%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}\exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Logique binaire et assertion.}

\begin{notabene}
	reconnaître ce qu’est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des
propositions mathématiques ;
lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ;
formuler la négation de propositions simples, pouvant contenir un ou deux quantificateurs ;
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu'une proposition est fausse ;
formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement
simple ;
formuler la réciproque d’une implication, ou sa contraposée ;
lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle (les
symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles) ;
raisonner par disjonctions des cas, par l’absurde, par contraposée ;
raisonner par équivalence, utiliser une propriété caractéristique ;
distinguer condition nécessaire et condition suffisante ;
\end{notabene}

\begin{lecon}
	Dans cette leçon ce ne sont pas des recette de démonstration que nous voyons mais les notions de vrai, de faux et de la valeur de véracité des raisonnements qui les combinent. Pour un aspect plus pratique (comment rédiger vos travaux reportez vous à la leçon correspondante.
\end{lecon}

\subsubsection{Logique: propositions, assertions.}

\begin{definition}
	Une \emph{\color{purple}assertion} est une phrase qui peut être soit vraie soit fausse.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		L'assertion \og le carré de $-3$ est négatif\fg{} est fausse.		
		\item L'assertion $\mathscr{P}$: \og $\sqrt{2}$ est irrationnel \fg{} est vraie.
		\item $4x+5$ n'est pas une assertion.	
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les assertions sont aussi appelées des propositions. Cependant l'usage a consacré l'utilisation de ce mot pour désigner une phrase vraie. Nous utiliserons donc le mot proposition pour désigner un théorème de moindre importance.
		\item L'utilisation du \og soit... soit...\fg{} correspond à ce que nous appellerons plus loin le \og ou exclusif\fg{}. Les deux possibilités s'excluent mutuellement. Une assertion ne peut être à la fois vraie et fausse.
		\item Les assertions sont des phrases mathématiques. Pour reconnaître une assertion il suffit de la lire à haute voix en français et s'assurer qu'elle comporte un verbe.
		\item On peut reconnaître une assertion au fait que l'on doit pouvoir en dire qu'elle est soit vraie soit fausse. \og vrai \fg{} et \og faux \fg{} sont appelés les \emph{\color{purple}valeurs} des l'assertion.
		\item Les deux valeurs logiques sont vraies et faux. Nous le noterons $V$ et $F$. L'usage, notamment en informatique mais aussi en mathématique, est de les noter $1$ et $0$ respectivement.
		\item Pour une proposition $P$ cette situation est  représentée par une \emph{\color{purple}table de vérité} ou un arbre:
		
		\begin{minipage}{0.4\linewidth}
			$\begin{array}{|c|}
				\hline
				P
				\\
				\hline
				V 
				\\
				\hline
				F
				\\
				\hline
			\end{array}$
		\end{minipage}
		\hspace{0.25cm}
		\begin{minipage}{0.4\linewidth}	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (3,2);
				\coordinate (C) at (3,-2);
				\coordinate (D) at (1,3);
				\node (B) at (B) {$V$};
				\node (C) at (C) {$F$};
				\draw (D) node {$P$};
				\draw (A) -- (B);
				\draw (A) -- (C);
			\end{tikzpicture}
		\end{minipage}
		\item Nous allons manipuler les assertions comme d'autres objets mathématiques c'est pourquoi nous les nommerons $P$, $Q$, et cetera.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Négation.} 

\begin{definition}
	La \emph{\color{purple}négation} d'une assertion $P$, que nous noterons $\overline{P}$, est l'assertion qui prend des valeurs (logiques) contraires à celles de $P$. 
	
	La table de vérité qui définit $\overline{P}$ est $\begin{array}{|c|c|}
		\hline
		P & \overline{P}
		\\
		\hline
		V & F
		\\
		\hline
		F & V
		\\
		\hline \end{array}$
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La négation de $2x+3=4$ est $2x+3\ne 4$.
		\item La négation de la proposition $\mathscr{P}$: \og $x\geqslant 5$\fg{} est $\overline{\mathscr{P}}$: \og $x< 5$ \fg{}.
		\item Il n'est pas toujours simple d'exprimer la négation d'une assertion: $P$:\og $\mathcal{C}$ est un cercle \fg{}, $Q$: \og $f$ est une fonction croissante\fg{}.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La table de vérité se lit de la façon suivante: si $P$ est vraie alors $\overline{P}$ est fausse et si $P$ est fausse alors $\overline{P}$ est vraie.
		\item Nous retrouvons la notation \og barre\fg{} que nous avons déjà rencontrée pour désigner l'événement contraire en probabilité ou le complémentaire d'un ensemble. Ce n'est pas un hasard.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Connecteurs logiques et et ou.}

\begin{lecon}
	Comme en français il est possible d'associer, de combiner, des phrases (propositions) par des connecteurs logiques. Nous nous intéressons aux valeurs logiques de la nouvelle proposition en fonction des propositions associées.
\end{lecon}

\begin{definition}
	On appelle connecteur de \emph{\color{purple}conjonction} et on note \emph{\color{purple}et} ou $\color{purple}\wedge$ le symbole qui permet à partir des assertions $P$ et $Q$ d'en créer une nouvelle notée $P\wedge Q$ et dont la table de vérité est $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
			\hline 
			P & Q & P\wedge  Q  \\ 
			\hline
			V & V & V  \\
			\hline
			V & F & F \\
			\hline
			F & V & F \\
			\hline
			F & F & F \\
			\hline
		\end{array}$
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit l'assertion $P \wedge Q$ est vraie uniquement si $P$ et $Q$ sont simultanément vraies.
		\item Rappelons le lien entre le connecteur logique $et$ et l'intersection ensembliste.
		\item Le connecteur $\wedge$ est commutatif: $P\wedge Q$ et $Q\wedge P$ ont la même table de vérité.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Déterminez les phrases vraies parmi les suivantes.		
	\begin{tasks}(1)
		\task $F_1$: \og$\left( \frac{3}{2}+ \frac{7}{4}=\frac{13}{4} \right) \wedge \left( 4^{8} \geqslant 4 \times 10^{8} \right)$\fg{}.			
		\task $F_2$: \og $\overrightarrow{AB}+ 2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ et $\dfrac{4+\sqrt{8}}{6}=\frac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{2}$ \fg{}.			
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{definition}
	On appelle connecteur de \emph{\color{purple}disjonction} et on note \emph{\color{purple}ou} ou $\color{purple}\vee$ le symbole qui permet à partir des assertions $P$ et $Q$ d'en créer une nouvelle notée $P\vee Q$ et dont la table de vérité est $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
			\hline 
			P & Q & P\vee  Q  \\ 
			\hline
			V & V & V  \\
			\hline
			V & F & V \\
			\hline
			F & V & V \\
			\hline
			F & F & F \\
			\hline
		\end{array}$
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La phrase $\left( 3 \in \mathbb{R}_+ \right) \vee \left( 3 \leqslant 2\right)$ est vraie: $P$ est vraie, $Q$ est fausse donc $P\vee Q$ est vraie.
		\item La phrase $\left( -1 \in \mathbb{R}_+ \right) \vee \left( 1 \leqslant 2\right)$ est vraie: $P$ est fausse, $Q$ est vraie donc $P\vee Q$ est vraie.
		\item La phrase $\left( 3 \in \mathbb{R}_+ \right) \vee \left( 1 \leqslant 2\right)$ est vraie: $P$ est vraie, $Q$ est vraie donc $P\vee Q$ est vraie.
		\item La phrase $\left( -3 \in \mathbb{R}_+ \right) \vee \left( 3 \leqslant 2\right)$ est fausse: $P$ est fausse, $Q$ est fausse donc $P\vee Q$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit l'assertion $P \vee Q$ est vraie uniquement si l'une au moins des deux assertions $P$ et $Q$ est vraie.
		\item Que répond une logicienne venant d ’accoucher à qui l’on demande \og Avez-vous eu un garçon ou une fille ?\fg{}? Réponse: \og Oui. \fg{}
		\item Rappelons le lien entre le connecteur logique $ou$ et l'union ensembliste.
		\item Le connecteur $\vee$ est commutatif: $P\vee Q$ et $Q\vee P$ ont la même table de vérité.
		\item On parle aussi du \og ou inclusif \fg{} par opposition au \og ou exclusif\fg{} que nous verrons plus tard.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Implication.}

\begin{definition}
	On appelle connecteur d'\emph{\color{purple}implication}, et on note $\color{purple}\Rightarrow$, le connecteur entre les assertions $P$ et $Q$ défini par la table de vérité: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
		\hline 
		P & Q & P\Rightarrow Q \\ 
		\hline
		V & V & V \\
		\hline
		V & F & F \\
		\hline
		F & V & V \\
		\hline
		F & F & V \\
		\hline
	\end{array}$
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BA^2+AC^2=BC^2$. Cette implication est appelée le théorème de Pythagore.
		\item %Thalès
		\item Il suffit qu'un parallélogramme ait un angle droits pour que ce soit un rectangle.
		\item Pour qu'un quadrilatère soit un carré il faut que ses diagonales se coupent en leur milieu (mais ça ne suffit pas pour dire que c'est un carré).
		\item Il suffit qu'un quadrilatère soit carré pour que ce soit rectangle.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il existe de nombreuses façons d'exprimer l'implication en français et il faut être capable de la reconnaître. \og Si $P$ alors $Q$.\fg{} \og Si $P$ est vraie alors $Q$ est vraie.\fg{} \og Si $P$ est vraie, nécessairement $Q$ l'est aussi.\fg{} \og Il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit aussi.\fg{}, \og Dès que $P$ alors $Q$.\fg{}, \og Pour que $P$ soit vraie il faut que $Q$ soit vrai.\fg{} (celle-si est oins évidente; elle vient de la table de vérité et correspond à un procédé de démonstration de l'implication; pour que l'implication soit vraie il faut vérifier que lorsque $P$ est vraie alors $Q$ l'est aussi les autres cas ne nécessitant pas de démonstration),
		\item L'implication n'est pas un connecteur commutatif: $P\Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ n'ont pas les mêmes tables de vérité.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	En vous appuyant sur la table de vérité de l'implication déterminez si les phrases suivantes sont vraies ou fausses.	
	\begin{tasks}
		\item $F_1$: \og Si $4$ est paire alors son carré est pair. \fg{}
		\item $F_2$: \og Si $3$ est un nombre pair alors les carrés ont quatre côtés.\fg{}
		\item $F_3$: \og Si $2+2=5$ alors Bertrand Russel est le pape\fg{}.
		\item $F_4$: \og Si un élève est inscrit à l'université alors il a son bac.\fg{}
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{definition}
	Soient $P$ et $Q$ des assertions. La \emph{\color{purple}réciproque} d'une implication $P \Rightarrow Q$ est l'implication $Q \Rightarrow P$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'implication \og Si, pour $ABC$ un triangle, $BA^2+AC^2=BC^2$ alors $ABC$ est rectangle en $A$.\fg{} est la réciproque de l'assertion appelée théorème de Pythagore.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	On considère l'implication: \og Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$\fg{}. Donnez la réciproque de cette implication et dites si cette réciproque est vraie.
\end{exercice}

\subsubsection{Équivalence.}

\begin{definition}
	On appelle connecteur d'\emph{\color{purple}équivalence}, et on note $\color{purple}\Leftrightarrow$, le connecteur entre les assertions $P$ et $Q$ défini par la table de vérité: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
		\hline 
		P & Q & P\Leftrightarrow Q \\ 
		\hline
		V & V & V \\
		\hline
		V & F & F \\
		\hline
		F & V & F \\
		\hline
		F & F & V \\
		\hline
	\end{array}$
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit $P$ et $Q$ sont équivalentes si $P$ et $Q$ ont la même valeur logique: soit toutes deux vraies soit toutes deux fausses.
		\item Deux assertions qui ont la même table de valeur sont équivalentes.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les assertions $2=3$ et $1=7$ sont équivalentes: elles sont toutes deux fausses.
		\item Les assertions $x^2\geqslant 0$ et $-1<0$ sont équivalentes: elles sont toutes deux vraies.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Démontrer des équivalences logiques.}

\begin{lecon}
	Pour démontrer que deux propositions sont équivalentes il faut démontrer qu'elles ont les mêmes tables de vérité. 
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrons que les assertions $\overline{P\vee Q}$ et $\overline{P}\wedge \overline{Q}$ sont équivalentes en établissant les tables de vérités des deux assertions. 
		\begin{enumerate}[*]
			\item Rappelons la table de vérité de $P\vee Q$: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
				\hline 
				P & Q & P\vee  Q  \\ 
				\hline
				V & V & V  \\
				\hline
				V & F & V \\
				\hline
				F & V & V \\
				\hline
				F & F & F \\
				\hline
			\end{array}$
			
			Sa négation (en changeant chaque valeur logique): $\begin{array}{|c|c|c|c|} 
				\hline 
				P & Q & P\vee  Q  & \overline{P\vee Q}\\ 
				\hline
				V & V & V & F \\
				\hline
				V & F & V & F \\
				\hline
				F & V & V & F \\
				\hline
				F & F & F & V \\
				\hline
			\end{array}$
			
			\item Déterminons maintenant la table de vérité de $\overline{P} \wedge \overline{Q}$.
			
			$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} 
				\hline 
				P & Q & \overline{P}  & \overline{Q} & \overline{P}\wedge \overline{Q}\\ 
				\hline
				V & V & F & F & F \\
				\hline
				V & F & F & V & F \\
				\hline
				F & V & V & F & F \\
				\hline
				F & F & V & V & V \\
				\hline
			\end{array}$
		\end{enumerate}
		
		donc $\left( \overline{P\vee Q} \right) \Leftrightarrow \left( P\wedge Q \right)$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Lois de De Morgan: $\left( \overline{P\vee Q} \right) \Leftrightarrow \left( P\wedge Q \right)$, $\left( \overline{P\wedge Q} \right) \Leftrightarrow \left( P\vee Q \right)$
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On reconnaît là encore des résultats concernant les ensembles et déjà rencontrés en probabilité: $\overline{A\cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}$, $\overline{A\cap B}= \overline{A}\cup \overline{B}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Deux assertions $P$ et $Q$ sont \emph{\color{purple}équivalentes} si et seulement si $P{\color{purple}\Leftrightarrow} Q$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
		\hline 
		P & Q & P\Rightarrow Q & Q \Rightarrow P & (P\Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P) & P \Leftrightarrow Q \\ 
		\hline
		V & V & V &&&\\
		\hline
		V & F & F &&&\\
		\hline
		F & V & V &&&\\
		\hline
		F & F & V &&&\\
		\hline
	\end{array} \]
\end{preuve}

\subsubsection{La négation d'une implication.}

\begin{lecon}
	Pour montrer qu'une implication est fausse il faut montrer que ça négation est vraie. Déterminons la négation d'une implication.
\end{lecon}

\begin{proposition}
	$\left( \overline{P\Rightarrow Q} \right) \Leftrightarrow \left( P \wedge \overline{Q} \right)$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
	\item Pour qu'une implication soit fausse il faut établir que $P$ peut être vraie sans que $Q$ le soit.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Contraposée.}

\begin{definition}
	On appelle \emph{\color{purple}contraposée} d'une implication $P \Rightarrow Q$, l'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.
\end{definition}

\begin{proposition}
	Soient $P$ et $Q$ des assertions. $\left( P\Rightarrow Q \right) \Leftrightarrow \left( \overline{P} \Rightarrow \overline{Q} \right)$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ainsi la contraposée n'est pas un nouveau connecteur mais une autre formulation de l'implication. Par conséquent on peut utiliser cette reformulation qu'est la contraposée pour démontrer une implication.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Donnez la contraposée des implications suivantes.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si un quadrilatère est rectangle, alors il a deux côtés perpendiculaires.
		\item Si un point $I$ est le milieu de $[AB]$, alors il appartient à la médiatrice de $[AB]$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Ou exclusif.}

\subsubsection{Les autres.}

\begin{lecon}
	En regardant la table de vérité correspondant à un connecteur entre deux assertions nous voyons que nous pouvons avoir $2^4=16$ connecteurs logiques. La moitié d'entre eux correspondent à la négation de l'autre moitié. Combien nous en manque-t-il? lesquels?
\end{lecon}

\subsubsection{Tautologie.}

\begin{definition}
	Une \emph{\color{purple}}tautologie est une assertion obtenue en connectant deux assertions $P$ et $Q$ et qui ne peut prendre qu'une valeur à savoir vraie.
\end{definition}

\begin{exercice}	
	Démontrez, avec un table de vérité, que $ \left( P \ \wedge \ (P\Rightarrow Q) \right) \Rightarrow Q$ est une tautologie.
\end{exercice}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'assertion de l'exercice précédent est appelé \emph{\color{purple}syllogisme ou règle d'inférence}. Il s'agit du raisonnement préféré des lycéens: appliquer le résultat général dans un cas particulier.
		\item Le paradoxe d'Épiménide (à titre d'anecdote): Épiménide était un Crétois qui affirmait \og Tous les Crétois sont des menteurs\fg{}.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Soient $P$, $Q$ et $R$ des assertions. \begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez l'associativité de la conjonction: $\left[ \left( P\wedge Q\right) \wedge R \right] \Leftrightarrow P\wedge  \left(Q \wedge R \right)$.
		\item Démontrez que la disjonction est associative.
		\item Démontrez que la conjonction est associative vis-à-vis de la disjonction: $\left[ \left( P\wedge Q\right) \vee R \right] \Leftrightarrow P\wedge  \left(Q \vee R \right)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{lecon}
	Les résultats de l'exercice précédente démontrent des propriétés des unions et intersection d'ensembles.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Démontrez que l'implication suivante est fausse: \og Si $f$ est une fonction affine alors $f(2)< f(6)$.\fg{}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $n \in \mathbb{N}$. Démontrez que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $x \in \mathbb{R}$. Démontrez que si $x^3=7$ alors $x<2$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $a$ et $b$ deux réels. Démontrez la proposition suivante: si $a+b$ est irrationnel, alors $a$ ou $b$ sont irrationnels. 
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}