%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}	
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=violet,urlcolor=violet]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{utfsym}%symbole stylo
%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
	\settasks{
		% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
		% left
		%label-width = 1em ,
		%item-indent = 1em ,
		%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
		%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
		after-item-skip = -1pt%-\parskip % undo paragraph skip
	}
	
	\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket
	
	\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
	\opset{decimalsepsymbol={,}}
	
	\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
	%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
	%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|
	
	\usepackage{fancyhdr}
	
	%######Algo
	
	\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
		%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
		%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
		%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
		\lstdefinestyle{pythonstyle}{
			language=Python,
			backgroundcolor=\color{gray!30},   
			commentstyle=\color{Plum},
			keywordstyle=\color{blue},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{ForestGreen},
			basicstyle=\ttfamily\color{black},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                 
			numbers=none,                   
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		\lstset{style=pythonstyle}
		
		\lstdefinestyle{bashstyle}{
			language=bash,
			backgroundcolor=\color{black},   
			commentstyle=\color{white},
			keywordstyle=\color{magenta},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{white},
			basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                
			numbers=left,                    
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		%\lstset{style=bashstyle}
		
		\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode
		
		\usepackage{scratch3}
		
		%############### Formule developpée molécule chimie
		
		\usepackage{chemfig}
		
		%#####################
		% Commande et environnement #
		%#####################
		
		\theoremstyle{plain}
		
		%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
		\usepackage{titlesec}
		\titleformat{\part}[block]{\huge\bfseries\filcenter}{ \thepart}{1em}{}
		\titleformat{\chapter}[block]{\color{Green}\Large\bfseries}{ \thechapter}{1em}{}
		\titleformat{\section}[block]{\color{purple}\large\bfseries\filcenter}{ \thesection}{1em}{}
		\titleformat{\subsection}[hang]{\color{blue}\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
		\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue}\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
		\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}
		
		\renewcommand{\thepart}{ ~}
		\renewcommand{\thechapter}{\color{Green}\arabic{chapter}. ~ ~ ~}
		\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
		\renewcommand{\thesubsection}{\color{blue}\arabic{subsection}}
		\renewcommand{\thesubsubsection}{}
		
		\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}
		
		\newenvironment{sujet}{}{}
		
		%environnement bareme
		\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}
		
		%environnement détais du barème
		\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement notabene
		\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement exemples
		\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}
		
		%environnement remarques
		\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}
		
		\newenvironment{lecon}{\color{CadetBlue}}{}
		
		
		%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
		\newsavebox{\selvestebox}
		\newenvironment{colbox}[1]
		{\newcommand\colboxcolor{#1}%
			\begin{lrbox}{\selvestebox}%
				\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
				{\end{minipage}\end{lrbox}%
			\begin{center}
				\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
		\end{center}}
		
		%environnement exercice
		\newcounter{Exercice}
		\setcounter{Exercice}{1}
		\newcounter{Exercicecorrection}
		%\newenvironment{exercice}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}%Pour numéroter comme exercices
		\newenvironment{exercice}{{\noindent\color{Black}\colorbox{violet}{\color{white}Exercice \theExercice.}} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}%Pour numéroter indépendamment exercicecorrection
		
		%environnement exercicecorrection
		%\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}%Pour numéroter comme exercices
		
		\setcounter{Exercicecorrection}{1}\newenvironment{exercicecorrection}{{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection.}  \addtocounter{Exercicecorrection}{1} \footnotesize \color{Brown}}%pour numeroter indépendamment exercicesxorection
		
		%environnement definition
		\newcounter{Definition}
		\setcounter{Definition}{1}
		\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}
		
		\newcounter{Theoreme}
		\setcounter{Theoreme}{1}
		\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.} \addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement proposition
		\newcounter{Proposition}
		\setcounter{Proposition}{1}
		\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement démonstration
		\newcounter{Demonstration}
		\setcounter{Demonstration}{1}
		\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}
		
		%environnement conclusion encadré et coloré
		\newenvironment{conclusion}
		{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
					{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }
		
		%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
		\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}
		
		%########################
		%Test conditionnel pour l'affichage    #
		%########################
		\newif\ifs
		%\strue%affiche la boite à trous
		\sfalse%affiche la réponse
		
		%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
		\newcounter{Trous}
		\setcounter{Trous}{1}
		\newcommand{\trous}[2][3cm]{
			\ifs
			\begin{Form}
				\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
			\end{Form}
			\xspace
			\else
			#2
			\fi
			\addtocounter{Trous}{1}
		}
		
		%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
		\ExplSyntaxOn\makeatletter
		%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
		\AtBeginDocument{
			\cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
			{\set@color}
		}
		\ExplSyntaxOff\makeatother 
		
		%#########################
		%en tête puis pied de page
		%#########################
		
		\pagestyle{empty}
		\pagestyle{fancy} 
		\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
		\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
		\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
		\rhead[]{}
		\lfoot[]{}
		\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
		\rfoot[]{}
		
		%############################
		%les environnements qu'on affiche ou pas  #
		%############################
		
		\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
		
		%Pour abrege
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}
		
		%Pour cours intégrale
		\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}%\exclure{exercicecorrection}
		
		%Pour les exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction} %\exclure{exercicecorrection}
		
		%Pour les correction d'exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé sujet
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé correction
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}
		
		%Pour devoir surveillé intégrale
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}
		
		%###############################
		%#Double numérotation des pages#
		%###############################
		%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
			%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 
			
			\begin{document}
				\small
				
				
\chapter*{Raisonnement par récurrence.}

\section{Logique: propositions, assertions.}

\begin{lecon}	
	Dans l'axiomatique classique, le raisonnement par récurrence est un théorème de logique. Cependant nous l'accepterons comme un axiome, un principe.
	
	Une \emph{\color{purple}proposition}, en mathématique, peut désigner un résultat toujours vrai (comme un théorème) ou une phrase (assertion) qui peut être soit vraie soit fausse. Dans la suite de ce chapitre nous l'utiliserons pour désigner une assertion.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La proposition \og le carré de $-3$ est négatif\fg{} est fausse.		
		\item La proposition $\mathscr{P}$: \og $\sqrt{2}$ est irrationnel \fg{} est vraie.		
		\item La négation de la proposition $\mathscr{P}$: \og $x\geqslant 5$\fg{} est $\overline{\mathscr{P}}$: \og $x< 5$ \fg{}.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	Certaines propositions sont des propriétés universelles, c'est-à-dire des propositions qui dépendent d'un élément $x$ appartenant à un ensemble. Ce sont des phrases qui contiennent le plus souvent les expressions \og quel que soit \fg{} ou \og pour tout \fg{} ou le quantificateur universel $\forall$.
	
	Pour démonter qu'une proposition universelle est fausse il suffit de trouver un contre-exemple.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La proposition $\mathscr{P}(x)$: \og $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est vraie quel que soit $x \in ]0;1[$.		
		\item \og Pour tout $x \in ]0;2[$, on a $\frac{1}{x}> \frac{1}{x^2}$\fg{} est une proposition qui est fausse puisque, par exemple, pour $x=1$, on a $\frac{1}{1}= \frac{1}{1^2}$.		
		\item L'assertion $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est un multiple de $3$.\fg{} est vraie pour tout nombre entier naturel $n$. Cependant la démonstration n'est pour l'instant pas aisée.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	Certaines proposition contiennent des implications (appelées aussi conditions nécessaires) le plus souvent sous la forme \og si ..., alors ... \fg{}.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item \og {\color{Green}Pour tout $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $n$ est impair} {\color{red}alors $n^2$ est impair}. \fg{} est une assertion qui est vraie.
		
		Démontrons-le.
		
		{\color{Green}Soit $n \in \mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $n$ est impair} et démontrons qu'alors forcément $n^2$ est aussi impair.
		
		Puisque $n$ est impair il peut s'écrire $n=2k+1$ où $k$ est un certain entier.
		
		Donc: $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2 \times 2k^2 + 2 \times 2k+1 = 2 \times (2k^2+2k)+1$. Ainsi $n^2$ est de la forme $2p+1$ où $p$ est un nombre entier. Autrement dit {\color{red}$n^2$ est impair}.
		
		Concluons: nous avons démontré que, quel que soit l'entier $n$, si $n$ est impair, alors, nécessairement, $n^2$ est aussi impair.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\section{Le théorème du raisonnement par récurrence.}

\begin{lecon}	
	Le raisonnement par récurrence est un procédé qui permet de démontrer des propriétés universelles, $\mathscr{P}(n)$, qui dépendent d'entiers naturels $n$.
	
	La montée de l'échelle. Si j'affirme: \og si on met un pied sur un barreau de l'échelle, alors on met, obligatoirement, l'autre pied sur le barreau supérieur \fg{} alors, pour peu que l'on mette un pied sur le barreau d'en bas il faudra grimper toute l'échelle.	
\end{lecon}

\begin{theoreme}
	Soit $\mathscr{P}(n)$ une proposition dépendant d'un entier naturel $n$. Si les deux assertions suivantes sont vraies	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{magenta}$\mathscr{P}(0)$ est vraie},		
		\item {\color{Green}quel que soit $n \in \mathbb{N}$}, {\color{blue}si $\mathscr{P}(n)$ est vraie} {\color{red}alors, forcément, $\mathscr{P}(n+1)$ est aussi vraie},		
	\end{enumerate}	
	alors les assertions $\mathscr{P}(n)$ sont vraies pour tous les entiers naturels $n$.	
\end{theoreme}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'assertion (i) est appelée \emph{\color{purple}l'initialisation}.		
		\item L'assertion (ii) est appelée \emph{\color{purple}l'hérédité}.		
		\item L'initialisation commence avec $n=0$ mais, comme pour les suites, il possible de commencer avec un autre rang.		
		\item Ce théorème, comme le théorème de Pythagore, est une implication. Pour le théorème de Pythagore il faut d'abord vérifier que $ABC$ est rectangle en $A$ pour pouvoir affirmer que l'égalité $BA^2+AC^2=BC^2$. De même pour utiliser le raisonnement par récurrence il faut vérifier que l'initialisation et l'hérédité sont vraies avant de pouvoir affirmer que toutes les assertions sont vraies.		
		\item L'assertion de l'hérédité contient à la fois une propriété universelle et une implication nous adopterons systématiquement la rédaction:
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		...
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}		
		\item Lorsqu'on écrit \og {\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} \fg{} on signifie que l'on admet que $\mathscr{P}(n)$ est vraie. Le fait que \og $\mathscr{P}(n)$ est vraie\fg{} est appelée \emph{\color{purple}l'hypothèse de récurrence.}		
		\item Le raisonnement par récurrence ne permet pas de trouver un nouveau résultat mais il permet de démontrer qu'une conjecture est vraie.		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$.
		
		Démontrons par récurrence que, quel que soit $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 3$.
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons que $u_{k+1}\leqslant u_{k}\leqslant 3$. Démontrons que $u_{k+2}\leqslant u_{k+1} \leqslant 3$.
			
			$f:x \mapsto \frac{1}{4}x+ 2$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est strictement supérieur à $0$ donc $f$ est croissante.
			
			De l'hypothèse de récurrence: $u_{k+1}\leqslant u_k \leqslant 3$ et de la croissance de $f$ nous déduisons: $f(u_{k+1}) \leqslant f(u_k)\leqslant f(3)$.
			
			Autrement dit: $u_{k+2}\leqslant u_{k+1} \leqslant \frac{11}{4}\leqslant 3$.
			\item Montrons que: $u_1\leqslant u_0 \leqslant 3$.
			
			$u0=3$ et $u_1=f(u_0)= f(3)= \frac{11}{4}$ donc $u_1 \leqslant u_0\leqslant 3$.
			\item Nous avons démontré par récurrence que: $\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}\leqslant u_n \leqslant 3$.
		\end{enumerate}
		\item {\color{orange}Démontrer une propriété.}
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $4^n-1$ est divisible par trois \fg{}.
		
		\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}		
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit que $4^0-1$ est divisible par $3$.}
			
			$4^0-1=0$ et $3 \times 0=0$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item {\color{orange}Hérédité.}
			
			{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			{\color{orange}Nous devons donc démontrer que $4^{n+1}-1$ est un multiple de $3$.}			
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n-1)+3
			\end{align*}			
			D'après l'hypothèse de récurrence: $3 | 4^n-1$. 
			
			Autrement dit il est possible d'écrire: $4^n-1=3 \times k$ où $k$ est un nombre entier.
			
			Donc			
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times 3k+3\\
				&= 3(4k+1)
			\end{align*}			
			Autrement dit $4^{n+1}-1$ est divisible par $3$.
			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
			
		\end{enumerate}		
		Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par $3$.			
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange}Démontrer une formule. Ici la somme des entiers naturels jusqu'à $n$.}
		
		Soit $\mathscr{P}(n)$: \og $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$\fg{}.
		
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}		
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $0=\frac{0 \times 1}{2}$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.			
			\begin{align*}
				\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \sum_{k=0}^n k\\
				\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
				\sum_{k=0}^{n+1} k &= n+1 + \frac{n(n+1)}{2}\\
				&= \frac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\
				&= \frac{(2+n)(n+1)}{2}
			\end{align*}			
			Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}			
		\end{enumerate}		
		Nous avons démontré par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
		
		\begin{conclusion}			
			pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.			
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange}Démontrer la formule explicite du terme terme général d'une suite.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=8$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{2}{5}u_n+3$.
		
		Nous souhaitons démontrer que $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right)^n+5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n=3 \left( \frac{2}{5} \right) ^n+5$\fg{}.
		
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
		\end{enumerate}		
		\item {\color{orange}Démontrer qu'une suite définie par récurrence est croissante.}
		
		Étudions la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer un encadrement.}
		
		Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}= 2+ \frac{1}{u_n}$.
		
		Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$: $2 \leqslant u_n \leqslant 3$.
		
		\item {\color{orange}Démontrer une inégalité.}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}(n)$: \og $2n+1 \leqslant 2^n$ \fg{} est vraie.}
		
		\item {\color{orange}De la nécessité de l'initialisation.}
		
		$\mathscr{P}(n)$: \og $4^n+1$ est divisible par $3$\fg{}.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}			
			\item {\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
			
			{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Par hypothèse de récurrence, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $4^n+1=3k$ donc:	
			\begin{align*}
				4^{n+1}-1 &= 4 \times (4^n+1)-4+1\\
				&= 4 \times 3k-3\\
				&= 3(4k-1)
			\end{align*}
			Autrement dit $4^{n+1}+1$ est divisible par $3$.
			\item $4^0+1=1$ et $3 \not| 1$. Donc $\mathscr{P}(0)$ est fausse.
		\end{enumerate}
		Nous remarquons que l'hérédité ne suffit pas à démontrer que toutes les propositions sont vraies.
		
		Nous pourrions même démontrer par l'absurde que $4^n+1$ n'est jamais divisible par $3$.
		\item {\color{purple} Inégalité de Bernoulli}.
		
		Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{B}(n)$: \og $\color{red}\varheartsuit$ {\color{purple}pour tout nombre $x\geqslant 0$, $(1+x)^n \geqslant 1+nx$}.\fg{}
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'une part: $(1+x)^0=1$
			
			d'autre part: $1+0 \times x=1$,
			
			donc: $(1+x)^0 \geqslant 1+ 0 \times x$.
			
			$\mathscr{P}(0)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in\mathbb{N}$.
			
			Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			
			Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			D'après l'hypothèse de récurrence:
			\begin{align*}
				(1+x)^n &\geqslant 1+nx\\
				\intertext{Puisque $(1+x)\geqslant 0$:}
				(1+x)^{n+1} &\geqslant   (1+x)(1+nx)\\
				\intertext{En développant le membre de droite:}
				(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x+nx^2 \quad {\color{blue}(1)}\\
				\intertext{Or, puisque $nx^2\geqslant 0$,}
				1+(n+1)x+nx^2 &\geqslant 1+(n+1)x \quad {\color{blue}(2)}\\
				\intertext{donc, par transitivité entre ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$:} 
				(1+x)^{n+1} &\geqslant 1+(n+1)x
			\end{align*}
			Autrement dit $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
			\item Nous avons démontré par récurrence que
			
			\begin{conclusion}
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}_+,\ (1=x)^n \geqslant 1+nx$.
			\end{conclusion}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}%Les démonstrations par récurrence de l'année 2023 au bac
	\begin{notabene}
		Plein d'inégalité ou d'encadrement utiles pour les suites. Il faut tous les faire ils ont chacun leur spécificité. Formule explicite et encadrements.
	\end{notabene}
	\begin{tasks}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\task Soit $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $p_0=1$ et $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$, quel que soit $n\in\mathbb{N}$. Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $p_n\geqslant 0,8$.
		\task Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}=0,9u_n-0,3$. Démontrez que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=2 \times 0,9^n-3$.
		\task Soient $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $]-1,5,+\infty[$. On note $\alpha\geqslant 0,1$ un point fixe de $f$, autrement dit $f(\alpha)=\alpha$. On pose $u_0=0$ et $u_1=0,1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
		\task On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par $u_1=3$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $u_{n+1}=0,9u_n+1,3$. Démontrez que $u_n=13-\frac{100}{9}\times 0,9^n$.
		\task Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ suite définie par: $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6v_n-1,6v_n^2$. On considère $f:x \mapsto 1,6x-1,6x^2$. Étudiez la monotonie de $f$ sur $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ puis démontrez par récurrence que $0\leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}$.
		\task Soit $(p_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $p_1=1$ $p_{n+1}=0,2p_n+0,6$, quel que soit $n\in\mathbb{N}$. Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $p_n= 0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$.
		\task Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite définie par $v_0=6 \times 10^{21}$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,995v_n+1,5\times 10^{19}$. Démontrez que quel que soit $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant v_{n+1}\leqslant v_n$.
		\task On définie la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left( u_n+\frac{11}{u_n} \right)$. Après voir démontré que $f:x\mapsto \frac{1}{2}\left( x+\frac{11}{x} \right)$ est croissante sur $[\sqrt{11},+\infty[$, démontrez que $u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant \sqrt{11}$ pour tout entier naturel $n$.
		\task On considère la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $a_0=1700$ et $a_{n+1}=0,75a_n+300$. Démontrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n \leqslant 1700$.
		\task On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{6u_n+2}{u_n+5}$. Montrez que la fonction $f:x \mapsto \frac{6x+2}{x+5}$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$. Déduisez-en que pour tout entier naturel $n$, $u_n>2$.
		\task On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=5u_n-4n-3$. Démontrez que $u_n\geqslant n+1$.
		\task On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{-u_n-4}{u_n+3}$. Démontrez que la fonction $f:x \mapsto \frac{-x-4}{x+3}$ est strictement croissante sur $]-3,+\infty[$ puis que pour tout entier naturel $n$, $-2<u_{n+1}\leqslant u_n$.
		\task On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} u_1=\frac{1}{\mathrm{e}} \\ u_{n+1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)u_n,\ \text{ pour tout entier }n\geqslant 1 \end{array} \right.$. Montrez que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\frac{n}{\mathrm{e}^n}$.
		\task On étudie la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}=2u_n(1-u_n)$. Démontrez que la fonction $f:x \mapsto 2x(1-x)$ est strictement croissante sur $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ puis montrez que $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \frac{1}{2}$.
		\task Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=5u_n-8n+6$. Montrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant 2n$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\section{Récurrence double.}

\begin{theoreme}
	Soit $\mathscr{P}(n)$ une proposition dépendant d'un entier naturel $n$. Si les deux assertions suivantes sont vraies	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathscr{P}(0)$ et $\mathscr{P}(1)$ sont vraies,		
		\item quel que soit $n \in \mathbb{N}$, si $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr {P}(n+1)$ sont vraies alors, $\mathscr{P}(n+2)$ est aussi vraie,	
	\end{enumerate}	
	alors les assertions $\mathscr{P}(n)$ sont vraies pour tous les entiers naturels $n$.	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat permet de démontrer des résultats portants sur des suites définies par des récurrences d'ordre deux, c'est-à-dire liant $u_n$, $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$.
		\item Ce résultat est aussi utilisé pour des suites dont les termes d'ordres pairs et impairs sont différents.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 32 ex 35
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par $u_1=u_2=1$ et $u_{n+2}=-3u_{n+1}-2u_n$. Démontrez que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $u_n=(-2)^n-3\times(-1)^n$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 32 ex 36 
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=u_1=4$ et $u_{n+2}=\frac{5}{2}u_{n+1}-\frac{3}{2}u_n$. Conjecturez l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrez-la.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/travaux_libres/0ieme_travail_libre_01_suite_de_fibonacci.pdf}{travail libre 1 sur la suite de Fibonacci.}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Montrez que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{3}$, $u_1=3$ et, pour tout $n\geqslant 0$, $u_{n+1}= \frac{u_n-1}{u_n}$ est bien définie et périodique.
\end{exercice}

\section{Récurrence forte.}

\begin{theoreme}
	Soit $\mathscr{P}(n)$ une proposition dépendant d'un entier naturel $n$. Si les deux assertions suivantes sont vraies	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathscr{P}(0)$ est vraie,		
		\item quel que soit $n \in \mathbb{N}$, si pour tout $k \in \llbracket 0,n\rrbracket$, $\mathscr{P}(k)$ est vrai alors, $\mathscr{P}(n+1)$ est aussi vraie,
	\end{enumerate}	
	alors les assertions $\mathscr{P}(n)$ sont vraies pour tous les entiers naturels $n$.
\end{theoreme}

\begin{exercice}
	Soit $u:\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_{n+1}=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^n u_k \end{array} \right.$. Démontrez que: $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=3n$.
\end{exercice}

\section{Exercices.}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 31 ex 25 et 26 Arithmétique divisibilité.
	Montrer que les propositions suivantes sont vraies pour tout entier naturel $n$.
	\begin{tasks}(2)
		\task $2^{n+4}+3^{3n+2}$ est divisible par $5$.
		\task $3^{6n+2}-2$ est divisible par $7$.		
		\task $n^3-n$ est divisible par $3$.		
		\task $4^n-1-3n$ est divisible par $9$.		
		\task $7 \times 3^{5n}+4$ est divisible par $11$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 31 ex 30 Formule explicite suite arithmético-géométrique..
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=\frac{2}{5} u_n +3$. Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: $u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 31 ex 31 Formule explicite.
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_1=5$ et, pour $n \geqslant 2$: $u_n=2u_{n-1}-n$. Démontrez, pour tout entier naturel non nul $n$, que: $u_n =2(2^{n-1}+1 ) +n$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 32 ex 32 Formule explicite.
	Soit $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=3u_{n}+n+1$. Démontrez, pour tout entier naturel $n$, que: $u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 33 ex 33 Formule explicite vrai ou fusse.
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $u_0=\frac{1}{4} \ \text{et} \ u_{n+1}=5u_n-1$. Calculez les trois premiers termes de la suite $(u_n)$. Conjecturez son expression explicite. Démontrez la.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 33 ex 38 définition factorielle
	On définit par récurrence la \emph{\color{purple}factorielle} d'un entier naturel $n$ et que l'on note $n!$ de la façon suivante: $0!=1$ et $(n+1)!= n! \times (n+1)$. Démontrez que pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $1$, $n!=1 \times \dots \times n$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=-2$ est croissante.
\end{exercice}

\begin{exercice}%Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.	
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=2020$ est décroissante.
\end{exercice}

\begin{exercice}%Démontrer par récurrence la monotonie d'une suite.
	Montrez par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=\dfrac{2}{3-u_n}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=1,8$ est bornée par $1$ et $2$ et décroissante.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 31 ex 28 Divisibilité. Nécessité initialisation. Raisonnement par l'absurde.
	On considère la proposition suivante: $\mathscr{P}(n)$: \og $9$ divise $10^n+1$ \fg{}.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez, pour tout $n \in \mathbb{N}$, que: si $\mathscr{P}(n)$ est vraie, alors $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		\item Qu'en est-il de $\mathscr{P}(0)$, $\mathscr{P}(1)$, $\mathscr{P}(2)$ et $\mathscr{P}(3)$? Que semble-t-il légitime de conjecturer?
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $9$ divise $10^n-1$.
		\item Déduisez-en à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la proposition $\mathscr{P}(n)$ est fausse.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 31 ex 24 Formule sommatoires.
	Montrez que: $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et $\displaystyle \sum_{i=0}^n i^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 32 ex 41 Conjecturer et démontrer formule sommatoires.
	On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $t_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=t_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$. La proposition: \og pour tout entier naturel $n$, $t_n=\frac{n}{n+1}$\fg{} est-elle vraie ou fausse?
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère 2012 terminale page 33 ex 42 Démontrer que  si $f$ est stable alors la suite induite par récurrence l'est aussi.
	Soit $I$ un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $I$. Montrez que, si la fonction $f$ vérifie la propriété: $\mathscr{P}$: \og pour tout $x \in I,\ f(x) \in I$\fg{}, alors on peut définir sur $\mathbb{N}$ la suite numérique $(u_n)$ de la façon suivante: $\left\{ \begin{array}{l} u_0 \in I \\ u_{n+1}=f(u_n)\text{, pour tout } n \in \mathbb{N}. \end{array} \right.$ De plus, la suite numérique $(u_n)$ vérifie la propriété: \og Pour tout $n\in \mathbb{N},\ u_n \in I$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%Démontrer un résultat général: si $f$ croissante et $u_0<u_1$ alors croissante.
	Soient $f:I \rightarrow I$ une fonction une fonction croissante, $u_0 \in I$ et $(u_n)$ la suite définie par pour tout $n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrez que, si $u_0\geqslant u_1$, alors $(u_n)$ est décroissante.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $S_n=\sum_{k=0}^n k$. Considérons la propriété $\mathscr{P}(n)$: $S_n=\frac{1}{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^2$. Démontrez que cette propriété est héréditaire mais qu'elle n'est pas vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite définie par: $u_n=\frac{n^3-n}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez les cinq premiers termes de la suite.
		\item Donnez l'expression de $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		\item Montrez que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $u_n$ est un entier.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Spe_annee_2024_DV_FH3.pdf} Bac 2024 centre étranger sujet 1 5/06/2024	
	\emph{Bac 2024.} On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1]$ par 
	$f(x) = 2x e^{-x}$. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Résoudre sur l’intervalle $[0 ; 1]$ l’équation $f(x)=x$.
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item \emph{Nécessite la fonction logarithme népérien.} Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 1]$, $f'(x) = 2(1 -x) e^{-x}$.
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f (u_n)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0\leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$.
			\item En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante et bornée.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Spe_annee_2024_DV_FH3.pdf} Bac 2024 amérique du nord sujet 2 22/05/2024
	\emph{BAC 2024.} On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1]$ par $g(x)= 2x-x^2$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0 ; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
	\end{enumerate}	
	On considère la suite $(u_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{ccl} u_0 &=& \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} &=& g(u_n) \end{array} \right.$ pour tout entier naturel $n$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.		
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $0<u_n < u_{n+1} < 1$.		
		\item En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et bornée.		 
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

%\begin{exercice}%Baccalauréat S Métropole 12 septembre 2013 Exercice 4
%\end{exercice}

\section{Corrections.}

\begin{exercicecorrection}%Les démonstrations par récurrence de l'année 2023 au bac
	\begin{tasks}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\task $u_0=1\geqslant 0,8$. $f:x\mapsto 0,5x+0,4$ est une fonction affine croissante donc, si $p_n\geqslant0,8$ alors $f(p_n)\geqslant f(0,8)=0,5 \times 0,8+0,4=0,8$.
		\task $2 \times 0,9^{0}-3=-1=u_0$. $f:x \mapsto 0,9x-0,3$. Si $u_n=2 \times 0,9^n-3$ alors $f(u_n)=f(2 \times 0,9^n-3)=0,9 \times(2 \times 0,9^n-3)-0,3=2 \times 0,9^{n+1}-3$.
		\task $f$ est croissante donc si $u_n \leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha$ alors $f(u_n) \leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(\alpha)=\alpha$.
		\task $13-\frac{100}{9} \times 0,9^1=3=u_1$. Notons $f:x\mapsto 0,9x+1,3$. Si $u_n=13-\frac{100}{9}\times 0,9^n$ alors $f(u_n)=f\left(13-\frac{100}{9}\times 0,9^n\right)=13-\frac{100}{9}\times 0,9^{n+1}$.
		\task $v_0=0,1$ et $v_1=0,16-0,016=0,094$ donc $0\leqslant v_0\leqslant v_1 \leqslant \frac{1}{2}$. $f(x)=1,6x-1,6x^2=-1,6\left( x^2-x+\frac{1}{4} \right)+\frac{1,6}{4}=-1,6\left( x-\frac{1}{2} \right) +\frac{1,6}{4}$ donc $f$ est strictement croissante sur $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$. Si  $0\leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}$ alors par croissance de $f$: $f(0)\leqslant f(v_n) \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f\left( \frac{1}{2} \right)$. On peut conclure avec $f(0)=0$ et $f\left( \frac{1}{2} \right)=0,4\leqslant \frac{1}{2}$.
		\task $0,75+0,25\times 0,2^{1-1}=1=p_1=$. $f:x \mapsto 0,2x+0,6$ . Si $p_{n+1}=f(p_n)= f(0,75+0,25\times 0,2^{n-1})=0,2 \times (0,75+0,25\times 0,2^{n-1})+0,6$.
		\task $v_0=6 \times 10^{21}$ et $v_1=0,995 \times (6 \times 10^{21})+1,5 \times 10^{19}=5,985\times 10^{21}$ donc $0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n}$. $f:x\mapsto 0,996x+1,5\times 10^{19}$ est une fonction affine strictement croissante donc, si $0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n$, alors $f(0) \leqslant f( v_{n+1}) \leqslant f(v_n)$.
		\task $u_0=5$ et $u_1= \frac{1}{2}\left(5+\frac{11}{5} \right)=\frac{18}{5}$ donc $u_0\geqslant u_1 \geqslant\sqrt{11}$ car $3 \leqslant \sqrt{11}\leqslant \frac{7}{2}$. $f(x)= \frac{1}{2}\left( x+\frac{11}{x} \right)$ est croissante sur $[\sqrt{11},+\infty[$ par étude de la dérivée. Si $u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant 0$ alors $f(u_n)\geqslant f(u_{n+1} )\geqslant f(\sqrt{11})=\frac{1}{2}\frac{22}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}$.
		\task $a_0=1700$ et $a_1=1575$ donc $1200\leqslant a_{1}\leqslant a_0 \leqslant 1700$. $f:x \mapsto 0,75x+300$ est une fonction affine strictement croissant donc si $1200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n \leqslant 1700$ alors $f(1200)\leqslant f(a_{n+1})\leqslant f(a_n) \leqslant f(1700)$ et on conclue avec $f(1200)=1200$ et $f(1700)=1575$.
		\task $u_0=8>2$. $f:x \mapsto \frac{6x+2}{x+5}$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ par étude du signe de la dérivée.  Si $u_n>2$ alors $f(u_n)>f(2)=2$.
		\task $u_0=3\geqslant 0+1$. Si $u_n\geqslant n=1+1$ alors $5u_n\geqslant 5(n+1)$, $5u_n-4n-3 \geqslant 5n+5-4n+3=n+1$.
		\task $u_0=0$ et $u_1=\frac{-0-4}{0+3}=-\frac{4}{3}$ pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{-u_n-4}{u_n+3}$. $f:x \mapsto \frac{-x-4}{x+3}$ est strictement croissante sur $]-3,+\infty[$ par étude du signe de la dérivée. Si $-2<u_{n+1}\leqslant u_n$.
		\task $\frac{1}{\mathrm{e}^1}=u_1$ Si $u_n=\frac{n}{\mathrm{e}^n}$ alors  $\frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)u_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)\frac{n}{\mathrm{e}^n}=\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}$. 
		\task $f:x \mapsto 2x(1-x)$ est strictement croissante sur $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ du fait de la forme canonique du trinôme. $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$. Si $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \frac{1}{2}$ alors $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f\left( \frac{1}{2} \right)$ et $f(0)=0$ et $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$.
		\task $u_0=0\geqslant 2 \times0$. Si $u_n\geqslant 2n$ alors $5u_n\geqslant 10n$ puis $5u_n-8n+6\geqslant 10n-8n+6\geqslant 2n+2$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_1=(-2)^1-3 \times(-1^n)=1$ et $u_2=(-2)^2-3 \times (-1)^2=1$.
	
	Supposons $u_n=(-2)^n-3\times(-1)^n$ et $u_{n+1}=(-2)^{n+1}-3\times(-1)^{n+1}$. $u_{n+2}=-3((-2)^{n+1}-3\times(-1)^{n+1})-2((-2)^{n}-3\times(-1)^{n})=(-2)^{n+2}-3\times(-1)^{n+2}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_2=\frac{5}{2}\times 4-\frac{3}{2}\times 4=4$. La suite semble constante égale à $4$. $u_{n+2}=\frac{5}{2}4-\frac{3}{2}4=4$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	\href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/travaux_libres/0ieme_travail_libre_01_suite_de_fibonacci_correction.pdf}{Des éléments de correction}.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_0>0$ et $u_1>0$. Si $u_{n-1}>0$ et $u_n>0$ alors $u_{n+1}=\frac{u_{n-1}}{u_n}>0$. La suite est bien définie.	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	$u_1=3\times 1$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Supposons que $\forall k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ u_{k}=3k$. $u_{n+1}=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^n u_k=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^n 3 k=\frac{6}{n}\times \frac{n(n+1)}{2}=3(n+1)$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{align*}
			2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2^{n+5}+3^{3n+5}\\
			&= 2 \times 2^{n+4}+3^{3n+5}\\
			\intertext{Astuce:}
			2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2} &= 2 \times2^{n+4} {\color{orange}+2 \times 3^{3n+2}} {\color{blue}-2 \times 3^{3n+2}} + 3^{3n+5}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) -2 \times 3^{3n+2} + 3^3 \times 3^{3n+2}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +\left( -2 + 3^3 \right) \times 3^{3n+2}\\
			&= 2 \left( 2^{n+4} 3^{3n+2} \right) +25\times 3^{3n+2}
		\end{align*}		
		$25$ est divisible par $5$ et, d'après l'hypothèse de récurrence $2^{n+4} 3^{3n+2}$ est divisible par $5$ donc $2^{(n+1)+4}+3^{3(n+1)+2}$ est divisible par $5$.		
		\item 		
		\begin{align*}
			3^{6(n+1)+2} -2 &= 3^6 \times 3^{6n+2} -2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+3^6\times 2-2\\
			&= 3^6 \times (3^{6n+1}-2)+7 \times 208
		\end{align*}		
		\item Version brève: $(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs et l'un de ces facteurs est forcément multiple de $3$.		
		\begin{align*}
			(n+1)^3-(n+1) &= n^3+3n^2+3n+1-n-1\\
			&= n^3-n +3(n^2-n)
		\end{align*}		
		Or $3(n^2-n)$ est divisible par $3$ et, d'après l'hypothèse de récurrence, $n^3-n$ est divisible par $3$ donc $(n+1)^3-(n+1)$ est divisible par $3$.		
		\item 		
		\begin{align*}
			4^{n+1}-1-3(n+1) &= 4 \times 4^n -1 -3(n+1)\\
			&= 4 \times (4^n-1-3n)+4+12n-1-3(n+1)\\
			&= 4 \times (4^n-1-3n) + 9n
		\end{align*}		
		\item 		
		\begin{align*}
			7 \times 3^{5(n+1)}+4 &= 7 \times 3^5 \times 3^{5n}+4\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -3^5 \times 4+4\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -968\\
			&= 3^5 \times (7 \times 3^{5n}+4) -88 \times 11
		\end{align*}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$: \[ u_{n+1}=\frac{2}{5} {\color{WildStrawberry}u_n} +3 \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 	
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= \frac{2}{5} \left[  {\color{WildStrawberry}5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^n \right)} \right] +3
		\intertext{\color{orange}À ce stade nous avons obtenu une formule explicite de $u_{n+1}$. Mais la présentation n'est pas tout à fait celle désirée. Modifions-la.}
		u_{n+1} &= 2 -5 \times \frac{2}{5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^n +3\\
		&= 5-5 \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \times 1-{\color{green}5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1}\\
		&= {\color{green}5} \left( 1- \left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)
	\end{align*}	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercicecorrection}	
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: \[ u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n} -(n+1) \quad {\color{blue}(1)}. \]
	
	{\color{orange}Cette formule de récurrence a été obtenue en remplaçant $n$ pa $n+1$ dans la formule de l'énoncé: pas de difficulté puisque cette formule est vraie pour tout $n\geqslant 1$.}
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: \[ u_n= {\color{WildStrawberry}2 \left( 2^{n-1}+1 \right) +n}, \] donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 2 \left[ {\color{WildStrawberry}\left( 2^{n-1}+1 \right) +n} \right] -(n+1)\\
		&= 2 \times 2 \times 2^{n-1} +4+2n-n-1\\
		&= {\color{green}2} \times 2^n+{\color{green}2}+n\\
		&= {\color{green}2}(2^n+1)+n
	\end{align*}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	Par définition de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$: $u_{n+1}= 2 {\color{WildStrawberry}u_n}+n+1 \quad {\color{blue}(1)}$.
	
	Or, d'après l'hypothèse de récurrence: $u_n= {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}}$, donc, en remplaçant $u_n$ dans l'égalité $\color{blue}(1)$ on obtient: 
	\begin{align*}
		u_{n+1} &= 3\left[ {\color{WildStrawberry}\frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}} \right] +n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}{\color{green}-\frac{9}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1} {\color{green}-\frac{3}{4}-\frac{6}{4}} -\frac{3n}{2}+n+1\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4} -\frac{3}{2} -\frac{3n}{2}+\frac{2n}{2}+\frac{2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-3-3n+2n+2}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{-n-1}{2}\\
		&= \frac{11}{4} \times 3^{n+1}-\frac{3}{4}-\frac{n+1}{2}
	\end{align*}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $u_0=u_1= u_2= \frac{1}{4}$.
		\item $(u_n)$ semble être constante égale à $\frac{1}{4}$.
		\item Démonstration par récurrence. $u_{n+1} = 5u_n-1$. D'après l'hypothèse de récurrence: $u_{n+1} =5 \times \frac{1}{4}-1= \frac{1}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$1!=1$. $(n+1)!=n! \times (n+1)=1 \times \dots \times n \times(n+1)=1 \times \dots \times (n+1)$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_0=-2\leqslant u_1=\frac{1}{2}\times(-2)+1=0$. Si $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ alors, $x\mapsto \frac{1}{2}x+1$ étant croissante, $\frac{1}{2}u_{n}+1\leqslant \frac{1}{2}u_{n+1}+1$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_0=2020\geqslant \sqrt{45^2}=2025\geqslant \sqrt{2020}=u_1$. Si $u_n\geqslant u_{n+1}$ alors, $x \mapsto \sqrt{x}$ étant décroissante sur $\mathbb{R}_+$, $\sqrt{u_n}\geqslant \sqrt{u_{n+1}}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$u_1=\frac{2}{3-1,8}=\frac{5}{3}$ donc $1 \leqslant u_1\leqslant u_0$. Si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n \leqslant 2$ alors, $x \mapsto \frac{2}{3-x}$ étant croissante sur $]-\infty,3[$, $\frac{2}{3-1} \leqslant \frac{2}{3-u_n+1}\leqslant \frac{2}{3-u_n}\leqslant \frac{2}{3-2}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $10^{n+1}+1 = 10 \times (10^n+1)-10+1 = 10 \times (10^n+1)-9$.
		\item $10^0+1 = 2$, $10^1+1 = 11$, $10^2+1 = 101$ et $10^3+1 = 1001$.
		\item $10^{n+1}-1 = 10 (10^n-1)+10-1= 10(10^n-1)+9$.
		\item Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\mathscr{P}(n)$ est fausse.}
		
		Supposons que $10^n+1$ est divisible par $9$. Donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n+1=9k$.
		
		D'autre part, d'après les questions précédentes $10^n-1$ es divisible par $9$ donc il existe $p\in\mathbb{Z}$ tel que $10^n-1=9p$.
		
		On en déduit successivement:
		\begin{align*}
			10^n+1-(10^n-1) &= 9k-9p\\
			2 &= 9(k-p)
		\end{align*}
		
		Donc $2$ est divisible par $9$ ce qui est absurde car: $0<2<9$.
		
		\begin{conclusion}
			Nous avons démontré par l'absurde que $10^+1$ n'est pas divisible par $9$, et ce, quel que soit $n \in \mathbb{N}$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Quelques éléments pour l'hérédité.
		
		{\color{orange}$\mathscr{P}(n+1)$ est une égalité, donc de la forme $A=B$. Pour la démontrer nous transformer l'écriture de $A$ et de $B$ en montrant $A=C$ et $B=C$ pour conclure $A=B$.}
		
		D'une part: $\sum_{i=0}^{n+1} i^2 =(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2 =(n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{6(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{6 ( n^2+2n+1) +(n^2+n)(2n+1)}{6} = \frac{6n^2+12n+6+2n^3+n^2+2n^2+n}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$,
		
		d'autre part: $\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$,
		
		donc, par transitivité, $(n+1)^2+ \sum_{i=0}^n i^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$.
		
		Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		\item {\color{orange}Pour démontrer l'hérédité il faut établir une égalité $A=B$. Nous allons partir de $B$ et en développant astucieusement faire apparaître $A$.}
		
		$\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 = \left[ \frac{(n+1)({\color{blue}n}+{\color{Green}2})}{2} \right]^2 = \left[ \frac{(n+1){\color{blue}n}+ (n+1){\color{Green}2}}{2} \right]^2 = \left[ \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1) \right]^2$.
		
		En développant avec une identité remarquable: $\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 = {\color{orange}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2} + n(n+1)(n+1)+ (n+1)^2$.
		
		D'après l'hypothèse de récurrence: $\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 = n{\color{blue}(n+1)^2} + 1 \times {\color{blue}(n+1)^2}+{\color{orange}\sum_{i=0}^n i^3}$.
		
		En factorisant: $\left[ \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \right]^2 = (n+1){\color{blue}(n+1)^2}+\sum_{i=0}^n i^3 = (n+1)^3+\sum_{i=0}^n i^3 = \sum_{i=0}^{n+1}i^3$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	$t_0=\frac{0}{0+1}$. Si $t_n=\frac{n}{n+1}$ alors $t_{n+1}=t_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+1)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n \in I$ et donc $f(u_n)$ existe.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	On démontre par récurrence que $u_n\geqslant u_{n+1}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	D'une part $S_n+n+1=\frac{1}{2} \left( n+\frac{1}{2}\right)^2+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{8}+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{9}{8}=\frac{1}{2}\left( n^2+3n+\frac{9}{4}\right)=\frac{1}{2}\left( n+\frac{3}{2}\right)^2=S_{n+1}$.
	
	$S_0\ne \frac{1}{2}\left( 0+\frac{1}{2} \right)^2$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $u_0=0$, $u_1=0$, $u_2=2$, $u_3=8$, $u_4=20$.
		\item $u_{n+1}-u_n=n+1$.
		\item $u_{n+1}-u_n=n+1>0$ donc suite strictement croissante.
		\item Voir ci-dessus.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}%\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Spe_annee_2024_DV_FH3.pdf} Bac 2024 centre étranger sujet 1 5/06/2024	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item $2x \mathrm{e}^{-x}=x\Leftrightarrow x(2\mathrm{e}^{-x}-1)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=\ln(2)$.
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f=uv$ avec $u(x)=2x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$.
			\item $\mathrm{e}^{-x}>0$ et $1-x >0 \Leftrightarrow x<1$ donc
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$ ,$1$}
				\tkzTabLine{,+,z}%
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\mathrm{e}^{-1}$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $u_1=2 \times 0,1 \mathrm{e}^{-0,1}=\frac{2}{\mathrm{e}^{0,1}}\times 0,1>1=u_0$. Si $0\leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$ alors $f(0)\leqslant f(u_n) < f(u_{n+1}) \leqslant f(1)$ car $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ et on conclue avec $f(0)=0$ et $f(1)=\mathrm{e}^{-1}\leqslant 1$.
			\item Immédiat.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $g(x)=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1$ donc $g$ est strictement croissante sur $[0 ; 1]$. $g(0)=0$ et de $g(1)=1$.
		\item $u_1=\frac{3}{4}$ et $u_2=\frac{3}{2}-\frac{9}{16}=\frac{15}{16}$.
		\item $0<u_0<u_1<1$. Si $0<u_n < u_{n+1} < 1$, $g$ étant strictement croissante sur $[0;1]$, alors $f(0)<f(u_n)< f(u_{n+1}) < f(1)$.
		\item Immédiat.		 
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\end{document}