%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Suites convergentes.}

\begin{lecon}
	Nous nous intéressons aux suites dont les valeurs semblent se stabiliser lorsque $n$ augmente.
\end{lecon}

\subsubsection{Définitions et vocabulaire.}

\begin{definition}	
	Soient $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite et $\ell \in\mathbb{R}$. Nous dirons que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}converge vers $\ell$} si et seulement si: quelque soit l'intervalle ouvert contenant $\ell$, il contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Lorsqu'une suite converge vers un réel $\ell$ nous dirons que \emph{\color{purple}la suite converge} ou que \emph{\color{purple}la suite est convergente} sans préciser la limite.
		\item En cas de convergence nous dirons que $\ell$ est une \emph{\color{purple}limite de} $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et nous noterons: $\color{purple}\lim_{n \to +\infty} u_n= 0$ ou $\color{purple}u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \ell$.
		\item Lorsqu'une suite ne converge pas on dit qu'\emph{\color{purple}elle diverge} ou qu'\emph{\color{purple}elle est divergente}.
		\item Lorsque nous serons confronté à une suite dont nous ne savons dire si elle converge ou diverge nous dirons que nous avons à faire à \emph{\color{purple}une forme indéterminée} (c'est une dénomination spécifique au lycée).
		\item Autrement dit si on délimite une petite zone autour de $\ell$ (en fait n'importe qu'elle zone) tous les points de la suite hormis un nombre fini d'entre eux sont dans cette zone.		
		\item La convergence est une propriété à l'infini qui ne dépend pas des premiers termes. Donc si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $\ell$ alors $(u_n)_{n\geqslant 7}$ converge aussi vers $\ell$.		
		\item Les intervalles ouverts doivent être imaginés comme des ensembles de plus en plus petit autour de $\ell$. Aussi petit soit l'intervalle ouvert contenant $\ell$ il contiendra tous les termes de la suite hormis quelques uns (un nombre fini en tout cas). Il y a un aspect dynamique dans cette définition: on peut se rapprocher autant qu'on le veut de $\ell$, ça ne change rien.		
		\item Les intervalles doivent être ouverts car, sauf si la suite est stationnaire, la valeur limite n'est pas atteinte, et donc l'intervalle fermé $[\ell;\ell]$ qui contient $\ell$ ne contient, en général, aucun terme de la suite.		
		\item Le plus souvent dans les démonstrations nous travaillerons avec des intervalles ouverts centrés sur la limite $\ell$ et de rayon $r$: $]\ell-r , \ell+r[$. Mais ceci ne change rien à la généralité des résultats.		
		\item Interprétation graphique typique pour une suite définie par une formule explicite.		
		\begin{center}			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{34};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \x/\y in{0/6, 1/4, 2/1, 3/4, 4/6, 5/8, 6/11, 7/13, 8/12, 9/11.5, 10/11, 11/10.75, 12/ 10.5, 13/10.25, 14/10, 15/9.75, 16/9.5, 17/9.4, 18/9.3, 19/9.2, 20/9.1, 21/9, 22/8.9, 23/8.8, 24/8.7, 25/8.8, 26/8.9, 27/9, 28/9.1, 29/9.2, 30/9.1, 31/9, 32/8.9, 33/8.8, 34/8.7} \draw (\x,\y)node{$\bullet$};
			\foreach \x/\y in{0/6, 1/4, 2/1, 3/4, 4/6, 5/8, 6/11} \draw (\x,\y)node[below]{$u_{\x}$};
			\foreach \x/\y in{ 7/13, 9/11.5, 11/10.75} \draw (\x,\y)node[above]{$u_{\x}$};
			\draw[very thick,violet]({\xZ},9)--(-2,9);
			\draw[very thick,violet,dashed]({\xZ},11)--(-2,11);
			\draw[very thick,violet,dashed]({\xZ},7)--(-2,7);
			\draw({-3},9) node[fill=white]{\color{violet}$\ell$};
			\draw[>=latex,<->] (-1,9)--(-1,11)node[midway,left]{$r$};
			\draw[>=latex,<->] (-1,9)--(-1,7)node[midway,left]{$r$};
			\fill[color=violet,opacity=0.20] (0,7)--(34,7)--(34,11)--(0,11)--(0,7);
			\end{tikzpicture}			
		\end{center}		
		À partir de $u_{11}$ les termes de la suite sont tous dans l'intervalle ouvert $]\ell-r , \ell +r[$.		
		\item Interprétation graphique typique pour une suite définie par une formule de récurrence.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
			\def\xY{0};
			\def\yY{-1.25};
			\def\xZ{20};
			\def\yZ{1.25};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$u_n$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[above,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \x/\y in{0/1, 1/3, 2/6, 3/10, 4/15, 5/13, 6/10.5, 7/10.25, 8/10.3, 9/10.4, 10/10.5, 1/10.6} \draw (\y,0)node{$\bullet$};
			\foreach \x/\y in{0/1, 2/6, 4/15, 6/10.5} \draw (\y,0)node[below]{$u_{\x}$};
			\foreach \x/\y in{1/3, 3/10, 4/15, 5/13} \draw (\y,0)node[above]{$u_{\x}$};
			\draw (9,0)node[violet]{\Large $]$};
			\draw (13,0)node[violet]{\Large $[$};
			\fill[color=violet,opacity=0.20] (9,-1)--(13,-1)--(13,1)--(9,1)--(9,-1);
			\draw[>=latex,<->] (9,-1.5)--(11,-1.5)node[midway,below]{$r$};
			\draw[>=latex,<->] (13,-1.5)--(11,-1.5)node[midway,below]{$r$};
			\draw[violet,very thick] (11,-1)--(11,1) node[above]{\color{violet}$\ell$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Cette définition est un outil (assez théorique c'est vrai) pour démontrer qu'une suite est convergente. Nous en verrons d'autres dans cette leçon.		
		\item Remarquons que la limite éventuelle d'une suite devra être conjecturée (merci la calculatrice).		
		\item C'est comme si la suite était infiniment bornée à l'infini.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les suites constantes	convergent et leurs limites sont leurs valeurs. Si $(u_n)$ est la suite constante égale à $2$ alors $\lim_{n\to +\infty} u_n=2$.
		\item Toute suite stationnaire (constante à partir d'un certain rang) est convergente.
		\item Notons, pour $n\in\mathbb{N}$, $u_n=0,\underset{n \text{ chiffres }3}{\underbrace{33\dots 3}}$ une suite de nombres décimaux. Il es assez intuitif d'écrire que $\lim_{n\to +\infty}u_n=0,333\dots=\frac{1}{3}$. L'idée se généralise: tout nombre est la limite de la suite de ses valeurs approchées.	
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Suite des inverses.}

\begin{lecon}
	Notons $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}^*$. Nous avons déjà conjecturé en classe de première que cette suite converge vers $0$. Démontrons-le.
\end{lecon}

\begin{proposition}
	$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}= 0$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\objectif{Démontrons que la suite $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.}
	
	Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<0<b$. Ainsi $I=]a,b[$ est un intervalle ouvert contenant $0$.		
	\begin{enumerate}[*]
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Analyse.
			
			Concrètement cette phase est une phase de recherche. On cherche la valeur du rang à partir duquel les termes de la suite sont dans l'intervalle $I$ en faisant comme si on l'avait déjà trouvé.
			
			Supposons que nous ayons trouvé un nombre entier $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$: pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, si $n\geqslant N$, alors $u_n\in I$. Autrement dit: \[ a<u_n<b.\] Donc: $\frac{1}{n} <b$, \emph{i.e.}, la fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$: $n>\frac{1}{b}$.
		}			
		\item {\color{orange}Synthèse.}
			
		Soit $N= \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor$.
		
		Si nous prenons $n$ plus grand que le rang $N$ alors:
		
		\begin{align*}
			n &\geqslant N\\
			n &\geqslant \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor\\
			n &> \frac{1}{b}\\
			\intertext{Puisque la fonction inverse est strictement  décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$:}
			\frac{1}{n} &< b
		\end{align*}
		
		Comme de plus $a<0< \frac{1}{n}$ nous avons bien: $a < \frac{1}{n} <b$. 
		
		Autrement dit: $\frac{1}{n} \in ]a,b[$.
		
		À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]a,b[$.
		
	\end{enumerate}
	
	Quel que soit l'intervalle $I$ contenant $0$ il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$.
	
	Autrement dit, par définition:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La suite $\left( \frac{1}{n}\right)_{n\geqslant 1}$ n'est pas stationnaire. Les nombres $\frac{1}{n}$ ne sont jamais égaux à la limite $0$. Ils s'en approchent indéfiniment.
		\item c'est une première suite de référence dont il faut connaître par cœur la limite. Cette suite est appelée la suite des inverses.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Suite inverse de racine carrée.}

\begin{proposition}
	$\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$. 
	
	Notons $N=\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon^2} \right\rfloor+1$ (magie...).
	
	Démontrons que, à partir du rang $N$, tous les termes de la suite sont dans $]-\varepsilon,\varepsilon[$.
	
	Soit $n\geqslant N$.
	
	$n\geqslant N>\frac{1}{\varepsilon^2}>0$ donc, la fonction racine carrée étant strictement croissante, $\sqrt{n}> \frac{1}{\varepsilon}>0$. La fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, $\frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon$. Comme de plus $\frac{1}{\sqrt{n}}>0 >-\varepsilon$ nous avons bien $\frac{1}{\sqrt{n}} \in]-\varepsilon , \varepsilon[$.
	
	\begin{conclusion}
		Nous avons démontré que $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} =0$.
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\subsubsection{Unicité de la limite.}

\begin{proposition}
	Soient $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle, $\ell_1$ et $\ell_2$ des nombres réels. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$ et $\ell_2$, alors $\ell_1=\ell_2$.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	{\color{orange}Nous allons utiliser un procédé très classique pour démontrer l'unicité d'un objet mathématique: nous allons supposer qu'il en existe deux, \emph{a priori} distincts, et démontrer qu'ils sont nécessairement égaux.}
	
	Supposons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$ et $\ell_2$.
	
	\objectif{Démontrons que $\ell_1=\ell_2$ en raisonnant par l'absurde.}
	
	Supposons donc que $\ell_1< \ell_2$ et démontrons que cela conduit à une contradiction.
	
	Soit $r = \frac{1}{3} (\ell_2- \ell_1)$.
	
	{\color{orange}L'idée est que nous devrions avoir tous les points de la suite (hormis un nombre fini d'entre eux) dans deux intervalles disjoints ce qui est impossible.
		
	Ci-dessous une représentation graphique des deux intervalles que nous allons considérer: $]\ell_1-r, \ell_1+r[$ et $]\ell_2-r, \ell_2+r[$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
		\draw [red] (-0.5,1) node {$\ell_1$};
		\draw [red] (-0.5,3) node {$\ell_2$};
		\draw [red] (0,1) -- ({\xZ},1);
		\draw [red] (0,3) -- ({\xZ},3);
		\fill [color=pink, opacity=0.25] ({\xY},{1-2/3}) -- ({\xZ},{1-2/3}) -- ({\xZ},{1+2/3}) -- ({\xY},{1+2/3}) -- cycle;
		\draw [black, >=latex, <->] (1,{1-2/3}) -- (1,{1+2/3});
		\fill [color=pink, opacity=0.25] ({\xY},{3-2/3}) -- ({\xZ},{3-2/3}) -- ({\xZ},{3+2/3}) -- ({\xY},{3+2/3}) -- cycle;
		\draw [black, >=latex, <->] (1,{3-2/3}) -- (1,{3+2/3});
		\draw [black, >=latex, <->] (0.5,{1+2/3}) -- (0.5,{3-2/3});
		\draw [black] (0.25,{2}) node {$r$};
		\draw [black] (1.25,{1+0.25}) node {$+r$};
		\draw [black] (1.25,{1-0.25}) node {$-r$};
		\draw [black] (1.25,{3+0.25}) node {$+r$};
		\draw [black] (1.25,{3-0.25}) node {$-r$};
		\foreach \x/\y in{2/3.75, 3/3, 4/2, 5/1, 6/1.5, 7/2.75, 8/3.25} \draw [blue] (\x,\y)node{$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	}
	Puisque $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$, à partir d'un certain rang $N_1 \in \mathbb{N}$ tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert $]\ell_1-r,\ell_1+r[$. Ainsi pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $n\geqslant N_1$ alors \[ \ell_1-r < u_n < \ell_1+r. \]
	
	{\color{orange}Autrement dit tous les termes de la suite, hormis les premiers, sont dans la zone colorée en rose autour de $\ell_1$.}
	
	De la même façon il existe $N_2\in \mathbb{N}$ un rang à partir duquel pour tout $n \in \mathbb{N}$ si $n \geqslant N_2$ alors: \[ \ell_2-r < u_n <\ell_2+r. \]
	
	{\color{orange}Autrement dit tous les termes de la suite, hormis les premiers, sont dans la zone colorée en rose autour de $\ell_2$.}
	
	Mais donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n \geqslant \max(N_1,N_2)$, alors: $u_n< \ell_1+r<\ell_2-r < u_n$.
	
	Autrement dit: $u_n< u_n$, ce qui est impossible.
	
	Nous avons donc démontré par l'absurde que, nécessairement $l_1=l_2$.
	
	Autrement dit
	
	\begin{conclusion}	
		la limite d'une suite convergente est unique.
	\end{conclusion}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat démontre l'unicité de la limite d'une suite.
		\item Nous pourrons donc maintenant parler de \underline{la} limite d'une suite.
		\item Ce résultat permet également, grâce à sa contraposée, d'établir que certaines suites ne sont pas convergentes: si la suite des termes de rangs pairs et celle des termes de rangs impairs ne converge pas vers la même limite alors la suite ne converge pas (et même elle n'a pas de limite). Vous aurez extrêmement rarement à démontrer qu'une suite n'a pas de limite.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\subsubsection{Suite bornée.}

\begin{definition}
	Soit $p\in\mathbb{N}$. Nous dirons qu'une suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est \emph{\color{purple}bornée} si et seulement si il existe un encadrement de $u_n$ valable quel que soit $n\geqslant p$. Autrement dit il existe des réels $m$ et $M$ tels que: $\forall n\in\mathbb{N},\ m\leqslant u_n \leqslant M$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans ce cas $m$ est appelé \emph{\color{purple}un minorant} de la suite et $M$ \emph{\color{purple}un majorant}. Attention minorant et majorant ne sont pas nécessairement des minima et maxima.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Toute suite convergente est bornée.
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\begin{notabene}		
		Faire un schéma. AVec le maximum des premiers termes inférieur au majorant des suivants et parcontre un minimum qui soit inférieru au minorant des autres termes.		
	\end{notabene}	
	Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers un réelle $\ell$.
	
	Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<\ell<b$. 
	
	$]a,b[$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$ donc, par définition de la convergence, il existe un rang $N\in \mathbb{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $]a,b[$. Donc les termes $u_n$ pour $n\geqslant N$ sont bornés par $a$ et $b$.
	
	Si maintenant $0\leqslant n<N$ alors les $u_n$ sont mieux que bornés: ils ont un maximum $M$ et un minimum $m$, car il y en a un nombre fini.
	
	Le majorant global est donc $\max(M,b)$ et le minorant $\min(m,a)$.	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	La suite $(-1)^n$ est bornée mais divergente.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$-1 \leqslant (-1) \leqslant 1$ et les suites de termes de rangs pairs et impaires converge vers de limites différentes ce qui contredirait l'unicité de la limite donc elle diverge.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat démontre que la réciproque de la précédente proposition est fausse. Toutes les suites bornées ne sont pas forcément convergente.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Opérations sur les limites.}

\begin{proposition}
	Soient $\alpha \in \mathbb{R}$, $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ et $(v_n)_{n\geqslant q}$ deux suites convergeant respectivement vers $\ell_1$ et $\ell_2$ des réels.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{n\to +\infty} u_n+v_n=\ell_1 + \ell_2$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} \alpha u_n=\alpha \ell_1$.
		\item $\lim_{n\to +\infty} u_nv_n=\ell_1\ell2$.
		\item Si $(v_n)$ ne s'annule pas et si $\ell_2 \ne 0$ alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=\frac{\ell_1}{\ell_2}$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les opérations sur les suites convergentes se traduisent par les mêmes opérations sur les limites (sauf la division par $0$ bien entendu).
		\item Les deux premiers points établissent que l'ensemble des suites convergentes est stable par combinaisons linéaires et donc que c'est un espace vectoriel.
		\item Notons et retenons une forme indéterminée: si $(v_n)$ ne s'annule pas et si $\ell_2 =0$ alors, $\lim_{n\to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=?$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item En considérant la suite des inverses et une suite constante égale à $-7$ nous pouvons donc affirmer: $\lim_{n\to +\infty} \frac{3}{n}-7=3 \times 0-7=-7$.
		\item $\left( -\frac{1}{n} \right)_{n\geqslant 1}$ converge vers $0$ (obtenue en multipliant par $-1$.
		\item Par contre nous ne pouvons a priori rien dire pour la suite $\left( \frac{1}{n}\div \frac{1}{n} \right)$: c'est une forme indéterminée. Cependant en modifiant l'écriture, $\frac{1}{n} \div \frac{1}{n}=1$, nous voyons qu'il s'agit en fait d'une suite constante donc convergente vers $1$. Si la limite du dénominateur est nulle il faudra essayer de lever l'indétermination sur la limite par d'autres biais (comme ici une ré-écriture de la formule). C'était déjà ce procédé que vous utilisiez pour les limites de taux d'accroissement en première.
		\item Notons $u_n=\frac{\left( 3+\frac{1}{n} \right)^2-3^2}{\frac{1}{n}}$ pour $n\geqslant 1$. $u_n$ est un taux d'accroissement de la fonction carré entre $3$ et $3 +\frac{1}{n}$. On retrouve comme l'année dernière une forme indéterminé (division par zéro) mais nous pouvons lever l'indétermination en écrivant: $u_n=\frac{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}-9}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{1}{n}\left( 6+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=6+\frac{1}{n}$. Or $\lim_{n\to +\infty}6+\frac{1}{n}=6$.
		\item $\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{\sqrt{n}}{n} \times \frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{1}{n}$ donc par produit $\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2}=0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soit $m \in\mathbb{N}$. $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^m}=0$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$\frac{1}{n^m}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{n} \times \dots \times \frac{1}{n}$ et on utilise la précédente proposition.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les suites $\left( \frac{1}{n^m} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ font maintenant partie des suites de références dont nous pourrons utiliser la limite sans la justifier.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Calculez la limite de la suite dont on donne un terme général dans chaque cas.
	\begin{tasks}(4)
		\task $\frac{1}{n}+4$.
		\task $\frac{3}{n}-13$.
		\task $\frac{4}{\sqrt{n}}+\frac{8}{n^2}$.
		\task $\frac{1}{\sqrt{n}n^2}$.
		\task $\frac{1}{13n^2}$.
		\task $1+\frac{-6}{7n^8}$.
		\task $\frac{8-\frac{1}{n^2}}{-6}$.
		\task $\frac{1}{n^3} \left( 2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \right)$.
		\task $\frac{-6+\frac{4}{n}-\frac{2}{n^2}}{7-\frac{1}{n}}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{lecon}
	Dans l'exercice qui suit nous allons voir et mettre en œuvre une astuce algébrique pour lever l'indétermination dans certains calculs: factoriser par la plus grande puissance de $n$.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Vérifiez que la suite dont on donne le terme général correspond (a priori) à un forme indéterminée de limite puis levez l'indétermination (en factorisant par la plus grande puissance de $n$ au numérateur et au dénominateur ou tout autre procédé permettant de retrouver des limites connues) et en déterminant la limite.
	\begin{tasks}(3)
		\task $\frac{n^3}{n^9}$.
		\task $\frac{\sqrt{n}}{n}$.
		\task $\frac{n^2-6\sqrt{n}+7}{-5n^2+n\sqrt{n}}$.
		\task $\frac{n^2+6n+3}{n^3-5n-12}$.
		\task $\frac{3n^4-n+1}{5n^4+4n^3+n^2+3}$.
		\task $\frac{-7n^2+n-12}{n^7}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Comparaison de limites.}

\begin{proposition}
	Soient $(p,q,r)\in\mathbb{R}^3$, $(u_n)_{n\geqslant p}$, $(v_n)_{n\in\geqslant q}$ et $(w_n)_{n\geqslant r}$ trois suites convergentes. Si pour un certain rang $N\in\mathbb{N}$ on a: $\forall n\geqslant N,\ u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$, alors $\lim_{n\to +\infty}u_n \leqslant \lim_{n\to +\infty}v_n \leqslant \lim_{n\to +\infty}w_n$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Même si l'encadrement est stricte sur les suites l'encadrement sur les limites est forcément large comme le montre cet exemple: $1-\frac{1}{n}<1+\frac{1}{n}$ et pourtant $\lim_{n\to +\infty} 1-\frac{1}{n}=\lim_{n\to +\infty} 1+\frac{1}{n}=1$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $(p,q,r)\in\mathbb{R}^3$, $(u_n)_{n\geqslant p}$, $(v_n)_{n\in\geqslant q}$ et $(w_n)_{n\geqslant r}$ trois suites. Si $(u_n)_{n\geqslant p}$ et $(w_n)_{n\geqslant r}$ converge vers une même limite $\ell$ et si, pour un certain rang $N\in\mathbb{N}$, on a: $\forall n\geqslant N,\ u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$, alors $\lim_{n\to +\infty}v_n =\ell$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a< \ell <b$.
	
	Puisque $\lim_{n\to + \infty} u_n = \ell$, il existe un rang $N_1 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $u_n \in ]a,b[$.
	
	De même il existe un rang $N_2 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $w_n \in ]a,b[$.
	
	Donc à partir du rang $N=\max(N_1,N_2)$, $u_n \in ]a,b[$ et $v_n \in ]a,b[$.
	
	Puisque $u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$, forcément $v_n \in ]a,b[$.
	
	Ainsi quel qu soit l'intervalle ouvert $]a,b[$ contenant $\ell$, à partir d'un certain rang, cet intervalle contient tous les termes de la suite $(v_n)$.
	
	\begin{conclusion}		
		$(v_n)$ converge vers $\ell$.
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat est appelé \emph{\color{purple}théorème des gendarmes} (ou des sandwichs).
		\item Ce résultat permet de déterminer des limites pour des suites dont éventuellement on ne connais pas la formule explicite ou du moins qui ne s'exprimer comme des sommes ou produit de suites de référence.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\left( \frac{\cos(n)}{n} \right)_{n\geqslant 1}$ semble difficile à étudier mais nous savons que $-1 \leqslant \cos(n\leqslant 1$ donc $-\frac{1}{n}\leqslant \frac{\cos(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}$. Or $\lim_{n\to +\infty} -\frac{1}{n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes $\lim_{n\to +\infty} \frac{\cos(n)}{n}=0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Démontrez que $\left( \frac{(-1)^n}{n^7} \right)_{n\geqslant 1}$ converge et précisez sa limite.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Démontrez que $\left( \frac{\sin(n^2+1)}{n^4} \right)_{n\geqslant 1}$ converge et précisez sa limite.
\end{exercice}

\subsubsection{Théorème de la limite monotone.}

\begin{theoreme}
	Toute suite croissante (respectivement décroissante) et majorée par un réel $M$ (resp. minorée par un réel $m$) est convergente vers un réel $\ell$ et $\ell \leqslant M$ (resp. $m\leqslant \ell$).
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	$\{ u_n\ | n\geqslant p\}$ est une parti non vide est majorée de $\mathbb{R}$ donc admet une borne supérieure $\ell$. Reste à démontrer que la suite converge vers $\ell$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Comme beaucoup de théorème d'existence, c'est un résultat très important. Grâce à ce théorème on pourra savoir si les suites monotones converges ou pas même si nous ne sommes pas capable de trouver la limite de cette suite.		
		\item L'utilisation de ce résultat se prolonge en général par une recherche d'encadrement de la limite par divers procédés notamment algorithmiques ou une utilisation du théorème du point fixe.
		\item En général la limite n'est pas le majorant ou le minorant: $\ell \ne M$ et $\ell\ne m$. Si c'est le cas il faut le démontrer en plus.
		\item Nous utiliserons tout particulièrement ce  résultat pour les suites définies par récurrences pour lesquelles nous pourrons pas utiliser les opérations sur les limites.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item La suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ définie, quel que soit $n \geqslant 1$, par $u_n=\frac{2n+1}{n+3}$ est croissante et majorée (démontrable algébriquement) par $3$ donc elle converge vers un réel $\ell$ et $\ell \leqslant 3$. Nous verrons bientôt que sa limite n'est pas trois mais $2$.
		\item $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par: $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6v_n-1,6v_n^2$. Nous avons déjà démontré par récurrence que $0\leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}$. Nous en déduisons que la suite et croissante et majorée par $\frac{1}{2}$, et donc, qu'elle converge vers un réels $\ell$ tel que $\ell \leqslant \frac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}	
	On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0=8 \ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Démontrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.	
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et donnez un minorant de la limite.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Posons $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $3 \geqslant u_{n+1}\geqslant u_n$.
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		Problème de Bâle résolu en 1735 par Euler la limite est $\frac{\pi^2}{6}$.		
	\end{notabene}
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$. Prouvez que $(u_n)$ est croissante et majorée puis concluez. Pour établir la majoration on établira; pour tout entier $k>1$: $\frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1}= - \frac{1}{k}$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Montrez que la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ converge.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		Nombre d'Apéry}
	\end{notabene}
	On pose pour tout entier supérieur ou égale à $1$: $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}= frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{1}{n^3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)$ est croissante.
		\item Montrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$: $u_n\leqslant 2-\frac{1}{n}$.
		\item Qu'en conclure?
		\item Soit $\varepsilon>0$.
		Écrivez un algorithme qui renvoie une valeur approchée à $\varepsilon$ près de la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}