%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Orthogonalité de droites et de plans.}

\subsubsection{Orthogonalité de deux droites.}

\begin{definition}	
	Deux droites sont dites orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Sur le pavé droit $ABCDEFGH$, les droites $(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales car $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC}=0$.%Exemples sur un cube.
		\item Sur le pavé droit $ABCDEFGH$, les droites $(AE)$ et $(AB)$ sont orthogonales car $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB}=0$. Elles sont même perpendiculaires puisqu'elles sont sécantes en $A$.%Exemples sur un cube.
		\item Sur le pavé droit $ABCDEFGH$, les droites $(AE)$ et $(AF)$ ne sont orthogonales car $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}\ne 0$.%Exemples sur un cube.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Rappelons que des vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
		\item Des droites peuvent être orthogonales sans être sécantes. Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Dans ce cas on dit qu'elles sont non coplanaires.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Deux droites sont orthogonales si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est orthogonal à tout vecteur directeur de l'autre.
		\item Deux droites sont orthogonales si et seulement si il existe une troisième droite qui soit parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.		
		\item Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
		\item Si deux droites sont orthogonales alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
		\item Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ces résultats n'ont pas besoin d'être appris. Avec un peu de bon sens on peut les retrouver. Nous les utiliserons assez peu et leur préférerons la définition.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Dans le repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on donne $A(1;0;2)$, $B(3,-3,3)$ et $C(-2,2,14)$. Démontrez que $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Il faut penser en plus de l'orthogonalité à vérifier l'intersection.	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan.}

\begin{definition}	
	\emph{\color{purple}Une droite est dite orthogonale a un plan} si un vecteur directeur de la droite est orthogonal aux deux vecteurs d'une base du plan.	
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si nous serons parfois amenés à démontrer une orthogonalité entre un plan et une droite en utilisant cette définition, nous lui préférerons la démonstration utilisant le vecteur normal (confer infra).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Dans le repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on donne $A(2,-3,4)$, $B(1,2,-11)$, $C(-4,5,-9)$, $D(-8,3,4)$ et $E(-3,10,6)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.		
		\item Démontrez que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont orthogonales.		
		\item Démontrez que la droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si tout vecteur directeur de la droite est orthogonal à tout vecteur de la direction du plan.
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.		
		\item Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.		
		\item Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
		\item Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
		\item Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont parallèles entre eux.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\subsubsection{Vecteur normal à un plan.}

\begin{definition}	
	Nous dirons qu'un vecteur non nul $\vec{n}$ est \emph{\color{purple}normal à un plan} $\mathscr{P}$ s'il existe une base $\left( \vec{i}, \vec{j} \right)$ de $\mathscr{P}$ dont les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux à $\vec{n}$.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Tout plan admet un vecteur normal. Si c'est intuitif, la justification apparaîtra clairement avec les équations cartésienne du plan. Vous pouvez également consulter la leçon sur le produit vectoriel de l'espace qui permet de construire un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires.
		\item Un vecteur non nul est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à tout vecteur de la direction de ce plan.	
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	L'espace étant muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(2,-3,5)$, $B(1,0,7)$ et $C(-4,1,3)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.		
		\item Démontrez que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $\mathscr{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ (autrement dit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment une base de $\mathscr{P}$). Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathscr{P}$. 
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$. Supposons par exemple $x=1$. $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}=0$ donc $1 \times 1+ 1 \times y+2 \times z=0$ et $-1 \times 1 + 2 \times y + -3 \times z=0$. Donc $\left\{ \begin{array}{l} y+z=-1 \\ 2y-3z=1 \end{array} \right.$. $z=-\frac{3}{5}$ et $y=-\frac{4}{5}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	Étant donné un vecteur non nul $\vec{n}$ et un point $A$, il existe un unique plan normal à $\vec{n}$ et passant par $A$.	
\end{proposition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ainsi pour définir un plan il n'est pas nécessaire de donner un point et une base: il suffit de donner un point et un vecteur normal.		
		\item Une façon de voir que nous utiliserons plus tard pour l'équation cartésienne: le plan est formée de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal à ce plan.		
		\item Un droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à vecteur normal à ce plan.		
		\item Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à l'un est colinéaire à un vecteur normal de l'autre.		
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La première assertion sera très utilisée. Pour montrer une orthogonalité entre un plan et une droite nous nous contenterons de montrer la colinéarité d'un vecteur directeur et d'un vecteur normal.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Équations cartésiennes d'un plan.}

\begin{proposition}
	Si $\mathscr{P}$ est un plan de l'espace alors il existe $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ avec $(a,b,c) \ne (0,0,0)$ tel que $\mathscr{P}$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant $ax+by+cz+d=0$.
	
	Réciproquement toute équation de cette forme décrit un plan.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'équation $ax+by+cz+d=0$ est appelée \emph{\color{purple}une équation cartésienne} du plan.
		\item Il n'y a pas unicité de l'équation cartésienne d'un plan. Si $ax+by+cz+d=0$ est une équation d'un plan alors $(ma)x+(mb)y+(mc)z+(md)=0$ en est aussi une. {\color{orange}Les coefficients des diverses équations cartésiennes d'un même plan sont proportionnels les uns aux autres.}
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soi t $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ avec $(a,b,c) \ne (0,0,0)$. Si $\mathscr{P}$ est le plan correspondant à l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ alors $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}$.
\end{proposition}

\begin{exercice}
	Vérifiez que $3x-2y+z=2$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ où $A(1;1;1)$, $B(-1;-1;3)$ et $C(2;1;-2)$.
\end{exercice}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat est très important dans la pratique: il permet, facilement, de passer d'un point et d'un vecteur normal à une équation cartésienne et réciproquement.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points: $A(4~;~0~;~0)$, $B(0~;~2~;~0)$ et $C(0~;~0~;~2)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.		
		\item Déduisez-en une équation cartésienne de $(ABC)$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est $2x+y-3z+14=0$.	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	Nous appellerons \emph{\color{purple}plan médiateur d'un segment} le (seul) plan orthogonal au segment et contenant son milieu. C'est en somme l'équivalent d'une médiatrice mais dans l'espace
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Soit $A(-1,2,5)$ un point de l'espace rapporté à un repère et $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.		
		\item Soit $B(3,8,7)$. Déterminez une équation du plan médiateur $\mathscr{P}'$ du segment $[AB]$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(1,0,3)$, $B(2,2,7)$ et $C(-1,5,4)$ trois points de l'espace rapporté à un repère et $\mathscr{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x+y-z+1=0$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
		\item Démontrez que $\mathscr{P}$ est le plan $(ABC)$.		
		\item Déduisez-en un vecteur normal au plan $(ABC)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}$.
		
		$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=1 \times 5- 2 \times (-2)=9 \ne 0$.
		
		Donc vecteurs non nuls et non colinéaires $A$, $B$ et $C$définissent bien un plan.		
		\item $2x_A+y_A-z_A+1=2 \times 1 + 0 -3+1=0$ donc $A \in \mathscr{P}$. De même pour $B$ et $C$.	
		\item $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans l'espace rapporté à un repère, notons $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-7z-14=0$ et $\mathscr{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=-11+3t \\ z= 19-5t \end{array} \right.\ t \in \mathbb{R}$.
	
	Déterminez l'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$.	
\end{exercice}

\subsubsection{Orthogonalité de  deux plans.}

\begin{definition}
	Soient $\mathscr{P}_1$ un plan de l'espace dont $\overrightarrow{n}_1$ est un vecteur normal, $\mathscr{P}_2$ un plan de l'espace dont $\overrightarrow{n}_2$ est un vecteur normal. $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} si et seulement si $\overrightarrow{n}_1$ et $\overrightarrow{n}_2$ sont orthogonaux.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Nous aurions pu choisir une définition affine de l'orthogonalité: deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont dits orthogonaux (ou perpendiculaires) si et seulement si l'un contient une droite qui est perpendiculaire à une droite de l'autre. Cependant cette définition met en jeux des existence qui sont difficiles à montrer contrairement à l'orthogonalité.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Démontrez que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $2x+3y+z=0$ et $-x+2y-4z=0$ sont orthogonaux.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On donne les points suivants $A(-2,1,3)$ et $B(1,-2,2)$ et $C(4,1,-1)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un seul plan $\mathscr{P}$.
		\item Déterminez une équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}'$ orthogonal à $\mathscr{P}$ passant par le point $A$.		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		\item Il faut trouver un vecteur normal à $\mathscr{P}$. 
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} 3-3y+z=0 \\ 6 -4z=0 \end{array} \right. \]
		
		$z=\frac{3}{2}$ et $y=\frac{3}{2}$.
		
		$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{P}$.
		
		Clairement $\overrightarrow{m} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} \\0 \end{pmatrix}$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$.D'où une équation d'un plan orthogonal: $3x-2y+d=0$ et enfin $d=8$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Projeté orthogonal d'un point sur un plan.}

\begin{definition}	
	Soient $M$ un point de l'espace, $\mathscr{P}$ un plan. Nous appellerons \emph{projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{P}$}, le point $H$ intersection de $\mathscr{P}$ et de la droite orthogonale à $\mathscr{P}$ passant par $M$.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cette définition est aussi une proposition puisqu'elle sous-entend l'existence et l'unicité du projeté orthogonal.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soit, dans l'espace rapporté à un repère,  $\mathscr{P}$ le plan passant par le point $A(1,-2,1)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{u}(-3,1,4)$. Déterminez les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $B(-15,-10,4)$ sur le plan $\mathscr{D}$.	
\end{exercice}

\subsubsection{Distance d'un point à un plan.}

\begin{proposition}
	Le projeté orthogonal du point $M $ sur le plan $\mathscr{P}$ est le point de $\mathscr{P}$ le plus proche de $M$.	
\end{proposition}

\begin{definition}
	Nous appellerons distance d'un point $A$ à un plan $\mathscr{P}$ la distance de $A$ à sont projeté orthogonal sur $\mathscr{P}$.
\end{definition}

\begin{exercice}
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal on considère les points $A(2,3,3)$, $B(-1,17,-17)$ et un vecteur $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$. On note $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $H(-9,5,-1)$ appartient à $\mathscr{P}$.		
		\item Démontrez que $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $\mathscr{P}$ et déduisez-en la distance de $B$ à $\mathscr{P}$.		
		\item Soit $C(5,11,-5)$. Justifiez que $C$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(BC)$ puis calculez la distance de $H$ à $(BC)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(8,10,5)$ un point et $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-z+1=0$ dans l'espace muni d'un repère. Déterminez les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(1;0;-2)$, $B(0;3;-1)$, $C(-1;2;1)$, $D(0;-1;0)$ et $S\left( \frac{5}{2} ; -\frac{3}{2}; 4 \right)$ des points de l'espace muni d'un repère orthonormé.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un rectangle.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ alors, pour tout point $M$ du plan $(ABC)$, on a $SH= \frac{| \overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{n} |}{\|\overrightarrow{n} \|}$, où $H$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $ABC$.			
			\item Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $(ABC)$.			
			\item En déduire la hauteur $SH$ de la pyramide $SABCD$.			
		\end{enumerate}		
		\item Calculez le volume de la pyramide $SABCD$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points: \text{A} de coordonnées (2~;~0~;~0), B de coordonnées (0~;~3~;~0) et C de coordonnées
	(0~;~0~;~1).	
	\begin{center}		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_01}		
	\end{center}	
	L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).
			\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
		\end{enumerate}
		\item  On note $d$ la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
			\item Montrer que la droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right)$.
			\item Calculer la distance OH.
		\end{enumerate}
		\item  On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une
		base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
		
		En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}		
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$. Les points P, Q et R sont définis par $\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AQ}} = ~\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{FG}}$. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$ avec : $\overrightarrow{\imath} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\jmath}= \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{k} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AE}}$.	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_02.png}
	\end{center}	
	\textbf{Partie I}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8~;~2~;~8). Donner les coordonnées des points P et Q.
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.
	\end{enumerate}
	\textbf{Partie II}
	
	On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4~;~4~;~4).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.
		\item Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)$
		\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous. Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L
	est défini par: $\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_03.png}
	\end{center}
	On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AI}}\right)$. On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$ et $\overrightarrow{\text{AL}}$.
		\item  
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6~;~-3~;~2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).
			\item En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).
			\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et
			perpendiculaire au plan (AKL).
			\item En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
	On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times  (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base. 
			\item Calculer la distance du point D au plan (AKL).
			\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\overrightarrow{AK} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AL} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}			
			\item $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AL}$ forment une base de $(AKL)$. Avec les coordonnées: $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AL} =0$. Donc $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$.			
			\item $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$ donc une équation cartésienne de la forme $6x-3y+2z+d=0$. De $A \in (AKL)$ on déduit $d=0$. $(AKL):\ 6x-3y+2z=0$.			
			\item $\Delta $ perpendiculaire à $(AKL)$ et $\overrightarrow{n}$ orthogonal à $(AKL)$ donc $\overrightarrow{n}$ est vecteur directeur de $\Delta$.
			
			$\Delta$ passe ar $D$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ donc $\Delta: \ \left\{ \begin{array}{l} x=6t\\ y=-3t+1 \\ z= 2t \end{array} \right.$.
			\item $N \left( 3 \times \frac{3}{49}; -3 \times \frac{3}{49} +1 ; 2 \times \frac{3}{49} \right)$ donc $N \in \Delta$.
			
			$6x_N-3y_N+2z_N=0$ donc $N \in (AKL)$.
			
			Comme $D \in \Delta$, $N \in \Delta \cap (AKL)$ et $\Delta$ perpendiculaire à $(AKL)$, $N$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AKL)$.
		\end{enumerate}		
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $\mathscr{V}=\frac{1}{8}$.
			\item $d\left( (AKL); D \right)= DN= \left\| \overrightarrow{DN} \right\| = \sqrt{x_{\overrightarrow{DN}}^2 + y_{\overrightarrow{DN}}^2 + z_{\overrightarrow{DN}}^2}= \frac{21}{7}$.
			\item $\mathscr{A}=3 \times \frac{1}{ND} \mathscr{V} = \frac{1}{8}$.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{minipage}[]{7.5cm}
		Dans un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ on considère		
		\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item [$\bullet$] le point A de coordonnées (1~;~3~;~2),			
			\item[$\bullet$]le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$			
			\item[$\bullet$] la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		\end{itemize}		
		Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point. On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[]{7cm}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_04.png}		
	\end{minipage}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.		
		\item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$. 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item  On note A$M$ la distance entre les points A et $M$. Démontrer que: $AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14$.			
			\item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal. 
		\end{enumerate}
		\item Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
		
		\item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$. Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère.		
		\item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. 
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}