%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Positions relatives de droites et plans.}

\subsubsection{Vocabulaire et lecture graphique.}

\begin{lecon}	
	Nous ne donnerons pas ici de définition de parallèle ou sécant. Nous verrons cela ultérieurement. Nous nous contenons d'un approche intuitive à la Euclide.
\end{lecon}

\begin{lecon}	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{6cm}}
		Afin d'illustrer la leçon nous choisirons des exemples provenant du cube $ABCDEFGH$ représenté ci-contre en perspective cavalière.
		& 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
				\draw (0,0)-- (3,0);
				\draw (3,0)-- (5,2);
				\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
				\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
				\draw (3,0)-- (3,3);
				\draw (3,3)-- (0,3);
				\draw (3,3)-- (5,5);
				\draw (5,5)-- (2,5);
				\draw (2,5)-- (0,3);
				\draw (5,2)-- (5,5);
				\draw (0,0)-- (0,3);
				\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
				\begin{scriptsize}
					\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
					\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
					\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
					\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
					\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
					\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
					\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
					\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
				\end{scriptsize}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\\ \end{tabular}	
\end{lecon}

\begin{lecon}	
	Il faut distinguer deux cas suivant que les droites peuvent être vues comme appartenant à un même plan ou non:	
	\begin{flushleft}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Deux droites sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,3.2){\color{purple}coplanaires};
			\node[noeud](B2)at(1.6,-0.8){\color{purple}non-coplanaires};
			\node[noeud](C1)at(4.8,4){\color{purple}Sécantes};
			\node[noeud](C2)at(4.8,2.4){\color{purple}Parallèles (ou confondues)};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\draw (B1)--(C1);
			\draw (B1)--(C2);
			\node (D1)at(8,5){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw[thick ,color=purple] (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw[thick , color=purple] (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D2)at(8,1.6){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw[thick ,color=purple] (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw[thick ,color=purple] (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D3)at(5,-0.8){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw[thick ,color=purple] (3,0)--(5,5);
					\draw[thick ,color=purple] (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (C1)--(D1);
			\draw (C2)--(D2);
			\draw (B2)--(D3);
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\begin{enumerate}
		\item L'intersection de deux droites de l'espace est donc vide ou un point ou une droite.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{lecon}	
	\begin{center}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Deux plans sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,2.4){\color{purple}Sécants};
			\node[noeud](B2)at(1.6,0){\color{purple}Parallèles (ou confondus)};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\node (C1)at(5,3.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=gray!20] (3,0)--(0,3)--(2,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (3,0)--(3,3)--(5,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (C2)at(5,-0.8){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=gray!20] (0,0)--(0,3)--(2,5)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (3,0)--(3,3)--(5,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (B1)--(C1);
			\draw (B2)--(C2);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'intersection de deux plans sécants est une droite. Sur la figure: $(EBC)$ et $(FBC)$ se coupent suivant $(BC)$.
		\item Si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un l'est aussi à l'autre.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{lecon}	
	Étude de la position relative de la droite et du plan $(ABC)$.	
	\begin{center}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Une droite et un plan sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,2.4){sécants};
			\node[noeud](B2)at(1.6,0){\color{purple}parallèles};
			\node[noeud](C1)at(4.8,0.8){\color{purple}Strictement parallèles};
			\node[noeud](C2)at(4.8,-0.8){\color{purple}La droite est incluse dans le plan};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\draw (B2)--(C1);
			\draw (B2)--(C2);
			\node (D1)at(5,3){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (3,4)-- (2,1);
					\draw[color=purple , thick] (3.666666,6)--(3,4);
					\draw[color=purple , thick , dotted] (2,1)--(1.666666,0);
					\draw[color=purple , thick ] (1.6666666,0)--(1.3333333,-1);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (2,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,1) node {$\times$};
						\draw[color=blue] (2,1) node[below right] {$I$};
						\fill [color=blue] (3,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,4) node{$\times$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D2)at(8,1.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (6,4)--(0,4);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (1,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (1,4) node {$\bullet$};
						\fill [color=blue] (4,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (4,4) node{$\bullet$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D3)at(8,-1.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (6,1)--(0,1);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (1,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (1,1) node {$\bullet$};
						\fill [color=blue] (4,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (4,1) node{$\bullet$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (B1)--(D1);
			\draw (C1)--(D2);
			\draw (C2)--(D3);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	Pour certaines questions il peut être utile de savoir (exercices du lycée Valin infra):
	\begin{itemize}
		\item si deux points sont dans un plan alors la droite reliant ces deux points est incluse dans le plan,
		\item étant donnés une droite et un point la parallèle à la droite passant par le point est coplanaire à la droite et au point.
	\end{itemize}
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Indiquez par lecture la position relative des deux droites proposées.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $(AD)$ et $(KC)$.
		\task $(SI)$ et $(UP)$.
		\task $(UI)$ et $(GR)$.
		\task $(EM)$ et $(NG)$.
		\task $(PG)$ et $(PH)$.
		\task $(LB)$ et $(JC)$.
		\task $(HS)$ et $(RU)$.
		\task $(RS)$ et $(BM)$.
		\task $(RM)$ et $(AB)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task Sécantes.
		\task Parallèles.
		\task Non coplanaires.
		\task Sécantes.
		\task Confondues.
		\task Sécantes.
		\task Non coplanaires.
		\task Sécantes.
		\task Sécantes.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Indiquez par lecture la position relative de la droite et du plan proposés.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $(IB)$ et $(AFG)$.
		\task $(PF)$ et $(IKL)$.
		\task $(BF)$ et $(EHP)$.
		\task $(IK)$ et $(ADC)$.
		\task $(BU)$ et $(ACG)$.
		\task $(AN)$ et $(REJ)$.
		\task $(KM)$ et $(BCG)$.
		\task $(BE)$ et $(HGS)$.
		\task $(FN)$ et $(EHB)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task Sécants.
		\task Strictement parallèles.
		\task Sécants.
		\task $(IK)$ est incluse dans $(ADC)$.
		\task Sécants.
		\task $(AN)\subset (REJ)$.
		\task Strictement parallèles.
		\task Sécants.
		\task Strictement parallèles.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Indiquez par lecture la position relative des plans proposés.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(RMP)$ et $(KTS)$.
		\task $(PQM)$ et $(HGF)$.
		\task $(IDC)$ et $(RFP)$.
		\task $(DUR)$ et $(SKC)$.
		\task $(KIM)$ et $(BTS)$.
		\task $(NEM)$ et $(RUT)$.
		\task $(BMP)$ et $(HEI)$.
		\task $(FCR)$ et $(HIM)$.
		\task $(HEB)$ et $(JCH)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task Strictement parallèles.
		\task Confondus.
		\task Sécants.
		\task Sécants.
		\task Strictement parallèles.
		\task Strictement parallèles.
		\task Strictement parallèles.
		\task Sécants.
		\task Confondus.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez l'intersection des deux plans proposés.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(MPQ)$ et $(BDS)$.
		\task $(PIN)$ et $(SIN)$.
		\task $(QUA)$ et $(KIM)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task $(MPQ)\cap(BDS)=(HF)$.
		\task $(PIN)\cap(SIN)=(IN)$.
		\task $(QUA)\cap(KIM)=\emptyset$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Exercices en ligne pour construire et visualiser les intersections dans l'espace: \href{http://www.lycee-valin.fr/maths/exercices_en_ligne/espace.html}{site du lycée Valin} ou directement sur \href{https://www.geogebra.org/m/M37sWNAj}{Geogebra.}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Barabzo spé 2020 page 364 exo 36
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites sécantes.}

\begin{lecon}
	Nous allons maintenant formaliser ces notions de positions relatives en utilisant les définitions des droites et plans.
	
	Les méthodes conduiront très souvent à résoudre des systèmes linéaires.
\end{lecon}

\begin{definition}	
	Deux droites de l'espace sont dites \emph{\color{purple}sécantes} si leur intersection est réduite à un point.	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites données par leurs représentations paramétriques: $d_1: \left\{ \begin{array}{l} x=2t_1+1 \\ y=-t_1+3 \\ z=t_1\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R}$ et $d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=t_2+1 \\ y=3t_2 \\ z=t_2-1\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$.
		
		Pour $t_1=0$ et $t_2=1$ on obtient les mêmes coordonnées donc $d_1$ et $d_2$ ont un point commun. Reste à vérifier que c'est le seul; on peut au choix montrer: qu'un autre point de $d_1$ n'appartient pas à $d_2$, que des vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires (et donc les droites ne sont pas parallèles).
		
		Nous aurions pu résoudre directement le système de trois équations à deux inconnues: $\left\{ \begin{array}{l} 2t_1+1=t_2+1  \\ -t_1+3=3t_2 \\ t_1=t_2-1 \end{array} \right.$.	
		\item Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites données par leurs représentations paramétriques: $d_1: \left\{ \begin{array}{l} x=t_1+1 \\ y=2t_1+1 \\ z=1\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R}$ et $d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=0 \\ z=t_2\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$.
		
		$\left\{ \begin{array}{rl}
			t_1+1 &= -1\\
			2t_1+1 &= 0 \\
			1 &= t_2
		\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rl}
			t_1 &= -2 \\
			t_1 &= -1/2\\
			t_2 &= 1
		\end{array} \right.$ il n'y a donc pas de solution au système et par conséquent les droites n'ont pas de point commun (elle peuvent être strictement parallèles ou non coplanaires).
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On aurait pu retenir une autre définition: deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et sécantes (au sens usuel du plan) dans ce plan commun. Cependant la définition ici retenue est plus pratique dans les exercices que vous rencontrerez.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Déterminez si les droites suivantes de $\mathscr{E}_3$ rapporté à un repère, sont sécantes.
	\begin{tasks}
		\task $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& t_1 \\ 
		y &=& -2t_1-3 \\ 
		z &=& t_1+1 
		\end{array} \right.$ et 
		$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t_2 \\ 
		y &=& 3t_2-3 \\ 
		z &=& 4t_2 +1
		\end{array} \right.$
		\task $\Delta_1$ qui passe par $A_1(1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_1 \begin{pmatrix}
		1\\
		2\\
		-1
		\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ qui passe par $A_2(-1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_2 \begin{pmatrix}
		3\\
		6\\
		-3
		\end{pmatrix}$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites parallèles.}

\begin{definition}	
	Deux droites de l'espace sont dites \emph{\color{purple}parallèles} si au moins un vecteur directeur de l'une est colinéaire à au moins un vecteur directeur de l'autre.	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On considère $\mathscr{E}_3$ muni d'un repère orthonormé. Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites définies par les repères $(A,\vec{u})$ et $(B,\vec{v})$ où $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$. Comme $\vec{v}= 3 \vec{u}$, autrement dit les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et par conséquent $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
		\item On considère $\mathscr{E}_3$ muni d'un repère orthonormé. Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$. Le tableau  $\begin{array}{|c|c|c|} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}$ n'est pas de proportionnalité donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires et par conséquent $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
		\item Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites données par leurs représentations paramétriques: $d_1: \left\{ \begin{array}{l} x=2t_1 \\ y=2t_1+3 \\ z=4t_1\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R}$ et $d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=-6t_2+1 \\ y=-6t_2 \\ z=-8t_2-1\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$. $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs directeurs respectivement de $d_1$ et $d_2$. Comme de plus $\vec{v}=-2\vec{u}$, $d_1 \parallel d_2$.
		\item 
		\begin{notabene}
			Montrer que deux droites ne sont parallèles à partir de leur représentations paramétriques.
			
			Vérifier que deux vecteurs de l'espace ne sont pas colinéaires.
			
		\end{notabene}
		Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites données par leurs représentations paramétriques: $d_1: \left\{ \begin{array}{l} x=t_1 \\ y=t_1+1 \\ z=t_1\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R}$ et $d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=-t_2+1 \\ y=2t_2 \\ z=t_2-1\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$. $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs directeurs respectivement de $d_1$ et $d_2$. Or $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\ne0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent: $d_1 \not\parallel d_2$.	
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si les deux vecteurs directeurs sont effectivement colinéaires alors tous les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires entre eux. Les deux droites ont la même direction. Nous aurions pu d'ailleurs retenir cette définition: deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même direction.		
		\item Le parallélisme inclus le cas des droites confondues. Si les droites sont parallèles sans être confondues on dit qu'elles sont \emph{\color{purple}strictement parallèles}.
		\item Nous aurions pu retenir une autre définition: deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et parallèles (au sens de la géométrie du plan) dans ce plan commun. Là encore la définition retenue est celle qui sera d'usage le plus simple dans les exercices.		
	\end{enumerate}
\end{remarques}


\begin{exercice}
	Déterminez les droites parallèles parmi
	
	$\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 3t +1\\ 
	y &=& 2t-3 \\ 
	z &=& -t+1 
	\end{array} \right.$, $\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 2t-17 \\ 
	y &=& -5t+7 \\ 
	z &=& t+45 
	\end{array} \right.$, $\Delta_3: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 4t +24\\ 
	y &=& -10t-3 \\ 
	z &=& 2t-\pi 
	\end{array} \right.$,
	
	$\Delta_4: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 3t+12 \\ 
	y &=& 2t-18 \\ 
	z &=& -t+34 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_5: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& -6t+1 \\ 
	y &=& -4t-3 \\ 
	z &=& 2t+1 
	\end{array} \right.$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 7t-2 \\ 
	y &=& -2t+3 \\ 
	z &=& t+1 
	\end{array} \right.$ une droite et $A(1,0,1)$ un point.	
	Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta_2$ parallèle à $\Delta_1$ et passant par $A$.	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites coplanaires.}

\begin{definition}	
	Deux droites de l'espace sont dites \emph{\color{purple}coplanaires} si et seulement si elles sont sécantes ou parallèles.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si les droites sont sécantes ou parallèles alors il est possible de trouver un plan de l'espace qui les contienne toutes les deux, d'où l'expression coplanaire.
		\item Si deux droites ne sont ni sécantes ni parallèles alors elles ne sont pas coplanaires et on dit qu'elles sont \emph{\color{purple}non coplanaires}.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	\begin{center}		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_01_vecteurs_droites_et_plans_de_l_espace_01_bac_2022_sujet_1_15_mars.png}		
	\end{center}	
	SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.Le point I est le centre du carré ABCD. On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.	Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
			\end{tabularx}
		\end{center}
	\end{enumerate}	
	Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$.	Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants: $\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setcounter{enumi}{1}		
		\item Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
		{\footnotesize \begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
					\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$
				\end{tabularx}
		\end{center}}
		\item Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
				\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
			\end{tabularx}
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites non coplanaires.}

\begin{proposition}
	Deux droites sont non coplanaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et si leur intersection est vide.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Il s'agit de la négation de la définition de coplanaire. Le \og ou \fg{} de la définition devient donc (loi de De Morgan) un \og et \fg{}.
\end{preuve}

\begin{exercice}
	Soient $d$ et $d'$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} -2t+3 \\y=-3t +1 \\ z=t+2 \end{array} \right. ,\ t\in\mathbb{R} \quad  \text{ et } \quad d': \left\{ \begin{array}{l} t'-1 \\y=-2t' \\ z=4 \end{array} \right. ,\ t' \in\mathbb{R} \]	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour chaque droite donnez un point et un vecteur directeur.		
		\item Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles? sécantes?		
		\item Que pouvez-vous conclure?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}%Bac 2021 métropole 8 juin
	L'espace  est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère:
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :
		$\left\{\begin{array}{l c l}
		x &=& -4 +3t\\
		y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
		z&=&\phantom{-}8 - 6t
		\end{array}\right.$\quad avec $t \in \mathbb{R}$.
		%\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$?
		\begin{tasks}(2)
			\task M$_1(-1~;~3~;~-2)$.
			\task M$_2(11~;~-9~;~-22)$.
			\task M$_3(-7~;~9~;~ 2)$.
			\task M$_4(-2~;~3~;~4)$.
		\end{tasks}
		\item Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est:
		\begin{tasks}(4)
			\task $\vec{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$.
			\task $\vec{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$.
			\task $\vec{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$.
			\task $\vec{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$
		\end{tasks}
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont:
		\begin{tasks}(2)
			\task sécantes.
			\task strictement parallèles.
			\task non coplanaires.
			\task confondues
		\end{tasks}
		%\item La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est:
		%\begin{tasks}(4)
		%	\task $m =-1$.
		%	\task $m = 1$.
		%	\task $m = 5$.
		%	\task $m =-2$.
		%\end{tasks}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans chaque cas étudiez la position relative des droites $d$ et $d'$.
	\begin{tasks}(1)
		\task $d:\left\{ \begin{array}{l} x= -2t+3\\ y= -3t+1\\ z= t+2\end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \quad \text{ et } \quad d':\left\{ \begin{array}{l} x= t'-1\\ y= 2t'+2\\ z= -t'-3\end{array} \right.,\ t'\in \mathbb{R}$.
		\task $d:\left\{ \begin{array}{l} x= t-1\\ y= 2t+2\\ z= -t-3\end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \quad \text{ et } \quad d':\left\{ \begin{array}{l} x= 3t'\\ y=-2t'+1 \\ z= t'+1\end{array} \right.,\ t'\in \mathbb{R}$.
		\task $d:\left\{ \begin{array}{l} x= 2t+7\\ y= -3t+1\\ z= 6t+2\end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \quad \text{ et } \quad d':\left\{ \begin{array}{l} x= 3t'-1\\ y= -\frac{9}{2}t'\\ z= 9t'+5\end{array} \right.,\ t'\in \mathbb{R}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans chaque cas déterminez l'ensemble des points de l'espace de coordonnées $(x,y,z)$ vérifiant les conditions données.
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{l} x= 2t-4\\ y= t+1\\ z= -3t+4\end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R}_+$.
		\task $\left\{ \begin{array}{l} x= t-3\\ y= 3t+2\\ z= t+1\end{array} \right.,\ t\in [-2;3]$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 316 exercice 91 à 92: positions relatives
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est: $\left\{\begin{array}{l c r}
	x &=& 1 + 2t\\
	y &=& -2 + t\\ 
	z&=&4 - t
	\end{array}\right., t\, \in \mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
		\begin{tasks}(2)
			\task M$(2~;~1~;~-1)$;
			\task N$(-3~;~-4~;~6)$;
			\task P$(-3~;~-4~;~2)$;
			\task Q$(-5~;~-5~;~1)$.
		\end{tasks}		
		\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ admet pour coordonnées: 		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;
			\task $\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$;
			\task $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$;
			\task $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
		\end{tasks}		
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est:		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$;
			\task $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$;
			\task $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$;
			\task $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.
		\end{tasks}				
		\item On considère le point D défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}$.		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires;
			\task $\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$;
			\task D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$;
			\task les points A, B, C et D\\ sont alignés.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Position relative d'une droite et d'un plan.}

\begin{lecon}
	Rappelons que nous aurons trois situations possibles: 
	\begin{itemize}
		\item la droite est parallèle au plan		
		\begin{center}			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\def\xB{3};
				\def\yB{-1};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\def\xC{5};
				\def\yC{1};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\def\xD{2};
				\def\yD{2};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\fill          [Green!40] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\draw [blue] (1,3) -- (4,2);
			\end{tikzpicture}			
		\end{center}		
		\item la droite est incluse dans le plan,		
		\item la droite et le plan sont sécants.	
	\end{itemize}	
	Hormis pour l'inclusion qui est déjà définie (il s'agit de l'inclusion d'ensembles: tout point de la droite appartient au plan) nous allons définir ces situations.	
\end{lecon}

\begin{definition}	
	\emph{\color{purple}Une droite et un plan de l'espace sont sécants} si et seulement si leur intersection est réduite à un point.	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{notabene}			
			Exemples sur le cube.			
		\end{notabene}		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous aurions pu choisir une définition utilisant les vecteurs mais nous avons fait le choix de ce qui est le plus pratique pour les exercices que nous rencontrerons. Donnons néanmoins une possible définition avec des vecteurs: la droite de repère $(A;\vec{u})$ et le plan de repère $(B;\vec{v},\vec{w})$ sont sécants si et seulement si $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base de l'espace.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{definition}
	Nous dirons qu'\emph{\color{purple}une droite et un plan de l'espace sont parallèles} si et seulement si ils ne sont pas sécants.
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une droite et un plan de l'espace sont parallèles si au moins un vecteur directeur de la droite est colinéaire à au moins un vecteur de la direction du plan.Autrement dit il faut et il suffit qu'un vecteur directeur (de la droite) soit une combinaison linéaire des vecteurs d'une base du plan.	
		\item Pour le dire autrement si $(A;\vec{u})$ est le repère d'une droite et $(B;\vec{v},\vec{w})$ celui d'un plan ils sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas linéairement indépendants. Ou encore si et seulement si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{notabene}			
			Exemples sur le cube.			
		\end{notabene}		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est: $\left\{ \begin{array}{l} x=-t+1\\ y=4t-3\\ z=\frac{1}{2} t + 6 \end{array} \right. , \ t \in \mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donnez un vecteur directeur de $d$.
		\item Soit $\mathscr{P}$ un plan dont un repère est $(A; \vec{u}, \vec{v})$ avec $A(-1,2,5)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix}
		1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\-3 \end{pmatrix}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Le point $E(1,1,1)$ appartient-il à ce plan?
			\item La droite $d$ est-elle parallèle à $\mathscr{P}$? Justifier.
			\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ contenant $E$, de vecteur directeur $\vec{u}$. Que peut-on dire de $\Delta$ et de $\mathscr{P}$?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		
		Lelivrescolaire exercice 86 page 78.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 mai 1mérique du nord. Remplacer équation catérsienne du plan par des vecteurs d'une base.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Plans parallèles.}

\begin{definition}
	Nous dirons que deux plans de l'espace sont \emph{\color{purple}parallèles} si et seulement si toute base de l'un est une base de l'autre.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il faut montrer que chaque vecteur d'une base peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base de l'autre plan.
		\item Pour démontrer que des plans sont strictement parallèles il faut démontrer que leur intersection est vide.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		0ieme reperes hachette 2012 page 316 exercice 93: positions relatives
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Plans sécants.}

\begin{definition}
	Deux plans sont sécants si et seulement si ils ne sont pas parallèles.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il existe un vecteur de l'un qui forme avec une base de l'autre des vecteurs linéairement indépendants.
		\item 
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Soit $ABCD$ un tétraèdre. L'espace est rapporté au repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$. On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[DC]$ et de $[BC]$. Soient $E$ et $F$ les points définis par $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}= \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez les coordonnées des points $I$, $J$, $E$ et $F$.		
		\item Démontrez que $(EF)$ est parallèle à $(IJ)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ où $A(1,-1,3)$ et $B(3,2,4)$.		
		\item On considère le point $E(-5,7,1)$. Déterminez une représentation paramétrique  de la droite $d$ contenant $E$ et parallèle à $(AB)$.		
		\item On considère le point $F(-1,13,3)$.		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Justifiez que $(AF)$ et $d$ ne sont pas parallèles.			
			\item Déterminez les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}