%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Étude de la convergence de suites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Étude de la convergence de suites.}

\begin{notabene}
	
	BO
	
	La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s'appuyant notam-
	ment sur la vision géométrique et sur l'écriture décimale. On explicite ensuite les
	définitions mais la maîtrise complète du formalisme n'est pas un attendu.
	
	ne pratique solide des aspects opératoires
	(détermination de limites) et d'introduire la problématique des théorèmes d'exis-
	tence, notamment la convergence d'une suite croissante majorée
	
	Lors de l'étude d'une suite, on distingue les aspects globaux des aspects asymp-
	totiques. Les élèves doivent disposer d'un répertoire d'exemples suffisamment riche
	pour éviter les confusions entre propriétés.
	
\end{notabene}

\subsection{Exemples introductifs.}

\begin{notabene}
	
	Que ce passe-t-il à l'infini? Nous ne pouvons pas le voir mais le deviner.
	
\end{notabene}

\subsubsection{$0,999\dots=1$.}

\begin{notabene}
	
	On regarde sur la suite $u_1=0,9$, $u_2=0,99$ et on regarde sur la droite des réels.
	
	Tous les nombres irrationnels sont des telles suites infinies.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Achille et la tortue.}

\begin{notabene}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Paradoxe de Zénon d'Élée.
		
		\item Version encore plus simple: rejoindre un point en faisant à chaque fois la moitié de la distance restante.
		
		Un exemple de suite qui au-delà des aspects paradoxaux historiques semble très simple. Les termes de la suite de la distance séparant Achille de sa cible, se rapprochent de $0$ si on les dessine dans un repère.
		
		On regarde également ce qui se passe pour la suite des chiffres de l'écriture décimale des termes de la suite: on voit des zéros apparaître.
		
		Nous ne pouvons pas continuer de vérifier jusqu'à l'infini. Il faut que nous ayons un procédé de démonstration une définition: aussi proche que nous soyons de $0$ nous voyons qu'il y a des termes de la suite qui sont a une distance inférieure.
		
		\item Exemple avec Géogébra. $\frac{\sin(n+1)}{\sqrt{n+1}}+2$.
		
		Idée de la masse (les points comme des masses à la façon d'Archimède pour les segments) infinie qui est au voisinage quelque soit le voisinage. 
		
		D'abord dessiner des points puis faire avec la trace des points.
		
		Conjecturer la convergence . Faire apparaître la droite de la limite.
		
		Puis jouer sur le zoom de l'axe pour voir apparaître le fait que tous les points semble se rapprocher: maj+roulette sur l'axe des abscisses.
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
		
	Le fichier Géogébra à télécharger: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_02_etude_de_la_convergence_de_suites_01_suite_convergente.ggb}{lien}.
	
	Le logiciel en ligne pour l'ouvrir: \href{https://www.geogebra.org/classic}{Géogébra}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Plusieurs valeurs d'adhérence.}

\begin{notabene}
	
	$u_n=\frac{1}{100}-\frac{(-1)^n}{100}+ \frac{1}{200} - \frac{(-1)^{n+1}}{200}+\left( \frac{9}{10} \right)^n$.
			
	Illustration de trois choses:
	
	\begin{itemize}
		\item les graphiques et les conjectures peuvent être trompeuses, il faut le formalisme mathématiques pour éviter toute erreur.
		
		\item l'idée qu'il y a des termes de la suite qui se rapproche de la valeur limite ne suffit pas: il y a deux valeurs d'adhérence. Il faut que tous les points hormis un nombre fini d'entre-eux soient proches de la limite.
		
		\item Il faut un aspect dynamique: en se rapprochant autant qu'on le souhaite de la limite.
		
	\end{itemize}
	
	Au lieu de parler de distance  nous adopterons, conformément au programme, un point de vu plus général en considérant l'appartenance à un intervalle ouvert. Petit rappel sur le lien intervalle ouvert et distance: centre, amplitude, rayon.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\begin{notabene}		
		
		Commencer par trace sans zoom: la suite semble tendre vers $0$.
		
		Pour zoomer sur un axe Maj + roullette sur l'axe.
		
		Après zoom: non seulement ça ne tend pas vers 0 mais en plus ça ne se rapproche pas d'une seule valeur.
		
	\end{notabene}
	
	Le fichier Géogébra à télécharger: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_02_etude_de_la_convergence_de_suites_02_suite_deux_valeurs_d_adherence.ggb}{lien}.
	
	Le logiciel en ligne pour l'ouvrir: \href{https://www.geogebra.org/classic}{Géogébra}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Divergence vers l'infini.}

\begin{notabene}
	
	Suite géométrique: $2^n$ ou $\mathrm{e}^n$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
		
	Le fichier Géogébra à télécharger: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_02_etude_de_la_convergence_de_suites_03_exponentielle.ggb}{lien}.
	
	Le logiciel en ligne pour l'ouvrir: \href{https://www.geogebra.org/classic}{Géogébra}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Divergence sans limite.}

\begin{notabene}
	
	Exemple avec $\sin$ mais évoquer la suite des chiffres du nombres $\pi$: $u_0=3$, $u_1=1$, $u_2=4$, ...
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Le fichier Géogébra à télécharger: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_02_etude_de_la_convergence_de_suites_04_sinus.ggb}{lien}.
	
	Le logiciel en ligne pour l'ouvrir: \href{https://www.geogebra.org/classic}{Géogébra}.
	
\end{lecon}


\subsection{Majorant, minorant.}

\begin{lecon}
	
	Dans les exemples nous avons indiqué que les valeurs possibles pour la suite sont limités. Introduisons ici le vocabulaire correspondant.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Rapide, lecture et exemples puis exercices.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle,
		
		\item $M$ et $m$ deux réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}majorée} par $M$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}minorée} par $m$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}bornée} si elle est à la fois majorée et minorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un majorant n'est pas un maximum. Pas plus qu'un minorant n'est un minimum.
		
		Cependant un maximum est un majorant et un minimum un minorant.
		
		\item Ainsi une suite est bornée s'il est possible de trouver des nombres $m$ et $M$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n \leqslant M$.
		
		\item Trouver un minorant et un majorant pour une suite c'est limiter les possibilités de valeurs des termes de la suite. Dans de nombreux cas il faut se contenter de cela.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par une étude de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ on obtient aisément: $0<\frac{1}{x} \leqslant 1$.
		
		Donc $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est minorée par $0$, $-1$, $-234,5$ et majorée par $1$, $3$, $\np{20000}$. Donc elle est bornée.
		
		Remarquons également que cette suite a un maximum mais pas de minimum.
		
		\item $\left( \cos(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( \sin(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ sont bornées puisque nous savons que les fonctions sinus et cosinus sont, par construction, bornées par $-1$ et $1$.
		
		\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ est bornée: $0\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		
		Soit $\mathscr{P}(n)$: \og $0\leqslant u_n \leqslant 2$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $0\leqslant u_0\leqslant 2$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ l'est aussi.
			
			Par hypothèse de récurrence: \[ 0 \leqslant u_n \leqslant 2.\]
			
			Donc: \[ 0+1 \leqslant 1+u_n \leqslant 2+1.\]
			
			La fonction racine carrée étant croissante sur $\mathbb{R}_+$ nous en déduisons: \[ \sqrt{1} \leqslant \sqrt{1+u_n} \leqslant \sqrt{3}.\]
			
			Par conséquent (puisque $\sqrt{3} \leqslant \sqrt{4}=2$): \[ 0 \leqslant u_n{n+1} \leqslant 2. \]
			
			Autrement dit $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant u_n \leqslant 2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Radioactivity ~ Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée.}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 50 51, 52,
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si chacune des suites proposée est minorée, majorée ou bornée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n+3}{2n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-1}{2n-3}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+1}{n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=(-1)^n\times \frac{n^2}{n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+1}-n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\pi^n-3^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+n+1}-2n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n} \sin \left( \frac{1}{n} \right)$, pour $n\in\mathbb{N}^*$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \sin\left( 2^n\times \pi \right)$.
		
	\end{tasks}	
		
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Dans tous les cas il faut calculer les premiers termes pour émettre une conjecture.
		
		Avec une formule explicite il est parfois possible de deviner l'allure de la courbe représentative sans faire d'étude approfondie.}
	
	\begin{tasks}
		\task Clairement minorée par $0$. $(u_n)$ décroissante et $u_0=3$ donc majorée par $3$.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item En utilisant la forme canonique de l'homographie: $u_n=\frac{\frac{1}{2} (2n-3)}{2n-3} +\frac{\frac{3}{2}-1}{2n-3}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{n-\frac{3}{2}}$
			
			Le tableau de variation de $f:x \mapsto \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{3}}{x-\frac{3}{2}}$ est:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,  $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$\frac{3}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ , -D+ / / , - /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Nous voyons qui faut tenir compte de ce qui se passe avant $\frac{3}{2}$ et après $\frac{3}{2}$.
			
			Donc $u_n$ est inférieur ou égale au maximum de $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_2=1$. Ainsi $(u_n)$ admet un majorant égale à $1$ qui est aussi un maximum.
			
			\item Si $n\geqslant 2$, clairement $u_n\geqslant 0$. Comme de plus $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_1=0$ nous pouvons conclure $(u_n)$ admet un minorant égale à $0$ qui est atteint c'est donc in minimum.
			
		\end{enumerate}
		
		\task Là encore utilisons la forme canonique de l'homographie: $u_n=1+\frac{1}{n}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=3]
			\def\xY{-0.1};
			\def\yY{-0.1};
			\def\xZ{5.5};
			\def\yZ{2.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/2.1}:5] plot(\x,{1/\x});
			\draw[red, thick][samples=100,domain={1/1.1}:5] plot(\x,{1+1/\x});
			\draw[blue] (4,0.5) node[fill=white] {$y=\frac{1}{x}$};
			\draw[red] (4,1.5) node[fill=white] {$y=1+\frac{1}{x}$};
			\foreach \u in {1,2,...,5} \draw [color=black] ({\u},{1+1/\u}) node {$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$(u_n)$ admet un maximum égale à $2$ car décroissante et est minorée (apparemment par $1$) mais clairement par $0$.
		
		\task Nous ne pouvons pas pour l'instant l'établir mais cette suite n'est pas bornée les termes de rangs pairs prennent des valeurs infiniment grandes et ceux de rangs impairs infiniment petites.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $\sqrt{n^2+1}-n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}$ et puisque la fonction racine carrée est croissante: $\sqrt{n^2+1}-n\geqslant 0$. Autrement dit $(u_n)$ est minorée par $0$.
			
			\item En utilisant l'astuce de la quantité conjuguée:
			
			\begin{align*}
				u_n &= \frac{\left( \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2} \right) \left( \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2} \right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\\
				&= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}
			\end{align*}
			
			Clairement $(u_n)$ est décroissante (puisque racine carré est croissante) donc $(u_n)$ est décroissante.
			
			$(u_n)$ admet un maximum qui est $u_0=1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\task 		
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $u_n \geqslant 0$ car les fonctions puissances sont croissantes sur $\mathbb{R}_+$ et $\pi\geqslant 3$.
			
			\item $(u_n)$ n'est pas majorée.
			
		\end{enumerate}
		
		\task $(u_n)$ est majorée par $1$ qui est d'ailleurs unmmaximum. En effet:
		
		\begin{align*}
			n^2+n+1 &\leqslant n^2+2n+1\\
			\sqrt{n^2+n+1} & \leqslant \sqrt{(n+1)^2}\\
			\sqrt{n^2+n+1} -2n &\leqslant n+1-2n\\
			\sqrt{n^2+n+1}-2n &\leqslant -n+1
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons également que $(u_n)$ ne sera pas minorée.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity ~ Démontrer qu'une suite est bornée.}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 53, 54, 56
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que les suites suivantes sont bornées.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=10-2 \sin \left( \frac{1}{n} \right)$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+2}$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n} -\frac{1}{\sqrt{n}}$ pour $n \geqslant 1$;
		
		\task $\displaystyle u_n=1+ \frac{2}{7}+ \left( \frac{2}{7} \right)^2+ \dots + \left( \frac{2}{7} \right)^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=25+5+1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=9+3+1+\dots + 3^{-n+2}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Puisque $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ 10-2 \times 1 \leqslant 10-2 \sin\left( \frac{1}{n} \right) \leqslant 10-2 \times 1.\]
		
		Donc \[ 8 \leqslant u_n \leqslant 12. \]
		
		\task $0\leqslant u_n$ et, comme $n <n+2$, $\frac{n}{n+2}<1$ donc \[0\leqslant u_n<1. \]
		
		\task 
		
		\task Clairement $v_n \geqslant 0$.
		
		En notant $v_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}= \frac{2}{7} v_n$, nous remarquons que $u_n=\sum_{k=0}^n v_k$. Autrement dit c'est la somme des termes d'une suite géométrique. 
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			u_n &= 1 \times  \frac{1-\left( \frac{2}{7}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{7}}\\
			&= \frac{7}{5} \left[ 1 -\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \right]
		\end{align*}
		
		De $0\leqslant \left( \frac{2}{7}\right)^n \leqslant \frac{2}{7}$, nous déduisons: $1 \geqslant 1-\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \geqslant 0$.
		
		\task Comme la précédente question.
		
		\task Comme la précédente question.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ \Radioactivity ~ Meilleur majorant.}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 35 exo 58,
		
	\end{notabene}
	
	Considérons la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=\frac{2}{7}$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+ \frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_n\geqslant 0$;
			
			\item $u_n< \frac{3}{4}$
		
		\end{enumerate}
		
		\item On considère le programme suivant où $M$ est un nombre dans $\left]0; \frac{3}{4} \right[$.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={programme}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]M,u,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def programme(M):
  n=0
  u=2/7
  while u<M:
    n=n+1
    u=1/3*u+1/2
  return(n)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Quel est l'intérêt de cet algorithme?
		
		\item Testez ce programme avec différentes valeurs de $M$, de plus en plus proche de $\frac{3}{4}$. Que remarquez-vous?
		
		\item Complétez la conjecture suivante: \og $\frac{3}{4}$ semble le plus ... des majorants de la suite $(u_n)$\fg{}.
		
		\item Montrez que, pour tout entier naturel $n$: \[ \frac{3}{4}-u_n = \frac{13}{28 \times 3^n}.\]
		
		\item Pourquoi la conjecture précédente est-elle vraie?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Suites convergentes.}

\begin{notabene}
	
	Lire la définition.
	
	Faire l'exemple 1. Pour montrer aux élèves comment utiliser cette définition.
	
	Lire le résultat sur l'unicité de la suite mais ne pas insister et ne pas démontrer.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite,
		
		\item $\ell \in\mathbb{R}$ un réel.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}converge vers $\ell$} si et seulement si: quelque soit l'intervalle ouvert contenant $\ell$, il contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En cas de convergence nous dirons que $\ell$ est une \emph{\color{purple}limite de} $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et nous noterons: \[ \color{purple}\lim_{n \to +\infty} u_n= 0\] ou \[\color{purple}u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \ell.\]
		
		\item Autrement dit si on délimite une petite zone autour de $\ell$ (en fait n'importe qu'elle zone) tous les points de la suite hormis un nombre fini d'entre eux sont dans cette zone.
		
		\item La convergence est une propriété à l'infinie qui ne dépend pas des premiers termes. Donc si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $\ell$ alors $(u_n)_{n\geqslant 7}$ converge aussi vers $\ell$.
		
		\item Les intervalles ouverts doivent être imaginés comme des ensembles de plus en plus petit autour de $\ell$. Aussi petit soit l'intervalle ouvert contenant $\ell$ il contiendra tous les termes de la suite hormis quelques uns (un nombre fini en tout cas). Il y a un aspect dynamique dans cette définition: on peut se rapprocher autant qu'on le veut de $\ell$, ça ne change rien.
		
		\item Les intervalles doivent être ouverts car, sauf si la suite est stationnaire, la valeur limite n'est pas atteinte, et donc l'intervalle fermé $[\ell;\ell]$ qui contient $\ell$ ne contient, en général, aucun terme de la suite.
		
		\item Le plus souvent dans les démonstrations nous travaillerons avec des intervalles ouverts centrés sur la limite $\ell$ et de rayon $r$: $]\ell-r , \ell+r[$. Mais ceci ne change rien à la généralité des résultats.
		
		\item Interprétation graphique typique pour une suite définie par une formule explicite.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{34};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \x/\y in{0/6, 1/4, 2/1, 3/4, 4/6, 5/8, 6/11, 7/13, 8/12, 9/11.5, 10/11, 11/10.75, 12/ 10.5, 13/10.25, 14/10, 15/9.75, 16/9.5, 17/9.4, 18/9.3, 19/9.2, 20/9.1, 21/9, 22/8.9, 23/8.8, 24/8.7, 25/8.8, 26/8.9, 27/9, 28/9.1, 29/9.2, 30/9.1, 31/9, 32/8.9, 33/8.8, 34/8.7} \draw (\x,\y)node{$\bullet$};
			\foreach \x/\y in{0/6, 1/4, 2/1, 3/4, 4/6, 5/8, 6/11} \draw (\x,\y)node[below]{$u_{\x}$};
			\foreach \x/\y in{ 7/13, 9/11.5, 11/10.75} \draw (\x,\y)node[above]{$u_{\x}$};
			\draw[very thick,violet]({\xZ},9)--(-2,9);
			\draw[very thick,violet,dashed]({\xZ},11)--(-2,11);
			\draw[very thick,violet,dashed]({\xZ},7)--(-2,7);
			\draw({-3},9) node[fill=white]{\color{violet}$\ell$};
			\draw[>=latex,<->] (-1,9)--(-1,11)node[midway,left]{$r$};
			\draw[>=latex,<->] (-1,9)--(-1,7)node[midway,left]{$r$};
			\fill[color=violet,opacity=0.20] (0,7)--(34,7)--(34,11)--(0,11)--(0,7);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		À partir de $u_{11}$ les termes de la suite sont tous dans l'intervalle ouvert $]\ell-r , \ell +r[$.
		
		\item Interprétation graphique typique pour une suite définie par une formule de récurrence.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
			\def\xY{0};
			\def\yY{-1.25};
			\def\xZ{20};
			\def\yZ{1.25};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$u_n$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[above,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \x/\y in{0/1, 1/3, 2/6, 3/10, 4/15, 5/13, 6/10.5, 7/10.25, 8/10.3, 9/10.4, 10/10.5, 1/10.6} \draw (\y,0)node{$\bullet$};
			\foreach \x/\y in{0/1, 2/6, 4/15, 6/10.5} \draw (\y,0)node[below]{$u_{\x}$};
			\foreach \x/\y in{1/3, 3/10, 4/15, 5/13} \draw (\y,0)node[above]{$u_{\x}$};
			\draw (9,0)node[violet]{\Large $]$};
			\draw (13,0)node[violet]{\Large $[$};
			\fill[color=violet,opacity=0.20] (9,-1)--(13,-1)--(13,1)--(9,1)--(9,-1);
			\draw[>=latex,<->] (9,-1.5)--(11,-1.5)node[midway,below]{$r$};
			\draw[>=latex,<->] (13,-1.5)--(11,-1.5)node[midway,below]{$r$};
			\draw[violet,very thick] (11,-1)--(11,1) node[above]{\color{violet}$\ell$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Cette définition est un outil (assez théorique c'est vrai) pour démontrer qu'une suite est convergente. Nous en verrons d'autres dans cette leçon.
		
		\item Remarquons que la limite éventuelle d'une suite devra être conjecturée.
		
		\item C'est comme si la suite était infiniment bornée à l'infini.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Exemples avec les fonctions de référence. Et quelques démonstrations: $\frac{1}{n}$.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Toute suite stationnaire (constante à partir d'un certain rang) est convergente.
		
		\item Notons $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		Nous avons déjà conjecturé en classe de première que cette suite converge vers $0$.
		
		Démontrons-le.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la suite $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.}
		
		Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<0<b$. Ainsi $I=]a,b[$ est un intervalle ouvert contenant $0$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.
				
				Concrètement cette phase est une phase de recherche. On cherche la valeur du rang à partir duquel les termes de la suite sont dans l'intervalle $I$ en faisant comme si on l'avait déjà trouvé.
				
				\medskip
				Supposons que nous ayons trouvé un nombre entier $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$: pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, si $n\geqslant N$, alors $u_n\in I$. Autrement dit: \[ a<u_n<b.\] Donc: \[ \frac{1}{n} <b,\] \emph{i.e.}, la fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$: \[ n>\frac{1}{b}. \]
			}
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
				
			Soit $N= \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor$.
			
			Si nous prenons $n$ plus grand que le rang $N$ alors:
			
			\begin{align*}
				n &\geqslant N\\
				n &\geqslant \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor\\
				n &> \frac{1}{b}\\
				\intertext{Puisque la fonction inverse est strictement  décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$:}
				\frac{1}{n} &< b
			\end{align*}
			
			Comme de plus $a<0< \frac{1}{n}$ nous avons bien: $a < \frac{1}{n} <b$. 
			
			Autrement dit: $\frac{1}{n} \in ]a,b[$.
			
			À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]a,b[$.
			
		\end{enumerate}
		
		Quel que soit l'intervalle $I$ contenant $0$ il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$.
		
		Autrement dit, par définition:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		On notera $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}= 0$ ou $\frac{1}{n} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ Soit $\alpha\in\mathbb{N}^*$. La suite $\displaystyle \left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$. \emph{confere infra}.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ La suite $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$. \emph{confere infra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Coffeecup}
	
	Démontrez à partir de la définition les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \left( \frac{1}{n^2} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
		
		\task $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Commencer à faire une liste des suites de références à connaître ans plus avoir besoin de démontrer.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - \color{purple}Unicité de la limite.}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle,
		\item $\ell_1$ et $\ell_2$ des nombres réels.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$ et $\ell_2$, alors $\ell_1=\ell_2$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Biohazard}
	
	{\color{orange}Nous allons utiliser un procédé très classique pour démontrer l'unicité d'un objet mathématique: nous allons supposer qu'il en existe deux, \emph{a priori} distincts, et démontrer qu'ils sont nécessairement égaux.}
	
	\medskip
	Supposons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$ et $\ell_2$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\ell_1=\ell_2$ en raisonnant par l'absurde.}
	
	Supposons donc que $\ell_1< \ell_2$ et démontrons que cela conduit à une contradiction.
	
	Soit $r = \frac{1}{3} (\ell_2- \ell_1)$.
	
	\medskip
	{\color{orange}L'idée est que nous devrions avoir tous les points de la suite (hormis un nombre fini d'entre eux) dans deux intervalles disjoints ce qui est impossible.
		
	Ci-dessous une représentation graphique des deux intervalles que nous allons considérer: $]\ell_1-r, \ell_1+r[$ et $]\ell_2-r, \ell_2+r[$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
		\draw [red] (-0.5,1) node {$\ell_1$};
		\draw [red] (-0.5,3) node {$\ell_2$};
		\draw [red] (0,1) -- ({\xZ},1);
		\draw [red] (0,3) -- ({\xZ},3);
		\fill [color=pink, opacity=0.25] ({\xY},{1-2/3}) -- ({\xZ},{1-2/3}) -- ({\xZ},{1+2/3}) -- ({\xY},{1+2/3}) -- cycle;
		\draw [black, >=latex, <->] (1,{1-2/3}) -- (1,{1+2/3});
		\fill [color=pink, opacity=0.25] ({\xY},{3-2/3}) -- ({\xZ},{3-2/3}) -- ({\xZ},{3+2/3}) -- ({\xY},{3+2/3}) -- cycle;
		\draw [black, >=latex, <->] (1,{3-2/3}) -- (1,{3+2/3});
		\draw [black, >=latex, <->] (0.5,{1+2/3}) -- (0.5,{3-2/3});
		\draw [black] (0.25,{2}) node {$r$};
		\draw [black] (1.25,{1+0.25}) node {$+r$};
		\draw [black] (1.25,{1-0.25}) node {$-r$};
		\draw [black] (1.25,{3+0.25}) node {$+r$};
		\draw [black] (1.25,{3-0.25}) node {$-r$};
		\foreach \x/\y in{2/3.75, 3/3, 4/2, 5/1, 6/1.5, 7/2.75, 8/3.25} \draw [blue] (\x,\y)node{$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	}
	
	\medskip
	Puisque $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell_1$, à partir d'un certain rang $N_1 \in \mathbb{N}$ tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert $]\ell_1-r,\ell_1+r[$. Ainsi pour tout $n\in\mathbb{n}$, si $n\geqslant N_1$ alors \[ \ell_1-r < u_n < \ell_1+r. \]
	
	{\color{orange}Autrement dit tous les termes de la suite, hormis les premiers, sont dans la zone colorée en rose autour de $\ell_1$.}
	
	De la même façon il existe $N_2\in \mathbb{N}$ un rang à partir duquel pour tout $n \in \mathbb{N}$ si $n \geqslant N_2$ alors: \[ \ell_2-r < u_n <\ell_2+r. \]
	
	{\color{orange}Autrement dit tous les termes de la suite, hormis les premiers, sont dans la zone colorée en rose autour de $\ell_2$.}
	
	Mais donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n \geqslant \max(N_1,N_2)$, alors: \[ u_n< \ell_1+r<\ell_2-r < u_n. \]
	
	Autrement dit: \[u_n< u_n, \] ce qui est impossible.
	
	Nous avons donc démontré par l'absurde que, nécessairement $l_1=l_2$.
	
	Autrement dit
	
	\begin{conclusion}
		
		la limite d'une suite convergente est unique.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pourrons donc maintenant parler de \underline{la} limite d'une suite.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Toute suite convergente est bornée.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire un schéma. AVec le maximum des premiers termes inférieur au majorant des suivants et parcontre un minimum qui soit inférieru au minorant des autres termes.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers un réelle $\ell$.
	
	\medskip
	Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<\ell<b$. 
	
	$]a,b[$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$ donc, par définition de la convergence, il existe un rang $N\in \mathbb{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $]a,b[$. Donc les termes $u_n$ pour $n\geqslant N$ sont bornés par $a$ et $b$.
	
	Si maintenant $0\leqslant n<N$ alors les $u_n$ sont mieux que bornés: ils ont un maximum $M$ et un minimum $m$, car il y en a un nombre fini.
	
	Le majorant global est donc être $\max(M,b)$ et le minorant $\min(m,a)$.
	
\end{preuve}

\subsection{Suites divergentes.}

\begin{notabene}
	
	Définition.
	
	Exemple: Suite avec et sans limite. 
	
	Même idée pour la limite infinie que pour la convergence l'infinité des points au dessus de telle valeur.
	
	Définition limite infinie.
	
	Exemples. Géométriques, puissances,...
	
\end{notabene}

\subsubsection{Cas général.}

\begin{notabene}
	
	Très rapide lecture.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une suite \emph{\color{purple}diverge} si et seulement si elle ne converge pas.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Cette définition recouvre une multitudes de cas possibles. Certains sont étudiés à part. Nous verrons ci-après la divergence avec limite infinie et la divergence avec plusieurs valeurs d'adhérence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Divergence avec limite infinie.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $+\infty$} si et seulement si,: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous avons également la définition en $-\infty$.
		
		Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $-\infty$} si et seulement si,: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]-\infty,A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
		\item Quelque soit le majorant $A$ supposé de la suite, on se rend compte qu'il n'y a qu'un nombre fini de terme qui soient plus petits.
		
		\item Une suite qui tend vers $\pm \infty$ est un cas particulier de suite divergente. Voici un schéma qui résume les possibilités lors de l'étude de la convergence d'une suite.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\ecarta{2};
			\def\ecartb{3};
			\def\hauteura{1};
			\def\hauteurb{0.75};
			\node (A1) at ({\ecarta},{\hauteura}) {Convergente.};
			\node (A2) at ({\ecarta},{-\hauteura}) {divergente.};
			\node (B2) at  ({\ecarta + \ecartb},{-\hauteura-\hauteurb}){Pas de limite.};
			\node (B1) at ({\ecarta + \ecartb},{-\hauteura+\hauteurb}) {Limite $\pm \infty$.};
			\draw (0,0) -- (A1);
			\draw (0,0) -- (A2);
			\draw (A2) -- (B1);
			\draw (A2) -- (B2);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que la suite définie par $u_n=n$ tend vers $+\infty$.}
		
		Soit $A \in\mathbb{R}$.
		
		Notons $N= \lfloor A\rfloor +1$.
		
		Si $n \geqslant N$ alors
		
		\begin{align*}
			n &\geqslant \lfloor A\rfloor +1\\
			&> A 
		\end{align*}
		
		Autrement dit $n \in ]A;+\infty[$.
		
		À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]A,+\infty[$.
		
		\medskip
		Quelque soit le réel $A$ l'intervalle $]A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=2n-3$ diverge vers $+\infty$.
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=-3n-5$ diverge vers $-\infty$.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ Soit $\alpha\in\mathbb{N}^*$. La suite $\displaystyle \left( n^{\alpha} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$. \emph{confere infra}.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ La suite $\displaystyle \left( \sqrt{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ vers $0$. \emph{confere infra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{exercice}{\Coffeecup}
	
	Démontrez à partir de la définition les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \left( n^2 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
		\task $\displaystyle \left( \sqrt{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères 86 page 38.
	\end{notabene}
	
	La suite  $(u_n)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$ par \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1=0 \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+1} \end{array} . \right.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
		
		\item Conjecturez une expression explicite de $u_n$, pour $n$ entier supérieur à $1$.
		
		\item Démontrez la propriété conjecturée.
		
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Divergence sans limite.}

\begin{lecon}
	
	Il existe de très nombreuses situations de suites qui divergent sans limite.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite de terme général $(-1)^n$ définie sur $\mathbb{N}$ diverge sans limite. Si on ne regarde que les terme de rang pair, la suite est constante égale à $1$. Pour les rangs impairs elle est constante égale à $-1$. La suite pourrait avoir plusieurs limites ce qui contredit l'unicité de la limite.
		
		\item $u_n=(-2)^n$. La suite des termes de rang pair admet $+\infty$ pour limite tandis que la suite des termes de rang impair admet pour limite $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		
		Repères 84 page 38.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ une suite qui admet comme limite finie le réel $\ell$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Explicitez les suite numériques: \[ (u_{2n})_{n\geqslant 0} \ \text{et} \ (u_{2n+1})_{n\geqslant 0}. \]
		
		\item Montrez que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant 0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant 0}$ admettent aussi comme limite le réel $\ell$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Énonce la propriété de la question précédente sous la forme \og si ..., alors...\fg{}.
			
			\item Déduisez-en la contraposée de cette dernière.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On pose $u_n=(-1)^n$, pour tout entier naturel $n$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que si la suite $(u_n)$ admet une limite alors cette limite est finie.
			
			\item Explicitez pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$.
			
			\item Déduisez-en que la suite $\left( (-1)^n \right)_{n\geqslant 0}$ n'admet aucune limite, finie ou infinie.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		Terminale repères 1 page 53.
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombre réels.
	
	\begin{enumerate}
		\item Explicitez les suites $(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ en langage courant.
		
		\item Soit $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty; + \infty \}$. Montrez que les suites $(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ ont pour limite $\ell$ si et seulement si la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet comme limite $\ell$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Opérations sur les limites.}

\begin{notabene}
	
	Faire le tableau à l'oral en classe en intuitif. Avec trois colonnées seulement : limites un, limite vn et limites opération
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	La définition de la convergence permet d'établir la convergence de quelques suites de référence. Pour le reste nous ferons, ce que nous avions déjà fait pour les fonctions dérivées, à savoir obtenir de nouveaux résultat en combinant ceux déjà connus.
	
	\begin{notabene}
		
		Rappeler les suites de référence: $n^{\alpha}$ et $\frac{1}{n^{\alpha}}$ et $\sqrt{n}$.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Somme.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite somme $(u_n+v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ & P.L.
			\\
			\hline
			$m$ & $m+\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ & P.L.
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? & ?
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ & ?
			\\
			\hline
			P.L. & P.L. & ? & ? & ?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale.
		
		\item Ces résultats se démontrent avec les définitions des convergences et limites données.
		
		\item Plutôt que d'apprendre par cœur, un peu de bon sens permet de deviner ces résultats.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $3$ est une suite constante (donc qui converge vers $3$) et $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui converge vers $0$ donc $\left( 3 +\frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $3$.
		
		\item $\left( \frac{1}{n}\right)$ converge vers $0$ et $(\sqrt{n})$ tend vers  $+\infty$ donc $\left( \frac{1}{n} + \sqrt{n} \right)$ tend vers $+\infty$.
		
		\item $\lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Produit.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite produit $(u_n\times v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell>0$ & $\ell=0$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ & P.L.
			\\
			\hline
			$m>0$ & $m \ell$ & $0$ & $m\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ & P.L.
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & $0$ & $0$ & ? & ? & P.L.
			\\
			\hline
			$m<0$ & $m\ell$ & $0$ & $m\ell$ & $-\infty$ & $+\infty$ & P.L.
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & ? & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & ?
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & ?
			\\
			\hline
			P.L. & P.L. & P.L. & P.L. & ? & ? & ?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-2$ est une suite constante (donc qui converge vers $-2$ et $\left( n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui diverge vers $+\infty$ donc $\left( -2 \times n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.
		
		\item $\lim_{n\to +\infty}n^2=+\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty}-1 \times n^2=-\infty$.
		
		\item $\lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty}n^2\sqrt{n}=+\infty$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En combinant ces résultats aux précédents, nous remarquons que les suites convergentes sont stables par combinaisons linéaires: si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes alors $(\alpha u_n + v_n)$ est convergente. Ce qui signifie que les suites convergentes peuvent être vues comme des vecteurs.
				
		\item Ce résultat nous autorise à passer à la limite dans des égalités. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si, par exemple, $u_{n+1}= 2u_n+3$ alors, en passant à la limite $\ell =2 \ell +3$. C'est une astuce à retenir.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Inverse.}

\begin{lecon}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite dont les termes sont tous non nuls.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\displaystyle u_n\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ alors $\displaystyle \frac{1}{u_n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$.
		
		\item Si $\displaystyle u_n\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ et, à partir d'un certain rang, $u_n>0$ alors $\displaystyle \frac{1}{u_n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		
		\item Si $\displaystyle u_n\underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ et, à partir d'un certain rang, $u_n<0$ alors $\displaystyle \frac{1}{u_n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons, sachant que $n\underset{n \to + \infty} {\longrightarrow}+\infty$, retrouver que $\frac{1}{n} \underset{n \to + \infty} {\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\lim_{n\to +\infty} n^2+n=+\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2+n}=0$.
		
		\item Puisque $n^3+n+\frac{1}{n} \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow}0$ et $n^3+n+\frac{1}{n}>0$: $\frac{1}{n^3+n+\frac{1}{n}} \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Quotient.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats concernant les suites obtenues comme quotient de deux autres suites découlent des deux points précédents.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Football ~ Déterminer la limite en utilisant les opérations sur les limites.}
	
	Déterminez les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^2+n+\frac{1}{n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} \left( n^2-\frac{1}{n^2} \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4}{\sqrt{n}+n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^3+n+\frac{1}{\sqrt{n}}$.		
		\task $\displaystyle u_n=5n^2+3n\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} (2-n-2n^2)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^2+n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n^2 \left( \frac{2}{n+1} -1 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{3}{n} \left( \frac{3}{n^3}-5 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n = \frac{3}{1-2n}-\frac{2}{1-3n}$.		
		\task $\displaystyle u_n= 2-\frac{3}{6+\sqrt{n}}$.	
		\task $\displaystyle u_n= 2-n\sqrt{5n} + \frac{1}{n^2+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
		\task $\displaystyle u_n= n(n-4)(1-\sqrt{n})$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $2$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	Les règles sur les opérations se confrontent souvent à des situations de limite indéterminée.
	
	Pour cette année, le plus efficace est très souvent de factoriser par la plus grande puissance de $n$ apparaissant dans l'expression du terme général de la suite.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $u_n=n^3-n$ alors \emph{a priori} c'est une forme indéterminée. Factorisons par $n^3$: $u_n=n^3\left( 1-\frac{1}{n^2} \right)$. Avec cette expression il n'y a plus de forme indéterminée: $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
		
		\item $u_n=\frac{2n+1}{3n+7}$ correspond à une forme indéterminée, mais, en factorisant par  $n$ au numérateur et au dénominateur: $u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{7}{n}}$.
		
		Or $\lim_{n\to +\infty} 2 + \frac{1}{n}=2$ et $\lim_{n \to +\infty} 3+\frac{7}{n}=3$ donc $(u_n)$ converge et $\lim_{n\to + \infty} u_n=\frac{2}{3}$.
		
		\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ est une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination dans cette expression radicale on utilise les expressions conjuguées. $u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football ~ Limite en levant l'indétermination.}
	
	Déterminez les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^3-n+5$.		
		\task $\displaystyle u_n=n^4-n^2+1$.		
		\task $\displaystyle u_n= 3n\sqrt{n} -2n^3$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-\sqrt{n}}{n+3}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^2-n+4}{3n^2-2n+5}$.
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n^3}- \sqrt{n^3+8}$.		
		\task $\displaystyle u_n=n\sqrt{n^2+3}-n^2$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^2-3n$.		
		\task $\displaystyle u_n=4n^3-3n^2+2$.		
		\task $\displaystyle u_n=3n^4-3n^3-2n+1$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4n-1}{3n+1}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{2n^2-n+1}{3n^2+n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n+4}-\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{5n+4}-\sqrt{5n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{4n^2+n+3}-2n$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n-\frac{n^2}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{2n+1} - \frac{n+3}{3n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2}{n+1}-\frac{n^2}{n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n+1}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sqrt{n^2+1}-n}{n}$.
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}$.	
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{1}{3}$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{4}{3}$.
		\task $1$.
		\task $\frac{2}{3}$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $\frac{1}{4}$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $\frac{1}{6}$.
		\task $1$.
		\task $1$. Problème limite sous racine carré.
		\task $0$.
		\task $-\frac{1}{2}$
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Limites et comparaison.}

\begin{notabene}
	
	Y compris le théorème des gendarmes.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Limites finies.}

\begin{proposition}{ - Théorème des gendarmes.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des suites réelles,
		
		\item $\ell \in\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si, à partir d'un certain rang, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a \[ u_n\leqslant v_n \leqslant w_n \] et si \[ \lim_{n\to + \infty} u_n =\lim_{n\to +\infty} w_n= \ell,\] alors \[ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\ \text{converge et}\ \lim_{n\to + \infty} v_n= \ell. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Biohazard}
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a< \ell <b$.
	
	Puisque $\lim_{n\to + \infty} u_n = \ell$, il existe un rang $N_1 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $u_n \in ]a,b[$.
	
	De même il existe un rang $N_2 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $w_n \in ]a,b[$.
	
	Donc à partir du rang $N=\max(N_1,N_2)$, $u_n \in ]a,b[$ et $v_n \in ]a,b[$.
	
	Puisque $u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$, forcément $v_n \in ]a,b[$.
	
	Ainsi quel qu soit l'intervalle ouvert $]a,b[$ contenant $\ell$, à partir d'un certain rang, cet intervalle contient tous les termes de la suite $(v_n)$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$(v_n)$ converge vers $\ell$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\Football ~ Convergence et comparaison}
	
	\begin{notabene}
		
		repèrese 83 pag 37
		
	\end{notabene}
	
	Posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$: \[ u_n=1+ \frac{\sqrt{n+1}}{n+(-1)^n}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout entier $n$ tel que $n \geqslant 2$ on a: \[ \frac{\sqrt{n+1}}{n+1} \leqslant u_n-1 \leqslant \frac{\sqrt{n+1}}{n-1}. \]
		
		\item Déterminez les limites des suites de termes généraux: \[ \frac{\sqrt{n+1}}{n+1} \ \text{et} \ \frac{\sqrt{n+1}}{n-1}. \]
		
		\item Concluez quant à la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football ~ Convergence et comparaison}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 149 et 150 page 168.
	\end{notabene}
	
	Déterminez si elles existent les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{\cos(n)}{n^2}$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sin(n)}{\sqrt{n+1}}$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n+2 (-1)^n}{n-(-1)^n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2+\sin(n)}{n^2+\cos(n)}$;
		
		\task $\displaystyle u_n = \frac{\sqrt{n+1}}{1+2\sqrt{2n-(-1)^n}}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(1)
		\task $-\frac{1}{n}\leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n^2}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{ \sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task En factorisant par $n$ et en utilisant le a): $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}1$.
		\task En factorisant par $n^2$: $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}1$.
		\task En factorisant par $\sqrt{n}$ et en utilisant le théorème des gendarmes pour la limite du dénominateur pour ne pas utiliser de passage à la limite dans la fonction.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - Passage à la limite dans des inégalités (et égalités).}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a,b \in\mathbb{R}$,
		
		\item $\ell \in\mathbb{R}$,
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle qui converge vers $\ell$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si, à partir d'un certain rang, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a \[ u_n\leqslant b \ \text{alors} \ \ell \leqslant b. \]
		
		\item Si, à partir d'un certain rang, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a \[ u_n\geqslant a \ \text{alors} \ \ell \geqslant a. \]
		
		\item Si, à partir d'un certain rang, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a \[ a \leqslant u_n\leqslant b \ \text{alors} \ a \leqslant \ell \leqslant b. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Biohazard}
	
	\objectif{Démontrons, par exemple le (i).}
	
	Puisque 
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat signifie que l'on peut passer à la limite dans une inégalité large.
		
		\item Ce n'est pas vrai avec des inégalités strictes en général.
		
		\item En particulier on retrouve que toute suite convergente est bornée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Limites infinies.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des suites réelles.
				
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si, à partir d'un certain rang, \[ u_n\leqslant v_n \] et si \[ u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty,\] alors \[ v_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty. \]
		
		\item Si, à partir d'un certain rang, \[ u_n\leqslant v_n \] et si \[ v_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} - \infty,\] alors \[ u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} -\infty. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		La preuve du (i) est au programme.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \Coffeecup {\color{orange}Nous devons démontrer que $(v_n)$ tend vers $+\infty$ avec deux hypothèses: $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et $ u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$. Nous allons établir que $(v_n)$ vérifient la définition d'une suite divergeant vers $+\infty$.}
		
		\medskip
		Soit $A \in\mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(v_n)$ appartiennent à l'ouvert $]A;+\infty[$.}
		
		{\color{orange}Nous allons procéder en deux temps: trouver le rang $N$ à partir duquel ça fonctionnera puis montrer qu'effectivement à partir de ce rang tous les termes de $(v_n)$ sont dans l'intervalle. Le $N$ nous sera donné par $(u_n)$.}
		
		Puisque $(u_n)$ tend vers $+\infty$, il existe un rang $N$ pour lequel: \[ \forall n\geqslant N,\ A<u_n. \]
		
		Or, par hypothèse: \[ \forall n\in \mathbb{N},\ u_n\leqslant v_n, \] donc, par transitivité \[ \forall n\geqslant N,\ A<v_n. \]
		
		Autrement dit: $v_n \in ]A;+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \Biohazard Il suffit de considérer les suites $(-u_n)$ et $(-v_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \sin(n) + \mathrm{e}^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ La suite $\displaystyle \left( n! \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football ~ Limites infinies et comparaisons.}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 148 page 168. 
	\end{notabene}
	
	Déterminez si elles existent les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n+(-1)^n$;		
		\task $\displaystyle u_n=n^2-\sin(n)$;	
		\task $\displaystyle u_n= \sin \left( \sqrt{2-\cos^3\left( 1+n^2-n^n \right)} \right) -n$.	
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Soit $n \in \mathbb{N}$. $n-1 \leqslant u_n$ or $n-1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ donc, d'après un théorème de comparaison
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		\task Soit $n \in \mathbb{N}$. $n^2-1 \leqslant u_n$ or $n^2-1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ donc, d'après un théorème de comparaison
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		\task Soit $n \in \mathbb{N}$. $u_n \leqslant 1-n$ or $-n+1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} -\infty$ donc, d'après un théorème de comparaison
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} -\infty$.
			
		\end{conclusion}
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 123 page 48
	\end{notabene}
	
	
	\begin{notabene}
		
		À faire pour proposer un algorithme avec liste et fonction append.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : \[ u_0=1 \ \text{et:}\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2n+3.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez un algorithme permettant de calculer les termes $u_0, \dots, u_n$, où $n$ est un entier saisi à la demande.
		
		\item Programmez le précédent algorithme, exécutez-le puis donnez les termes $u_1$ à $u_{10}$.
		
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n >n^2$.
			
			\item Quelle est la limite de la suite  $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Conjecturez une expression de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de $n$ nombre entier naturel, puis démontrez la propriété ainsi conjecturée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={termessuite}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,i,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def termessuite(n):
    u=[1]
    for i in range(1,n+1):
        u=u+[u[i-1]+2*(i-1)+3]
    return(u)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\item $u_1=4$, $u_2=9$, $u_3=16$, $u_4=25$, $u_5=36$, $u_6=49$, $u_7=64$, $u_8=81$, $u_9=100$, $u_{10}=121$.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		D'après la formule de récurrence: $u_{n+1}-u_n=2n+3>0$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est strictement croissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Par récurrence.
			
			{\color{orange}Remarquons que dans ce cas nous aurions du mal à définir une fonction $f$ telle que $u_{n+1}=u_n$.}
			
			Clairement: $n^2+2n+3>n^2$.
			
			\item $n^2 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $u_n>n^2$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $u_n=(n+1)^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\subsection{Théorème de la limite monotone.}

\subsubsection{Limite finie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Biohazard}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Contrairement au théorème des gendarmes, celui-ci ne permet pas de connaître la limite mais uniquement son existence.
		
		\item L'utilisation de ce résultat se prolonge en général par une recherche d'encadrement de la limite par divers procédés notamment algorithmiques.
		
		\item En général la limite n'est pas le majorant ou le minorant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de passage à la alimite avec point fixe.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par \[ u_0=8 \ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+2.\]
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $4$.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
		
		\item En passant à la limite dans la formule de récurrence, démontrez que la limite $\ell$ de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut être que $4$.
		
		\begin{notabene}
			Insister sur le fait que le passage à la  limite n'est possible que parce qu'il s'agit des opérations algébriques déjà vue. Pas valable a priori pour sin ou exp.
			
		\end{notabene}
		
		\item Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		140 page 162 de affinités.
		
	\end{notabene}
	
	Posons $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que $(u_n)$ est majorée par $3$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge et montrez que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}u_n=3$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 142 page 164. Série de Riemann
		
		Problème de Bâle résolu en 1735 par Euler la limite est $\frac{\pi^2}{6}$.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}. \]
	
	Prouvez que $(u_n)$ est croissante et majorée puis concluez.
	
	Pour établir la majoration on établira; pour tout entier $k>1$: \[ \frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1}= - \frac{1}{k}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 143 page 164. Presque harmonique.
	\end{notabene}
	
	Montrez que la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ converge.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity{} Nombre d'Apéry}
	
	\begin{notabene}
		Repère 108 page 42
	\end{notabene}
	
	On pose pour tout entier supérieur ou égale à $1$: \[ u_n=\sum_{=1}^n \frac{1}{k^3}= + + \frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{1}{n^3}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$: \[ u_n\leqslant 2-\frac{1}{n}.\]
		
		\item Qu'en conclure?
		
		\item Soit $\varepsilon>0$.
		
		Écrivez un algorithme qui renvoie une valeur approchée à $\varepsilon$ près de la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Limite infinie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et non majorée a pour limite $+\infty$.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et non minorée a pour limite $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		La démonstration du (i) est au programme.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \Coffeecup 
		
		Soit $A\in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(u_n)$ sont dans $]A,+\infty[$.}
		
		Puisque $(u_n)$ n'est pas majorée par $A$ il existe un rang $N\in\mathbb{N}$ pour lequel $u_N>A$.
		
		Et comme $(u_n)$ est croissante: \[ \forall n\geqslant N,\ u_n>A.\]
		
		Autrement dit à partir de ce rang $N$ tous les termes de la suite sont dans $]A,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \Biohazard 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 145 page 166. Série de harmonique
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ a suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Prouvez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $u_{2^m+1}-u_{2^m}\geqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ n'est pas majorée. Concluez.
		
		\item Déterminez avec une machine un entier $N$ tel que $u_N>10$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Suites géométriques.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $q\in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $q=1$ alors $(q^n)$ est la suite constante égale à $1$.
		
		\item Si $1<q$ alors $(q^n)$ diverge en ayant pour limite $+\infty$.
		
		\item Si $-1<q<1$ alors $(q^n)$ converge vers $0$.
		
		\item Si $q<-1$ alors $(q^n)$ diverge sans limite ni valeur d'adhérence.
		
		\item Si $q=-1$ alors $(q^n)$ diverge avec deux valeurs d'adhérence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	\begin{notabene}
		Au programme: mite de (qn), après démonstration par récurrence de l'inégalité de Ber-
		noulli.
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Hachette repères 97 page 39
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $u(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=0 \ \text{et} \ u_{n+1}= \frac{2u_n+3}{u_n+4}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item On pose pour tout entier naturel $n$, \[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n+3}. \]
		
		Montrez que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont donnera le premier terme et la raison.
		
		\item Exprimez alors $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n\in \mathbb{N}$.
		
		\item Déterminez la limite de la suite $(v_n)$ et enfin celle de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères 99 page 40
	\end{notabene}
	
	On note $v_0=-\frac{3}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ \left\{ \begin{array}{l} v_{n+1}= \frac{2}{3}v_n -1 \\ w_n=2v_n+6 \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		
		\item Déduisez-en les expressions de $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ entier naturel. Déduisez-en la limite de la suite $(v_n)$.
		
		\item Calculez \[ S_n=\sum_{k=0}^n w_k.\] Déduisez-en la limite de la suite $(S_n)$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Repères 100 page 40
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=1\ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+n-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que pour tout entier supérieur ou égale à $3$, $u_n\geqslant 0$.
			
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{5cm}
					\lstset{emph={algo}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]n,u,M}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def algo(M):
  n=0
  u=1
  while u<M:
    n=n+1
    u=1/2*u+n-1
  return(n)
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			Programmez cet algorithme puis exécutez-le pour $M$ valant $5$, $10$, $100$ et $1000$.
			
			\item Déduisez-en une conjecture sur le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
			
			\item Montrez que, pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $4$: \[ u_n \geqslant n-2. \]
			
			\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On définit la suite $(v_n)$ sur $\mathbb{n}$ par: \[ v_n=4u_n-8n+24. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique strictement décroissante et dont on donnera le premier terme et la raison.
			
			\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$: \[ u_n=\frac{7}{2^n}+2n-6.\]
			
			\item Vérifiez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=x_n+y_n$, où $(x_n)$ est une géométrique et $(y_n)$ une suite arithmétique, dont on précisera pour chacune, le premier terme ainsi que la raison.
			
			\item Déduisez-en l'expression de \[ S_n=\sum_{k=0}^n v_k\] en fonction de $n$ entier naturel.
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 144 page 165. Inverse des factorielles vers e
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.\]
	
	Prouver que $(u_n)$ est croissante et majorée. Concluez.
	
	Pour la majoration vous démontrerez par récurrence que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{k!} \leqslant \frac{1}{2^{k-1}}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme c daeu mathematique cned 2000 exo 7.6 page 160
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_1=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
		\item Déduisez des questions précédentes que la suite $(u_n)$ converge.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a: $u_n=-\frac{1}{2^{n-1}}+2$.
			
			\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Retrouvez ce résultat en passant à la limite dans la formule de récurrence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Démontrons par récurrence que $\mathscr{P}(n)$: \og $1\leqslant u_n \leqslant 2$ \fg{} est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Initialisation. 
				
				Nous voulons vérifier que $\mathscr{P}(1)$ est vraie, autrement dit que $1 \leqslant u_1 \leqslant 2$. Or}
			
			$u_1=1$ donc $1\leqslant u_1 \leqslant 2$.
			
			Ainsi: $\mathscr{P}(1)$ est vraie.
			
			\item {\color{orange}Hérédité.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie {\color{orange}et uniquement $\mathscr{P}(n)$, pas $\mathscr{P}(n+1)$ ni $\mathscr{P}(n-1)$}.
			
			Démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie{\color{orange}, autrement dit il faut établir que $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$}.
			
			D'après l'hypothèse de récurrence: \[ 1 \leqslant u_n \leqslant 2. \]
			
			Or $f:x \mapsto \frac{1}{2} x+1$ est une fonction affine strictement croissante puisque son coefficient directeur est strictement positif, donc: \[ f(1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(2). \]
			
			Autrement dit: \[ \frac{3}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2. \]
			
			Comme de plus $1 \leqslant \frac{3}{2}$ on a bien: \[ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2. \]
			
			$\mathscr{P}(n+1)$ est donc vraie.
			
			\item {\color{orange}Conclusion.}
			
			Nous avons démontré par récurrence que
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N}^*,\ 1\leqslant u_n \leqslant 2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est croissante.}
		
		{\color{orange}Nous allons démontrer que $\forall n\in \mathbb{n}^*,\ u_{n+1}-u_n\geqslant 0$.}
		
		\medskip
		Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
		
		Par définition de la suite: \[ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1. \]
		
		Donc: \[ u_{n+1} {\color{orange}-u_n} = \frac{1}{2}u_n+1 {\color{orange}-u_n}. \]
		
		\emph{i.e.} \[ u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2}u_n+1. \quad {\color{blue}(1)}\]
		
		$\quarto$
		
		D'après la question précédente, $u_n\leqslant 2$ et donc
		
		\begin{align*}
		{\color{orange}-\frac{1}{2} \times}u_n &\geqslant {\color{orange}-\frac{1}{2} \times} 2\ \text{car } -\frac{1}{2} <0\\
		-\frac{1}{2}u_n &\geqslant -1\\
		{\color{orange}1}-\frac{1}{2}u_n &\geqslant {\color{orange}1} -1\\
		-\frac{1}{2}u_n+1 &\geqslant 0
		\end{align*}
		
		Donc par transitivité avec $\color{blue}(1)$: \[ u_{n+1} -u_n \geqslant 0. \]
		
		Nous avons démontré que: $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_{n+1}-u_n\geqslant 0$.
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est croissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Avec une démonstration par récurrence nous aurions pu établir un meilleur résultat: $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement croissante.}
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est croissante et majorée par $2$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est convergente.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons par récurrence que $\mathscr{R}(n)$: \og $u_n = -\frac{1}{2^{n-1}}+2$ \fg{} est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Initialisation. 
					
					Nous voulons vérifier que $\mathscr{R}(1)$ est vraie, autrement dit que $u_1 = -\frac{1}{2^{1-1}}+2$. Il s'agit de vérifier une égalité: on calcul séparément chaque membre.}
				
				D'une part $u_1=1$, d'après l'énoncé, et d'autre part, $-\frac{1}{2^{1-1}}+2=1$ donc $\mathscr{R}(1)$ est vraie.
				
				\item {\color{orange}Hérédité.}
				
				Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
				
				Supposons que $\mathscr{R}(n)$ est vraie. {\color{orange}Notre hypothèse de récurrence est donc: $u_n=-\frac{1}{2^{n-1}}+2 $.}
				
				Démontrons que $\mathscr{R}(n+1)$ est vraie. {\color{orange}Nous devons donc établir que $u_{n+1}=-\frac{1}{2^{n}}+2 $.}
				
				Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n +1. \quad {\color{blue}(2)} \]
				
				Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_{n}=-\frac{1}{2^{n-1}}+2$ donc, en substituant dans $\color{blue}(2)$: \[ u_{n+1}= \frac{1}{2} {\color{orange} \times \left( -\frac{1}{2^{n-1}}+2 \right)}+1. \]
				
				Donc:
				
				\begin{align*}
				u_{n+1} &=- \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2} \times 2 +1\\
				&= -\frac{1}{2 \times 2^{n-1}}+2\\
				&= -\frac{1}{2^n}+2
				\end{align*}
				
				Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est donc vraie.
				
				\item {\color{orange}Conclusion.}
				
				Nous avons démontré par récurrence que
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=-\frac{1}{2^{n-1}}+2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\left( \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right)_{n\geqslant 1}$ est une suite géométrique dont la raison est $\frac{1}{2} \in ]-1;1[$ donc $\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			Finalement, en utilisant l'expression explicite de $(u_n)$ trouvée à la question précédente:
			
			\begin{conclusion}
				
				$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Notons $\ell$ la limite de $(u_n)$.
		
		En passant à la limite dans la formule de récurrence définissant $(u_n)$ on obtient: \[ \ell =\frac{1}{2} \ell +1. \]
		
		Cette équation{\color{orange}, du premier degré,} équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
		\ell {\color{orange}-\frac{1}{2} \ell} &= \frac{1}{2} \ell +1 {\color{orange}- \frac{1}{2} \ell}\\
		\frac{1}{2} \ell &= 1\\
		{\color{orange}2 \times } \frac{1}{2} \ell &= {\color{orange}2 \times } 1
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices typiques.}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 124 page 48
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par: \[ u_0=8\ \text{et} \ u_{n+1}= \sqrt{u_n+12}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$.
		
		\item On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
			\def\xY{-12.9};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8.9};
			\def\yZ{5.9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {-10, -5,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-12:8.9] plot(\x,{sqrt(\x+12)});
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=-0.25:5.9] plot(\x,{\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Construisez les premiers de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et conjecturez son comportement.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$: \[ u_{n+1}-4 \leqslant \frac{1}{4} (u_n-4). \]
			
			\item Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ u_n-4 \leqslant \frac{1}{4^{n-1}}. \]
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite finie que l'on précisera.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repère 110 page 43.
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ v_{n+1}= 1,4v_n-0,05v_n^2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)=1,4x-0,05x^2. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;8]$.
			
			\item Représentez graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ avec le centimètre comme unité graphique, ainsi que les $10 $ premiers termes de la suite $(v_n)$.
			
			\item Conjecturez son comportement.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ 2 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8. \]
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)$ admet une limite finie.
		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrez que \[ f(x)-8=-0,05(x-20)(x-8). \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_{n+1} \leqslant 0,9 \times (8-v_n). \]
			
			
			\item Déduisez-en que, pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_n \leqslant 6 \times 0,9^n. \]
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercice bac avec théorème du pont fixe.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/11 métropole exercice 1 partie B
	\end{notabene}
	
	Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
	
	On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite
	progressivement éliminé.
	
	On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30\,\% par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
	
	On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1}  < 6$.
			\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
			\item Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}	
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
			\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
			\item Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
			
			Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 114 page 45
	\end{notabene}
	
	Un démographe étudie l'évolution de la population d'un pays.
	
	Depuis 1969 (cette année-là, ce pays comptait $\np{44500000}$ habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de $35$ pour mille et un taux de mortalité de $17$ pour mille.
	
	À ces variations, il faut ajouter $\np{25000}$ nouveaux arrivant dans ce pays et retirer $\np{9000}$ citoyens qui partent définitivement.
	
	On note $p_n$ la population de $1969+n$, exprimée en milliers d'habitants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $p_0$.
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: \[ p_{n+1}=1,018 p_n +16. \]
		
		\item Déterminez le réel $\ell$ tel que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par \[ u_n=p_n-l\] soit géométrique.
		
		\item Déduisez-en les expressions de $u_n$ et $p_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
		
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2012?
		
		\item Au bout de combien d'années la population va-t-elle tripler, par rapport à celle de 1969?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 116 page 46
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ ar: \[ u_0=1\ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n +n-2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Écrivez un algorithme qui, pour une valeur $M\in\mathbb{R}$ donnée, renvoie un entier $n$ pour lequel $u_n>M$.
			
			\item Programmez cet algorithme à l'aide d'une calculatrice, puis exécutez-le pour des valeurs de $M$ telles que $101$, $100$, $\np{1000}$.
			
			\item Déduisez-en une conjecture sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$, si $n\geqslant 4$ alors: \[ u_n\geqslant 0. \]
		
		Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant 5$ alors: \[ u_n\geqslant n-3. \]
		
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam ~ Partie A.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	On définit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ par $u_0=13$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+\frac{4}{5}; \]
		
		\item la suite $(S_n)$ pour tout entier naturel $n$: \[ S_n= \sum_{k=0}^n u_k. \]
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ u_n=1+ \frac{12}{5^n}. \]
		
		Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez le sens de variation de la suite $(S_n)$.
			
			\item Calculez $(S_n)$ en fonction de $n$.
			
			\item Déterminez la imite de la suite $(S_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{\Laserbeam ~ Partie B.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	Étant donnée une suite $(x_n)$, de nombres réels définie  pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(S_n)$ défine par: \[ S_n= \sum_{k=0}^n x_k. \]
	
	Indiquez pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse; justifiez dans chaque cas.
	
	Proposition 1: \og si la suite $(x_n)$ est convergente alors la suite $(S_n)$ l'est aussi.
	
	Proposition 2: les suites $(u_n)$ et $(S_n)$ ont le même sens de variation.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
		
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/198 amérique du nord exercice  2.
	\end{notabene}
	
	Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
	
	\[T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel } n, \: T_{n+1} = 0,955T_n + 0,9\]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $T_n \geqslant 20$.
			\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $T_{n+1} -  T_n  = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
		\end{enumerate}	
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n =  T_n - 20$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
			\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$T_n =  20 + 160 \times  0,955^n$.
			\item Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
		\end{enumerate}	
		\item Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. 
		
		On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180 \degres$ C et celle de l'air ambiant de $20 \degres$ C.
		
		La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
		\begin{enumerate}
			\item Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
			\item On considère la fonction Python ci-dessous:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|}\hline
					def temp(x) :\\
					\quad T = 180\\
					\quad n = 0\\
					\quad while T $>$ x :\\
					\qquad T=0.955*T+0.9\\
					\qquad n=n+1\\
					\quad return n\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).
			
			Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam ~ épisode 1.}
	
	\begin{notabene}
		Amérique du nord 2022/05/19 exercice 1
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
				nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ épisode 2.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Un peu plus.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Modèle d'évolution avec deux popuations en ien avec les matrcies.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 113 page 45
	\end{notabene}
	
	On considère la suite de nombres réels $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_0=-1,\ u_1= \frac{1}{2} \\
	\\
	u_{n+2}= u_{n+1}-\frac{1}{4} u_n \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_2$  et déduisez-en que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
		
		\item On définit la suite $(v_n)$ en posant pour tout entier naturel $n$: \[ v_{n}=u_{n+1}-\frac{1}{2}u_n. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $v_0$.
			
			\item Exprimez $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
			
			\item Déduisez-en que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
				
			\item Exprimez $vhn$ en fonction de $n$ entier naturel.
				
		\end{enumerate}
		
		\item On définit la suite $(w_n)$ en posant, pour tout entier naturel $n$: \[ w_n= \frac{u_n}{v_n}. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $w_0$.
			
			\item En utilisant l'égalité $u_{n+1}=v_n+\frac{1}{2}u_n$, exprimez $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de $v_n$.
			
			\item Déduisez-en que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $w_{n+1}=w_n+2$.
			
			\item Exprimez $w_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez que pour tout entier naturel $n$: \[ u_n=\frac{2n-1}{2^n}. \]
		
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose: \[ S_n=\sum_{k=0}^n uk =u_0 + \dots + u_n. \]
		
		Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ S_n=2-\frac{2n+3}{2^n}. \]
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 115 page 45
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(w_n)$ dont les termes vérifient, pour tout entier $n$ supérieur ou égal $1$: \[ nw_n=(n+1)w_{n-1} +1\ \text{et} \ w_0=1. \]
	
	Les quatre premiers termes de la suite sont: $w_0=1$, $w_1=3$, $w_2=5$ et $w_3=7$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Détaillez le calcul permettant d'obtenir $w_4$.
		
		\item Voici une fonction en Python.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]m,w,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def fonction(m):
  n=0
  w=1
  while w!m:
    n=n+1
    w=(n+1)/n*w+1/n
  return(n)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Pour $m=\np{4027}$ quelle valeur de $n$ le programme donne-t-il?
			
			\item Quel est l'intérêt de ce programme?
			
			\item En déduire une conjecture de l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez la propriété conjecturée.
		
		\item Déduisez-en $w_{\np{2013}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard ~ Partie A.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 118 page 46
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 \in \mathbb{R} \\ u_{n+1}= -\sin \left( \frac{\pi}{2} u_n \right) \end{array} \right. . \]
	
	On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ f(x)=-\sin \left( \frac{\pi}{2} x \right). \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Peut-on affirmer que pour tout entier $n$, $u_n \in [-1;1]$.
		
		\item Montrez que si $u_0$ est un entier pair, alors la suite $(u_n)$ est constante à partir du rang $1$.
		
		\item Montrez que si $u_0$ est impair, alors la suite $(u_n)$ est à valeurs dans $\{ -1; 1 \}$ à partir du rang $1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{\Biohazard ~ Partie B.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 118 page 46
	\end{notabene}
	
	Dans cette partie on suppose que $u_0$ n'est pas entier.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{3}
		
		\item Établissez le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1;1]$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déduisez-en que, pour tout entier supérieur ou égal à $1$, $u_n \in [-1;1]$.
			
			\item Déduisez-en que la suite $(u_n)$ est bornée.
			
			\item Peut-on affirmer que la suite $(u_n)$ converge si, et seulement si, $(u_n)$ est monotone?
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Montrez que si $x \in ]-1;0[ \cup ]0;1[$, alors: \[ f(x) \in ]-1;0[ \cup ]0;1[. \]
			
			\item Déduisez-en, pour tout entier naturel $n$, que si $u_0$ n'est pas entier, alors $u_n$ n'est pas entier.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que l'image par $f$ de l'intervalle $]0;1[$ est l'intervalle $]-1;0[$, puis que l'image par $f$ de l'intervalle $]-1;0[$ est l'intervalle $]0;1[$.
			
			\item Déduisez-en que, quel que soit le rang, la suite $(u_n)$ ne peut être monotone.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		Courbe à rajouter
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard ~ Partie A.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 119 page 47
	\end{notabene}
	
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 144 page 51
		
		Suites adjacente
		
		Irrationalité de $\mathrm{e}$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{definition}
		
		Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si la suite $(u_n)$ est croissante, la suite $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n\to +\infty} u_n-v_n=0$.
		
	\end{definition}
	
	\medskip
	Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $w_n=v_n-u_n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(w_n)$ est décroissante.
		
		\item Déduisez-en que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $w_n\geqslant 0$.
		
		\item Déduisez-en que deux suites adjacentes admettent une même limite finie.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard ~ Partie B.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 144 page 51
		
		Suites adjacente
		
		Irrationalité de $\mathrm{e}$.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites  définies sur $\mathbb{N}^*$ par: \[ u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{p!} \text{ et } v_n=u_n+\frac{1}{n \times n!}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Déduisez-en que les suites $hu_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
		
		\item On note $\mathrm{e}$ la limite commune des suites.
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $\varepsilon>0$ fixé. Expliquez pourquoi $\frac{1}{n \times n!} <\varepsilon$ est une condition suffisante pour que $u_n$ et $v_n$ soient toutes les deux des approximation de $\mathrm{e}$ à $\varepsilon$ près.
			
			\item Expliquez le fonctionnement ainsi que l'utilité de l'algorithme suivant.
			
			\begin{notabene}
				On peut aussi utiliser la fonction du module math: \verb|math.factorial(23)|
			\end{notabene}
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{7cm}
					\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]n,u,v,epsilon,factoriel}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def fonction(epsilon):
  n=1
  u=2
  v=3
  factoriel=1
  while 1/(n*factoriel)>=epsilon:
    n=n+1
    factoriel=n*factoriel
    u=u+1/factoriel
    v=u+1/(n*factoriel)
  return [n,u,v]
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			\item Programmez cet algorithme.
			
			\item Quel intérêt y-a-t-il à afficher \verb|u| et \verb|v|?
			
			\item Déduisez-en les premières décimales de $\mathrm{e}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On suppose qu'il existe $p\in \mathbb{N}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $\mathrm{e}=\frac{p}{q}$. En utilisant le fait que $u_q<\mathrm{e} < v_q$, montrez qu l'on aboutit à une contradiction.
		
		\item Que concluez-vous?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Pourquoi s'arrêter en si bon chemin?}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		Terminale repère 2 page 53.
	\end{notabene}
		
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		Terminale repère 3 page 53.
	\end{notabene}

\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}