%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Concentration, loi des grands nombres.}

\subsubsection{Inégalités de concentration.}

\begin{proposition} 
	\emph{Inégalité de Markov.} Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive. Pour tout $a>0$, $\mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$.
\end{proposition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Le nombre de pièces fabriquées dans une usine en une journée est une variable aléatoire d'espérance $50$ et de variance $25$.
		
		Majorons la probabilité que la production dépasse $75$ pièces quotidiennes.
		
		$\mathbb{P}(X>75)=\leqslant \frac{50}{75}=\frac{2}{3}$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\llbracket 0,n \rrbracket$. Montrez que, pour tout $c \in \rrbracket 0,n \llbracket$: $\frac{ \mathbb{E}(X)-c}{n-c} \leqslant \mathbb{P}(X \geqslant c) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)-1}{c-1}$.
\end{exercice}

\begin{theoreme}
	\emph{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.} Soit $X$ une variable aléatoire réelle finie. On note $\mu:=\mathbb{E}(X)$ et $V:=\mathbb{V}(X)$. Quel que soit $x \in \mathbb{R}$, $\mathbb{P}\left( |X-\mu |\geqslant x \right) \leqslant \frac{V}{x^2}$.	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans le cas fini.
		
		Si $X(\Omega)=\{ x_1, \dots, x_n \}$ avec $n \in\mathbb{N}$ alors $A=\{ |X-\mu|>x\}$ est fini et on peut en noter $a_1$, ..., $a_k$ (avec $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$) les éléments ou $A=\emptyset$. Dans ce dernier cas le résultat est évident.
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V}(X) &= (x_1-\mu)^2\mathbb{P}(X=x_1)+ \dots + (x_n-\mu)^2\mathbb{P}(X=x_n)\\
			\intertext{et nous en déduisons successivement:}
			\mathbb{V}(X) &\geqslant (a_1-\mu)^2\mathbb{P}(X=a_1) + \dots + (a_k-\mu)^2 \mathbb{P}(X=a_k)\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2\mathbb{P}(X=a_1)+ \dots +x^2\mathbb{P}(X=a_k)\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2 \left[ \mathbb{P}(X=a_1)+ \dots + \mathbb{P}(X=a_k) \right]\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2 \mathbb{P}(X \in A)\\
			\frac{\mathbb{V}(X)}{x^2} &\geqslant \mathbb{P}(A)
		\end{align*}		
		\item En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire $(X - \mathbb{E}(X))^2$ et $a=x^2$.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item \begin{notabene}
			Représentation graphique de la fonction de probabilité avec la fonction
		\end{notabene}
		
		Loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,5)$.		
		\item Loi uniforme $\mathscr{U}(\llbracket 1,n \rrbracket)$.		
		\item Pour $x=2\sigma$ on a $\mathbb{P}\left( |X-\mu |\geqslant 2\sigma \right) \leqslant \frac{V}{4\sigma^2}=\frac{1}{4}$. Autrement dit la probabilité pour qu'une variable aléatoire prenne une valeur de plus du double de son écart-type est inférieur à $0,25$.		
		\item Le nombre de pièces fabriquées dans une usine en une journée suit une variable aléatoire d'espérance $50$ et de variance $25$.
		
		Majorons la probabilité que la production dépasse $74$ pièces quotidiennes.
		
		$\mathbb{P}(X>74)=\mathbb{P}(X-50>24) \leqslant \mathbb{P}(|X-50|\geqslant 25)\leqslant \frac{25}{25^2}=\frac{1}{25}$.
		\begin{notabene}			
			On remarque que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est plus fine que celle de Markov. C'est pourquoi elle sera en général privilégiée.			
		\end{notabene}		
		\item On lance $800$ fois une pièce non truquée.
		
		Donnons une minoration de la probabilité que le nombre de piles obtenus soit compris entre $381$ et $419$.
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(381\leqslant X \leqslant 419) &= \mathbb{P}(381-400 \leqslant X-400 \leqslant 419-400)\\
			&= \mathbb{P}( -19\leqslant X-400\leqslant 19)\\
			&= \mathbb{P}(|X-400|\leqslant 19)\\
			&= 1-\mathbb{P}(|X-400| > 19)
			\intertext{Or}
			\mathbb{P}(|X-400| \geqslant 20) &\leqslant \frac{800\times 0,5 \times 0,5}{20^2}\\
			&\leqslant \frac{1}{2}\\
			\intertext{donc}
			\mathbb{P}(381<X<419) &\geqslant 1-\frac{1}{2}
		\end{align*}		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous retrouvons l'idée que les valeurs de la variable aléatoire s'éloigne d'environ $\sigma$ de l'espérance: $\mathbb{P}\left( |X-\mu |>x \right) \leqslant \left( \frac{\sigma}{x} \right)^2$.
		\item $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\geqslant x) =1-\mathbb{P}(\mathbb{E}(X)-x<X<\mathbb{E}(X)+x)$. L'intervalle $[\mathbb{E}(X)-x;\mathbb{E}(X)+x]$ est appelé un intervalle de fluctuation de $X$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	On lance $\np{3600}$ fois une pièce non truquée. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans ce cas.		
		\item Minorez la probabilité que le nombre d'apparition de piles soit strictement compris entre $\np{1600}$ et $\np{2000}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(3600;0,5)$ donc $\mu=3600 \times 0,5=1800$ et $V=np(1-p)=900$. $\forall x\in \mathbb{R},\ \mathbb{P}(|X-1800|\geqslant x)\leqslant \frac{np(1-p)}{x^2}$. $\forall x\in \mathbb{R},\ \mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 1800)\leqslant \frac{900}{x^2}$.		
		\item $\mathbb{P}(1600<X <2000)=\mathbb{P}(|X-1800|<200)=1-\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200)$ or $\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200) \leqslant \frac{900}{200^2}=0,0225$ donc $1-\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200)\geqslant 1-0,0225=0,9775$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On note $X$ le nombre d'avions atterrissant sur un aéroport sur le créneau horaire 14h-15h. On estime qe $\mathbb{E}(X)=16$ et $\mathbb{V}(X)=4$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.
		\item Déterminez une minoration de la probabilité qu'il arrive entre $12$ et $20$ avions sur cet aéroport entre 14h et 15h.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère une variable aléatoire $X$ l'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.
		\item Déterminez les valeurs de $\sigma$ pour que nous ayons $\mathbb{P}\left( |X-\mu|<15 \right)\geqslant 0,96$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'objets produits par une entreprise. On sait que $\mathbb{E}(X)=50$ et $\mathbb{V}(X)=25$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Justifiez que $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}\left( |X-50|\geqslant 25\right)$.
			\item Majorez la probabilité que la production du mois à venir dépasse $75$ objets.	
		\end{enumerate}		
		\item Minorez la probabilité que la production du mois à venir soit strictement comprise entre $40$ et $60$ matelas.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un avion peut transporter $100$ passagers et leurs bagages. Sans les passagers, ni les bagages, mais avec l'équipage et le carburant il pèse $120$ tonnes. Les consignes de sécurité interdisent le décollage de l'appareil si le poids dépasse $129,42$ tonnes. Les $100$ places sont occupées.
	
	Le poids d'un voyageur suit une loi d'espérance $70\ \mathrm{kg}$ et d'écart-type $10\ \mathrm{kg}$. Le poids de ses bagages suit une loi d'espérance $20\ \mathrm{kg}$ et d'écart-type $10\ \mathrm{kg}$. Toutes ces variables sont supposées indépendantes.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez l'espérance du poids de l'avion au décollage.	
			\item L'espérance calculée est-elle conforme aux normes de sécurité?			
		\end{enumerate}
		\item Calculez l'écart-type du poids total de l'appareil.
		\item En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, trouvez un majorant de la probabilité pour que le poids réel de l'appareil au décollage dépasse $129,42$ tonnes.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Quel que soit $x$ réel, $\mathbb{P}\left( |M_n-\mu|\geqslant x \right) \leqslant \frac{V}{nx^2}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev:	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(|M_n-\mathbb{E}(M_n) |>x) &\leqslant \frac{\mathbb{V}(M_n)}{x^2}\\
		\intertext{or $\mathbb{E}(M_n)=\mathbb{E}(X)=\mu$ et $\mathbb{V}(M_n)=\frac{\mathbb{V}(X)}{n}$ donc}
		\mathbb{P}(|M_n-\mu |\geqslant x) &\leqslant \frac{V}{nx^2}
	\end{align*}
\end{preuve}

\begin{exercice}	
	On effectue $n$ tirages successifs avec remise d'une boule dans une urne contenant $2$ boules rouges et $3$ boules noires. Notons $X$ la variable aléatoire qui à un tirage associe $1$ si boule tirée est rouge et $0$ sinon. Notons encore $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$ puis donnez l'inégalité de concentration relative à $M_n$.
		\item À partir de quel nombre de tirages pouvons-nous garantir à plus de $95\ \%$ que la proportion de boules rouges obtenues restera strictement entre $0,35$ et $0,45$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\item $\mathbb{P}\left( 0,35<M_n<0,45\right)=\mathbb{P}(-0,05< M_n-0,4<0,5)=\mathbb{P}(|M_n-0,4)<0,05)=1 - \mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05)$. Donc $\mathbb{P}\left( 0,35<M_n<0,45\right) > 0,95 \Leftrightarrow \mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05) < 0,05$ or $\mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05)\leqslant \frac{0,24}{n0,05^2}$ donc il suffit que $\frac{0,24}{n0,05^2}< 0,05$ et donc que $n>1920$.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Une épreuve consiste à tirer au hasard $10$ jetons avec remise dans un sac contenant $40\ \%$ de jetons bleus. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à cette série de tirages, associe le nombre de jetons bleus obtenus.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Justifiez que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $10$ et $0,4$.
			\item Déterminez l'espérance de $X$.
			\item Montrez que la variance de $X$ est $2,4$.		
		\end{enumerate}		
		\item Montrez en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que $\mathbb{P}(|X-4|\geqslant 2) \leqslant 0,6$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quel est l'événement contraire de l'événement $\{ |X-4|\geqslant 2\}$?	
			\item Montrez que $\mathbb{P}(|X-4|<2)\geqslant 0,4$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $T$ la variable aléatoire qui à chaque enfant français de $1$ an associe sa taille en centimètre.
	
	Des statistiques permettent d'estimer que cette variable a pour espérance $50$ et pour écart-type $2$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de $T$ de taille $\np{10000}$.
		\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorez la probabilité que cette taille moyenne s'écarte de $50\ \mathrm{cm}$ d'au moins $0,1\ \mathrm{cm}$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 80
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\subsubsection{Loi faible des grands nombres.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la loi faible des grands nombres.}
	
	Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$.
	
	\[ \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left( |M_n-\mu|\geqslant x \right) = 0.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}$ et $x \in\mathbb{R}$.
	
	D'après l'inégalité de concentration:
	
	\begin{align*}
		0 &\leqslant \mathbb{P}(|M_n-\mu|\geqslant x) \leqslant \frac{V}{nx^2}
	\end{align*}
	
	nous concluons grâce au théorème des gendarmes.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la moyenne des valeurs d'un échantillon s'éloigne de l'espérance de la variable aléatoire diminue à mesure que l'échantillon croît.
		
		Cette décroissance est rapide puisque de l'ordre de $\frac{1}{x^2}$.
		
		\item Pour un pile-ou-face dont pile est le succès: $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et la probabilité que le nombre moyen de pile s'éloigne de $p$ de n'importe quelle longueur $x$ tend vers $0$ lorsque la taille de l'échantillon augmente. On peut obtenir la précision (en probabilité) que l'on veut en augmentant la taille de l'échantillon.
		
		\item C'est un résultat très important puisqu'il fait la passerelle (que nous considérons souvent comme intuitive) entre les statistiques et les probabilités. 
		
		Si dans un sondage $20\ \%$ répondent oui, nous avons l'intuition que la probabilité de choisir au hasard une personne répondant oui est de $0,2$.
		
		Si je lance un grand nombre de fois une pièce et que j'obtiens en moyenne presque $0,5$ je peux affirmer que la pièce est équilibrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 78
	\end{notabene}
	On définit le sex-ratio d'une population comme le rapport du nombre de naissances de garçons sur le nombre de naissance de filles. Pour la population mondiale il est de $1,5$. Pour la Chine il est de $1,13$ (données 2019).
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que la proportion $p_m$ de naissances féminines pour la population mondiale est $0,488$ à $10^{-3}$ près, et que cette proportion $p_c$ pour la Chine est $0,469$ à $10^{-3}$ près.
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 83
	\end{notabene}
	
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 85
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 86
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On souhaite estimer l’équilibre d’une pièce. On note $p$ la probabilité (inconnue) que la pièce tombe sur pile. On lance $n$ fois la pièce et on note $S_n$ le nombre de lancers ayant donné pile. À partir de combien de lancers peut-on supposer que $\frac{S_n}{n}$ est une approximation de $p$ à $0,01$ près avec une probabilité supérieure à $95\ \%$?
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $(X_n)_{n\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes avec $X_n$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p_n$. Montrez que pour tout $\varepsilon >0$: $\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left( \left| \frac{X_1+\dots +X_n}{n} -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i \right|<\varepsilon \right) =1$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
	\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}
	
	\textbf{Partie A} Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme \og régulier\fg{} un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que 60\,\% de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47\,\% ont acheté la carte de fidélité. Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38\,\% ont acheté la carte de fidélité.
	
	\begin{list}{\textbullet}{On interroge au hasard un client et on considère les évènements suivants:}
	\item $R$ : \og le client est un client régulier\fg{} ;
	\item $F$ : \og le client a acheté la carte de fidélité \fg.
	\end{list}
	
	Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~
		
		\begin{minipage}{0,60\linewidth}
			\begin{enumerate}
				\setlength{\parskip}{0pt}
				\setlength{\itemsep}{0pt}
				\item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les pointillés.
				\item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un  client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité.
				\item Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier.
				\item Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80\,\% sont des clients réguliers. 
				
		Cette affirmation est-elle exacte?
		Justifier.
		\end{enumerate}\end{minipage}
		\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{1.5};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{1.5+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$R$/$\dots$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{R}$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$F$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{F}$/$\dots$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$F$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{F}$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{minipage}
		
		~
		
		\item On choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante. On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F) = 0,38$. Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
			\item Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie B} La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions. On choisit au hasard un échantillon de \np{1000} clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces \np{1000} clients répondent.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.
		\item La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.
	\end{enumerate}
	
	On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des 1000 clients. On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à \np{30000} et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à \np{100000}. On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée. On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres \np{1000} et 0,47 et que $Y_2 = 50X_2$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculer l'espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
	On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux \np{1000} clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.
	
	On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{\np{1000}}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setcounter{enumi}{1}	\item Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice.
		
		Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à \np{0,72275}.
		\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
	
	La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
	
	Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : \og Pensez-vous avoir réussi l'examen ?\fg. Seules les réponses  \og oui\fg{} ou \og non \fg{} sont possibles, et on observe que $91,7\,\%$ des étudiants interrogés ont répondu \og oui\fg. Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $65\,\%$ des étudiants ayant échoué ont répondu \og non\fg{} ;
		\item $98\,\%$ des étudiants ayant réussi ont répondu \og oui\fg.
	\end{itemize}	
	On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen. On note $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi l'examen \fg{} et $Q$ l'évènement \og l'étudiant a répondu \og oui\fg{}  à la question\fg{}. Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire. Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à \boldmath$10^{-3}$\unboldmath{} près.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)$.
	
		\item On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
	
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
					% Styles (MODIFIABLES)
					\tikzstyle{fleche}=[-,>=latex,thick]
					\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
					\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
					\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
					% Dimensions (MODIFIABLES)
					\def\DistanceInterNiveaux{3}
					\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
					% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
					\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
					\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
					\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
					\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
					% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
					\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
					\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$R$};
					\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$Q$};
					\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{Q}$};
					\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{R}$};
					\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$Q$};
					\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{Q}$};
					% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
					\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west)node[etiquette] {$x$};
					\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\ldots $};
					\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\ldots $};
					\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\ldots $};
					\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\ldots $};
					\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\ldots $};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
	
			\item  Montrer que $x=0,9$.
		\end{enumerate}
	
		\item L'étudiant interrogé a répondu \og oui\fg{}  à la question.
		
	Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen?
	
		\item La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20 . On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ~;~0,615)$.
		
		La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
		
		À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65\,\%$ des étudiants soient récompensés?
		
		\item On interroge au hasard dix étudiants.
			
		Les variables aléatoires $N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ~;~ 0,615)$.
		
		Soit $S$ la variable définie par $S=N_{1}+N_{2}+\cdots+N_{10}$.\\
		Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
	
		\item On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?
			\item Justifier que $E(M)=12,3$ et $V(M)=\np{0,47355}$.
			\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.
			
			\og La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins $80\,\%$ \fg.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\textit{Les deux parties sont indépendantes.}
	
	Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.
	
	\textbf{Partie A}
	
	Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2\,\% des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres. On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$~cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer l'espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
		\item \textit{On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non
			conformes.
			\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
		\end{enumerate}
		\item Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : \og La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5\fg.
		
		Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie B}
	
	On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève $100$~cachets et on note $M_i$, pour $i$ entier naturel compris entre 1 et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé. On considère la variable aléatoire $S$ définie par: $S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}$. On admet que les variables aléatoires $M_1$,\: $M_2$,\: \ldots,\: $M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$.
		
		Montrer que : $s = 10\sigma$.
		\item On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte
		soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à $0,9$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer que cette condition est équivalente à : 
			
			\[P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1.\]
			
			\item En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-­Tchebychev, d'assurer cette condition. 
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}		
	Une concession automobile vend deux sortes de véhicules:	
	\begin{enumerate}[$\bullet~$]
		\item 60\,\% sont des véhicules tout-électrique ;
		\item 40\,\% sont des véhicules hybrides rechargeables.
	\end{enumerate}
	75\,\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52\,\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.
	
	On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet~$]
	\item $E$ : \og l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique \fg{} ;
	\item $B$ : \og l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile \fg.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile.
	
	\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
	\item Démontrer que $P(B) = 0,658$.
	\item Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. Quelle
	est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique ?
	\item On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de $20$~acheteurs.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
		\item Calculer $P(X = 8)$.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
		\item Calculer l'espérance de $X$.
		\item La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \np{1200}~\euro.
			
	En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de $20$ ~véhicules?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}