%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Loi binomiale.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Loi binomiale.}

\begin{notabene}
	
	Puisque notre progression met les dénombrement après utiliser cette leçon comme une introduction.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Dans cette leçon $\left( \Omega , \mathscr{P}(\Omega),\mathbb{P} \right)$ désigne un espace probabiliste fini.
	
	Les variables aléatoires définies sur $\Omega$ et à valeurs réelles seront notées $X$, $Y$, ou $Z$.
	
\end{lecon}

\subsection{Loi de Bernoulli.}

\subsubsection{Épreuve de Bernoulli.}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}épreuve de Bernoulli} toute expérience aléatoire dont l'univers ne comporte que deux issues.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item L'une des issues est appelée \emph{\color{purple}échec} et l'autre \emph{\color{purple}succès}.
				
		\item L'univers d'une épreuve de Bernoulli est $\{ S; \overline{S} \}$
		
		\item La probabilité du succès est notée $\color{purple}p$ est appelé \emph{\color{purple}le paramètre} de l'épreuve de Bernoulli.
		
		\item La probabilité de l'échec est souvent notée $q$. On a donc: $q=1-p$.
		
		\item L'expression épreuve désigne une partie d'une expérience aléatoire complexe mais qui peut être vue comme une expérience à part entière.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			Dessiner un arbre
		\end{notabene}
	
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Typiquement il s'agit d'un pile ou face avec une pièce éventuellement truquée.
		
		\item Lire le nombre obtenu en lançant un dé tétraédrique dont les faces sont numérotés de $i1$ ià $4$ n'est pas une épreuve de Bernoulli.
		
		\item Lancer deux fois d'affilée une pièce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 11 page 258 du manuel Déclic 2015: identifier une épreuve de Bernoulli.
		
	\end{notabene}
	
	Dites si les expériences aléatoires suivantes sont des épreuves de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}
		\item Un stock contient $1\ \%$ de pièces défectueuses. On y prélève une pièce et on regarde sil elle présente un défaut.
		
		\item Selon l'INSEE, $45\ \%$ des familles françaises ont un seul enfant, $38\ \%$ en ont deux et $17\ \%$ en ont trois ou plus. On intérroge au hasard un élève et on lui demande le nombre d'enfants dans sa famille.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Épreuve: prélever une pièce.
				\item Succès $S$:\og la pièce est défectueuse\fg{}.
				\item Probabilité du succès: $p=\frac{1}{100}=0,01$.
			\end{enumerate}
			
			Il s'agit bien d'une épreuve de Bernoulli.
			
			\item 
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Épreuve: interroger une personne au hasard.
				\item Il y a plus de deux issues et donc pas de succès.
			\end{enumerate}
			
			Il ne s'agit pas d'une épreuve de Bernoulli.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Loi de Bernoulli.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats obtenus sont des lettres ce qui n'est pas le plus pratique pour modéliser mathématiquement. C'est pourquoi nous allons associer une variable aléatoire aux épreuves de Bernoulli.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons q'une variable aléatoire $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi de Bernoulli de paramètre $p$}, si $X$ compte le nombre de succès lors d'une épreuve de Bernoulli de paramètres $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ nous avons donc:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Moments d'une loi de Bernoulli.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in [0;1]$,
		
		\item $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(X)= p$.
		
		\item $\mathbb{V}(X)=p(1-p)$.
		
		\item $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $n\in\mathbb{N}^*$ désigne le nombre de valeurs prisent par la variable aléatoire:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i) x_i\\
			\intertext{Donc ici:}
			\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) x_2 \\
			&= (1-p) \times 0 + p \times 1\\
			&= p
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration n'utilise pas la définition de la variance vue en première mais une caractérisation.}
		
		Puisque
				
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= \mathbb{E} \left[ \left(X-\mathbb{E}(X) \right)^2 \right]
		\end{align*}
		
		regardons la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y=(X-\mathbb{E}(X))^2$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$y_i$ & $p^2$ & $(1-p)^2$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P} \left( Y=y_i \right)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= (1-p) \times p^2+ p \times (1-p)^2\\
			&= p^2-p^3+p-2p^2+p^3\\
			&= p-p^2\\
			&= p(1-p)
		\end{align*}
		
		\item Trivial.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On dit que la variance est un moment centré puisqu'on regarde l'écart par rapport à la moyenne: $X-\mathbb{E}(X)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 1ime hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que $6\ \%$ des assiettes produites présentent un défaut. On choisit une assiette au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $1$ si l'assiette ne présente pas de défaut et $0$ sinon.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$?
		
		\item Donnez le paramètre de cette loi.
		
		\item Calculez $\mathbb{E}(X)$, $\mathbb{V}(X)$ et $\sigma$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Loi binomiale.}

\subsubsection{Schéma de Bernoulli.}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$} toute expérience aléatoire constituée de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ indépendantes.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi un schéma de Bernoulli est une famille d'expériences aléatoires présentant des caractéristiques communes qui permettront de les modéliser mathématiquement de la même façon.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'exemple typique est celui de la répétition de plusieurs piles ou face.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 12 page 258 du manuel Déclic 2015: identifier schéma de Bernoulli.
	
	\end{notabene}
	
	Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, dites si elle constitue un schéma de Bernoulli. Si oui donnez $n$ et $p$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un stock de $20$ vis, dont $3$ sont trop longues, on prélève successivement $15$ vis, au hasard et sans remise. Pour chacune on regarde si elle est trop longue ou non.
		
		\item On considère une suite de $50$ lettres choisies de façon aléatoire. Pour chacune d'entre elles, on regarde si elle est une voyelle ou non.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
			
		\begin{enumerate}
			\item Il ne s'agit pas d'un schéma de Bernoulli car le tirage étant sans remise les différents tirages ne sont pas indépendants les uns des autres.
			
			\item {\color{PineGreen}\underline{Démontrons qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.}}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{PineGreen}Épreuve de Bernoulli}
				\begin{itemize}
					\item Épreuve: choisir une lettre au hasard.
					\item Succès: \og La lettre est une voyelle.\fg{}
					\item $p=\frac{6}{26}$.
				\end{itemize}
				
				\item {\color{PineGreen}Schéma de Bernoulli.}
				
				Le choix de la lettre étant répété $n=50$ fois à l'identique et de façon indépendante nous pouvons affirmer que 
				
				{\color{PineGreen}\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline ces choix constituent un schéma de Bernoulli de paramètres $n=50$ et $p=\frac{6}{26}$.\\ \hline \end{tabularx}}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Une chaîne de magasins de bricolage commercialise des ponceuses \og elliptiques \fg{}.
	
	Statistiquement $8\ \%$ des ponceuses du stock sont défectueuses.
	
	On prélève au hasard $25$ ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
	Démontrez que cette situation est un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Arbre pondéré et schéma de Bernoulli.}

\begin{notabene}
	
	L'objectif de cette partie est triple:
	
	\begin{itemize}
		\item faire émerger l'idée qu'une issue dans un schéma de Bernoulli est un $n$-uplet
		
		\item si on s'intéresse au nombre de succès il y a plusieurs chemin qui ont tous le même nombre de succès d'où l'idée de coefficient binomial.
		
		\item la probabilité des chemins ayant le même nombres de succès est toujours la même.
		
		\item Voir apparaître la formule de la probabilité.
		
	\end{itemize}
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	L'arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ comporte:
	\begin{itemize}
		\item 2 branches à chaque embranchement conduisant aux nœuds $S$ et $\overline{S}$ avec les probabilités $p$ et $1-p$,
		\item $n$ niveaux
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 16 page 258 du manuel Déclic ESL 2015: compléter puis calculer des probabilités avec un arbre pondéré.
	
	\end{notabene}
	
	Un appareil comporte deux composants électroniques qui fonctionnent de façon indépendante. On suppose que, pour chacun d'entre eux, la probabilité de l'événement $P$: \og le composant tombe en panne\fg{} est égale à $0,01$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Justifiez que cette expérience est un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres.
		
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez les probabilités des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Aucun des deux composants ne tombe en panne.
			
			\item Un sel des deux composants tombe en panne.
			
			\item Les deux composants tombent en panne.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 17 page 258 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
	
	\end{notabene}
	
	Sur son trajet domicile-travail un individu rencontre trois feux tricolores, indépendants les uns des autres. Il a remarqué que, statistiquement, chaque feu est au vert au moins une fois sur trois.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que cette expérience est un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres.
		
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Pour un trajet domicile-travail calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux feux sur les trois sont au vert.
			
			\item Un seul feu sur les trois est au vert.
			
			\item Tous les feux sont au vert.
			
			\item Aucun des trois feu n'est au vert.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 18 page 258 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
	
	\end{notabene}
	
	Un restaurateur constate qu'au déjeuner, $9$ clients sur $10$ prennent un café. Quatre clients se présentent pour déjeuner et commandent de façon indépendante. Pour chacun on note $C$ l'événement \og le client prend un café \fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que cette expérience est un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres.
		
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Un seul des quatre clients prend un café.
			
			\item Au moins deux clients prennent un café.
			
			\item Au plus deux clients prennent un café.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 41 page 262 du manuel Déclic 2015: identifier un schéma de Bernoulli et calculer des probabilités grâce aux arbres correspondants.
	
	\end{notabene}
	
	Un carton de jouet contient un nombre très important de petites briques de couleur rouge ou bleue. On estime que la proportion de briques bleues est $40\ \%$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que l'expérience est un schéma de Bernoulli.
		
		\item Modélisez la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Élise a prélevé $4$ briques bleues.
			
			\item Élise à prélevé $2$ briques bleues, puis $2$ rouges.
			
			\item Élise a prélevé au moins une brique bleue?
			
			\item Élise a prélevé au plus une brique rouge.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 42  page 262 du manuel Déclic 2015: identifier un schéma de Bernoulli et calculer des probabilités grâce aux arbres correspondants.
		
	\end{notabene}
	
	David a du mal a entendre son réveil le matin. Ses parents estiment que, $6$ fois sur $10$, il se rendort et arrive en retard au lycée.
	
	On suppose que les réveils de David sont indépendants d'un matin à l'autre et on étudie son comportement sur une semaine de $5$ jours (du lundi au vendredi). 
	
	\begin{enumerate}
		\item En notant pour chaque matin $R$ l'événement \og David se rendort et est en retard au lycée \fg{}, représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item David n'est pas en retard de la semaine.
			
			\item David est en retard au lycée le lundi et le mardi matins.
			
			\item David est en retard deux matins consécutifs.
			
			\item David est en retard au plus trois fois.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Les issues d'un schéma de Bernoulli.}

\begin{notabene}
	
	Introduire l'idée de produit cartésien sur $\{ S,\overline{S} \}$ et donnez un autre exemple de produit cartésien: $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.
	
	Également loi des probabilités composées appliquée à des épreuves indépendantes on retrouve le principe multiplicatif. $\mathbb{P}(S,S,\dots,S)=\mathbb{P}(S) \times \mathbb{P}(S) \times \dots \times \mathbb{P}(S)$.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient $x$ et $y$ deux éléments.
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}couple} "x, y" et on note $\color{purple}(x,y)$ l'ensemble $\{ x ,\{x,y\} \}$.
	
\end{definition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ des éléments.
	
	\medskip
	$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ si et seulement si \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1=x_2 \\ y_1=y_2 \end{array} \right. . \]
	
\end{proposition}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit cartésien de} $E$ et $F$ l'ensemble que nous noterons $E \times F$ formé de tous les couples $(x,y)$ où $x \in E$ et $y \in F$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $E=F$ plutôt que d'écrire $E \times E$ nous écrirons $\color{purple}E^2$.
		
		De même $E \times E \times E=E^3$.
		
		\item En itérant le procédé nous définirions, pour $n\in\mathbb{N}^*$, les {\color{purple}$n$-uplets} (ou {\color{purple}$n$-listes}): $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ où $x_1 \in E_1$, ..., $x_n \in E_n$.
		
		L'ensemble des $n$-uplets est encore appelé produit cartésien et est noté $E_1 \times E_2 \times \dots \times E_n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{R}^2$ est l'ensemble des couples de réels. Il peut être vu comme l'ensemble des coordonnées des points dans un espace affine muni d'un repère cartésien.
		
		\item $\mathbb{R}^3$ est l'ensemble des coordonnées de l'espace affine euclidien muni d'un repère.
		
		\item L'univers d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est $\Omega = \{ S, \overline{S} \}^n$ et les issues sont des $n$-uplets formés de $S$ et de $\overline{S}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une variable aléatoire $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi binomiale de paramètres $n$ et $p$}, et nous noterons $\color{purple}X \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, si $X$ compte le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Par définition $X(\Omega)= \llbracket 0, n\rrbracket$ (en utilisant d'autres notations: $X \in \{ 0;1;\dots;n \}$).
		
		\item En particulier si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p \in [0;1]$ alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}(1,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'exemple typique est celui de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de piles obtenus lors de la répétition de plusieurs piles ou face. Ainsi si on lance $10$ fois la pièce et que celle-ci est parfaitement équilibrée alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}\left( 10; \frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		Exercice 19 page 258 du manuel Déclic 2015: justifier une modélisation par une loi binomiale ou non.
	\end{notabene}
	
	Dans un stock de ballons de foot contenant $70\ \%$ de ballons bicolores, on prélève $12$ ballons au hasard, successivement et avec remise.
	
	$X$ donne le nombre de ballons bicolores obtenus.
	
	Justifiez que $X$ suit une loi binomiale.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	{\color{PineGreen}\underline{Démontrons que $X$ suit une loi binomiale.}}
	
	\medskip		
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{PineGreen}Épreuve de Bernoulli}
		\begin{itemize}
			\item Épreuve: prélever un ballon
			\item Succès: \og Le ballon est bicolore.\fg{}
			\item $p=\frac{70}{100}$.
		\end{itemize}
		
		\item {\color{PineGreen}Schéma de Bernoulli.}
		
		Le choix du ballon étant répété $n=12$ fois à l'identique et de façon indépendante (avec remise)  nous pouvons affirmer qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Variable aléatoire.}
		
		La variable aléatoire $X$ compte le nombre de ballons bicolores obtenus donc le nombre de succès de notre schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Conclusion.}
		
		{\color{PineGreen}\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=\frac{70}{100}$ \[ X \hookrightarrow \mathcal{B}\left( 12;\frac{70}{100} \right) \] \\ \hline \end{tabularx}}
		
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 19 à 21 page 259 du manuel Déclic ESL 2015: reconnaitre des schémas
		
	\end{notabene}
	
	Dites si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui précisez-en les paramètres.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un supermarché, $20\ \%$ des clients du samedi ont un caddie inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		On choisit au hasard $15$ clients un samedi. $X$ donne le nombre de clients dont le caddie est inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		\item On lance cinq fois de suite une pièce bien équilibrée. $X$ donne le rang du $1\ier{}$ pile obtenu ($X$ prend la valeur $6$ si on a pas obtenu de pile sur les $5$ lancers).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Coefficients binomiaux.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p\in[0;1]$,
		
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Étant donné un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, nous appellerons \emph{\color{purple}coefficient binomial \og $k$ parmi $n$\fg{}} le nombre entier noté {\color{purple}$\binom{n}{k}$} égale au nombre d'issues de l'expérience aléatoire comportant exactement $k$ succès.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item En considérant une répétition de $3$ piles ou face: $\binom{3}{0}=1$, $\binom{3}{1}=3$, $\binom{3}{2}=3$ et $\binom{3}{2}=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Rappelons que, pour $n\in\mathbb{N}$, nous appelons \emph{\color{purple}factoriel $n$} le nombre entier, noté $\color{purple}n!$,égale à $1$ si $n=0$ et $n\times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ sinon. 
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Formule du coefficient binomiale.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Le schéma de Bernoulli est formé de $n$-uplets.
	
	\medskip
	Le nombre de $n$-uplets formés de $S$ et de $\overline{S}$, qui ne nous servira pas dans cette démonstration: $2^n$.
	
	\medskip
	Sur un schéma de Bernoulli de paramètre $n=5$, le nombre de chemins avec $3$ succès est $\frac{5!}{3!}$.
	
	En effet, construire un $5$-uplets avec $3$ succès c'est choisir les $3$ positions parmi $5$ possibles où nous écrirons $S$. Le choix de ces trois positions est un tirage aléatoire sans remise de trois nombres dans $\\lbracket 1;5 \rrbracket$. En faisant un arbre nous voyons que nous avons $5 \times 4 \times 3 =\frac{5!}{2!}$.
	
	\medskip
	Mais certains choix de positions correspondent aux mêmes uplets. Ainsi $(1,2,3)$ donne le même chemin que $(1,3,2)$. Là encore un arbre nous permet de compter le nombre de chemins identiques donnant les mêmes $3$-uplets avec les nombre $1$, $2$ et $3$: $3 \times 2 \times 1=3!$.
	
	\medskip
	Finalement le nombre de chemins avec $3$ succès est: $\frac{\frac{5!}{2!}}{3!}=\frac{5!}{2!3!}= \frac{5}{2!(5-2)!}$.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Formule de Pascal.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$.
		
		\item $k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $n \in\mathbb{N}^*$.
	
	\begin{align*}
		\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)![n-(k+1)]!}\\
		&= \frac{n! {\color{orange}\times (k+1)}}{k!(n-k)!{\color{orange}\times (k+1)}} + \frac{n!{\color{blue}\times (n-k)}}{(k+1)![n-(k+1)]!{\color{blue}\times (n-k)}}\\
		&= \frac{n! \times (k+1)+n! \times (n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\
		&= \frac{n! \times [(k+1)+(n-k)]}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}\\
		&= \binom{n+1}{k+1}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Triangle de Pascal.
		
		\item Remarquons que les coefficients sont ceux intervenant dans les identités remarquables (degré $2$ et $3$).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
	Manuel Déclic 1 esl page 259 exercice 25: coefficient binomial et identité remarquable.
	
	\end{notabene}

\end{exercice}

\subsubsection{Calcul de probabilité pour une loi binomiale.}

\begin{lecon}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,3$.
	
	La situation peut donc être représentée par l'arbre
	
	\begin{flushleft}
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.6cm]
		\tikzstyle{noeud1}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35]
		\begin{tikzpicture}
		\node[noeud](E0)at(1,3.6){Issues};
		\node[noeud](F0)at(2,3.6){$X$};
		\node[noeud1](G0)at(3.8,3.6){Proba};
		\node[noeud](A1)at(0,2.8){$A$};
		\node[noeud](E1)at(1,2.8){$AAA$};
		\node[noeud](F1)at(2,2.8){$3$};
		\node[noeud1](G1)at(4,2.8){$(0,3)^3$};
		\node[noeud](A2)at(0,2){$\overline{A}$};
		\node[noeud](E2)at(1,2){$AA\overline{A}$};
		\node[noeud](F2)at(2,2){\color{blue}$2$};
		\node[noeud1](G2)at(4,2){$(0,3)^2\times 0,7$};
		\node[noeud](A3)at(0,1.2){$A$};
		\node[noeud](E3)at(1,1.2){$A\overline{A}A$};
		\node[noeud](F3)at(2,1.2){\color{blue}$2$};
		\node[noeud1](G3)at(4,1.2){$(0,3)^2\times 0,7$};
		\node[noeud](A4)at(0,0.4){$\overline{A}$};
		\node[noeud](E4)at(1,0.4){$A\overline{A}\overline{A}$};
		\node[noeud](F4)at(2,0.4){$1$};
		\node[noeud1](G4)at(4,0.4){$0,3\times (0,7)^2$};
		\node[noeud](A5)at(0,-0.4){$A$};
		\node[noeud](E5)at(1,-0.4){$\overline{A}AA$};
		\node[noeud](F5)at(2,-0.4){\color{blue}$2$};
		\node[noeud1](G5)at(4,-0.4){$(0,3)^2\times 0,7$};
		\node[noeud](A6)at(0,-1.2){$\overline{A}$};
		\node[noeud](E6)at(1,-1.2){$\overline{A}A\overline{A}$};
		\node[noeud](F6)at(2,-1.2){$1$};
		\node[noeud1](G6)at(4,-1.2){$0,3\times (0,7)^2$};	
		\node[noeud](A7)at(0,-2){$A$};
		\node[noeud](E7)at(1,-2){$\overline{A}\overline{A}A$};
		\node[noeud](F7)at(2,-2){$1$};
		\node[noeud1](G7)at(4,-2){$0,3\times (0,7)^2$};
		\node[noeud](A8)at(0,-2.8){$\overline{A}$};
		\node[noeud](E8)at(1,-2.8){$\overline{A}\overline{A}\overline{A}$};
		\node[noeud](F8)at(2,-2.8){$0$};	
		\node[noeud1](G8)at(4,-2.8){$(0,7)^3$};
		\node[noeud](B1)at(-2,2.4){$A$};
		\node[noeud](B2)at(-2,0.8){$\overline{A}$};	
		\node[noeud](B3)at(-2,-0.8){$A$};
		\node[noeud](B4)at(-2,-2.4){$\overline{A}$};	
		\draw (A1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw[color=blue, very thick] (A2)--(B1)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\draw[color=blue, very thick] (A3)--(B2)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw (A4)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\draw[color=blue, very thick] (A5)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw (A6)--(B3)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\draw (A7)--(B4)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw (A8)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\node[noeud](C1)at(-4,1.6){$A$};
		\node[noeud](C2)at(-4,-1.6){$\overline{A}$};
		\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\draw[color=blue, very thick] (C2)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw (C2)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\node (D)at(-6,0){};
		\draw[color=blue, very thick] (C1)--(D)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
		\draw[color=blue, very thick] (C2)--(D)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
	Nous souhaitons calculer la probabilité d'obtenir 2 succès. Autrement dit nous cherchons $P(X=2)$.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item La probabilité d'un chemin comportant 2 succès est $0,3\times 0,3\times 0,7=0,3^2\times 0,7$
		\item Il y a $\binom{3}{2}=3$ chemins sur l'arbre comportant (exactement) 2 succès.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons $P(X=2)=3 \times 0,3^2\times 0,7=0,189$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in \mathbb{N}$,
		
		\item $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$,
		
		\item $p\in[0;1]$,
		
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \color{purple}P(X=k)=\binom{n}{k} \times p^k\times (1-p)^{n-k} \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 75 page 250
				
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,1$.
	
	Donnez, sous forme d'une fraction irréductible l'expression de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$, $\mathbb{P}(X=2)$, $\mathbb{P}(X=3)$ et $\mathbb{P}(X=4)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 76 page 250
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=\frac{3}{4}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Donnez, sous forme d'une fraction irréductible l'expression de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$ et $\mathbb{P}(X=2)$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{P}(X\geqslant 3)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{P}(X=0) = \frac{1}{4096}$, $\frac{9}{2048}$ $\frac{135}{4096}$.
		
		\item $\frac{1971}{2048}\approx 0,9624$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme spécialité hatier variations math tle 2020
		
		exercice 68 page 420
		
		Pas directement la variable compteur il faut introduire une autre variable qui suit une loi binomiale mais qui n'est pas le compteur
		
	\end{notabene}
	
	
	
\end{exercice}

\subsubsection{Calcul de probabilité ou de fonction de répartition avec la calculatrice.}

\begin{lecon}
	
	Supposons par exemple que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(12;0,2)$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X=3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFdp(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $A:binomFdp$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X\le 3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFRép(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $B:binomFRép$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 53 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, la proportion de Français de moins de $20$ ans esi restée stable à $24,6\ \%$ entre 2012 et 2014. On suppose que cette proportion se maintient pendant quelques années.
	
	On interroge au hasard $12$ Français et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui sont âgés de moins de $20$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez les probabilités des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item $10$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au plus $8$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au moins $4$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant moins de $20$ ans?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 54 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	$18\ \%$ des Français âgés de plus de $15$ ans ont fréquentés au moins une fois une bibliothèque en 2008.
	
	On suppose que cette proportion se maintient pendant les années qui suivent et on interroge au hasard $30$ Français âgés de plus de $15$ ans. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui ont fréquenté une bibliothèque dans l'année.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $\mathbb{P}(X=10)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X\leqslant 5)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X>8)$.
			
		\end{tasks}
		
		Traduisez chaque résultat par une phrase dans le contexte de l'exercice.
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant fréquenté une bibliothèque dans l'année?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(30;0,18)$.
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $P(X=10) \approx 0,0203$. La probabilité que $10$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,0203$.
			\item $P(X\le 5) \approx 0,5395$.  La probabilité qu'au plus $5$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,5395$.
			\item $P(X>8)=1-P(X\le 7) \approx 0,1582$. La probabilité qu'au moins $7$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,1582$.
		\end{enumerate}
		
		\item Le résultat s'obtient avec le tableau de valeur de la calculatrice. Le nombre le plus probable est de $5$ personnes parmi les $30$.
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 55 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Un fumeur est dit \og fumeur régulier\fg{} s'il fume au moins une cigarette par jour.
	
	En 2010, en France, la proportion de fumeurs réguliers âgés de $15$ à $19$ ans, était de $23,6\ \%$.
	
	On choisit au hasard, et de manière indépendante, quinze jeunes âgés de $15$ à $19$ ans.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fumeurs réguliers parmi ces quinze jeunes.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Précisez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Déterminez les probabilités des événements suivants, en arrondissant à $0,001$ près.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux des jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Aucun des jeunes interrogés n'est un fumeur régulier.
			
			\item Moins de cinq jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Plus d'un jeune interrogé est un fumeur régulier.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 81 page 251
		
	\end{notabene}
	
	Un fabricant vend des stylos par lot de $10$. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de stylos défectueux dans un lot. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $0,034$.
	
	On donnera les résultats à $10^{-3}$ près.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins un stylo défectueux?
		
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins deux stylos défectueux?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 84 page 252
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 82 page 251
		
	\end{notabene}
	
	On lance simultanément deux dés à six faces parfaitement équilibrés.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Quelle est la probabilité de faire un double $6$?
		
		\item On lance $10$ fois de suite cette paire de dés.
		
		Quelle est la probabilité de faire au moins trois double $6$ lors de ces $10$ parties? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		44 page 358.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\subsubsection{Moments d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{proposition}
	
	Soit $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(Y)=np$.
		
		\item $\mathbb{V}(Y)=np(1-p)$.
		
		\item $\sigma(Y)=\sqrt{np(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}

\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	La démonstration repose sur des propriétés de l'espérance et de la variance que nous n'avons pas étudiées que nous admettrons.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $X \hookrightarrow \mathscr{B}(1,p)$. Puisque $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, $Y=X+X+\dots + X$. Ainsi
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X+X+...+X)
			\intertext{Donc, par linéarité de l'espérance:}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X) +\mathbb{E}(X) + \dots +\mathbb{E}(X)\\
			&= n\mathbb{E}(X)\\
			&= np
		\end{align*}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 30: loi binomiale, probabilité maximale, espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Une association organise une tombola et vend un très grand nombre de tickets à gratter? On suppose que deux tickets sur dix sont gagnants.
	
	Une personne achète au hasard vingt tickets.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tickets gagnants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Sans justification donnez a valeur de $k$ telle que $\mathbb{P}(x=k)$ soit maximale. Interprétez ce résultat.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$. Interprétez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
	Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 31: loi binomiale, probabilité, espérance.
	
	\end{notabene}
	
	Un basketteur s'entraîne à tirer des lancers francs. On suppose que, quel que soit le résultat des tirs précédents, la probabilité qu'il réussisse est égale à $0,8$. Il effectue une série de $30$ tirs. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où il réussit son tir.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez la probabilité que le basketteur
		
		\begin{enumerate}
			\item réussisse $18$ tir exactement,
			
			\item réussisse moins de $15$ tirs,
			
			\item réussisse au moins $20$ tirs.
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez le nombre moyen de tirs réussis.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		0iem spécialité hatier variations 2020
		
		73 page 421
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
	Exercice 58 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
	
	Exercice 74 page 267 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité, espérance.
	
	\end{notabene}

\end{exercice}

\subsection{Échantillonnage.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		0iem spécialité hatier variations 2020
		
		4 page 411
		
	\end{notabene}
	
	Au cours d'une soirée, un restaurant accueille $45$ convives.
	
	Pour un convive quelconque il est établi par le restaurateur que la probabilité qu'il prenne un café à la fin du repas est exactement de $0,8$.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cafés effectivement commandés à l'issue de la soirée. X suit la loi binomiale $\mathscr{B}(45;0,8)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Afficher informatiquement les valeurs de $k$ et les probabilités correspondantes $\mathscr{P}(X=k)$ pour $k \in \llbracket 0;45 \rrbracket$.
			
			\item Donnez les valeurs de $k$ pour lesquelles $\mathbb{P}(X=k)\geqslant 0,1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Toujours à l'aide de la machine, affichez les probabilités cumulées croissantes $\mathbb{P}(X\leqslant k)$ pour $k \in \llbracket 0; 45 \rrbracket$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez le plus petit nombre entier $a$ tel que $\mathbb{P}(X\leqslant a) \geqslant 0,9$.
			
			Interprétez ce résultat dans le contexte.
			
			\item Déterminez le plus grand nombre entier $b$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant b) \leqslant 0,1$.
			
			\item Déterminez un ensemble $\llbracket c,d \rrbracket$ d'amplitude minimale tel que $\mathbb{P}( c \leqslant X \leqslant d )\geqslant 0,95$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		0iem spécialité hatier variations 2020
		
		14 page 411
		
	\end{notabene}
	
	Un site internet pose à tout usager une question de satisfaction à l'issue de sa visite?
	
	La probabilité qu'un usager réponde \og non \fg{} à cette question est $0,17$.
	
	Un échantillon de $100$ réponses prises au hasard a été constitué. 
	
	On note $X$ le nombre de réponses \og non \fg{} contenues dans cet échantillon.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la loi suivie par lé variable $X$?
			
			\item Avec la calculatrice, déterminez les valeurs de $k$ pour lesquelles on a $\mathbb{P}(X=k)\geqslant 0,05$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item À partir de quelle valeur de $k$ a-t-on $\mathbb{P}(X \leqslant k ) \geqslant 0,9$?
			
			Donnez une interprétation de ce résultat.
			
			\item Déterminez un ensemble $\llbracket k,k' \rrbracket$ d'amplitude minimale tel que $\mathbb{P}(k \leqslant X \leqslant k') \geqslant 0,5$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2022 Métropole 2022/05/12 spécialité
		
	\end{notabene}
	Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
	
	Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70\,\% des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
	
	Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si le coyote est malade, le test est positif dans 97\,\% des cas.
		\item[$\bullet~~$] Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95\,\% des cas.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	\bigskip
	
	\textbf{Partie A}
	
	\medskip
	
	Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
	
	On considère les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$M$: \og le coyote est malade \fg;
		\item[$\bullet~~$]$T$: \og le test du coyote est positif \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les évènements contraires de $M$ et $T$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$M$/$\dots$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{M}$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$M$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{M}$/$\dots$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$M$/$\dots$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{M}$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
		\item Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
		\item On appelle \og valeur prédictive positive du test \fg{} la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
		
		Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
		\item  
		\begin{enumerate}
			\item Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la \og valeur prédictive négative du test \fg{} et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
			\item Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ - Suite.}
	
	\textbf{Partie B}
	
	\medskip
	
	On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
		
		On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
			\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
			\item Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
		\end{enumerate}	
		
		\item Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsection{Avec des variables aléatoires auxiliaires.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repere 2011;
		87 page 252.
	\end{notabene}
	
	On joue à pile ou face cinq fois de suite. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu face.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$? Donnez ses paramètres.
				
	\end{enumerate}
	Pour jouer à ce jeu, il faut payer $3\ \text{\euro}$. On gagne $1\ \text{\euro}$ à chaque fois qu'on obtient face lors d'un des cinq lancers.
	
	On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) totale lors de ce jeu.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Exprimez $Y$ en fonction de $X$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{E}(Y)$.
		
		\item Ce jeu est-il financièrement intéressant?
		
		\item Quelle somme aurait-il fallu payer au départ pour que le jeu soit équitable?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		45 page 358.
	\end{notabene}
	
	Un tireur à l'arc atteint sa cible neuf fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
	
	Il tire $5$ flèches sur la cible. Pour chaque flèche, s'il atteint la cible, il gagne $10\ \text{\euro}$ , sinon il perd $20\ \text{\euro}$. On suppose que les tirs sont indépendants.
	
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $X$ le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont précisera les paramètres.
			
			\item Déterminez la probabilité d'atteindre au moins $2$ fois la cible.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $Y$?
			
			\item Déterminez la loi de $Y$.
			
			\item Quel est le gain moyen (positif ou négatif) du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours? Est-ce intéressant pour lui?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		46 page 358.
	\end{notabene}
	
	Pour un avion à plusieurs réacteurs, on suppose que le risque de panne d'un des réacteurs est indépendant de l'état des autres réacteurs.
	
	Soit $p$ la probabilité de panne d'un réacteur.
	
	On suppose que l'avion peut continuer à voler si au moins la moitié de ses réacteurs ne sont pas en panne.
	
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $X$ le nombre de réacteurs en panne sur un biréacteur. (Un biréacteur est un avion avec deux réacteurs.)
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs possibles de $X$?
			
			\item Quelle est la loi de probabilité de $X$?
			
			\item Déterminez $P(X \leqslant 1)$ en fonction de $p$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On appelle $Y$ le nombre de réacteurs en panne sur un quadriréacteur.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs possibles de $Y$?
			
			\item Quelle est la loi de probabilité de $Y$?
			
			\item Déterminez $P(Y \leqslant 2)$ en fonction de $p$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Comparez la sécurité offerte par un biréacteur à celle offerte par un quadriréacteur suivant les valeurs de $p$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		47 page 358.
	\end{notabene}
	
	Lors d'un concours d'équitation, un cavalier effectue un parcours de $\np{1500}\ \mathrm{m}$ à la vitesse de $10\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ et franchit sur ce parcours six obstacles indépendamment.
	
	Pour ce cavalier, la probabilité de franchir l'obstacle sans faute est de $\frac{2}{3}$. Le passage d'un obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu'un passage avec faute lui fait perdre une minute.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'obstacles franchis sans faute.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$.
		
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale à la durée du parcours. Exprimez $Y$ en fonction de $X$ et donnez son espérance. Interprétez le résultat.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 6, \frac{2}{3} \right)$.
		
		\item $\mathbb{E}(X)=6 \times \frac{2}{3}=4$.
		
		\item $Y= \frac{1,5}{10}\times 60+(6-X)$. $\mathbb{E}(Y)=15-4=11$.
		
	\end{enumerate}
		
		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2022 Asie 2022/05/18 spécialité
		
	\end{notabene}
	
	Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. 
	
	S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.
	
	Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.
	
	Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.
	
	S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.
	
	\smallskip
	
	On notera :
	
	\setlength\parindent{12mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
		\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $P_B(V)$.
		\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
		\item Montrer que $P(V) = 0,6$.
		\item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ - Suite.}
	
	
	\textbf{Partie 2}
	
	\medskip
	
	Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
	On appelle cette pratique le surbooking.
	
	Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.
	
	Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus.
	On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?
		\item Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
		\item Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
		
		Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
		
		On appelle :
		
		\setlength\parindent{12mm}
		\begin{description}
			\item[ ] $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer
			bien qu'ayant acheté un billet;
			\item[ ] $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
		\end{description}
		
		On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				$y_i$					&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
				$P\left(Y = y_i\right)$	&\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}& \\ \hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
			\item Justifier que: $C = \np{51500} - 850Y$.
			\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.
			
			Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.
			\item Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\textbf{Partie A.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $1$.
		
		\item 
		
		\item $\frac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie B.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 206;0,95 \right)$.
		
		\item $\mathbb{E}(X)= 206 \times 0,95=195,7$.
		
		\item $\mathbb{P}(X=201)\approx0,031$.
		
		\item $\mathbb{P}(X\leqslant 200)\approx 0,948$. La probabilité qu'il n'y ait pas de problème de surréservation est de $0,948$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathbb{P}(Y=6)=6 \times 10^{-5}$.
			
			\item $206 \times 250=51500$. Pour chaque sur-réservation la compagnie paye $250+600=850$ euros. D'où $Y=51500 - 850 Y$.
			
			\item 			
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					$c_i$ & $\np{51500}$	& $\np{50650}$	& $\np{49800}$	& $\np{48950}$	& $\np{48100}$	& $\np{47250}$	& $\np{46400}$\\ \hline
					$P\left(C = c_i\right)$	&\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}& \np{0,000006} \\ \hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			
			\item $\mathbb{E}(Y)\approx 51424,97$.
			
			\item $200 \times 250= 50000$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Un peu plus.}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		48 page 358. Somme des coefficients binomiaux.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}