%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Suites divergentes, limite infinie.}

\begin{lecon}
	Nous allons nous intéresser à un cas particulier de suite divergente: lorsque la suite prend des valeurs infiniment grandes ou infiniment petites.	
\end{lecon}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $+\infty$} (ou qu'elle \emph{\color{purple}tend vers $+\infty$}) si et seulement si,: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous avons également une définition de limite égale à $-\infty$. Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $-\infty$} si et seulement si,: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]-\infty,A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		\item On utilise le même terme limite mais la suite n'est pas pour autant convergente. La suite convergente se rapproche d'une valeur finie.
		\item Quelque soit le majorant $A$ supposé de la suite, on se rend compte qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes qui soient plus petits.		
		\item Une suite qui tend vers $\pm \infty$ est un cas particulier de suite divergente. Voici un schéma qui résume les possibilités lors de l'étude de la convergence d'une suite.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\ecarta{2};
			\def\ecartb{3};
			\def\hauteura{1};
			\def\hauteurb{0.75};
			\node (A1) at ({\ecarta},{\hauteura}) {Convergente.};
			\node (A2) at ({\ecarta},{-\hauteura}) {divergente.};
			\node (B2) at  ({\ecarta + \ecartb},{-\hauteura-\hauteurb}){Pas de limite.};
			\node (B1) at ({\ecarta + \ecartb},{-\hauteura+\hauteurb}) {Limite $\pm \infty$.};
			\draw (0,0) -- (A1);
			\draw (0,0) -- (A2);
			\draw (A2) -- (B1);
			\draw (A2) -- (B2);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item \objectif{Démontrons que la suite définie par $u_n=3n$ tend vers $+\infty$.}
		
		Soit $A \in\mathbb{R}$.
		
		Notons $N= \lfloor \frac{A}{3}\rfloor +1$.
		
		Si $n \geqslant N$ alors $n \geqslant \lfloor \frac{A}{3}\rfloor +1$ donc $3n \geqslant \lfloor \frac{A}{3}\rfloor +1>A$. Autrement dit $3n \in ]A;+\infty[$. 
		À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]A,+\infty[$.
		
		Quelque soit le réel $A$ l'intervalle $]A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Autrement dit:
				
		\begin{conclusion}
			$(3n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Suite des entiers.}

\begin{proposition}
	$\lim_{n\to +\infty} n=+\infty$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	C'est une tautologie.
\end{preuve}

\begin{exercice}
	La suite  $(u_n)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\left\{ \begin{array}{l} u_1=0 \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+1} \end{array} . \right.$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.		
		\item Conjecturez une expression explicite de $u_n$, pour $n$ entier supérieur à $1$.
		\item Démontrez la propriété conjecturée.		
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Suite des racines carrées.}

\begin{proposition}
	$\lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$.
\end{proposition}

\subsubsection{Unicité de la limite.}

\begin{proposition}
	Soient $p\in\mathbb{N}$, $(u_n)_{n\geqslant p}$, $\ell_1$ et $\ell_2$ des éléments de $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$ (donc des réels ou des infinis). Si $\ell_1$ et $\ell_2$ sont des limites de $(u_n)_{n\geqslant p}$ alors $\ell_1=\ell_2$.
\end{proposition}

\subsubsection{Suite bornée.}

\begin{proposition}
	Une suite admettant une limite infinie n'est pas bornée.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Par l'absurde.
\end{preuve}

\subsubsection{Opérations sur les limites finies et infinies.}

\begin{proposition}
	Soient $\alpha \in \mathbb{R}^*$, $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ une suite convergeant vers une réel $\ell_1$ et et $(v_n)_{n\geqslant q}$ admettant pour limite $+\infty$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} u_n+v_n=+\infty$.
		\item Si $\alpha>0$ alors $\lim_{n\to +\infty} \alpha u_n=+\infty$.
		\item Si $\alpha<0$ alors $\lim_{n\to +\infty} \alpha u_n=-\infty$.
		\item Si $\ell_1>0$ alors $\lim_{n\to +\infty} u_nv_n=+\infty$.
		\item Si $\ell_1<0$ alors $\lim_{n\to +\infty} u_nv_n=-\infty$.
		\item Si $(u_n)$ ne s'annule pas et si $\ell_1 > 0$ alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{v_n}{u_n}=+\infty$.
		\item Si $(u_n)$ ne s'annule pas et si $\ell_1 < 0$ alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{v_n}{u_n}=-\infty$.
		\item Si $(v_n)$ ne s'annule pas alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La plupart de ces résultats relèvent du bon sens (\og si ce nombre devient très grand et que je le multiplie par ...\fg{}). Ce qui est plus important c'est de bien connaître notre incompétence, ce qu'on appelle les formes indéterminées:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Si $\ell_1=0$ alors $u_nv_n=?$.
			\item Si $(u_n)$ ne s'annule pas et si $\ell_1 = 0$ alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{v_n}{u_n}=?$.
		\end{enumerate}
		\item Il y a des résultats semblables pour la limite $-\infty$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La suite de terme général $n+\frac{1}{n}$ tend vers $+\infty$.
		\item La suite de terme général $\frac{2}{3}\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$.
		\item La suite de terme général $-\sqrt{n}$ tend vers $-\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \left( 3+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) n=+\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \left( -5+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) n=-\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n}}{5+\frac{1}{n^2}}=+\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2}+\sqrt{n}}{-7+\frac{1}{n^3}}=-\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{1+\frac{1}{n^2}}{n}=0$.
		\item $\frac{1}{n^2} \times n^3$ conduit à une forme indéterminée (une simplification algébrique suffit pour lever l'indétermination).
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Calculez les limites des suites suivantes.
	\begin{tasks}(3)
		\task $\frac{4n+3}{2+\frac{1}{n}}$.
		\task $\frac{-2n}{1+\frac{1}{n^2}}$.
		\task $\left( 8+\sqrt{n} \right) \left( -1+\frac{1}{n}\right)$.
		\task $\frac{4}{\sqrt{n}+2}$.
		\task $\frac{\frac{1}{n}}{3-n}$.
		\task $n^{14}+\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez dans chaque cas la limite de la suite dont le terme général est donné (en levant éventuellement l'indétermination).
	\begin{tasks}(3)
		\task $n^4 \times \frac{1}{n^{12}}$.
		\task $n^4 \times \frac{1}{n^2}$.
		\task $\frac{1}{4n^2}\times n^2$.
		%\task %Diviser par $0$ avec la méthode de la leçon précédente ou essayer de faire un cas ici?
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Opérations sur les limites infinies.}

\begin{proposition}
	Soient $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ et $(v_n)_{n\geqslant q}$. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers $+\infty$, alors $(u_n+v_n)$ tend vers $+\infty$. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers $-\infty$, alors $(u_n+v_n)$ tend vers $-\infty$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Par contre la somme de suites tendant vers des infinis opposés conduit à des formes indéterminées.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ une suite tendant vers un infini et $(v_n)_{n\geqslant q}$ une suite tendant vers un infini. $(u_nv_n)$ tend vers $+\infty$ si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont des limites de même signe, sinon $(u_nv_n)$ tend vers $-\infty$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Par contre $\frac{u_n}{v_n}$ correspond à des formes indéterminées.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} n\sqrt{n}=+\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} n \times (-3\sqrt{n})=-\infty$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soit $m \in\mathbb{N}$. $\lim_{n\to +\infty} n^m=+\infty$.
\end{proposition}

\subsubsection{Lever une indétermination: factoriser par la plus grande puissance de $n$.}

\begin{lecon}
	Nous avons déjà évoqué cette astuce qui consiste factoriser par la fonction dominante en terme de croissance pour faire apparaître des croissances comparées. On l'utilise pour des divisions d'infinis ou des sommes d'infinis de signe opposé.
	
	Cette astuce est notamment mise en œuvre avec des expressions polynomiales ou des fractions rationnelles.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Si $u_n=n^3-n$ alors \emph{a priori} c'est une forme indéterminée. Factorisons par $n^3$: $u_n=n^3\left( 1-\frac{1}{n^2} \right)$. Avec cette expression il n'y a plus de forme indéterminée: $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.		
		\item $u_n=\frac{2n+1}{3n+7}$ correspond à une forme indéterminée, mais, en factorisant par  $n$ au numérateur et au dénominateur: $u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{7}{n}}$.
		
		Or $\lim_{n\to +\infty} 2 + \frac{1}{n}=2$ et $\lim_{n \to +\infty} 3+\frac{7}{n}=3$ donc $(u_n)$ converge et $\lim_{n\to + \infty} u_n=\frac{2}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Déterminez les limites des suites suivantes.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^2+n+\frac{1}{n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} \left( n^2-\frac{1}{n^2} \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4}{\sqrt{n}+n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^3+n+\frac{1}{\sqrt{n}}$.		
		\task $\displaystyle u_n=5n^2+3n\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} (2-n-2n^2)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^2+n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n^2 \left( \frac{2}{n+1} -1 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{3}{n} \left( \frac{3}{n^3}-5 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n = \frac{3}{1-2n}-\frac{2}{1-3n}$.		
		\task $\displaystyle u_n= 2-\frac{3}{6+\sqrt{n}}$.	
		\task $\displaystyle u_n= 2-n\sqrt{5n} + \frac{1}{n^2+1}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
		\task $\displaystyle u_n= n(n-4)(1-\sqrt{n})$.	
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $2$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Lever une indétermination: limite inverse en zéro.}

\begin{proposition}
	Soient $p\in\mathbb{N}$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ une suite dont tous les termes sont non nuls. Si $\lim_{n\to +\infty} u_n =0$ et si, quelque soit $n \geqslant p$, $u_n>0$ (respectivement $u_n<0$) alors $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{u_n}=+\infty$ (resp. $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{u_n}=-\infty$).
\end{proposition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		\item $\lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}}=+\infty$ car $\lim_{n\to +\infty} 1+\frac{1}{n}=1$, $\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}=0$ et $\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}}>0$ pour $n >0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Il existe une notation pour signifier que la suite est à termes et tend vers $0$: $\lim_{n\to +\infty} u_n=0^+$. De même si la suite tend vers $0$ par valeurs négatives on notera: $\lim_{n\to +\infty} u_n=0^{-}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Comparaison de limites.}

\begin{proposition}
	Soient $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ et $(v_n)_{n\geqslant q}$ deux suites. Si, à partir d'un certain rang, quel que soit $n$, $u_n\leqslant v_n$ et si $\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\to +\infty} v_n=+\infty$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On a un résultat semblable pour une suite majorée par une suite tendant vers $-\infty$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que pour tout entier $n\geqslant 4$, $u_n\geqslant 2^n$.		
		\item Déduisez-en la limite de $(u_n)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous l'utiliserons dans la démonstration de la limite d'une suite géométrique (confer infra).
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Théorème de la limite monotone.}

\begin{proposition}
	Soient $p\in\mathbb{N}$, $(u_n)_{n\geqslant p}$. Si $(u_n)_{n\geqslant p}$ est croissante (respectivement décroissante) et non majorée (resp. non minorée) alors $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ (resp. $\lim_{n\to +\infty} u_n=-\infty$).
\end{proposition}

\subsubsection{Suites géométriques-exponentielles.}

\begin{proposition}
	Soient $p\in\mathbb{N}$ et $q \in\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $q \in \{ 0;1\}$ alors $(q^n)_{n\geqslant p}$ est convergente.
		\item Si $q\in]1,+\infty[$ alors $q^n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		\item Si $q\in ]0;1[$ alors $q^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $q=0$ alors $(q^n)$ est la suite nulle qui converge vers $0$. Si $q=1$ alors $(q^n)$ est la suite constante égale à $1$ qui converge vers $1$.
		\item Nous avons vu l'inégalité de Bernoulli: $\forall (x,n)\in]-1,+\infty[ \times \mathbb{N},\ (x+1)^n \geqslant 1+nx$. Soit $n\in\mathbb{N}$ et $q>1$. Pour $x=q-1$: $q^n=((q-1)+1)^n\geqslant 1+n(q-1)$. Or $q-1>0$ donc $\lim_{n\to +\infty} 1+n(q-1)=+\infty$ puis par comparaison des limites: $\lim_{n\to +\infty} q^n=+\infty$.
		\item Si $q \in ]0;1[$ alors $\frac{1}{q}>1$ et donc $\lim_{n\to +\infty} q^n=\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\left( \frac{1}{q}\right)^n}=0$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
		\item $\lim_{x \to +\infty} 2^n=+\infty$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2^n}=\lim_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n=0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous avons vu qu'une suite géométrique est définie par une formule de récurrence mais nous savons aussi qu'elle est donnée par une formule explicite: $u_n=u_pq^{n-p}$. C'est à cause de cette dernière expression que la proposition peut être considéré comme décrivant toutes les suites de raison positive.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Déterminez la limite de la suite $(u_n)$ sachant que pour tout entier naturel $n$ $4-0,9^n\leqslant u_n \leqslant 4+0,1^n$.	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	$\lim_{n\to +\infty} \mathrm{e}^n=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} \mathrm{e}^{-n}=0$.
\end{proposition}

\subsubsection{Lever une indétermination: croissance comparée.}

\begin{proposition}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}=0$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^m}=0$ avec $m\in \mathbb{N}^*$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{n^m}{q^n}=0$ avec $m\in\mathbb{N}^*$ et $q >1$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \frac{q^n}{n!}=0$ avec $q>1$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat permet de lever des indéterminations du type infini diviser par infini. 
		\item Cette proposition se mémorise en y voyant une échelle de croissance de plus en plus forte vers $+\infty$. La croissance vers $+\infty$ de $(\ln(n))$ est négligeable par rapport à celle $(\sqrt(n))$. Celle de $(\sqrt(n))$ est négligeable devant celle $(n^m)$. Et cetera.
		\item Par transitivité (ou produit des termes généraux) on remarque, par exemple, que $(\ln(n))$ est négligeable par rapport à $(q^n)$.
		\item Cette comparaison se fait via des quotients et pour utiliser cette proposition il faudra souvent factoriser dans les expressions que nous utiliserons.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} 0,5^nn^2= \lim_{n\to +\infty} \frac{n^2}{2^n}=0$.
		\item $0,5^n (n^2+n-1)= 0,5^nn^2\left( 1 + \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \right)$ donc $\lim_{n\to +\infty} 0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}	
	Identifier parmi les suites dont le terme général est donné ci-après, les situations conduisant à une forme indéterminée lors de l'étude de la convergence, sinon donnez la limite.
	
	{\color{orange}\emph{On peut schématiquement résumer les formes indéterminées par:} \[ (+\infty)-(+\infty),\quad (-\infty)-(-\infty),\quad 0 \times \infty,\quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \frac{}{0^?}. \]}	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{2^n}$.
		\task $n^2 - 6^n$.
		\task $\sqrt{n^{-1}}+n!$.
		\task $2^{-n}+\sqrt{n}$.
		\task $n^{12}+\dfrac{1}{n^{100}}$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{n}}+n!+1$.
		\task $n^23^n$.
		\task $\dfrac{n^2}{n^{12}}$.
		\task $\dfrac{n!}{2^n}$.
		\task $n^{-2}\left( \dfrac{5}{4} \right)^n$.
		\task $\dfrac{n^{-3}}{\sqrt{n}}$.
		\task $n^5 2^{-n}$.
		\task $n^{-3}+ 0,5^n\sqrt{n}$.
		\task $\dfrac{1}{n^4} \times \mathrm{e}^n+4$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{\mathrm{e}^n}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Déterminez si elles existent les limites des suites suivantes.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n}$;
		\task $\displaystyle u_n=\frac{\cos(n)}{n^2}$;
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}$;
		\task $\displaystyle u_n=  \frac{1}{n}+3^n$;
		\task $\displaystyle u_n=\frac{\sin(n)}{n^3}$;
		\task $\displaystyle u_n = \frac{1}{6^n}$.
		\task $\displaystyle u_n = 0,5^n+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n = -n^3-2n^2$.
		\task $\displaystyle u_n = n^2+4n+1$.
		\task $\displaystyle u_n = 1+ \left( \frac{1}{6} \right)^n+n^3$.
		\task $\displaystyle u_n=n+(-1)^n+1$;		
		\task $\displaystyle u_n=n^2-\sin(n)+1$;	
		\task $\displaystyle u_n= \sin \left( \sqrt{\cos\left(n^2-n^n \right)} \right) -n-1$.
		\task $\displaystyle u_n = n!+\frac{1}{\sqrt{n}}$.
		\task $\displaystyle u_n = n!+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n = \left( \frac{99}{100} \right)^n \sin(n)$.
		\task $\displaystyle u_n = n^2+2n+(-1)^nn$.
		\task $\displaystyle u_n = 5-\frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(1)
		\task $-\frac{1}{n}\leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n^2}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{ \sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$: $u_n=1+ \frac{1}{n+(-1)^n}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que, pour tout entier $n$ tel que $n \geqslant 2$ on a: $\frac{1}{n+1} \leqslant u_n-1 \leqslant \frac{1}{n-1}$.	
		\item Déterminez les limites des suites de termes généraux: $\frac{1}{n+1} \ \text{et} \ \frac{1}{n-1}$.
		\item Concluez quant à la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $u_0=1 \ \text{et:}\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2n+3$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Écrivez un algorithme permettant de calculer les termes $u_0, \dots, u_n$, où $n$ est un entier saisi à la demande.		
		\item Programmez le précédent algorithme, exécutez-le puis donnez les termes $u_1$ à $u_{10}$.		
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n >n^2$.			
			\item Quelle est la limite de la suite  $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$?		
		\end{enumerate}		
		\item Conjecturez une expression de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de $n$ nombre entier naturel, puis démontrez la propriété ainsi conjecturée.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={termessuite}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,i,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def termessuite(n):
  u=[1]
  for i in range(1,n+1):
    u=u+[u[i-1]+2*(i-1)+3]
  return(u)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}		
		\item $u_1=4$, $u_2=9$, $u_3=16$, $u_4=25$, $u_5=36$, $u_6=49$, $u_7=64$, $u_8=81$, $u_9=100$, $u_{10}=121$.		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		D'après la formule de récurrence: $u_{n+1}-u_n=2n+3>0$ donc
		
		\begin{conclusion}			
			$(u_n)$ est strictement croissante.			
		\end{conclusion}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Par récurrence.
						
			{\color{orange}Remarquons que dans ce cas nous aurions du mal à définir une fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.}
			
			Clairement: $n^2+2n+3>n^2$.			
			\item $n^2 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $u_n>n^2$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.	
		\end{enumerate}		
		\item $u_n=(n+1)^2$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez, si possible la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $n^7+12$.
		\task $4^n-7$.
		\task $n^3+\dfrac{0,1^n}{\sqrt{n}}$.
		\task $\dfrac{1}{n}+4$.
		\task $n^{-4}+\sqrt{n}$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2} \right)^n+2+ \dfrac{1}{n^2}$.
		\task $n!n^2+2-\dfrac{1}{n^2}$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{2+\mathrm{e}^{-n}}$.
		\task $\dfrac{n^4+1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^n-4}$.
		\task $\dfrac{n\times 2^n}{3+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2}}$.
		\task $n!-\left( 2-n^2 \right)$.
		\task $n^2 \left( n^3+\dfrac{3}{\sqrt{n}} +1 \right)$.
		\task $2n^3+5n^2+n-12$.
		\task $-5n^3-2n^2-12n-3$.
		\task $4n^2-n+1$.
		\task $\dfrac{n^3}{n^2}$.
		\task $n^2+3^n+4-\dfrac{1}{n}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(4)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $4$.
		\task $+\infty$.
		\task $2$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task Indéterminée. $4n^2-n+1=n^2(4-\frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2}$. $+\infty$.
		\task Indéterminée. $\frac{n^3}{n^2}=n$. $+\infty$.
		\task $+\infty$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez les limites en levant l'indétermination.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^3-n+5$.		
		\task $\displaystyle u_n=n^4-n^2+1$.		
		\task $\displaystyle u_n= 3n\sqrt{n} -2n^3$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-\sqrt{n}}{n+3}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^2-n+4}{3n^2-2n+5}$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^2-3n$.		
		\task $\displaystyle u_n=4n^3-3n^2+2$.		
		\task $\displaystyle u_n=3n^4-3n^3-2n+1$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4n-1}{3n+1}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{2n^2-n+1}{3n^2+n+1}$.	
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n+4}-\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{4n^2+n+3}-2n$.	
		\task $\displaystyle u_n= n-\frac{n^2}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{2n+1} - \frac{n+3}{3n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2}{n+1}-\frac{n^2}{n+2}$.	
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(3)
		\task 
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée. La société dispose de deux points de location distincts, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location. On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B. D'après une étude statistique:
	\begin{itemize}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B. On considère un vélo de la société pris au hasard. Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants:	
	\begin{itemize}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins:		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}		
		\item
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par: $u_0=8\ \text{et} \ u_{n+1}= \sqrt{u_n+12}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$.
		\item On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
				\def\xY{-12.9};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8.9};
				\def\yZ{5.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-10, -5,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=-12:8.9] plot(\x,{sqrt(\x+12)});
				\draw[Green, thick][samples=100,domain=-0.25:5.9] plot(\x,{\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Construisez les premiers de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et conjecturez son comportement.
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$: $u_{n+1}-4 \leqslant \frac{1}{4} (u_n-4)$.			
			\item Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_n-4 \leqslant \frac{1}{4^{n-1}}$.
			
		\end{enumerate}		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite finie que l'on précisera.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$: $v_{n+1}= 1,4v_n-0,05v_n^2$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=1,4x-0,05x^2$.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Étudiez les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;8]$.			
			\item Représentez graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ avec le centimètre comme unité graphique, ainsi que les $10 $ premiers termes de la suite $(v_n)$.			
			\item Conjecturez son comportement.			
		\end{enumerate}		
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: $2 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8$.		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)$ admet une limite finie.		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrez que $f(x)-8=-0,05(x-20)(x-8)$.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Pour tout entier naturel $n$: $8-v_{n+1} \leqslant 0,9 \times (8-v_n)$.
			\item Déduisez-en que, pour tout entier naturel $n$: $8-v_n \leqslant 6 \times 0,9^n$.
			
			\item Concluez.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
	
	On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite
	progressivement éliminé.
	
	On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30\,\% par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
	
	On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1}  < 6$.
			\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
			\item Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}	
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
			\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
			\item Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
			
			Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un démographe étudie l'évolution de la population d'un pays. Depuis 1969 (cette année-là, ce pays comptait $\np{44500000}$ habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de $35$ pour mille et un taux de mortalité de $17$ pour mille. À ces variations, il faut ajouter $\np{25000}$ nouveaux arrivant dans ce pays et retirer $\np{9000}$ citoyens qui partent définitivement. On note $p_n$ la population de $1969+n$, exprimée en milliers d'habitants.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez $p_0$.		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: $p_{n+1}=1,018 p_n +16$.		
		\item Déterminez le réel $\ell$ tel que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $u_n=p_n-l$ soit géométrique.		
		\item Déduisez-en les expressions de $u_n$ et $p_n$ en fonction de $n$ entier naturel.		
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2012?		
		\item Au bout de combien d'années la population va-t-elle tripler, par rapport à celle de 1969?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $p_0=44500$.
		\item Pas des maths, de la modélisation $p_{n+1}=\left( 1+ \frac{35}{1000} -\frac{17}{1000} \right) \times p_n+25-9$.
		\item {\color{orange}Une astuce pour trouver $l$: c'est forcément un point fixe de la formule de récurrence.} $u_{n+1}=p_{n+1}-l=1,018p_n+16-l=1,018\left( p_n+ \frac{16-l}{1,018} \right)$ donc $\frac{16-l}{1,018}=-l \Leftrightarrow l=-\frac{16}{0,018}\Leftrightarrow l=-\frac{8000}{9}$.		
		\item $u_n=u_0 \times 1,018^n= (44500+\frac{8000}{9}) \times 1,018^n$.		
		$p_n=(44500+\frac{8000}{9}) \times 1,018^n- \frac{8000}{9}$.		
		\item $u_{43}\approx 96858,23903$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $u_0=1\ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n +n-2$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez $u_1$, $u_2$ et $u_3$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Écrivez un algorithme qui, pour une valeur $M\in\mathbb{R}$ donnée, renvoie un entier $n$ pour lequel $u_n>M$.			
			\item Programmez cet algorithme à l'aide d'une calculatrice, puis exécutez-le pour des valeurs de $M$ telles que $101$, $100$, $\np{1000}$.			
			\item Déduisez-en une conjecture sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.			
		\end{enumerate}		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$, si $n\geqslant 4$ alors: $u_n\geqslant 0$.		
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant 5$ alors: $u_n\geqslant n-3$.
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Partie A.
	
	On définit:	
	\begin{enumerate}[.]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ par $u_0=13$ et, pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+\frac{4}{5}$;
		\item la suite $(S_n)$ pour tout entier naturel $n$: $S_n= \sum_{k=0}^n u_k$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: $u_n=1+ \frac{12}{5^n}$. Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminez le sens de variation de la suite $(S_n)$.			
			\item Calculez $(S_n)$ en fonction de $n$.			
			\item Déterminez la imite de la suite $(S_n)$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}
	
	Partie B.
	
	Étant donnée une suite $(x_n)$, de nombres réels définie  pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(S_n)$ définie par: $S_n= \sum_{k=0}^n x_k$.
	
	Indiquez pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse; justifiez dans chaque cas.
	
	Proposition 1: \og si la suite $(x_n)$ est convergente alors la suite $(S_n)$ l'est aussi.
	
	Proposition 2: les suites $(u_n)$ et $(S_n)$ ont le même sens de variation.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par: $T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel } n, \: T_{n+1} = 0,955T_n + 0,9$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $T_n \geqslant 20$.
			\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $T_{n+1} -  T_n  = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
		\end{enumerate}	
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n =  T_n - 20$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
			\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$T_n =  20 + 160 \times  0,955^n$.
			\item Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
		\end{enumerate}	
		\item Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. 
		
		On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180 \degres$ C et celle de l'air ambiant de $20 \degres$ C.
				
		La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
		\begin{enumerate}
			\item Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
			\item On considère la fonction Python ci-dessous:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|}\hline
					def temp(x) :\\
					\quad T = 180\\
					\quad n = 0\\
					\quad while T $>$ x :\\
					\qquad T=0.955*T+0.9\\
					\qquad n=n+1\\
					\quad return n\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}			
			Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120).
			
			Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Hérédité: $x \mapsto 0,955+0,9$ est croissante.			
			\item $T_{n+1}-T_n=-0,045 (T_n-20)\leqslant 0$ suite décroissante.			
			\item Décroissante et minorée par $20$ donc convergente.			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Raison $0,955$.			
			\item 			
			\item $\lim_{n \to +\infty} 0,955^n=0$ car $0,955 \in ]-1;1[$.			
			\item $T_n \leqslant 120 \Leftrightarrow 0,955^n \leqslant \frac{120-20}{160} \Leftrightarrow n \geqslant \ln \left( \frac{120-20}{160} \right)$ ou à la calculatrice $11$.			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
			\item Temps d'attente en minutes pour obtenir une température inférieure à $120\degres$.			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Etranger_EuropeJ1_21_mars_2023_DV.pdf}{Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023}. Arbre probabiliste, suites, limites.
		
		\item Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}