%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}\exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 


\subsection*{Rédiger une démonstration.}

\begin{lecon}
	Les éléments de démonstration vus dans cette leçon peuvent être vus comme des plans de rédaction. Une rédaction, comme en littérature, nécessite une introduction, un développement et une conclusion.
\end{lecon}

\subsubsection{Égalité.}

\begin{notabene}
	Égalité de nombres, égalités d'expression polynomiales, égalité de fonctions, égalité de vecteurs... dépend de la nature, de la définition des objets considérés.
\end{notabene}

\subsubsection{Quantificateur existentiel.}

\begin{lecon}
	Pour démontrer qu'\og il existe un $x$ tel que $\mathscr{P}(x)$ est vraie\fg{} (qu'on note $\exists x,\ \mathscr{P}(x)$), il suffit de trouver un exemple de valeur de $x$ qui vérifie la proposition.
	
	Il y a trois façon de procéder, dans cet ordre:
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Recherche d'une valeur évidente de $x$ (essayer des choses simples).
		\item Utilisation d'un théorème d'existence vu en cours (fonction réciproque d'une bijection comme pour $\ln$, antécédent avec le théorème des valeurs intermédiaires).
		\item Procéder à une recherche- démonstration par analyse-synthèse (à faire au brouillon éventuellement).
	\end{enumerate}
	
	Rédaction type:
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.75\linewidth}
			\og {\color{purple}Posons $x=\dots$.
				
				Vérifions que $\mathscr{P}(x)$ (est vraie).}\fg{}
			
			\emph{suivi de la vérification que pour cette valeur particulière de $x$, $\mathscr{P}(x)$ est vraie.}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons la véracité de la proposition: $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2-4x+3=0$.}
		
		{\color{orange}Voyons les trois moyens d'aborder la recherche de la valeur de $x$.
		\begin{enumerate}
			\item On peut exhiber une racine évidente: $1$ est clairement une racine.
			\item Utiliser un résultat de cours qui permet de trouver une racine. Nous savons que les trinômes de degré deux admettent au moins une racine si et seulement si le discriminant associé est positif.
			\item Ici la recherche par analyse synthèse pour s'apparenter à la démonstration de la méthode avec le discriminant.
		\end{enumerate}}
		
		$1^2-4 \times 1+3=0$ donc $1$ est bien racine du trinôme.
		
		\begin{conclusion}
			$\exists x\in\mathbb{R},\ x^2-4x+3=0$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Quantificateur universel.}

\begin{lecon}
	Pour démontrer que pour tout $x\in E$, $\mathscr{P}(x)$ est vraie (qu'on note $\forall x ,\ \mathscr{P}(x)$) plusieurs approches sont possibles.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il faut le vérifier pour un $x$ quelconque. Confer la rédaction et l'exemple ci-dessous.
		\item Utiliser un résultat qui concerne un objet qui contient toutes les valeurs de $x$ (propriété d'une fonction, et cetera).
		\item Si $n$ représente un entier naturel une démonstration par récurrence est à envisager.
	\end{enumerate}
	
	Rédaction type pour une démonstration directe:	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.75\linewidth}
			\og {\color{purple}Soit $x\in E$.
				
				Montrons que $\mathscr{P}(x)$ (est vraie).}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve que $\mathscr{P}(x)$ est vraie.}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Montrons que \og Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[3,+\infty[$, on a $x^2+4x+3 \ge 0$. \fg{}}
		
		Soit $x\in [3,+\infty[$.
		
		Montrons que $x^2+4x+3 \ge 0$.
		
		$x\geqslant 3$ donc, la fonction carré étant croissante sur $\mathbb{R}_+$,
		\begin{align*}
			x^2 &\geqslant 3^2
			x^2 &\geqslant 9 \quad (1)
		\end{align*}
		$x\geqslant 3$ donc, $4$ étant strictement positif
		\begin{align*}
			4x &\geqslant 4\times 3\\
			4x &\geqslant 12 \quad (2)
		\end{align*}
		En sommant les inégalités $(1)$ et $(2)$:
		\begin{align*}
			x^2+4x &\geqslant 9+12\\
			x^2+4x &\geqslant 21\\
			x^2+4x+1 &\geqslant 21+1\\
			x^2+4x+1 &\geqslant 22\\
			x^2+4x+1 &\geqslant 0
		\end{align*}
		\begin{conclusion}
			Nous avons démontré: $\forall x \in [3; +\infty[,\ x^2-4x+3 \ge 0$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}	
	Démontrez: $\forall x\in \mathbb{R},\ \frac{x}{x^2+1} \le \frac{1}{2}$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	On remarque: $(x-1)^2\ge 0$.
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Des doppelgängers.}

\begin{lecon}
	Il peut être plus simple de démontrer la négation d'une phrase.
	
	La négation d'une proposition avec un quantificateur existentiel est une proposition avec un quantificateur universel: $\left( \overline{\exists x,\ \mathscr{P}(x)}\right) \Leftrightarrow \left( \forall x,\ \mathscr{P}(x) \right)$.
	
	La négation d'une proposition avec un quantificateur universel est une proposition avec un quantificateur existentiel: $\left( \overline{\forall x,\ \mathscr{P}(x)} \right) \Leftrightarrow \left( \exists x,\ \mathscr{P}(x)\right) $
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Donnez la négation des phrases suivantes.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\ge 3$.
		\item Il existe un point de la droite $(AB)$ d'ordonnée $4$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Implication.}

\begin{lecon}
	Pour démontrer une implication, $A\Rightarrow B$, on suppose que $A$ est vraie et on démontre qu'alors $B$ est vraie.
	
	Il faut commencer sa démonstration en écrivant
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\og {\color{purple}Supposons que $A$ est vraie.
				
				Démontrons qu'alors $B$ est vraie}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve de $B$.}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans \og $A\Rightarrow B$\fg{}, $A$ constitue les hypothèses et $B$ la conclusion.
		\item Cela peut sembler paradoxal, mais si $A$ est faux alors l'implication $A\Rightarrow B$ est toujours vraie (quelque soit la valeur de vérité de $B$). C'est pourquoi dans la démonstration on suppose que $A$ est vrai.
		\item On trouve parfois $\Rightarrow$ à la place de \og donc\fg{}. En fait lorsqu'on utilise donc nous faisons un syllogisme: si $A$ est vraie et que $A\Rightarrow B$, alors $B$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Soit $I$ un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$. Démontrez la proposition: \og si $k>0$ et si $u$ est une fonction croissante sur $I$, alors la fonction $ku$ est croissante sur $I$.\fg{}	
\end{exercice}

\begin{lecon}	
	Pour démontrer qu'une implication, $A\Rightarrow B$ est fausse, on montre qu'il est possible que $A$ soit vraie et que pourtant $B$ soit fausse. Il faut donc en général trouver un contre-exemple.
	
	Il faut commencer sa démonstration en écrivant
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\og {\color{purple}Démontrons que $A$ est vraie.}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve de $A$ est vraie.}
			
			\og {\color{purple}Démontrons que $B$ est fausse.}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve que $B$ est fausse.}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Soit $I$ un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$. Démontrez que la proposition suivante est fausse: \og si $u$ et $v$ sont des fonctions croissantes sur $I$, alors la fonction $uv$ est croissante sur $I$.\fg{}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Par exemple $x-1$ et $x+1$.	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Unicité.}

Le problème de l'unicité d'un élément $x$ vérifiant une proposition $\mathscr{P}(x)$ apparaît souvent (notamment dans les définitions).

\begin{lecon}{ unicité}
	
	Pour démontrer l'unicité de l'élément $x$ vérifiant la propriété $\mathscr{P}(x)$ il faut vérifier que si deux éléments vérifient la propriété alors ils sont égaux. Autrement dit on démontre une implication.
	
	Il faut commencer sa démonstration en écrivant
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\og {\color{purple}Soit $x$ et $x'$ deux éléments tels que $\mathscr{P}(x)$ et $\mathscr{P}(x')$ soient vraies.
				
				Montrons que: $x=x'$.}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve $x=x'$.}
			
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La question de l'unicité apparaît notamment dans des propositions avec le symbole $\color{purple}\exists!$ qui signifie \og il existe un et un seul\fg{} ou \og il existe un unique\fg{}. Dans ce cas la démonstration se fait en deux temps d'abord l'existence puis l'unicité.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Montrez que lorsqu'un nombre réel peut s'écrire sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $a,b\in \mathbb{Z}$, les entiers $a$ et $b$ sont nécessairement uniques.
\end{exercice}

\subsubsection{Disjonction des cas.}

\begin{lecon}
	Lorsqu'un problème est complexe on démontrera en distinguant les différents cas qui nécessitent des raisonnements différents.
\end{lecon}

\subsubsection{Disjonction.}

\begin{lecon}	
	Pour démontrer une disjonction $\mathscr{P}=A\ \mathrm{ou}\ B$ il faut s'assurer que si $A$ (ou $B$) n'est pas vraie alors l'autre l'est forcément.
	
	Il faut commencer sa démonstration en écrivant
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\og {\color{purple}Supposons que $A$ est faux.
				
				Montrons que $B$ est vraie.}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve de la véracité de $B$.}
			
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Montrez: $\forall x\in\mathbb{R},\ \max \left\{ x^2, (x-2)^2 \right\} \ge 1$.	
\end{exercice}

\subsubsection{Montrer une appartenance.}

\begin{lecon}
	Pour montrer que $e\in E= \left\{ x\ | \ \mathscr{P}(x) \right\}$ il suffit de vérifier que $\mathscr{P}(e)$ est vraie.	
\end{lecon}

\subsubsection{Montrer une inclusion.}

\begin{lecon}
	Démontrer l'inclusion $E\subset F$ revient à démontrer que tout élément de $E$ est aussi élément de $F$: $\forall x \in E,\ x \in F$.
	
	Il faut commencer sa démonstration en écrivant
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\og {\color{purple}Soit $x\in E$.
				
				Montrons que $x\in F$.}\fg{}
			
			\emph{suivi de la preuve que $x$ est élément de $F$.}
			
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Notons $2\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels pairs et posons $E=\left\{ k(k+1) \ | \ k\in\mathbb{N} \right\}$. Démontrez: $E\subset 2\mathbb{N}$.	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	Pour démontrer qu'il n'y a pas d'inclusion, $E\not\subset F$, il faut démontrer une propriété existentielle: s'il existe (au moins) un élément $x$ de $E$ qui ne soit pas dans $F$ alors $E\not\subset F$.
\end{lecon}

\subsubsection{Montrer une égalité d'ensembles.}


\begin{lecon}
	Pour montrer une égalité d'ensembles , $E=F$, on démontre une double inclusion: $E\subset F$ et $F \subset E$.	
	
	Il est parfois possible de démontrer en travaillant par équivalence grâce aux propriétés des ensembles: $x\in E \Leftrightarrow \mathscr{P}(x) \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \mathscr{Q}(x) \Leftrightarrow x\in F$.
\end{lecon}

\subsubsection{Équivalence.}

\begin{lecon}
	Pour montrer une équivalence, $A \Leftrightarrow B$, on peut:
	\begin{enumerate}
		\item démontrer une double implication: $A\Rightarrow B$ et $B \Rightarrow A$.
		\item démontrer des équivalences successives en modifiant les propositions $A$ ou $B$: $A \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow B$.
		\item démontrer par conditions nécessaires et suffisante comme dans une démonstration par analyse-synthèse.
	\end{enumerate}
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Dans les cas suivants précisez sans justification si les propositions $A$ et $B$ sont équivalentes ou si l'une implique l'autre.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A$: \og $x\in\mathbb{R} \ \mathrm{et} \ x^2>36$ \fg{}; $B$: \og $x>6$\fg{}.		
		\item $A$: \og $x\in [0,2\pi]\ \mathrm{et} \ \cos x=1$ \fg{}
		
		$B$: \og $x\in \left\{ \frac{\pi}{2} ,  \frac{3\pi}{2} \right\}$ \fg{}.
		\item A: \og $x\in \mathbb{R} \ \mathrm{et} \ \sin x\ge 0$\fg{}
		
		$B$: \og $x\in [0,\pi]$ \fg{}.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	Démontrez que: $\forall x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=0 \Leftrightarrow x=y=0$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Raisonnement par condition nécessaire et suffisante.	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Raisonnement par l'absurde.}

{\color{orange}Pour démontrer qu'une proposition est vraie il est possible de supposer qu'elle soit fausse et montrer que cette supposition conduit à une contradiction.}

Il faut commencer sa démonstration en écrivant
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}
		\og {\color{purple}Supposons que $\mathscr{P}$ est fausse.}\fg{}
		
		\emph{On fait apparaître une contradiction.}
		
		\og {\color{purple}Ceci contredit notre hypothèse donc $\mathscr{P}$ est vraie.}\fg{}		
	\end{minipage}
	\\
	\hline
	\end{tabular}
\end{center}

\begin{exercice}	
	Démontrez: $\forall x\in\mathbb{R}\setminus \{ -5 \},\ \frac{2x-1}{x+5} \ne 2$.
\end{exercice}

\subsubsection{Raisonnement par récurrence.}

\begin{lecon}
	En langage formel mathématique dire que le raisonnement par récurrence est valable signifie que la proposition suivante est vraie.
	
	\[ \left\{ \begin{array}{l} P(0) \\ \forall n\in \mathbb{N},\ P(n) \Rightarrow P(n+1) \end{array} \right. \Rightarrow \forall n\in\mathbb{N},\ P(n) \]
	
	Confer les exemples de rédaction dans la leçon correspondante.
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	On note $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par: $u_0=0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$: $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$: $u_n\le4$.
		\item Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente de limite à préciser.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Raisonnement par analyse-synthèse.}

\begin{lecon}
	Ce raisonnement est celui naturellement utilisé lorsqu'on vous demande de \og déterminer \fg{} ou de \og trouver \fg{} un nombre, un objet ou autre.
	
	Il s'agit de la démarche de recherche de la solution: s'il y a une solution à quoi ressemble-t-elle? la possible réponse que j'ai trouvé convient-elle effectivement?
	
	Pour démontrer qu'un élément $x$ d'un ensemble $E$ vérifie une propriété $\mathscr{P}$ nous raisonnerons comme suit.
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{0.5\linewidth}
			\emph{\color{purple}Analyse}. \og {\color{purple}Soit $x\in E$.
				
				Supposons que $\mathscr{P}(x)$ est vraie.}\fg{}
			
			\emph{On regarde alors les conséquences sur $x$: quelle est sa nature sa forme. Ce faisant en regardant les propriéts de $x$ nous réduisons le possibilités de valeurs pour $x$.}
			
			\medskip
			\emph{\color{purple}Synthèse}. \og {\color{purple}Soit $x=\dots$ (les valeurs possibles précédemment trouvées).
				
				Vérifions que $x\in E$ et que $\mathscr{P}(x)$ est vraie.}\fg{}
			
			\emph{On vérifie alors que $x$ est bien un élément de $E$ et qu'il vérifie la propriété $\mathscr{P}$.}
			
		\end{minipage}
		\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce raisonnement est également utilisé pour démontré l'existence et l'unicité. L'analyse permet souvent d'établir l'unicité et la synthèse l'existence.
		\item Il est également possible que la phase d'analyse ne conduise à aucune solution. Dans ce cas une présentation sous forme de raisonnement par l'absurde est préférable.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Déterminez les réels $x$ tels que $\sqrt{x(x-3)} = \sqrt{3x-5}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	\emph{Question 1 du problème du sujet de bac d'avril 1994 de Pondichéry.} Trouver toutes les fonctions polynômes $P$ du troisième degré telles que, pour tout $x$ réel, $xP'(x)-3P(x)=0$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\objectif{En raisonnant par analyse-synthèse déterminons les fonctions polynômes vérifiant l'équation.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Analyse.}
		Soit donc $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ (avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels) une fonction polynomiale de degré trois vérifiant
		\begin{align*}
			&xP'(x)-3P(x)=0\quad (F)\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement, $P$ étant évidemment dérivable:}
			&x(3ax^2+2bx+c)-3(ax^3+bx^2+cx+d) = 0\\
			&3ax^3+2bx^2+cx-3ax^3-3bx^2-3cx-3d = 0\\
			&-bx^2-2cx-3d = 0\\
			\intertext{Puis par identification des coefficients:}
			& \left\{ \begin{array}{l} b=0 \\ c=0 \\ d=0 \end{array} \right.
		\end{align*}
		Autrement dit $P$ est nécessairement de la forme $P(x)=ax^3$ avec $a\in\mathbb{R}$.
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Soit $P(x)=ax^3$ avec $a\in\mathbb{R}$.
		
		Nous vérifions immédiatement que $xP'(x)-3P(x)=0$.
	\end{enumerate}
	\begin{conclusion}
		Les fonctions polynomiales de degré trois solutions de $(F)$ sont $\left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & ax^3 \end{array} \right.$ où $a$ décrit $\mathbb{R}$.
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Démontrez, en utilisant la définition de la monotonie, que la fonction proposée est strictement monotone sur	l'intervalle proposé.
	\begin{tasks}(1)
		\task la fonction racine carrée, $f:x\mapsto \sqrt{x}$, sur $[0;+\infty[$,
		\task la fonction $g:x\mapsto \sqrt{2x+5}$ sur $\left[ -\frac{5}{2}; +\infty \right[$,
		\task la fonction $h:x\mapsto \sqrt{5-x}$ sur $\left] -\infty; 5 \right]$,
		\task la fonction $k:x\mapsto \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}$ sur $]-\infty ; -2 ]$, puis sur $[-2; +\infty[$.
	\end{tasks}		
	
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	Démontrez: $\forall x\in [0,1],\ x-x^2\in\mathbb{N} \Rightarrow x\in \{ 0,1 \}$.
\end{exercice} 

\begin{exercicecorrection}
	Étude de la fonction polynomiale.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Soient $I$ un intervalle non trivial et $f$ une fonction dérivable sur $I$.	Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
	\begin{enumerate}[$\mathscr{P}_1$: ]
		\item \og Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f'$ est strictement positive sur $I$.\fg{}
		\item \og Si $f$ est croissante et strictement positive sur $I$, alors $\frac{1}{f}$ est décroissante sur $I$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}


\begin{exercice}	
	Soit $z\in\mathbb{C}$. Montrez que $\left( \forall \varepsilon >0,\ |z|<\varepsilon \right) \Rightarrow z=0$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Par contraposée.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Soit $f$ la fonction définie par $f: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{x+1}{2x-1} \end{array} \right.$. Montrez que pour tout $y\ne \frac{1}{2}$, il existe $x\ne \frac{1}{2}$, tel que $f(x)=y$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par analyse synthèse on fait apparaître la fonction réciproque de $f$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Déterminez l'ensemble \[ E= \left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ | \ \forall x,x \in \mathbb{R},\ f(x)f(y)=f(x)+f(y) \right\} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Raisonnement par analyse synthèse . Calcul de $f(x)f(0)$ et on isole $f(x)$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Montrez que toute fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est la somme, d'une unique façon d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}