%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Devoir libre 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Ajouter 
	
	2ieme lelivrescolaire page 166 exo 70
	
\end{notabene}

\section{Devoir libre 1.}

\subsection{Problème: suite de Fibonacci.}

\begin{notabene}
	
	Il manque la construction de la spirale qu'il faut ajouter.
	
	Ainsi que le lien avec les coefficients binomiaux.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On s'intéresse dans cet exercice à la suite dite de Fibonacci qui est définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et pour tout entier naturel $n$ \[F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad (\star).\]
	
\end{sujet}

\subsubsection{Premiers pas avec $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez $F_2$, $F_3$, $F_4$, $F_5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
		F_2 &= F_1+F_0\\
		&= 1+1\\
		&=2\\
		F_3 &= F_2+F_1\\
		&= 2+1\\
		&= 3
		\end{align*}
		
		et de même ensuite.
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_2=2$, $F_3=3$, $F_4=5$ et $F_5=8$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez, par une récurrence double, que les termes de la suite de Fibonacci sont tous positifs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $mathscr{R}(n)$: \og $F_n \geqslant 0$ \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par une récurrence double que $\mathscr{R}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $F_0 =0 \geqslant 0$ et $F_1\geqslant 1$.
			
			Donc $\mathscr{R}(0)$ et $\mathscr{R}(1)$ sont vraies.
			
			\item Soit $n\in \mathbb{N}$.
			
			Supposons que $\mathscr{R}(n)$ et $\mathscr{R}(n+1)$ sont vraies.
			
			Démontrons qu'alors $\mathscr{R}(n+2)$ est vraie.
			
			D'après notre hypothèse de récurrence: \[ \left\{ \begin{array}{l}F_n\geqslant 0 \\ F_{n+1}\geqslant 0 \end{array} \right. \] donc, en sommant terme à terme les inégalités: \[ {\color{blue}F_n+ F_{n+1}} \geqslant 0+0. \]
			
			Or la formule de récurrence définissant la suite $(F_n)$ est $F_{n+2} =F_{n+1}+F_n$ donc \[ {\color{blue}F_{n+2}} \geqslant 0. \]
			
			Ainsi $\mathscr{R}(n+1)$ est vraie.
			
			\item Nous avons démontré par récurrence sur $n$ que:
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ F_n\geqslant 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En remarquant que, pour $n\geqslant 1$, la relation $(\star)$ peut s'écrire \[ F_{n+1}=F_n+F_{n-1},\] déduisez de la question précédente le sens de variation de la suite $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions la monotonie de $(F_n)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $n\geqslant 1$ un entier.
			
			De \[ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}, \] nous déduisons \[ F_{n+1}-F_n =F_{n-1}. \]
			
			Or d'après la question précédente $F_{n-1}\geqslant 0$ donc \[ F_{n+1}-F_n \geqslant 0.\]
			
			\item $F_0=0$ et $F_1=1$ donc $F_0\leqslant F_1$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré que \[ \forall n\in \mathbb{N},\ F_{n+1}-F_n\geqslant 0. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$(F_n)$ est croissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Le nombre d'or $\varphi$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite dans cette question chercher des suites géométriques qui vérifient la relation de récurrence $(\star)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $q \in \mathbb{R}_+^*$.
			
			Montrez que, si la suite $(q^n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie la relation de récurrence $(\star)$ alors $q$ est solution de l'équation $q^2-q-1=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(q^n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite vérifiant la relation de récurrence $(\star)$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $q$ est solution de $x^2-x-1=0$.}
			
			Puisque la suite vérifie la relation $\star$ nous avons: \[ q^{n+2}=q^{n+1}+q^{n}. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à: 
			
			\begin{align*}
			q^{n+2} {\color{orange}-q^{n+1}-q^n} &= q^{n+1}+q^n {\color{orange}-q^{n+1}-q^n}\\
			{\color{Green}q^n \times } q^2 -{\color{Green}q^n \times }q -{\color{Green}q^n \times }1 &= 0\\
			{\color{Green}q^n \times } \left( q^2-q-1 \right) &= 0\\
			\intertext{Puisque $q >0$:}
			\frac{q^n(q^2-q-1)}{\color{orange}q^n} &= \frac{0}{\color{orange}q^n}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				On a bien: $
				q^2-q-1 = 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez l'équation $x^2-x-1=0$.
			
			\emph{Vous noterez $\varphi$ la plus grande solution et $\alpha$ la plus petite.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les racines du trinôme: $X^2-X-1$.}
			
			{\color{orange}Pas de racine évidente nous calculons donc le discriminant.}
			
			\begin{align*}
			\Delta &= b^2-4ac\\
			&= (-1)^2-4 \times 1 \times (-1)\\
			&= 5
			\end{align*}
			
			$\Delta >0$ donc $X^2-X-1$ admets deux racines réelles distinctes:
			
			\begin{align*}
			\alpha &= \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2 \times 1}\\
			&= \frac{1-\sqrt{5}}{2}
			\intertext{et}
			\varphi &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{1+\sqrt{5}}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $x^2-x-1=0$ est $\left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on  étudie les nombres $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ obtenus à la question précédente.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $1<\varphi<5$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ nous avons \[ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}.\] \emph{i.e.} \[ 2 < \sqrt{5} < 3. \]
			
			Nous en déduisons \[ 1+1 < 1+\sqrt{5} <1+3.\]
			
			Et puisque $2>0$: \[ \frac{2}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} < \frac{4}{2}. \]
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				$0< \varphi<5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $\alpha = 1-\varphi$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}On doit démontrer une égalité: on part d'un côté pour arriver à l'autre. Je pars du calcul.}
			
			\begin{align*}
			1-\varphi &= 1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
			&= \frac{2}{2} -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
			&= \frac{2-\left( 1+\sqrt{5} \right)}{2}\\
			&= \frac{2-\sqrt{5} }{2}\\
			&= \alpha
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$1-\varphi = \alpha$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez, grâce à la question 2, que $\varphi^2=\varphi+1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $\varphi$ est solution de $x^2-x-1=0$ nous avons 
			
			\begin{align*}
			\varphi^2-\varphi-1 &= 0\\
			\varphi^2-\varphi -1 {\color{orange}+\varphi +1} &= 0  {\color{orange}+\varphi +1}
			\end{align*}			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\varphi^2 = \varphi+1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que: $\varphi-1 = \frac{1}{\varphi}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{align*}
			\varphi^2 {\color{orange}-\varphi} &= \varphi+1 {\color{orange}-\varphi}\\
			\varphi^2 -\varphi &= 1\\
			\intertext{Puisque $\varphi >1>0$:}
			\frac{\varphi^2-\varphi}{\color{orange}\varphi} &= \frac{1}{\color{orange}\varphi}\\
			\frac{\varphi^2}{\varphi} - \frac{\varphi}{\varphi} &= \frac{1}{\varphi}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\varphi -1 = \frac{1}{\varphi}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que $\alpha = -\frac{1}{\varphi}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Se déduit immédiatement des (b) et (d)
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{notabene}
		
		Travaille sur l'anneau $\mathbb{R}[\varphi]$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		On s'intéresse dans cette question aux puissances de $\varphi$.
		
		Rappelons que nous avons établi que $\varphi^2=\varphi+1$. Autrement dit $\varphi^2$ est de la forme $a+b\varphi$, avec $a$ et $b$ des entiers, puisque  $\varphi^2= 1+ 1 \times \varphi$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrivez $\varphi^3$, $\varphi^4$, $\varphi^5$ sous la forme $a+b\varphi$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
				\varphi^3 &= \varphi \times {\color{violet}\varphi^2}\\
				&= \varphi {\color{violet}(1+ \varphi )}\\
				&= \varphi\times \varphi +\varphi \times 1\\
				&= {\color{blue}\varphi^2}+\varphi\\
				&= {\color{blue}(1+\varphi)} +\varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^3=1+2 \varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				\varphi^4 &= \varphi( 1+2 \varphi )\\
				&= \varphi+2 \varphi^2\\
				&= \varphi +2(1+\varphi)\\
				&= \varphi+2+2 \varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^4=2+3 \varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				\varphi^5 &= \varphi(2+3\varphi)\\
				&= 2\varphi+3 \varphi^2\\
				&= 2 \varphi +3(1+\varphi)\\
				&= 2\varphi+3+3\varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^5=3+5\varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que pour tout entier $n\geqslant 2$ \[ \varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi.\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Démonstration par récurrence.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\varphi^2=1+ \varphi$ or $F_1=1$ et $F_2=1$ donc $\varphi^2+F_1+F_2\varphi$.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
				
				Supposons que $\varphi^n=F_{n-1} + F_n \varphi$.
				
				\begin{align*}
				\varphi^{n+1} &= \varphi \times \varphi^n\\
				\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
				\varphi^{n+1} &= \varphi (F_{n-1}+ F_n \varphi)\\
				&= F_{n-1}\varphi+ F_n\varphi^2\\
				&= F_{n-1}\varphi+F_n(1+\varphi)\\
				&= F_{n-1}\varphi+F_n+\varphi F_n \\
				&= (F_{n-1}+F_n)\varphi+F_n\\
				\intertext{D'après la formule de récurrence définissant $(F_n)$:}
				\varphi^{n+1} &= F_{n+1}\varphi+F_n
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À l'aide de la question précédente on a conçu le programme suivant. dans le but de fournir les valeur de $a$ et $b$ dans la décomposition de $\varphi^n$ sous la forme $a \varphi +b$ pour $n$ entier naturel quelconque.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={coefficients}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]n,l,k,c}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def coefficients(n):
  if n==0:
    l=[0,1]
  if n==1:
    l=[1,0]
  if n>1:
    l=[1,1]
  if n>2:
    for k in range(1,n-1):
      c=l[0]
      l[0]=......
      l[1]=......
  return l
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Complétez cet algorithme. 
		
		Déduisez-en $\varphi^{35}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={coefficients}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]n,l,k,c}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def coefficients(n):
  if n==0:
    l=[0,1]
  if n==1:
    l=[1,0]
  if n>1:
    l=[1,1]
    if n>2:
      for k in range(1,n-1):
        c=l[0]
        l[0]=l[0]+l[1]
        l[1]=c
  return l
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{correction}

	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question nous allons voir une façon d'obtenir des valeurs approchées de $\varphi$.
		
		Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$. 
		
		Rappelons que $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et considérons la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		
		\begin{sujet}
			
			Montrez que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_n \leqslant   u_{n+1} \leqslant \varphi$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que $(u_n)$ converge et déterminez sa limite (en recherchant un point fixe).
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			On déduit de ce qui précède une écriture de $\varphi$ sous forme d'une racine carrée infinie. $\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Une formule explicite.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on souhaite donner une expression explicite du terme général de la suite de Fibonacci. Pour cela on part d'une suite inspirée des questions précédentes: \[ v_n=\lambda \varphi^n + \mu \alpha^n,\] définie, pour tout $n \in\mathbb{N}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres réels que nous déterminerons ci-après.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite $(v_n)$  vérifie la relation de récurrence $(\star)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
			v_{n+1}+v_n &= \lambda \varphi^{n+1}+\mu\alpha^{n+1} + \lambda \varphi^n+ \mu \alpha^n\\
			&= \lambda (\varphi^{n+1}+\varphi^n) + \mu (\alpha^{n+1}+\alpha^n)\\
			&= \lambda\varphi^{n+2}+ \mu \alpha^{n+2}\\
			&= v_{n+2}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que si $(v_n)$ est la suite de Fibonacci alors nécessairement $\lambda = - \mu$.
			
			\emph{Indication. Si $(v_n)$ est la suite Fibonacci alors en particulier on doit avoir $v_0=0$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $v_0=0$ alors
			
			\begin{align*}
			\lambda \varphi^0+\mu\alpha^0 &= 0\\
			\lambda + \mu &= 0\\
			\lambda &= -\mu
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que si $(v_n)$ est la suite de Fibonacci alors nécessairement $\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
			
			\emph{Indication. Si $(v_n)$ est la suite Fibonacci alors en particulier on doit avoir $v_1=1$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
			\lambda \varphi+\mu \alpha &= 1\\
			\intertext{Donc, d'après la question précédente:}
			\lambda \varphi-\lambda \alpha &= 0\\
			\intertext{Comme de plus $\alpha=1-\varphi$:}
			\lambda \varphi-\lambda (1-\varphi) &= 1\\
			\lambda (2\varphi-1) &= 1\\
			\lambda \left( 2 \times \frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 \right) &= 1\\
			\lambda \sqrt{5} &= 1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lambda =\frac{1}{\sqrt{5}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		\bigskip
		Dorénavant on pose, pour tout entier naturel $n$: \[ v_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n. \]
		
		On pourra aussi l'écrire \[ v_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{3}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ \[ F_n= v_n. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant à une récurrence double immédiate.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Étude asymptotique de $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}

\begin{sujet}
	
	On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ \[ F_n= \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n.\] et que $-1 < \alpha <0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudiez la convergence de  $(F_n)$.
		
		\emph{Vous pourrez utiliser le résultat de la question 5.(a)}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $-1<\alpha<1$: \[ \alpha^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0. \]
		
		Puisque $\varphi>1$: \[ \varphi^n \underset{n \to +\infty}{ \longrightarrow} + \infty. \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Somme des termes de la suite de Fibonacci.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on souhaite calculer la somme $S_n$ des termes de la suite de Fibonacci jusqu'au rang $n$: \[ S_n=\sum_{i=0}^n F_i. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrivez $\displaystyle \sum_{i=0}^5 F_i$ avec le symbole d'addition usuel $+$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \sum_{i=1}^5F_i = F_0 +F_1+F_2+F_3+F_4+F_5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $S_0$, $S_1$, $S_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
				S_0 &= F_0\\
				&=0
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				S_1 &= F_0+F_1\\
				&= 0+1\\
				&= 1
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				S_2 &= S_1+F_2\\
				&= 1+1\\
				&= 2
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant l'expression de $F_n$ trouvée à la question précédente (c'est-à-dire $v_n$), montrez que, pour tout entier naturel $n$ \[ S_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \varphi^i \right) -\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \alpha^i \right).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
			S_n &= \sum_{i=0}^n \left[ \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n \right]\\
			&= \left[ \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n \right] - \left[ \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^i \right]\\
			&= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \varphi^i \right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \alpha^n \right)
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ S_n= \frac{1}{\sqrt{5}} \left[  \frac{1-\varphi^{n+1}}{1-\varphi} - \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \right]. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On reconnaît la somme des termes de deux suites géométriques: \[ \sum_{i=0}^n \varphi^i = \frac{1-\varphi^{n+1}}{1-\varphi} \text{ et } \sum_{i=0}^n \alpha^i = \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha}. \]
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{notabene}
	
	\subsubsection{Une suite qui converge vers $\varphi$.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{5}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour tout $n$ $\frac{F_{n+1}}{F_n}$.
			
			Démontrer la convergence vers $\varphi$ à partir de la formule explicite.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\subsubsection{Suite de Fibonacci et coefficients binomiaux.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{6}
		\item 
		
		La somme des termes des diagonales ascendantes du triangle de pascal donne les termes de la suite de Fibonacci.
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}

\end{document}

\subsection{Nombre d'or.}

\subsubsection{Nombre d'or.}

\begin{notabene}
	1ieme Repère 133 page 133
\end{notabene}

\begin{notabene}
	0ieme Repère 109 page 42
\end{notabene}

\begin{notabene}
	0ieme Repère 111 page 43 quotient de deux termes consécutifs
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	0irme s hachette declic 2016 page 47 exo 127
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\emph{Suite de Fibonacci.}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de Fibonacci définie par $u_0=0$ et $u_1=1$ et telle que \[ \text{quelque soit } n\in \mathbb{N},\ u_{n+2}= u_{n+1}+u_n \quad (P). \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous souhaitons déterminer les suites géométriques qui vérifient la propriété $(P)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $(v_n)$ est une suite géométrique dont la formule explicite est $v_n=v_0q^n$ avec $v_0\ne0$.
			
			Montrez que si $(v_n)$ vérifie la propriété $(P)$ alors forcément $q$ est solution de l'équation $x^2-x-1=0$.
			
			\item Résolvez l'équation $x^2-x-1=0$. Vous noterez $\alpha$ et $\beta$ les solutions.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que la suite définie par $w_n=a\alpha^n+b \beta^n$ avec $a$ et $b$ des réels quelconques vérifie la propriété $(P)$.
		
		\item Déduisez-en une formule explicite de la suite de Fibonacci.
		
		\item Calculez la somme $S_n$ des $n$ premiers termes de la suite de Fibonacci en fonction de $n \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		
		La méthode vue ici se généralise à toute suite définie par une récurrence linéaire d'ordre 2.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Une suite qui converge vers $\varphi$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{5}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout $n$ 
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Suite de Fibonacci et coefficients binomiaux.}
	
	sup 1ieme dunod ecs1 lardon 2011 page 155 exo 8.12.
	
\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item 
	
	La somme des termes des diagonales ascendantes du triangle de pascal donne les termes de la suite de Fibonacci.
	
\end{enumerate}

\end{notabene}

\subsubsection{Nombre d'or et récurrence d'ordre 1.}

	\begin{notabene}
		
		Nombre d'or chevhet affinité: page 163 exo 141.
		
	\end{notabene}
	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}