
		%\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		%\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		%\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		%\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw [very thick] (A) -- (M);
		\draw [very thick, dashed] (M) -- (J);
		\draw [very thick, dashed] (R) -- (H);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les coordonnées de $I$ et $J$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{AI} &= \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EI}\\
					&= \overrightarrow{AE}+ \frac{1}{2} \overrightarrow{EF}\\
					&= \overrightarrow{AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\
					&= \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} + 0 \cdot \overrightarrow{AD} + 1 \cdot \overrightarrow{AE}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$I \left( \frac{1}{2} ; 0 ;1 \right)$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item De même:
				
				\begin{conclusion}
					
					$J\left( 1; \frac{1}{2};0 \right)$
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires. \emph{Autrement dit démontrer que l'un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas linéairement indépendants.}
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IF} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BJ}\\
				&= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+ \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\\
				&= \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right) -\overrightarrow{AE}\\
				&= \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}
			\end{align*}
			
			Ainsi $\overrightarrow{IJ}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On considère les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:
	
	\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
	x	&=&3 + t\\
	y 	&=& 8 - 2t\\
	z	&=& - 2 + 3t\\
	\end{array}\right. ,\ t \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad 
	d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
	x	&=&4 + t\\
	y 	&=&1 + t\\
	z	&=&8 + 2t\\
	\end{array}\right. ,\  t \in \mathbb{R}.\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.}
		
		{\color{orange}Rappelons que deux droites sont parallèles si et seulement si n'importe quel vecteur directeur de l'une est colinéaire à n'importe quel vecteur directeur de l'autre.}
		
		Clairement $\vec{u}_1 \begin{pmatrix} 1\\-2\\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs directeurs respectivement de $d_1$ et $d_2$.
		
		On remarque en considérant les deux premières coordonnées de $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$:
		
		\begin{align*}
			\begin{vmatrix}
			1 & 1\\
			-2 & 1
			\end{vmatrix} &= 1 \times 1-(-2) \times 1\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		Donc $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ ne sont pas colinéaires et 
		
		\begin{conclusion}
			
			$d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le point $L(4~;~0~;~3)$ est-il un point de $d_1$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $L \notin d_1$.}
		
		Si $L \in d_1$ si et seulement si il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{lcl}
		3+t &=& 4\\
		8-2t &=& 0\\
		-2+3t &=& 3
		\end{array} \right. .\]
		
		Nécessairement $t=4-3=1$ est la seul solution possible d'après la première équation.
		
		Mais $t=1$ n'est pas solution de la seconde équation donc ce système n'a pas de solution.
		
		\begin{conclusion}
			
			$L \notin d_1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
	
	\[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\]
	
	On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
	
	On note $f'$ sa dérivée et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $f'(x) = \ln (x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f'$.}
			
			$h:x \mapsto x \ln(x)$ est de la forme $uv$ où $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$.
			
			{\color{orange}$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v=\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ donc $h=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$. De plus} pour tout $x \in\mathbb{R}_+^*$:\[ u'(x)=1 \quad \text{et} \quad v'(x)= \frac{1}{x}. \]
			
			Or $(uv)'=u'v+uv'$ donc, pour $x \in \mathbb{R}_+^*$:
			
			\begin{align*}
				h'(x) &= 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x}\\
				&= \ln(x)+1
			\end{align*}
			
			On en déduit:
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= \ln(x)+1-1+0
			\end{align*}
			
			Enfin:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ f'(x)= \ln(x)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = \mathrm{e}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons une équation de $T$.}
			
			\[ T:\ y= f'(\mathrm{e}) \times (x-\mathrm{e}) + f(\mathrm{e}). \]
			
			Or
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $f'(\mathrm{e}) = \ln(\mathrm{e})=1$.
				
				\item $f(\mathrm{e})=\mathrm{e} \ln(\mathrm{e}) -\mathrm{e}-2=-2$
				
			\end{enumerate}
			
			donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$T:\ y=x-\mathrm{e}-2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}	
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Question indépendante de ce qui précède.} Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation: $\ln(x^2+1) >8$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			\ln(x^2+1) >8 &\Leftrightarrow x^2+1-\mathrm{e}^8 >0\\
			\intertext{Puisque $\mathrm{e}^8 -1 >0$ nous pouvons noter $\alpha=\sqrt{-1+\mathrm{e}^8}$ et alors:}
			\ln(x^2+1) >8 &\Leftrightarrow \left( x-\alpha \right) \left( x+\alpha \right) >0
		\end{align*}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-\alpha$ /0.8, $x+\alpha$ /0.8, $x^2-\alpha^2$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-\alpha$ , $\alpha$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est $]-\infty, -\alpha[ \cup ]\alpha ,+ \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 
	
	\[\left\{\begin{array}{l c l}
	u_0		&=	&0,6\\
	u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
	\end{array}\right.\]
	
	pour tout entier naturel $n$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $u_1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			u_1 &= 0,75u_0(1-0,15u_0) \\
			&= 0,75 \times 0,6 (1-0,15 \times 0,6)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_1=0,4095$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par 
	
	\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et dresser son tableau de variations.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$.}
		
		En développant: \[ f(x)= -0,1125x^2+0,75x .\]
		
		$f$ est une fonction polynomiale donc dérivable sur $[0;1]$ et sa dérivée est, pour tout $x\in [0;1]$: \[ f'(x)=-0,225x+0,75. \]
		
		$f'$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est strictement négatif et qui s'annule en $\frac{10}{3}$ donc $f'>0$ sur $[0;1]$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$1$}
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\np{0,6375}$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		\begin{align*}
			f(x)=x &\Leftrightarrow 0,75x(1-0,15x)=x\\
			&\Leftrightarrow x\left[0,75(1-0,15x)-1 \right]=0\\
			&\Leftrightarrow x(-0,1125x-0,25)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{20}{9}
		\end{align*}			
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation dans $[0;1]$ est $\{ 0 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$ \fg{}.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $u_0=0,6$ et $u_1=0,4095$ donc clairement $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons $\mathscr{P}(n+1)$.
				
				D'après l'hypothèse de récurrence: \[ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1. \]
				
				$f$ étant croissante sur $[0;1]$ nous en déduisons: \[ f(0) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(1). \]
				
				Autrement dit: \[ 0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,6375.\]
				
				Et puisque $0,6375$ finalement $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
				
				\item Nous avons démontré par récurrence que
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall n\in\mathbb{N},\ 0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n \leqslant 1$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avon démontré à la question précédente que $(u_n)$ est décroissante est minorée par $0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ est convergente.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La fonction $f$ est continue, car polynomiale, $f(u_n)=u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ donc, en passant à la limite \[ f(\ell)=\ell. \]
			
			Comme $0\leqslant \ell \leqslant 1$, d'après la question 3, $\ell=0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ converge vers $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$. Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit. En raison d'interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission: un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
	
	Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :
	
	\begin{minipage}{0.48\linewidth}
		
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $E_0$ : \og le bit envoyé est un $0$ \fg{} ;
			\item[$\bullet~~$] $E_1$ : \og le bit envoyé est un 1 \fg{} ;
			\item[$\bullet~~$] $R_0$ : \og le bit reçu est un $0$\fg{} 
			\item[$\bullet~~$] $R_1$ : \og le bit reçu est un $1$ \fg.
		\end{itemize}
	\end{minipage}\hfill
	\begin{minipage}{0.48\linewidth}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$E_0$/$\np{0,4}$/\posA,
				nA2/A2/2/$E_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$R_0$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$R_1$/$\np{0,01}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$R_0$/$\np{0,02}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$R_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{minipage}
	
	On sait que:
	
	$p\left(E_0\right) = 0,4 \:;\quad p_{E_0}\left(R_1\right) = 0,01 \:;\quad p_{E_1}\left(R_0\right) = 0,02$.
	
	On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
	
	On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}0,99 &\textbf{b.~~}0,396 &\textbf{c.~~}0,01 &\textbf{d.~~} 0,4
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{b}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La probabilité  $p\left(R_0\right)$ est égale à :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}0,99 &\textbf{b.~~}0,02 &\textbf{c.~~}0,408 &\textbf{d.~~}0,931
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{c}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}\left(E_0\right)$ est égale 
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}0,004 &\textbf{b.~~}0,001 &\textbf{c.~~}0,007 &\textbf{d.~~}0,010
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{c}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La probabilité de l'évènement \og  il y a une erreur de transmission \fg{} est égale à :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}0,03 &\textbf{b.~~}0,016 &\textbf{c.~~}0,16 &\textbf{d.~~}0,015
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{b}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
	
	On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
		
		La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}0,915 &\textbf{b.~~}0,109 &\textbf{c.~~}0,976 &\textbf{d.~~}0,085
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{d}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
		
		La probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~} $1 - 0,12^{10}$ &\textbf{b.~~}$0,12^{10}$ &\textbf{c.~~}$0,88^{10}$ &\textbf{d.~~} $1- 0,88^{10}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{a}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante. 
		
		Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
		
		On peut affirmer que:
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~~}$N_0 = 17$ &\textbf{b.~~}$N_0 = 18$ &\textbf{c.~~}$N_0 = 19$ &\textbf{d.~~}$N_0 = 20$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse \textbf{b}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
	\item On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$.
	
	La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n  - 2$, est :
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
			\textbf{a.~} arithmétique de raison $- 2$ ;&\textbf{b.~} géométrique de raison $- 2$ ;\\
			\textbf{c.~} arithmétique de raison 1 ;&\textbf{d.~}géométrique de raison  $\dfrac12$.\\
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\item  On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a :
	
	\[1  + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}\]
	
	On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
			\textbf{a.~} converge vers 2 ; &\textbf{b.~} converge vers 1 ;\\
			\textbf{c.~} diverge vers $+ \infty$ ;&\textbf{d.~} n'a pas de limite.\\
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\item Pour tout réel $x$, l'expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à : 
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
			\textbf{a.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{b.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$ ;\\[8pt]
			\textbf{c.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{d.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$.
		\end{tabularx}
	\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}