%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Variables aléatoires et moments.}

\begin{lecon}
	Nous nous limiterons à des univers finis ce qui permet de ne pas se préoccuper de la mesurabilité des variables aléatoires.
\end{lecon}

\subsubsection{Notion de variable aléatoire finie.}

\begin{definition}
	Nous appellerons \emph{\color{purple}variable aléatoire} sur $\Omega$ un ensemble fini toute application $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La définition de variable aléatoire ne nécessite pas de situation aléatoire cependant l'ensemble de définition $\Omega$ sera bien sûr l'univers d'une expérience aléatoire.
		
		\item $X(\Omega)$, l'ensemble des images d'éléments de $\Omega$ par $X$, est appelée le \emph{\color{purple}support de la variable aléatoire} ou son univers-image.
		
		\item Puisque $\Omega$ est fini $X(\Omega)$ l'est aussi.		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour un lancer de pièce dont les issues sont $P$ et $F$, en associant à pile le nombre $-1$ et à face $1$ on définie une variable aléatoire. $X (\Omega)=$.
		
		\item $X: \{ P,F\} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $X(P)=12$ n'est pas une variable aléatoire car ce n'est pas une application: elle n'est pas définie en $F$.
		
		\item En associant à un lancer de deux dés la somme des nombres obtenus on définie une variable aléatoire $Y$. $Y(\Omega)=$.
		
		\item On lance un dé tétraédrique. Si le résultat est $1$ ou $2$ on gagne $1\ \text{\euro}$, si on obtient $3$ on perd $3\ \text{\euro}$ et sin on obtient $4$ on perd $4\ \text{\euro}$. Nous venons de définir une variable aléatoire $Z$ associée à cette expérience aléatoire.
		
		\item Il est possible de définir des variables aléatoires sur des univers non finis: à une répétition de pile ou face on associe le nombre qui est le rang du premier pile obtenu.
		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Déterminez le support de la variable aléatoire dans les cas suivants.
	\begin{tasks}
		\task Une loterie est organisée. Cent tickets numérotés de $1$ à $100$ sont vendus. Les tickets $1$ à $5$ permettent de gagner le premier lot d'une valeur de $80\ \text{\euro}$. Les ticket $6$ à $15$ permettent de gagner un second lot d'une valeur de $30 \ \text{\euro}$. Soient $X$ la variable aléatoire qui à un ticket associe son numéro et $Y$ la variable aléatoire qui à un ticket associe la valeur du lot gagné.
		\task Une puce se déplace sur une droite graduée en partant de l'origine et en faisant des bonds aléatoires de longueur $1$ vers la gauche ou vers la droite. On note $X_1$ la variable aléatoire qui indique la position de la puce sur l'axe gradué au bond d'un bond. Plus généralement on note $X_i$ la variable aléatoire indiquant la position de la puce au terme de $i\in\mathbb{N}^*$ bonds.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soient $\Omega$ un ensemble fini, $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
	
	Les $\{ X=a \}$ pour $a \in X( \Omega)$ (ou $a \in \mathbb{R}$) forment un système complet d'événements.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	C'est une propriété des applications: les ensembles d'antécédents $X^{-1}\left( \{ a \}\right)$ sont disjoints deux à deux par unicité de l'image (démonstration par l'absurde).
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On appelle \emph{\color{purple}loi de probabilité de la variable aléatoire} finie $X$ la distribution de probabilité $\left( x,\mathbb{P}(X=x) \right)_{x \in X(\Omega)}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X(\Omega)=a$, avec $a\in\mathbb{R}$ alors on dit que $X$ est une variable aléatoire \emph{\color{purple}certaine}.
		\item Si $X(\Omega)= \{ 0;1\}$ et $p=\mathbb{P}(X=1)$ alors on dit que $X$ suit une \emph{\color{purple}loi de Bernoulli de paramètre $p$} et on note $X \hookrightarrow\mathscr{B}(p)$.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On dit que $X$ suit une \emph{\color{purple}loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$} si $X(\Omega)=\llbracket 1, n \rrbracket$ et si: $\forall a\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ \mathbb{P}(X=a)=\frac{1}{n}$.
		
		\item Soient $a$ et $b$ des entiers avec $a<b$. On dit que $X$ suit une \emph{\color{purple}loi uniforme sur $\llbracket a,b \rrbracket$} si $X(\Omega)=\llbracket a, b \rrbracket$ et: $\forall k\in \llbracket a,b \rrbracket,\ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $n \in \mathbb{N}$, $\Omega =\{\omega_1,\omega_2, \dots, \omega_n\}$ un ensemble (fini), $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire. $\mathbb{P}(X=a)= \sum_{\{ \omega \in \Omega\ | \ X(\omega)=a \}} \mathbb{P}(\omega)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Découle de la définition de la probabilité d'un événement sur un univers fini vue en seconde: la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $Y$ la variable aléatoire qui a un lancé de deux dés parfaitement équilibrés associe la somme des nombres obtenus. $\mathbb{P}(Y = 6)= \sum_{ \{ \}\omega \in \Omega\ |\ Y(\omega)=6 \} } \mathbb{P}(\omega)= \mathbb{P}\left( (1,5)\right)+\left( (5,1)\right)+\left( (2,4)\right)+\left( (4,2)\right)+\left( (3,3)\right)= \frac{5}{36}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soit $A \subset \mathbb{R}$. $\mathbb{P}(X \in A)= \sum_{a\in A} \mathbb{P}(X=a)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Conséquence du fait que les $\{ X=a\}$ constituent un système complet d'événements: $\{ X \in A\}= \bigcupdot_{a \in A} \{ X =a \}$.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $Y$ est la sommes des nombres apparus sur les faces de deux dés équilibrés alors $\mathbb{P}(Y\leqslant 3)= \sum_{k=2}^3 \mathbb{P}(k)= \frac{1}{36}+\frac{2}{36}$.
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, 100 \rrbracket)$ alors $\mathbb{P}(X \in [95,+\infty[)=\mathbb{P}(X\geqslant 95)=\sum_{k=95}^{100} \mathbb{P}(k)= 5 \times \frac{1}{100}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $\Omega$ une ensemble fini, $X: \Omega \rightarrow\mathbb{R}$ une variable aléatoire, $g: X(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
	$g\circ X$ est une variable aléatoire sur $\Omega$ que nous noterons $g(X)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Découle du fait que la composée de deux applications est une application.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X(\Omega)= \llbracket 1;3 \rrbracket$ alors $X^2-1(\Omega)=$
		\item $\alpha X$, pour $\alpha \in \mathbb{R}$ est une variable aléatoire.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Somme de variables aléatoires.}

\begin{proposition}
	Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ des ensembles finis, $X: \Omega_1 \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire, $Y: \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire.
	L'application $Z$ définie sur $\Omega_1 \times \Omega_2$ par: $\forall (\omega_1,\omega_2) \in \Omega_1 \times \Omega_2,\ Z(\omega_1,\omega_2)= X(\omega_1)+Y(\omega_2)$,  est une variable aléatoire sur $\Omega_1 \times \Omega_2$ appelée \emph{\color{purple}somme des variables aléatoires $X$ et $Y$}.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Les applications $X$ et $Y$ sont toutes deux définies sur les univers $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ donc l'application $(\omega_1,\omega_2) \mapsto X(\omega_1)+Y(\omega_2)$ est bien définie sur $\Omega_1 \times \Omega_2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. De plus $\Omega_1 \times \Omega_2$ est bien fini $|\Omega_1 \times \Omega_2|=|\Omega_1| \times |\Omega_2|$. Dans le cas fini la question de la mesurabilité ne se pose pas donc le résultat est évident.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Remarquons que l'application $X+Y$ est définie sur un produit cartésien donc il s'agit d'une application de deux variables ce qui n'est pas vraiment au programme. Ce qui nous intéresse se passe plutôt du côté des images donc nous n'aurons pas de difficultés avec cette notion.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, 6 \rrbracket)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,6 \rrbracket)$ sont des variables aléatoires sur un même univers $\Omega$, alors $Z=X+Y$ est une variable aléatoire dont le support est $\llbracket 2,12 \rrbracket$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}	
	On lance deux dés tétraédriques équilibrés dont les faces sont numérotées $1$, $1$, $2$ et $2$ pour le premier et $1$, $2$, $3$ et $3$ pour le second. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancé du premier dé associe le numéro inscrit sur la face inférieure et $Y$ celle pour le second dé. Soit $Z=X+Y$. Déterminez la loi de $Z$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	Soient $X\hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{3} \right)$, $Y \hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{4} \right)$ et $Z=X+Y$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez $\mathbb{P}(Z=1)$.
		\item Déterminez la loi de $Z$.
		\item Calculez $\mathbb{P}_{Z=1}(X=1)$.
		\item Calculez $\mathbb{P}_{X=1}(Z=2)$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Indépendance de variables aléatoires.}

\begin{definition}
	Deux variables aléatoires finies $X:\Omega_1\rightarrow \mathbb{R}$ et $Y: \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}$ sont dites \emph{\color{purple}indépendantes} si pour tout $x \in X(\Omega_1)$ et tout $y \in Y(\Omega_2)$, $\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \cap \{Y=y\} \right)=\mathbb{P}(X=x) \times \mathbb{P}(Y=y)$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \cap \{Y=y\} \right) =\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \text{ et } \{Y=y\} \right)$.
		\item La généralisation de cette définition à plus de deux variables aléatoires soulève une difficulté. Trois variables aléatoires peuvent être indépendantes deux à deux (comme dans la définition ci-dessus) mais pas mutuellement indépendantes: $\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \cap \{Y=y\} \cap \{ Z=z\} \right)=\mathbb{P}\left(\{ X=x\} \right) \times \mathbb{P}\left( \{Y=y\}\right) \times \mathbb{P}\left( \{ Z=z\} \right)$.
		\item L'indépendance relève souvent d'une hypothèse de modélisation. Nous aurons rarement à la démontrer.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{notabene}
	\color{red}Essayer de trouver un exemple de deux variables aléatoires indépendantes sans que les événements sur les univers de départ le soit forcément. La réciproque?
\end{notabene}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On lance deux dés équilibrés et indépendants et on note $X_i$ la variable aléatoire valant $1$ si le résultat du $i$-ième lancer est paire et $0$ sinon et $Y$ la variable aléatoire valant $1$ si la somme des résultats est paire et $0$ sinon. Les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $Y$ sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes. Intuitivement on comprends que si on on connaît la parité de chaque résultat on connaît la parité de leur somme.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{definition}
	Soient, pour $n \in \mathbb{N}^*$,  $X_1,X_2,\dots,X_n \hookrightarrow\mathscr{B}(p)$ des variables aléatoires indépendantes. On dit que $X_1+X_2+ \dots+X_n$ suit une \emph{\color{purple}loi binomiale de paramètre $n$ et $p$} et on note $X_1+X_2+\dots + X_n \hookrightarrow{\color{purple}\mathscr{B}(n,p)}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On retrouve les critères vus au lycée concernant les schéma de Bernoulli: répétition à l'identique et de façon indépendante.
		\item Cette définition est un peu plus générale que celle avec le schéma de Bernoulli car, variable aléatoire oblige, nous ne nous préoccupons pas des univers de départ des variables aléatoires suivants la même loi de Bernoulli. Peu importe que la première variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli corresponde à un lancer de dé et la seconde à un pile-ou-face, l'important est que ce soit la même loi (avec le même paramètre).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $n=1$ alors on obtient une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli: $\mathscr{B}(1,p)=\mathscr{B}(p)$.
		\item À un pile-ou-face on associe $1$ si l'issue est pile et $0$ sinon . La répétition, un nombre fini de fois, d'un tel pile-ou-face est en général modélisé par une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Espérance.}

\begin{definition}	
	Soit $X$ une variable aléatoire sur un univers $\Omega$. Si $X(\Omega)= \{ x_1, \dots, x_n \}$ alors on appelle espérance de $X$ le nombre  réel $\color{purple}\mathbb{E}(X) := \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i)x_i$.	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x_i & -2 & 0 & 1 & 5\\
			\hline
			\mathbb{P}(X=x_i) & \dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{1}{10}\\
			\hline
		\end{array}$ alors $E(X)=-2 \times \frac{1}{2} +0 \times \frac{1}{10}+1 \times \frac{3}{10} + 5 \times \frac{1}{10}=-0,2$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Lorsque l'espérance est  finie l'espérance est la valeur moyenne que l'on obtient pour la variable aléatoire en recommençant un grand nombre de fois l'expérience.		
		\item Si $X$ est finie alors $E(X)\in\mathbb{R}$.
		\item Cette présentation de la formule de l'espérance laisse entrevoir une généralisation: $E(X)=\int_I f(x)\ \mathrm{d}x$.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Espérance pour quelques lois.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X$ suit une loi certaine dont le support est $c\in\mathbb{R}$ alors $\mathbb{E}(X)=c$.
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $\mathbb{E}(X)=p$.
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ alors $\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2}$.
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket a, b \rrbracket)$ alors $\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$.		
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La loi de probabilité de $X$ est définie par la distribution
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			$a$ & $c$ \\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=a)$ & $1$ \\
			\hline
		\end{tabular} donc $\mathbb{E}(X)=1 \times c=c$.
		\item La loi de probabilité de $X$ est définie par la distribution
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			$a$ & $0$ & $1$ \\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=a)$ & $1-p$ & $p$ \\
			\hline
		\end{tabular} donc $\mathbb{E}(X)=0 \times (1-p)+1 \times p=p$.
		\item $\mathbb{E}(X)= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \times k=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k= \frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$.
		\item Somme des premiers termes d'une suite arithmétique.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{theoreme} 
	\emph{Formule du transfert.} Soient $\Omega$ un ensemble, $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une variable aléatoire finie. Pour toute fonction $f$ définie sur $X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n \}$, $\mathbb{E}(f(X))=\sum_{i =1 }^n \mathbb{P}(X=x_i) f(x_i)$.
\end{theoreme}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous pouvons ainsi calculer les espérances de variables aléatoires construites à partir de variables aléatoires qui nous sont connues.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et $Y=2X$ alors $\mathbb{E}(Y)= 2\times (1-p) \times 0+2 \times p \times 1 =2p$.
		\item Si $X\hookrightarrow \mathscr{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ et $Y=X^2$ alors $\mathbb{E}(Y)= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} k^2=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n  k^2= \frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Propriétés de l'espérance. Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$, $X$ et $Y$ des variables aléatoires réelles.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X)+b$.
		\item $\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)$.
		\item Si $X \geqslant 0$ alors $\mathbb{E}(X)\geqslant 0$.
		\item Si $X \leqslant Y$ alors $\mathbb{E}(X) \leqslant \mathbb{E}(Y)$.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Corollaire du théorème de transfert.
		\item Notons: $X(\Omega_1)= \{ x_1, \dots,x_n\}$ et $Y(\Omega_2)= \{ y_1, \dots,y_m\}$. Ce n'est pas tout à fait la définition de l'espérance mais nous nous y retrouvons:
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X+Y) &= \sum_{\begin{subarray}{c} 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant m \end{subarray}} (x_i+yj)\mathbb{P}(X=x_i \cap Y=y_j)\\
			&=  \sum_{\begin{subarray}{c} 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant m \end{subarray}} x_i\mathbb{P}(X=x_i \cap Y=y_j)+ \sum_{\begin{subarray}{c} 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant m \end{subarray}} yj\mathbb{P}(X=x_i \cap Y=y_j)\\
			&= \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^m \mathbb{P}(X=x_i\cap Y=y_j)+\sum_{j=1}^m y_j \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i\cap Y=y_j)\\
			&= \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i)x_i+\sum_{j=1}^n \mathbb{P}(Y=y_j)y_j\\
			&= \mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)
		\end{align*}
		\item Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs positives alors $\mathbb{E}(X)\geqslant 0$ en tant que somme de produits de nombres positifs. 
		\item $X\leqslant Y \Leftrightarrow Y-X \geqslant 0$, donc $\mathbb{E}(Y-X) \geqslant 0$ et, d'après un point précédent $\mathbb{E}(Y) - \mathbb{E}(X)\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un lancer de dé à 6 faces le gain $Y$ égale à 8 euros pour un nombre inférieur ou égale à $2$ et de $-5$ euros sinon. $Y=13X-5$ où $X\hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{3} \right)$.
		
		Donc $\mathbb{E}(Y)=13 \mathbb{E}(X)-5=13 \times \frac{1}{3} -5= -\frac{2}{3}$.
		
		\item Si $X_1 \hookrightarrow \mathscr{B}(p_1)$ et $X_2 \hookrightarrow \mathscr{B}(p_2)$ alors $\mathbb{E}(X_1+X_2)=p_1+p_2$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,n \rrbracket)$ alors $\mathbb{E}(X+Y)= p+\frac{n+1}{2}$.
		
		\item Si $X_1, X_2, \dots ,X_n \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $X=X_1+X_2+ \dots +X_n \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$ et $\mathbb{E}(X)= \sum_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k)=\sum_{k=1}^n p=np$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Variance et écart-type.}

\begin{definition}	
	Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On appelle \emph{\color{purple}variance} de $X$ le réel $\color{purple}\mathbb{V}(X):=\mathbb{E}\left( (X-\mathbb{E}(X))^2 \right)$.
		
	On appelle alors \emph{\color{purple}écart-type} le réel $\color{purple}\sigma(X)= \sqrt{\mathbb{V}(X)}$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x_i & -2 & 0 & 1 & 5\\
			\hline
			\mathbb{P}(X=x_i) & \dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{1}{10}\\
			\hline
		\end{array}$ alors $V(X)=\left( -2 -(-0,2) \right)^2\times \frac{1}{2} +\left( 0 -(-0,2) \right)^2 \times \frac{1}{10}+\left( 1 -(-0,2) \right)^2\times \frac{3}{10} +\left( 5-(-0,2) \right)^2 \times \frac{1}{10}=4,76$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	\emph{Formule de Koenig-Huygens.} Soit $X$ une variable aléatoire réelle. $\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{align*}
		\mathbb{E}\left( (X-\mathbb{E}(X))^2 \right) &= \mathbb{E} \left( X^2-2X \mathbb{E}(X)+(\mathbb{E}(X))^2 \right)\\
		&= \mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{E} \left( X \mathbb{E}(X) \right) +\mathbb{E}\left( \mathbb{E}(X)^2 \right)\\
		&= \mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(X)^2\\
		&= \mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2
	\end{align*}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Permet de calculer plus simplement la variance.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}	
	Soient $x:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ et $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ deux variables aléatoires.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathbb{V}(aX+b)=a^2\mathbb{V}(X)$.
		\item Si $\mathbb{V}(X)=0$ alors $X$ est une variable aléatoire certaine.
		\item Si $X$ et $Y$ sont indépendantes $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Variance pour quelques lois.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $X$ est certaine alors $V(X)=0$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $V(X)=p(1-p)$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ alors $V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket a, b \rrbracket)$ alors $V(X)=\dfrac{(b-a+1)^2-1}{12}$.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{exercice}
	Une agence constate que le nombre d'appartements vendus chaque mois est une variable aléatoire $X$ dont la loi peut être estimée statistiquement:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
		\\
		\hline
		$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $0,02$ & $0,06$ & $0,08$ & $0,25$ & $0,2$ & $0,13$ & $0,12$ & $0,08$ & $0,06$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	Elle a constaté que les ventes des mois successifs étaient indépendantes.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez l'espérance et l'écart-type du nombre annuel d'appartements vendus.
		\item L'agence touche $1000\ \text{\euro}$ pour la vente d'un appartement et les charges fixes annuelles s'élèvent à $\np{50000}\ \text{\euro}$.
		
		Calculez l'espérance et la variance du bénéfice annuel de l'agence.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On admet que la demande journalière de véhicules est une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 
		\\
		\hline
		$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $0,22$ & $0,37$ & $0,24$ & $0,10$ & $0,05$ & $0,02$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	On suppose que les $3$ véhicules de l'agence sont en état de marche.
	
	Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de véhicules loués à la journée.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez la loi de $Y$.
		\item Calculez l'espérance et la variance de $Y$.
		\item Le prix de la location par jour et par voiture est de $50 \ \text{\euro}$. Les frais supportés par l'agence sont en moyenne de $10\ \text{\euro}$ par voiture et par jour, que le véhicule soit loué ou non, et de $10\ \text{\euro}$ par véhicule loué.
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Exprimez la variable aléatoire $B$ égale au bénéfice journalier en fonction de $Y$.
			\item Calculez l'espérance et la variance de $B$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $Y(\Omega)= \{ 0, 1,2,3 \}$.		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$a$ & 0 & 1 & 2 & 3\\
				\hline
				$\mathbb{P}(Y=a)$ & $0,22$ & $0,37$ & $0,24$ & $0,17$\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}		
		\item $\mathbb{E}(X)=1,36$. 
		
		$\mathbb{V}(X)=(0-1,36)^2 \times 0,22+(1-1,36)^2 \times 0,37+(2-1,36)^2 \times 0,24 +(3-1,36)^2 \times0,17=1,0104$		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $B=50X-3 \times 10-10X=40X-30$.
			
			\item $\mathbb{E}(B)=40\mathbb{E}(X)-30$. $\mathbb{V}(B)=40^2 \mathbb{V}(X)$.
			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}	
	Déterminez l'espérance et la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois uniformes sur $\llbracket 1, n \rrbracket$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$\mathbb{E}(X_1+X_2)=n+1$. $\mathbb{V}(X_1+X_2)=\frac{n^2-1}{6}$.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Un concierge rentre d’une soirée. Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n’a pas convenu.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.		
		\item En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}