%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Généralités sur les suites et démonstration par récurrence.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Généralités sur les suites et démonstration par récurrence.}

\begin{notabene}
	
	Présentation des résultats en faisant deux colonnes: explicite et récurrence.
	
	Puis ensuite démonstration par récurrence notamment pour établir la monotonie d'une suite.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Ce qui précède la démonstration par récurrence soit être simplement évoqué libre aux élèves de revoir leur cours de première.
	
\end{notabene}

\subsection{Généralités.}

\subsubsection{Définition et notations.}

\begin{definition}
	
	Soit $p \in \mathbb{N}$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}suite numérique réelle} toute application \[ u: \{ p,\ p+1,\ p+2,\ \dots \} \rightarrow \mathbb{R}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite arithmétique de terme initial $37$ et de raison $\frac{1}{2}$ est l'application \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & \frac{1}{2} \times n +37 \end{array} \right. . \]
		
		\item La suite géométrique de terme initial $7$ et de raison $\frac{3}{7}$ est l'application \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & 7 \times \left( \frac{3}{7} \right)^n \end{array} \right. .\]
		
		\item L'application qui a tout entier naturel $n \geqslant 3$ associe le nombre de diagonales d'un polygone à $n$ côtés est une suite.
		
		\item L'application qui a tout entier naturel $n$ associe la somme des carrés des chiffres qui compose le nombre $n$ est une suite. Il semble compliquer de trouver une expression explicite pour cette suite.
		
		\item $u:\{ 0,\ 1,\ 2 \} \rightarrow \mathbb{R}$ n'est pas une suite car son domaine de définition est fini.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons donc utiliser la notation fonctionnelle pour les suites: $u(n)$. L'usage, respectant en cela l'intuition, lui préfère la notation indicielle: $u_n$. Mathématiquement les deux notations sont équivalentes. Nous pourrions par exemple noter $(x^2)_{x\in\mathbb{R}}$ la fonction carrée.
		
		\item La plus petite valeur de l'ensemble de définition de la suite n'est pas toujours $0$. Autrement dit, le rang du terme initial de la suite n'est pas forcément $0$.
		
		\item Si $p \in \mathbb{N}$ est le rang du terme initial d'une suite $u$ alors nous la noterons le plus souvent $\left( u_n \right)_{n\geqslant p}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Il y a deux façons calculatoires usuelles de définir une suite: de \emph{\color{purple}façon explicite} ou bien \emph{\color{purple}par récurrence}.
	
\end{lecon}

\medskip
\noindent
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
\begin{lecon}
	
	Nous dirons qu'une suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est définie de façon explicite si il existe une formule de calcul en fonction de $n$ qui permet de calculer les termes de la suite.
	
	Le plus souvent la formule de calcul est associée à une fonction numérique $f$ définie au moins sur $\mathbb{R}_+$. Nous noterons alors $\left( f(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Expliquer le fait que dorénavant nous écrirons la formule de calcul entre parenthèses plutôt que $(u_n)$ lorsque c'est possible.
	
\end{notabene}


\end{minipage}
\hspace{0.6cm}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous dirons qu'une suite est définie par récurrence si les termes de la suite se déterminent en fonction des termes précédents de la suite.
	
	La formule de récurrence est souvent associée à une fonction numérique réelle $f$ telle que: $f(u_n)=u_{n+1}$.
	
\end{lecon}

\end{minipage}

\begin{exemples}

\medskip
\noindent
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item La suite arithmétique de terme initial $u_2=4$ et de raison $7$ est définie de façon explicite par: $u_n=4+7(n-2)$.
			
			\item $\left( n^2+3 \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite définie de façon explicite qui est associée à la fonction $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2+3 \end{array} \right.$.
			
			\item Si $f:x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{x^3-8}$ alors $\left( f(n) \right)_{n\geqslant 3}$ est une suite définie de façon explicite. 
			
			\item $\left( 7^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite définie de façon explicite bien que nous ne puissions pas, pour l'instant l'associer à une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{enumerate}
	
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
			
		\begin{enumerate}
			\item La suite géométrique de terme initial $u_7=3$ et de raison $q=5$ est donnée par la formule de récurrence: $u_{n+1}=7 \times u_n$ pour tout $n \geqslant 7$. Autrement dit: $u_{n+1}=f(u_n)$  avec $f: x \mapsto 7x$.
			
			\item La suite de Fibonacci est définie par $u_0=$, $u_1=1$ et pour tout $n \geqslant 2$: $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$. Remarquons avec cet exemple qu'une formule de récurrence peut lier plus de termes de rangs différents de la suite. Nous dirons que la suite de Fibonacci est une suite récurrente d'ordre $2$.
			
			\item La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est définie par récurrence.
			
		\end{enumerate}
\end{minipage}

\end{exemples}

\subsubsection{Représentations graphiques.}

\begin{lecon}
	
	On retrouve deux modes de représentation suivant que la suite est définie de façon explicite ou par récurrence.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
\medskip
\noindent
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
	Si la suite est définie de façon explicite nous la considérons comme une fonction et nous traçons sa courbe représentative (ici c'est un nuage de points): le rang $n$ est en indice et le terme $u_n$ en ordonnée.
	
\end{minipage}
\hspace{0.6cm}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
	Si la suite est définie par une formule de récurrence nous la considérons comme une liste infinie de valeurs que nous représentons sur la droites numérique représentant $\mathbb{R}$
	
\end{minipage}

\end{lecon}

\begin{exemples}
	
\medskip
\noindent
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite arithmétique définie par $u(n)= 0,5n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est représentée par:
		
		\medskip
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2, ...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,3,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
		\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/2, 3/2.5, 4/3, 5/3.5} {
			\draw [red] ({\u},{\v}) node {$\times$};
		}
		\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/2, 3/2.5, 4/3, 5/3.5} {
			\draw [red] ({-0.5},{\v}) node {$u_{\u}$};
		}
		\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/2, 3/2.5, 4/3, 5/3.5} {
			\draw [red, dashed] ({\u},{0}) -- ({\u},{\v}) -- ({0},{\v}) node {$\times$};
		}
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{enumerate}
	
\end{minipage}
\hspace{0.6cm}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite arithmétique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}= u_n+ 0,5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est représentée par:
		
		\medskip
		{\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tikzpicture}
				\foreach \x in {0,1, 2, ...,5}
				\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (-0.5, 0) -- (5, 0) node[right]{$u_n$};
				\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/2, 3/2.5, 4/3, 5/3.5} {
					\draw [red] ({\v},{0}) node {$\times$};
				}
				\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/2, 3/2.5, 4/3, 5/3.5} {
					\draw [red] ({\v},{0}) node[above] {$u_{\u}$};
				}
			\end{tikzpicture}
		}
		
		\medskip
		La représentation obtenue est tout simplement l'axe des ordonnées de la représentation à gauche.
		
	\end{enumerate}
	
\end{minipage}

	
	\medskip
	\noindent
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{1}
			
			\item La suite géométrique définie par $v(n)= \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est représentée par:
			
			\medskip
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{4.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, ...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,3,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
				\foreach \u/\v in {0/{0.25}, 1/{0.25*1.75}, 2/{0.25*1.5*1.75}, 3/{0.25*1.75*1.75*1.75}, 4/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75}, 5/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75*1.75}} {
					\draw [red] ({\u},{\v}) node {$\times$};
				}
				\foreach \u/\v in {0/{0.25}, 1/{0.25*1.75}, 2/{0.25*1.5*1.75}, 3/{0.25*1.75*1.75*1.75}, 4/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75}, 5/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75*1.75}} {
					\draw [red] ({-0.5},{\v}) node {$u_{\u}$};
				}
				\foreach \u/\v in {0/{0.25}, 1/{0.25*1.75}, 2/{0.25*1.5*1.75}, 3/{0.25*1.75*1.75*1.75}, 4/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75}, 5/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75*1.75}} {
					\draw [red, dashed] ({\u},{0}) -- ({\u},{\v}) -- ({0},{\v}) node {$\times$};
				}
				\end{tikzpicture}
			}
		\end{enumerate}
		
	\end{minipage}
	\hspace{0.6cm}
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{1}
			\item La suite géométrique définie par $v_0=\frac{1}{4}$ et $v_{n+1}=  \frac{3}{2} \times v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est représentée par:
			
			\medskip
			{\hspace*{-0.5cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=1]
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}
				\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (-0.1, 0) -- (4.5, 0) node[right]{$u_n$};
				\foreach \u/\v in {0/0.25, 1/{0.25*1.75}, 2/{0.25*1.75*1.75}, 3/{0.25*1.75*1.75*1.75}, 4/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75}, 5/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75*1.75}} {
					\draw [red] ({\v},{0}) node {$\times$};
				}
				\foreach \u/\v/\place in {0/0.25/below, 1/{0.25*1.75}/above, 2/{0.25*1.75*1.75}/below, 3/{0.25*1.75*1.75*1.75}/above, 4/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75}/below, 5/{0.25*1.75*1.75*1.75*1.75*1.75}/above} {
					\draw [red] ({\v},{0}) node[\place] {$u_{\u}$};
				}
				\end{tikzpicture}
			}
		\end{enumerate}
		
	\end{minipage}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Rappelons pour une suite définie par une formule de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ le procédé géométrique qui permet de construire les termes successifs de la suite grâce à la courbe représentative de la fonction $f$.
		
		Dans ce cas les deux axes, des ordonnées et abscisses, supportent les termes de la suite: \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_suites_et_series_02_generalites_sur_les_suites_diaporama_convergence_recurrence.pdf}{pdf diaporama}.		
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Représentez graphiquement les cinq premiers termes des suites définies ci-après.
	
	Pour tout $n \in \mathbb{N}$,
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n=(-2)^n$.
		\task $u_0=2$ et $u_{n+1}=1-u_n$.
		\task $u_n=-2n+3$.
		\task $u_0=1$ et $u_{n+1}= \frac{2u_n}{2+3u_n}$.
		\task $u_n=n^2-2n+3$.
		\task $u_0=8$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.
		\task $n \geqslant 2$, $u_n=\frac{n}{n-1}$.
		\task $u_0=-1$ et $u_{n+1}=1-u_n^2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Monotonie.}

\begin{lecon}
	
	Les variations d'une suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ sont celles de la fonction numérique définie sur $\mathbb{N}$ par $n \mapsto u_n$.
	
	Il n'est pas possible de calculer de dérivée au sens où nous l'avons vu. Nous allons donc utiliser d'autres procédés.
	
	Par exemple, voici une version discrète de dérivation: nous n'étudions pas le signe de la fonction dérivée mais de $u_{n+1}-u_n$.
	
\end{lecon}


\begin{theoreme}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in \mathbb{N}$,
		\item $\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ une suite numérique.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ est strictement croissante si et seulement si \[ \text{quelque soit } n\geqslant p:\ u_{n+1}-u_n>0.\]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Rappelons la définition de fonction strictement croissante. Une fonction $f$ est strictement croissante si et seulement si pour tous nombres $a$ et $b$ choisis dans son ensemble de définition si $a<b$ alors, forcément, $f(a)<f(b)$.}
	
	\medskip
	Notons $\mathscr{D}_p= \{ p;\ p+1;\ \dots \}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit n$ \geqslant p$ un entier naturel.
		
		Si $u$ est une fonction strictement croissante sur $\mathscr{D}_p$, alors par définition de la croissance: quelque soient $a$ et $b$ dans $\mathscr{D}_p$, si $a<b$ alors $u(a)<u(b)$.
		
		En particulier pour $a=n$ et $b=n+1$: $u(n)<u(n+1)$.
		
		Autrement dit: $0< u(n+1)-u(n)$.
		
		\item Supposons que, quelque soit $n \geqslant p$, $u_{n+1}>u_n$ et démontrons que $u$ est strictement croissante.
		
		Soient $a<b$ deux éléments de $\mathscr{D}_p$. Nous avons de proche en proche: $u(a)<u(a+1)<u(a+2)< \dots <u(b)$.
		
		Ainsi $u$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Afin de connaître le sens de variation de la suite définie, pour tour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=n^2$ nous devons étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		Soit donc $n \in \mathbb{N}$.
		
		{\color{orange} Comme $u_{n+1}=(n+1)^2$.}
		
		\begin{align*}
		u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-n^2 \\
		&= 2n+1
		\end{align*}
		
		Donc: $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
		\item La suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1}=u_n+n^2+1$ et $u_0=0$ est strictement croissante puisque, quelque soit le $n \in \mathbb{N}$ choisi nous avons:
		\begin{align*}
		u_{n+1}-u_n &= n^2+1
		\end{align*}
		
		Donc $u_{n+1}-u_n>0$, pour tout entier naturel $n$. Et par conséquent $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est incontournable en particulier pour les suites définies par récurrence.
		
		\item Ce résultat est en fait une expression simplifiée de la définition générale de fonction strictement croissante pour des fonctions définies sur des entiers naturels.
		
		\item Une analogie avec les suites arithmétiques est possible. Nous regardons si la raison (qui ici est en fait variable), c'est à dire la variation absolue entre deux termes consécutifs est positive ou non. Comme pour les suites arithmétiques: si la raison est positive alors la suite est croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Il est existe d'autres procédés pour démontrer la monotonie d'une suite.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ monotonie et formule explicite.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in\mathbb{N}$,
		
		\item $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est strictement croissante sur $[p;+\infty[$ alors la suite $\left( f(n) \right)_{n \geqslant p}$ est strictement croissante.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $n$ un entier naturel avec $n \geqslant p$.
	
	Puisque $f$ est strictement croissante et $n<n+1$, $f(n)<f(n+1)$. Autrement dit: $f(n+1)-f(n)>0$.
	
	Donc $(f(n))$ est strictement croissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item $(n^2)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante car la fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item La suite $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante puisque la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
		
		\item $\left( n^2-6n-15 \right)_{n\geqslant 3}$ est strictement croissante car la fonction $f: x \mapsto x^2-6x-15$ est strictement croissante sur $[3;+\infty[$ (d'après son tableau de variation obtenu avec la forme canonique ou l'étude du signe de $f'$).
		
		\item Nous ne pouvons étudier la monotonie de la suite $\left( 2^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$, qui est pourtant donnée par une formule explicite, car nous ne connaissons par de fonction \og $x \mapsto 2^x$ \fg{}.
		
		\item La réciproque est fausse. La suite $\left( \left( n-\frac{1}{4} \right)^2+1 \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante et pourtant la fonction $f: x \mapsto \left( x-\frac{1}{4} \right)^2+1$ n'est pas strictement monotone sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons des résultats semblables pour des fonctions diversement monotones: strictement décroissante, croissante et décroissante.
		
		\item Ce résultat signifie que la connaissance de la monotonie de la fonction $f$ permet de connaître celle de $(f(n))_{n\geqslant p}$.
		
		\item La réciproque est fausse.
		
		\item Ce résultat deviendra particulièrement intéressant quand nous saurons étudier les variations d'une fonction grâce à la fonction dérivée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous n'avons pour l'instant pas de méthode pour démontrer la monotonie des suites définies pas récurrence. Il nous manque un procédé de démonstration appelé le raisonnement pas récurrence.
	
\end{lecon}

\subsection{Démonstration par récurrence.}

\begin{notabene}
	
	Introduire sur une situation.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Théorème formel mais pas énoncé en classe. Les étapes de la démonstration en commentant.
	
	Application à l'étude de la monotonie et à l'établissement de formules: somme des termes d'une suite arithmétique.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Logique: propositions, assertions.}

\begin{lecon}
	
	Dans l'axiomatique classique, le raisonnement par récurrence est un théorème de logique. Cependant nous l'accepterons comme un axiome, un principe.
	
	\medskip
	Une \emph{\color{purple}proposition}, en mathématique, peut désigner un résultat toujours vrai (comme un théorème) ou une phrase (assertion) qui peut être soit vraie soit fausse. Dans la suite de ce chapitre nous l'utiliserons pour désigner une assertion.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		La proposition \og le carré de $-3$ est négatif\fg{} est fausse.
		
		\item La proposition $\mathscr{P}$: \og $\sqrt{2}$ est irrationnel \fg{} est vraie.
		
		\item La négation de la proposition $\mathscr{P}$: \og $x\geqslant 5$\fg{} est $\overline{\mathscr{P}}$: \og $x< 5$ \fg{}.
		
	\end{enumerate}

\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Certaines propositions sont des propriétés universelles, c'est-à-dire des propositions qui dépendent d'un élément $x$ appartenant à un ensemble. Ce sont des phrases qui contiennent le plus souvent les expressions \og quel que soit \fg{} ou \og pour tout \fg{} ou le quantificateur universel $\forall$.
	
	Pour démonter qu'une proposition universelle est fausse il suffit de trouver un contre-exemple.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La proposition $\mathscr{P}(x)$: \og $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est vraie quel que soit $x \in ]0;1[$.
		
		\item \og Pour tout $x \in ]0;2[$, on a $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est fausse puisque, par exemple, pour $x=1$, on a $\frac{1}{1}= \frac{1}{1^2}$.	
		
		\item L'assertion $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est un multiple de $3$.\fg{} est vraie pour tout nombre entier naturel $n$. Cependant la démonstration n'est pour l'instant pas aisée.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Certaines proposition contiennent des implications (appelées aussi conditions nécessaires) le plus souvent sous la forme \og si ..., alors ... \fg{}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \og {\color{Green}Pour tout $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $n$ est impair} {\color{red}alors $n^2$ est impair}. \fg{} est une assertion qui est vraie.
		
		Démontrons-le.
		
		{\color{Green}Soit $n \in \mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $n$ est impair} et démontrons qu'alors forcément $n^2$ est aussi impair.
		
		Puisque $n$ est impair il peut s'écrire $n=2k+1$ où $k$ est un certain entier.
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			n^2 &= (2k+1)^2\\
			&= 4k^2+4k+1\\
			&= 2 \times 2k^2 + 2 \times 2k+1\\
			&= 2 \times (2k^2+2k)+1
		\end{align*}
		
		Ainsi $n^2$ est de la forme $2p+1$ où $p$ est un nombre entier. Autrement dit {\color{red}$n^2$ est impair}.
		
		Concluons: nous avons démontré que, quel que soit l'entier $n$, si $n$ est impair, alors, nécessairement, $n^2$ est aussi impair.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Le théorème du raisonnement par récurrence.}

\begin{lecon}
	
	Le raisonnement par récurrence est un procédé qui permet de démontrer des propriétés universelles, $\mathscr{P}(n)$, qui dépendent d'entiers naturels $n$.
	
	La montée de l'échelle. Si j'affirme: \og si on met un pied sur un barreau de l'échelle, alors on met, obligatoirement, l'autre pied sur le barreau supérieur \fg{} alors, pour peu que l'on mette un pied sur le barreau d'en bas il faudra grimper toute l'échelle.
	
\end{lecon}

\begin{theoreme}{}
	
	Soit $\mathscr{P}(n)$ une proposition dépendant d'un entier naturel $n$.
	
	\medskip
	Si les deux assertions suivantes sont vraies
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item {\color{magenta}$\mathscr{P}(0)$ est vraie},
		
		\item {\color{Green}quel que soit $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $\mathscr{P}(n)$ est vraie} {\color{red}alors, forcément, $\mathscr{P}(n+1)$ est aussi vraie},
		
	\end{enumerate}
	
	alors les assertions $\mathscr{P}(n)$ sont vraies pour tous les entiers naturels $n$.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'assertion (i) est appelée \emph{\color{purple}l'initialisation}.
		
		\item L'assertion (ii) est appelée \emph{\color{purple}l'hérédité}.
		
		\item L'initialisation commence avec $n=0$ mais, comme pour les suites, il possible de commencer avec un autre rang.
		
		\item Ce théorème, comme le théorème de Pythagore, est une implication. Pour le théorème de Pythagore il faut d'abord vérifier que $ABC$ est rectangle en $A$ pour pouvoir affirmer que l'égalité $BA^2+AC^2=BC^2$. De même pour utiliser le raisonnement par récurrence il faut vérifier que l'initialisation et l'hérédité sont vraies avant de pouvoir affirmer que toutes les assertions sont vraies.
		
		\item L'assertion de l'hérédité contient à la fois une propriété universelle et une implication nous adopterons systématiquement la rédaction:
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		...
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
		
		\item Lorsqu'on écrit \og {\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} \fg{} on signifie que l'on admet que $\mathscr{P}(n)$ est vraie. Le fait que \og $\mathscr{P}(n)$ est vraie\fg{} est appelée \emph{\color{purple}l'hypothèse de récurrence.}
		
		\item Le raisonnement par récurrence ne permet pas de trouver un nouveau résultat mais il permet de démontrer qu'une conjecture est vraie.
		
		\item Le raisonnement par récurrence fut mise en évidence par Peano puis Poincaré. Poincaré en parle notamment dans \og La science et l'hypothèse.\fg{}: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_01_generalites_suites_demonstration_par_recurrence_01_poincare_la_science_et_l_hypothese.epub}{lien epub}, \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_01_generalites_suites_demonstration_par_recurrence_02_poincare_la_science_et_l_hypothese.pdf}{lien pdf}, \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_suites_et_series_01_generalites_suites_demonstration_par_recurrence_03_poincare_la_science_et_l_hypothese_chapitre_01_sur_la_nature_du_raisonnement_mathematique.mp3}{lien audio}.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Démontrer une propriété.}
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est divisible par trois \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit que $4^0-1$ est divisible par $3$.}
			
			$4^0-1=0$ et $3 \times 0=0$. Donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
			
			\item {\color{orange}Hérédité.}
			
			{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			{\color{orange}Nous devons donc démontrer que $4^{n+1}-1$ est un multiple de $3$.}
			
			\begin{align*}
			4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n-1)+3
			\end{align*}
			
			D'après l'hypothèse de récurrence: $3 | 4^n-1$. 
			
			Autrement dit il est possible d'écrire: $4^n-1=3 \times k$ où $k$ est un nombre entier.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
			4^{n+1}-1 &= 4 \times 3k+3\\
			&= 3(4k+1)
			\end{align*}
			
			Autrement dit $4^{n+1}-1$ est divisible par $3$.
			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par $3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Démontrer une formule. Ici la somme des entiers naturels jusqu'à $n$.}
		
		Soit $\mathscr{P}(n)$: \og $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $0=\frac{0 \times 1}{2}$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			\begin{align*}
			\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \sum_{k=0}^n k\\
			\intertext{D'après l'hupothèse de récurrence:}
			\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \frac{n(n+1)}{2}\\
			&= \frac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\
			&= \frac{(2+n)(n+1)}{2}
			\end{align*}
			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Démontrer la formule explicite du terme terme général d'une suite.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=8$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{2}{5}u_n+3$.
		
		Nous souhaitons démontrer que $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right)^n+5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\medskip
		Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right) ^n+5$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Démontrer qu'une suite définie par récurrence est croissante.}
		
		Étudions la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer un encadrement.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}= 2+ \frac{1}{u_n}$.
		
		Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$: $2 \leqslant u_n \leqslant 3$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer une inégalité.}
		
		\begin{notabene} 
			
			Comparaison de suites.
			
		\end{notabene}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $2n+1 \leqslant 2^n$ \fg{} est vraie.}
		
		\item {\color{orange}De la nécessité de l'initialisation.}
		
		\begin{notabene}
			
			Exemple de la nécessité de l'initialisation.
			
		\end{notabene}
		
		$\mathscr{P}(n)$: \og $4^n+1$ est divisible par $3$\fg{}.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Par hypothèse de récurrence, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $4^n+1=3k$ donc:
			
			
			\begin{align*}
			4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n+1)-4+1\\
			&= 4 \times 3k-3\\
			&= 3(4k-1)
			\end{align*}
			
			Autrement dit $4^{n+1}+1$ est divisible par $3$.
			
			\item $4^0+1=1$ et $3 \not| 1$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est fausse.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous remarquons que l'hérédité ne suffit pas à démontrer que toutes les propositions sont vraies.
		
		Nous pourrions même démontrer par l'absurde que $4^n+1$ n'est jamais divisible par $3$.
		
		\item {\color{purple} Inégalité de Bernoulli}.
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{B}(n)$: \og $\color{red}\varheartsuit$ {\color{purple}pour tout nombre $x\geqslant 0$, $(1+x)^n \geqslant 1+nx$}.\fg{}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'une part: $(1+x)^0=1$
			
			d'autre part: $1+0 \times x=1$,
			
			donc: $(1+x)^0 \geqslant 1+ 0 \times x$.
			
			$\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in\mathbb{N}$.
			
			Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'après l'hypothèse de récurrence:
			
			\begin{align*}
			(1+x)^n &\geqslant 1+nx\\
			\intertext{Puisque $(1+x)\geqslant 0$:}
			(1+x)^{n+1} &\geqslant   (1+x)(1+nx)\\
			\intertext{En développant le membre de droite:}
			(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x+nx^2 \quad {\color{blue}(1)}\\
			\intertext{Or, puisque $nx^2\geqslant 0$,}
			1+(n+1)x+nx^2 &\geqslant 1+(n+1)x \quad {\color{blue}(2)}\\
			\intertext{donc, par transitivité entre ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$:} 
			(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x
			\end{align*}
			
			Autrement dit $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			\item Nous avons démontré par récurrence que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}_+,\ (1=x)^n \geqslant 1+nx$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 24
		
		Formule sommatoires.
		
	\end{notabene}
	
	Montrez, pour tout entier naturel $n$, que:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;
		
		\task $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Quelques éléments pour l'hérédité.
		
		{\color{orange}$\mathscr{P}(n+1)$ est une égalité, donc de la forme $A=B$. Pour la démontrer nous transformer l'écriture de $A$ et de $B$ en montrant $A=C$ et $B=C$ pour conclure $A=B$.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
		\sum_{i=0}^{n+1} i^2 &=(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2\\
		&= (n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
		&= \frac{6(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1)}{6}\\
		&= \frac{6 ( n^2+2n+1) +(n^2+n)(2n+1)}{6}\\
		&= \frac{6n^2+12n+6+2n^3+n^2+2n^2+n}{6}\\
		&= \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}
		\end{align*}
		
		d'autre part:
		
		\begin{align*}
		\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\
		&= \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6}\\
		&= \frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6}\\
		&= \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}
		\end{align*}
		
		donc, par transitivité, \[ 
		(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}. \]
		
		Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		\task {\color{orange}Pour démontrer l'hérédité il faut établir une égalité $A=B$. Nous allons partir de $B$ et en développant astucieusement faire apparaître $A$.}
		
		\begin{align*}
		\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= \left[ \frac{(n+1)({\color{blue}n}+{\color{Green}2})}{2} \right]^2 \\
		&= \left[ \frac{(n+1){\color{blue}n}+ (n+1){\color{Green}2}}{2} \right]^2\\
		&= \left[ \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1) \right]^2\\
		\intertext{En dévellopant avec une identité remarquable:}
		\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= {\color{orange}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2} + n(n+1)(n+1)+ (n+1)^2\\
		\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
		\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= n{\color{blue}(n+1)^2} + 1 \times {\color{blue}(n+1)^2}+{\color{orange}\sum_{i=0}^n i^3}\\
		\intertext{En factorisant:}
		\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 &= (n+1){\color{blue}(n+1)^2}+\sum_{i=0}^n i^3\\
		&= (n+1)^3+\sum_{i=0}^n i^3\\
		&= \sum_{i=0}^{n+1}i^3
		\end{align*}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 25 et 26
		
		Arithmétique divisibilité.
		
	\end{notabene}
	
	Montrer que les propositions suivantes sont vraies pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $2^{n+4}+3^{3n+2}$ est divisible par $5$.
		
		\item $3^{6n+2}-2$ est divisible par $7$.
		
		\item $n^3-n$ est divisible par $3$.
		
		\item $4^n-1-3n$ est divisible par $9$.
		
		\item $7 \times 3^{5n}+4$ est divisible par $11$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2^{n+5}+3^{3n+5}\\
		&= 2 \times 2^{n+4}+3^{3n+5}\\
		\intertext{Astuce:}
		2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2 \times2^{n+4} {\color{orange}+2 \times 3^{3n+2}} {\color{blue}-2 \times 3^{3n+2}} + 3^{3n+5}\\
		&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) -2 \times 3^{3n+2} + 3^3 \times 3^{3n+2}\\
		&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +\left( -2 + 3^3 \right) \times 3^{3n+2}\\
		&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +25\times 3^{3n+2}
		\end{align*}
		
		$25$ est divisible par $5$ et, d'après l'hypothèse de récurrence $2^{n+4} 3^{3n+2}$ est divisible par $5$ donc $2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2}$ est divisible par $5$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		3^{6(n+1)+2} -2 &= 3^6 \times 3^{6n+2} -2\\
		&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
		&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
		&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+7 \times 208
		\end{align*}
		
		\item Version brève: $(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs et l'un de ces facteurs est forcément multiple de $3$.
		
		\begin{align*}
		(n+1)^3-(n+1) &= n^3+3n^2+3n+1-n-1\\
		&= n^3-n +3(n^2-n)
		\end{align*}
		
		Or $3(n^2-n)$ est divisible par $3$ et, d'après l'hypothèse de récurrence, $n^3-n$ est divisible par $3$ donc $(n+1)^3-(n+1)$ est divisible par $3$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		4^{n+1}-1-3(n+1) &= 4 \times 4^n -1 -3(n+1)\\
		&= 4 \times (4^n-1-3n)+4+12n-1-3(n+1)\\
		&= 4 \times (4^n-1-3n) + 9n
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		7 \times 3^{5(n+1)}+4 &= 7 \times 3^5 \times 3^{5n}+4\\
		&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -3^5 \times 4+4\\
		&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -968\\
		&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -88 \times 11
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 28
		
		Divisibilité. Nécessité initialisation. Raisonnement par l'absurde.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la proposition suivante: \[ \mathscr{P}(n):\ \text{\og $9$ divise $10^n+1$ \fg{}.} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez, pour tout $n \in \mathbb{N}$, que: si $\mathscr{P}(n)$ est vraie, alors $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		\item Qu'en est-il de $\mathscr{P}(0)$, $\mathscr{P}(1)$, $\mathscr{P}(2)$ et $\mathscr{P}(3)$? Que semble-t-il légitime de conjecturer?
		
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $9$ divise $10^n-1$.
		
		\item Déduisez-en à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la proposition $\mathscr{P}(n)$ est fausse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		10^{n+1}+1 &= 10 \times (10^n+1)-10+1\\
		&= 10 \times (10^n+1)-9
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		10^0+1 &= 2\\
		10^1+1 &= 11\\
		10^2+1 &= 101\\
		10^3+1 &= 1001
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		10^{n+1}-1 &= 10 (10^n-1)+10-1\\
		&= 10(10^n-1)+9
		\end{align*}
		
		\item Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\mathscr{P}(n)$ est fausse.}
		
		Supposons que $10^n+1$ est divisible par $9$. Donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n+1=9k$.
		
		D'autre part, d'après les questions précédentes $10^n-1$ es divisible par $9$ donc il existe $p\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n-1=9p$.
		
		On en déduit successivement:
		
		\begin{align*}
		10^n+1-(10^n-1) &= 9k-9p\\
		2 &= 9(k-p)
		\end{align*}
		
		Donc $2$ est divisible par $9$ ce qui est absurde car: $0<2<9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $10^+1$ n'est pas divisible par $9$, et ce, quel que soit $n \in \mathbb{N}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 30
		
		Formule explicite suite arithmético-géométrique..
		
	\end{notabene}

	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=\frac{2}{5} u_n +3$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: \[u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right).\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$: \[ u_{n+1}=\frac{2}{5} {\color{WildStrawberry}u_n} +3 \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= \frac{2}{5} \left[  {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)} \right] +3
		\intertext{\color{orange}À ce stade nous avons obtenu une formule explicite de $u_{n+1}$. Mais la présentation n'est pas tout à fait celle désirée. Modifions-la.}
		u_{n+1} &= 2 -5 \times \frac{2}{5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^n +3\\
		&= 5-5 \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \times 1-{\color{green}5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \left( 1- \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 31 ex 31
		
		Formule explicite.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_1=5$ et, pour $n \geqslant 2$: $u_n=2u_{n-1}-n$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel non nul $n$, que: \[u_n =2(2^{n-1}+1 ) +n.\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n} -(n+1) \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	{\color{orange}Cette formule de récurrence a été obtenue en remplaçant $n$ pa $n+1$ dans la formule de l'énoncé: pas de difficulté puisque cette formule est vraie pour tout $n\geqslant 1$.}
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}2 \left( 2^{n-1}+1 \right) +n}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 2 \left[ {\color{WildStrawberry}\left( 2^{n-1}+1 \right) +n} \right] -(n+1)\\
		&= 2 \times 2 \times 2^{n-1} +4+2n-n-1\\
		&= {\color{green}2} \times 2^n+{\color{green}2}+n\\
		&= {\color{green}2}(2^n+1)+n
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 32
		
		Formule explicite.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=3u_{n}+n+1$.
	
	Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: \[u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}.\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n}+n+1 \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 3\left[ {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}} \right] +n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}{\color{green}-\frac{9}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1} {\color{green}-\frac{3}{4}-\frac{6}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4} -\frac{3}{2} -\frac{3n}{2}+\frac{2n}{2}+\frac{2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-3-3n+2n+2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-n-1}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}-\frac{n+1}{2}
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 33
		
		Conjecturer et démontrer formule sommatoires.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 41
		
		Formule explicite vrai ou fusse.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=\frac{1}{4} \ \text{et} \ u_{n+1}=5u_n-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les trois premiers termes de la suite $(u_n)$.
		
		\item Conjecturez son expression explicite.
		
		\item Démontrez la.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_0=u_1= u_2= \frac{1}{4}$.
		
		\item $(u_n)$ semble être constante égale à $\frac{1}{4}$.
		
		\item Démonstration par récurrence.
		
		Pour l'hérédité:
		
		\begin{align*}
		u_{n+1} &= 5u_n-1\\
		\intertext{D'arès l'hypothèse de récurrence:}
		u_{n+1} &=5 \times \frac{1}{4}-1\\
		&= \frac{1}{4}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Un peu plus.}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 38
		
		définition factorielle
		
	\end{notabene}
	
	On définit par récurrence la \emph{\color{purple}factorielle} d'un entier naturel $n$ et que l'on note $n!$ de la façon suivante: \[ 0!=1 \ \text{et} \ (n+1)!=(n+1) \times n!. \]
	
	Démontrez que pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $1$, $n!=1 \times \dots n$.
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Coffeecup}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 382 ex 88 et 89
		
		résultats généraux de première.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soient $r\in\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
		
		\begin{enumerate}
			\item En supposant que $u_0$ est son premier terme, démontrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=u_0+nr$.
			
			\item Qu'est-ce que cela change si son premier terme est $u_1$? Démontrez-le.
			
			\item Généralisez ce résultat avec comme premier terme $u_p$ pour $p \in \mathbb{N}$.
			
			\item Recommencez l'exercice pour les suites géométriques.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 32 ex 35
		
		Récurrence d'ordre deux.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par: \[ u_1=u_2=1 \ \text{et} \ u_{n+2}= -3u_{n+1}-2u_n. \]
	
	Démontrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: \[ u_n=(-2)^n-3 \times (-1)^n. \]
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 40
		
		Formule identité remarquable.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrer, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, que: \[ a^n-b^n=(a-b) \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i.\]
	
	\medskip
	\emph{Aide.} Pour l'hérédité on utilisera le fait que: $a^{n+1}-a^{n+1}= a \times a^n - b \times b^n$ et $a=(a-b)+b$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 33 ex 42
		
		Démontrer que  si $f$ est est stable alors la suite induite par récurrence l'est aussi.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $I$ un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $I$.
	
	Montrez que, si la fonction $f$ vérifie la propriété: \[ \mathscr{P}:\ \text{\og pour tout } x \in I,\ f(x) \in I \text{\fg{}}, \] alors on peut définir sur $\mathbb{N}$ la suite numérique $(u_n)$ de la façon suivante: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 \in I \\ u_{n+1}=f(u_n)\text{, pour tout } n \in \mathbb{N}. \end{array} \right. \]
	
	De plus, la suite numérique $(u_n)$ vérifie la propriété: \[ \text{Pour tout } n\in \mathbb{N}, u_n \in I. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer un résultat général: si $f$ croissante et $u_0<u_1$ alors croissante.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $f:I \rightarrow I$ une fonction une fonction croissante, $u_0 \in I$ et $(u_n)$ la suite définie par \[ \text{pour tout } n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f(u_n).\]
	
	Démontrez que, si $u_0>u_1$, alors $(u_n)$ est décroissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 34 ex 43, 44, 45, 46
		
		Calculer des sommes.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez en fonction de $n$ les sommes données.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^n (4p-1)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n-1} (3p+5)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^n \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1} 3 \times 5^{-n}$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n-1} p(p+1)$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1} (p-2)^2$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n} 3^{2p+1}$.
		
		\task $\displaystyle \sum_{p=0}^{n-1} 3 \times 2^p-1$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 terminale
		
		page 34 ex 47 et 48
		
		Conjecturer la somme puis calculer des sommes.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez les sommes suivantes à l'aide du symbole $\Sigma$, puis calculez-les.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $S=5+8+11+14+\dots +\np{2012}$.
		
		\task $T=2^2+2^5+2^8+\dots +2^{20}$.
		
		\task $R=1+10^{-2}+ 10^{-4}+ \dots +10^{10}$.
		
		\task $U=x+x^2+x^3+ \dots +x^n$, pour $x\in\mathbb{R}$.
		
		\task $V=1+x^2+x^4+x^6+\dots +x^{2n}$, pour $x \in\mathbb{R}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}