%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Produit scalaire et équation cartésienne.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Produit scalaire et équation cartésienne.}

\subsection{Produit scalaire dans le plan (rappel).}

\begin{lecon}
	
	Il existe différentes définitions possibles pour le produit scalaire du plan euclidien classique, ce qu'en mathématique nous appelons des caractérisations.
	
	Chacune à son intérêt. Rappelons en quelques unes.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Le produit scalaire à partir de la projection orthogonale.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\mathscr{P}$ un plan euclidien,
		
		\item $A$, $B$ et $C$ trois points du plan $\mathscr{P}$,
		
		\item $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$} le nombre réel noté $\color{purple} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ défini par \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left\{ \begin{array}{l} AH \times AB \quad \text{si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens,} \\ -AH \times AB \quad \text{si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens opposé.}   \end{array} \right. \]
	
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas de trois points alignés on obtient, en valeur absolue, le produit des deux longueurs. Une autre façon de le dire: lorsque deux représentants $\overrightarrow{AB}$ et $AC$ de vecteurs sont colinéaires alors il existe $\varepsilon \in \{ -1;1\}$ tel que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\|\overrightarrow{AC} \right\| \times \varepsilon$.
		
		\item Typiquement nous avons deux situations possibles:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (2,-1.5) node{\small $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens};
			\end{tikzpicture}
			\hspace{1.5cm}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{-2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (2,-1.5) node{\small $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens opposé};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le résultat d'un produit scalaire est donc un nombre qui peut être positif (premier cas ci-dessus) ou négatif (second cas ci-dessus).
		
		\item Cette définition se généralise à des vecteurs n'ayant pas la même origine comme l'illustre les figures ci-dessous pour $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			%\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			%\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			%\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			%\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			%\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			%\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			%\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\end{tikzpicture} 
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			%\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			%\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			%\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\draw (1,6.5) node{\small On dessine le représentant de $\overrightarrow{EF}$ d'origine $A$:};
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\draw (1,6.5) node{\small Puis on projette orthogonalement sur $(AB)$:};
			\end{tikzpicture}
			
			Finalement $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AB} = AH \times AB$.
			
		\end{center}
		
		\item Pour le produit scalaire $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AB}$ nous pourrions considérer directement les projetés orthogonaux $E'$ et $F'$ de $E$ et $F$ sur $(AB)$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{E'F'}$.
		
		\item Allons encore plus loin dans la généralisation: si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs de la direction du plan $\mathscr{P}$, alors il existe des points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. On définit alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
		
		\item Remarquons, en prévision de la généralisation à l'espace, que si les points $A$, $B$ et $C$ sont distincts deux à deux et non alignés alors $\mathscr{P}=(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Nous avons, au lycée, donné deux définitions de la norme d'un vecteur. La première consista à définir la norme du représentant $\overrightarrow{AB}$ comme la longueur $AB$. La seconde, qui nécessite qu'on ait muni le plan d'un repère, à chaque $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ associe sa norme comme étant $\| \overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}$.
	
	Ces deux définitions coïncident lorsque la base choisie est orthonormée.
	
	C'est pourquoi nous nous placerons en général dans un repère orthonormé.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Produit scalaire et norme.}
	
	Si $A$ et $B$ sont des points du plan affine euclidien, alors $\| \overrightarrow{AB} \|^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous aurons un résultat semblable pour la définition du produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.
		
		\item Nous noterons $\color{purple} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Caractérisation du produit scalaire avec le cosinus et  la norme.}

\begin{proposition}{ - Caractérisation du produit scalaire avec normes et angles.}
	
	Soient $A$, $B$, et $C$ des points du plan.
	
	\[ \color{purple}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos \left( \widehat{BAC} \right). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Pas de preuve car notion intuitive d'orientation du plan. Confusion norme et longueur.
		
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ce résultat se généralise à d'autres vecteurs que les bipoints du plan et nous écrirons alors: \[ \color{purple} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{u}\| \times \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right). \]
		Dans ce cas $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)$ est appelé un angle orienté de vecteurs et il égale l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ obtenu en choisissant des représentants de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
		
		Nous avons: $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)= -\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right)$
		
		\item D'après la remarque précédente nous pourrons généraliser la formule à des couples quelconques de bipoints: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{EF} \| \times \cos \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{EF} \right). \]
		
		\item Nous retrouvons bien ce que nous avions déjà remarqué $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{AB}\| \times \cos(0)=\| \overrightarrow{AB}\|^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Orthogonalité.}

\begin{definition}
	
	Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item L'orthogonalité est une notion proche de celle de la perpendicularité mais pour des vecteurs. 
		
		\item La notion d'orthogonalité est plus générale que celle de perpendicularité. Deux droites sont dites orthogonales si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux. Dans l'espace il existe des droites orthogonales qui ne sont pas perpendiculaires (pas de point commun).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{ - Orthogonalité et perpendicularité dans le plan.}
	
	Si $A$, $B$, $E$ et $F$ sont des points distincts deux à deux du plan alors: $(AB) \perp (EF)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ est orthogonal à $\overrightarrow{EF}$
	
\end{proposition}

\subsubsection{Des propriétés algébriques du produit scalaire.}

\begin{proposition}{ - Propriétés algébriques du produit scalaire.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs, $\lambda$ un nombre réel.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$.
		\item $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.
		\item $(\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$.
		\item $\lambda ( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = (\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Indémontrable puisque nous n'avons pas de définition générale d'un vecteur. Nous n'avons construit en seconde que des vecteurs du plan comme des translations.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons interpréter ces propriétés avec le vocabulaire que nous connaissons déjà sur les lois (opérations):
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Commutativité.
			\item Distributivité à gauche du produit scalaire sur l'addition (de vecteurs).
			\item Distributivité à droite du produit scalaire sur l'addition (de vecteurs).
			\item Une sorte de commutativité entre le produit par un nombre et le produit scalaire.
		\end{enumerate}
		
		\item La propriété (i) est appelée la \emph{\color{purple}symétrie} du produit scalaire. Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont appelées la \emph{\color{purple}bilinéarité} du produit scalaire.
		
		\item Ces propriétés sont à l'origine de la définition la plus générale du produit scalaire (y compris pour des vecteurs qui ne sont pas des objets de géométrie) d'où le fait que nous insistions. Cependant dans la pratique, au lycée, il faut retenir que nous allons pouvoir manipuler les vecteurs comme des nombres pour travailler avec le produit scalaire. Ainsi qui  dit distributivité, dit double distributivité et donc identités remarquables.
		
		\item En toute rigueur la propriété (iv) fait intervenir trois opérations différentes: produit de deux nombres réels, multiplication d'un vecteur par un nombre, produit scalaire.
		
		\item La distributivité apparaîtra souvent lorsque la relation de Chasles est utilisée: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \overrightarrow{EZ} + \overrightarrow{ZF} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsubsection{Caractérisation du produit scalaire avec des coordonnées.}

\begin{lecon}
	
	Une base $\left( \vec{i}, \vec{j} \right)$ est dite orthonormée si $\vec{i}$ et $ \vec{j}$ sont orthogonaux et que de plus: $\|\vec{i}\|= \| \vec{j} \|$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		\item $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$,
		\item $\overrightarrow{v}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$.
	\end{enumerate}
	
	\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx'+yy'. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le repère doit être orthonormal pour que le produit scalaire ainsi obtenu corresponde à celui défini par projection orthogonale. Cependant il est possible, dans un repère quelconque, de définir un autre produit scalaire par la formule $xx'+yy'$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		
		\item $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$,
		
		\item $\overrightarrow{v}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi le produit scalaire nous permettra de vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs et donc la perpendicularité de droites.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		\item $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}= x^2+y^2= \| \overrightarrow{u} \|^2$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Autrement dit: $\| \vec{u} \| =\sqrt{x^2+y^2}$.
		
		\item Ce résultat ne tient que parce que le repère est orthonormé.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Caractérisation du produit scalaire par la norme.}

\begin{lecon}
	
	Nous savons calculer la norme avec le produit scalaire: $\|AB\|^2=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$, nous allons voir maintenant comment calculer le produit scalaire grâce à la norme.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}{ - identités remarquables.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2+ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2- 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) =\|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{u}\|^2$. 
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}
	
	Se démontre en utilisant la distributivité vue dans la proposition 3.
	
\end{preuve}


\begin{corollaire}{ - Identités de polarisation.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2- \| \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \|\overrightarrow{u}\|^2+ \| \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{4} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \| -\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|  \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}
	
	Découle directement des résultats établis à la précédente proposition.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de retrouver la norme à partir du produit scalaire: $\|\overrightarrow{u} \|^2=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}$ et nous voyons maintenant qu'il est possible de retrouver le produit scalaire à partir de la norme. Autrement dit il revient au même de se donner une norme ou un produit scalaire.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Vecteur normal à une droite du plan.}

\begin{definition}
	
	Soient $\mathscr{D}$ une droite et $\overrightarrow{n}$ un vecteur du plan.
	
	\medskip
	Nous dirons que $\overrightarrow{n}$ est \emph{\color{purple}un vecteur normal à $\mathscr{D}$} si et seulement si $\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}$ et qu'il existe  un vecteur directeur, $\overrightarrow{u}$, de $\mathscr{D}$ tel que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
		
	\begin{enumerate}
		\item Il est équivalent de dire que $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ et de dire que que $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de $\mathscr{D}$.
		
		\item Les vecteurs normaux et les vecteurs directeurs sont non nuls.
		
		\item De même qu'un point et vecteur directeur (autrement dit un repère $\left( O; \overrightarrow{u} \right)$) définissent une unique droite, un point $O$ et un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ définie une unique droite (proposition suivante).
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur d'une droite $\mathscr{D}$ alors $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 13 \\ 26 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{D}$ car:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} &= 2 \times 13 +(-1) \times 26\\
			&= 0
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Une caractérisation.}
	
	Soient $\mathscr{D}$ une droite, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ deux vecteurs non nuls du plan.
	
	\medskip
	Nous dirons que $\overrightarrow{n}$ est normal à $\mathscr{D}$ si et seulement si est orthogonal à tout vecteur directeur $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Précédente définition, linéarité du produit scalaire, colinéarités des vecteurs directeurs entre eux.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous utiliserons ce résultat pour montrer qu'un vecteur n'est pas normal à une droite: si $\overrightarrow{n}$ n'est pas orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ alors $\overrightarrow{n}$ n'est pas normal à $\mathscr{D}$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item De même si $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur d'une droite $\mathscr{D}$ alors $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \end{pmatrix}$ n'est pas un vecteur normal à $\mathscr{D}$ puisque $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas orthogonaux.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Caractérisation d'une droite par point et vecteur normal.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item  $\mathscr{D}$ une droite du plan,
		
		\item $A \in \mathscr{D}$,
		
		\item $M$ un point du plan.
		
		\item $\overrightarrow{n}$ une vecteur non nul.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}=0$.
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Vecteur normal à une droite remarquable.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		
		\item  $\mathscr{D}$ une droite du plan,
		
		\item $a$ et $b$ des réels $a$ et $b$ n'étant pas simultanément nuls,
		
		\item $\overrightarrow{n}$ une vecteur non nul.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $\mathscr{D}$ admet $ax+by+c=0$ pour équation cartésienne si et seulement si $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\subsection{Distance d'un point à une droite dans le plan.}

\begin{lecon}
	
	Nous avions vu en seconde que, dans un plan, la distance d'un point $A$ à une droite $d$ est la longueur $AH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$. De plus $H$ est le point de $d$ qui minimise la distance à $d$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		
		\item $A$ un point du plan de coordonnées $(x_A,y_A)$,
		
		\item $\mathscr{D}$ une droite du plan dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ ($a$ et $b$ non tous deux nuls).
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La distance de $A$ à $\mathscr{D}$ est \[ d\left( A,\mathscr{D} \right) =\frac{\left| ax_A+by_A+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} .\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{D}$.
	
	Nous savons que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{D}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item En notant $\cos\left( \overrightarrow{AH}, \overrightarrow{n} \right)= \varepsilon \in \{ -1;1 \}$ (puisque $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires), {\color{orange}en utilisant la caractérisation du produit scalaire utilisant norme et cosinus}:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} &= \left\| \overrightarrow{AH} \right| \times \left\| \overrightarrow{n} \right\| \times \varepsilon\\
			\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} &= \varepsilon AH \sqrt{a^2+b^2}
			\intertext{Ce qui équivaut à:}
			AH &= \varepsilon \frac{ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} }{\sqrt{a^2+b^2}}\quad (1)
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}En utilisant la caractérisation du produit scalaire utilisant les coordonnées des vecteurs}.
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} &= (x_H-x_A) \times a + (y_H-x_A) \times b\\
			&= ax_H+by_H-(ax_A+by_A)\\
			\intertext{Or $H \in \mathscr{D}$ donc $ax_H+by_H=-c$ et ainsi:}
			\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} &= -c -(ax_A+by_A)\\
			&= -(ax_A+by_A+c)\quad (2)
		\end{align*}
		
		\item Par transitivité entre $(1)$ et $(2)$: 
		
		\begin{align*}
			AH &= -\varepsilon \frac{ax_A+by_A+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
			\intertext{Enfin, $AH$ étant une longueur, $AH= | AH|$ et donc:}
			AH &= \left| \frac{ax_A+by_A+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle AH=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Produit scalaire dans l'espace.}

\subsubsection{Définition, généralisation, caractérisation.}

\begin{lecon}
	
	Étant donnés trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace il existe (au moins) un plan $\mathscr{P}$ qui les contient. Nous définirons le produit scalaire, dans l'espace, des représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par le produit scalaire, dans le plan $\mathscr{P}$, des représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Dans le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur $a$ calculez les produits scalaires: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{EB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH}=0$, $\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{CB}=-a^2$ et $\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{EB}=2a^2$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - caractérisation du produit scalaire par norme et angle.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs de l'espace.
	
	\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{v}\| \times \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right). \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Orthogonalité.}

\begin{lecon}
	
	On généralise la définition de l'orthogonalité.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Sur un cube ...
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Base orthonormée, repère orthonormé.}

\begin{definition}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item On appelle \emph{\color{purple}base orthonormale de l'espace} tout triplet $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right)$ de trois vecteurs de l'espace tel que $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0}$ et $\| \overrightarrow{i} \| = \| \overrightarrow{j} \| = \| \overrightarrow{k} \|$.
		
		\item On appelle \emph{\color{purple}repère orthonormal de l'espace} tout quadruplet $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ où $O$ est un point et $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right)$ une base orthonormale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\subsubsection{Coordonnées}

\begin{proposition}{ - Caractérisation du produit scalaire avec des coordonnées.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ un repère de l'espace,
		
		\item $\overrightarrow{u}_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u}_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = x_1x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2. \]
	
\end{proposition}


\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans un repère orthonormal de l'espace démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 14 \\ 2 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$. On considère les points $A(1,7,-2)$, $B(4,6,-5)$ et $C(3,1,2)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
		
		\item Qu'en déduisez-vous pour le triangle $ABC$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=(4-1) \times (3-1) + (6-7) \times (1-7) + (-5-(-2)) \times (2-(-2))=6+6-12=0$
		
		\item $ABC$ rectangle en $A$.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - Caractérisation de la norme par les coordonnées.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ un repère de l'espace,
		
		\item $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ un vecteur de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\[ \|\vec{u} \|= \sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}{ - Distance euclidienne dans l'espace.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ un repère orthonormé de l'espace,
		
		\item $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ deux points de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}. \]
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère les points $A(4,-2,0)$, $B(6,4,-2)$ et $C(12,6,0)$. Quelle la nature du triangle $ABC$?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Le plan étant rapporté à une repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)$ $A(3,2,1)$, $B(-2,1,5)$ et $C(1,0,1)$. Déterminez une valeur approchée au degré près de $\widehat{ABC}$.
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Exercice 0ieme ellipse et plus siaffinités page 419 exo 379.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Propriétés.}

\begin{proposition}{ - Forme bilinéaire symétrique.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs de l'espace,
		
		\item $\alpha$ et $\beta$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ (commutativité ou symétrie).
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \left( \alpha \overrightarrow{v}+ \beta \overrightarrow{w} \right) = \alpha \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \beta \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ (bilinéarité).
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Identités de polarisation.}

\begin{corollaire}{ - identités remarquables.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2+ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2- 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) =\|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{u}\|^2$. 
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{proposition}{ - Caractérisation du produit scalaire par les identités de polarisation.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2- \| \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \|\overrightarrow{u}\|^2+ \| \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{4} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \| -\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|  \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Orthogonalité dans l'espace affine.}

\subsubsection{Orthogonalité de deux droites.}

\begin{definition}
	
	Deux droites sont dites orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemples sur un cube.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Deux droites sont orthogonales si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est orthogonal à tout vecteur directeur de l'autre.
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Propriétés affines de l'orthogonalités des droites dans l'espace.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Deux droites sont orthogonales si et seulement si il existe une troisième droite qui soit parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.
		
		\item Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
		
		\item Si deux droites sont orthogonales alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
		
		\item Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Rappelons que deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans le repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on donne $A(1;0;2)$, $B(3,-3,3)$ et $C(-2,2,14)$.
	
	Démontrez que $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}{}
	
	Il faut penser en plus de l'orthogonalité à vérifier l'intersection.
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan.}

\begin{definition}{}
	
	\emph{\color{purple}Une droite est dite orthogonale a un plan} si un vecteur directeur de la droite est orthogonal aux deux vecteurs d'une base du plan.
	
\end{definition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans le repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on donne $A(2,-3,4)$, $B(1,2,-11)$, $C(-4,5,-9)$, $D(-8,3,4)$ et $E(-3,10,6)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
		
		\item Démontrez que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont orthogonales.
		
		\item Démontrez que la droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si tout vecteur directeur de la droite est orthogonal à tout vecteur de la direction du plan
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Propriétés affines de l'orthogonalité entre droite et plan.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
		
		\item Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
		
		\item Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
		
		\item Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
		
		\item Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont parallèles entre eux.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Vecteur normal à un plan.}

\begin{lecon}
	
	Les résultat de ce paragraphe sont spécifiques à l'espace de dimension trois.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'un vecteur non nul $\vec{n}$ est \emph{\color{purple}normal à un plan} $\mathscr{P}$ s'il existe une base $\left( \vec{i}, \vec{j} \right)$ de $\mathscr{P}$ dont les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux à $\vec{n}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Tout plan admet un vecteur normal. Si c'est intuitif, la justification apparaîtra clairement avec les équations cartésienne du plan.
	
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Un vecteur non nul est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à tout vecteur de la direction de ce plan.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	L'espace étant muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(2,-3,5)$, $B(1,0,7)$ et $C(-4,1,3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
		
		\item Démontrez que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plus si affinités page 423 exo 382
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ (autrement dit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment une base de $\mathscr{P}$). Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathscr{P}$. 
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$. Supposons par exemple $x=1$.
	
	$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}=0$ donc $1 \times 1+ 1 \times y+2 \times z=0$ et $-1 \times 1 + 2 \times y + -3 \times z=0$.
	
	Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} y+z=-1 \\ 2y-3z=1 \end{array} \right. \]
	
	$z=-\frac{3}{5}$ et $y=-\frac{4}{5}$.
	 
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Étant donné un vecteur non nul $\vec{n}$ et un point $A$, il existe un unique plan normal à $\vec{n}$ et passant par $A$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi pour définir un plan il n'est pas nécessaire de donner un point et une base. Pour définir un plan de l'espace il suffit de donner un point et un vecteur normal.
		
		\item Une façon de voir que nous utiliserons plus tard pour l'équation cartésienne: {\color{orange}le plan est formée de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}=0$}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal à ce plan.
		
		\item Un droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à vecteur normal à ce plan.
		
		\item Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à l'un est colinéaire à un vecteur normal de l'autre.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Équations cartésiennes d'un plan.}

\begin{proposition}{ - Équations cartésiennes d'un plan.}
	
	Soit $\mathscr{P}$ un plan de l'espace
	
	\medskip
	$\mathscr{P}$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels qu'il existe des réels $a$, $b$, $c$ et $d$ (avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls) pour lesquels $ax+by+cz+d=0$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'équation $ax+by+cz+d=0$ est appelée \emph{\color{purple}une équation cartésienne} du plan.
		
		\item Il n'y a pas unicité de l'équation cartésienne d'un plan. Si $ax+by+cz+d=0$ est une équation d'un plan alors $(ma)x+(mb)y+(mc)z+(md)=0$ en est aussi une. {\color{orange}Les coefficients des diverses équations cartésiennes d'un même plan sont proportionnels les uns aux autres.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels $a$, $b$ et $c$ étant non tous nuls.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}$ alors $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}$.
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plus si affinité page 430 exo 389
		
	\end{notabene}
	
	Vérifiez que $3x-2y+z=2$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ où $A(1;1;1)$, $B(-1;-1;3)$ et $C(2;1;-2)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points: $A(4~;~0~;~0)$, $B(0~;~2~;~0)$ et $C(0~;~0~;~2)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
		
		\item Déduisez-en une équation cartésienne de $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Déterminez un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est $2x+y-3z+14=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soit $A(-1,2,5)$ un point de l'espace rapporté à un repère et $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.
		
		\item Soit $B(3,8,7)$. Déterminez une équation du plan médiateur $\mathscr{P}'$ du segment $[AB]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Soient $A(1,0,3)$, $B(2,2,7)$ et $C(-1,5,4)$ trois points de l'espace rapporté à un repère et $\mathscr{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x+y-z+1=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
		
		\item Démontrez que $\mathscr{P}$ est le plan $(ABC)$.
		
		\item Déduisez-en un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}$.
		
		$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=1 \times 5- 2 \times (-2)=9 \ne 0$.
		
		Donc vecteurs non nuls et non colinéaires $A$, $B$ et $C$définissent bien un plan.
		
		\item $2x_A+y_A-z_A+1=2 \times 1 + 0 -3+1=0$ donc $A \in \mathscr{P}$. De même pour $B$ et $C$.
		
		\item $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère, notons $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-7z-14=0$ et $\mathscr{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=-11+3t \\ z= 19-5t \end{array} \right.\ t \in \mathbb{R}$.
	
	Déterminez l'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Système d'équations cartésiennes d'une droite. \Biohazard}

\begin{proposition}{}
	
	Si les triplets $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ ne sont pas proportionnels alors le système \[ \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{array} \right. \] caractérise une droite et il est appelé \emph{\color{purple}système d'équations cartésiennes de cette droite}.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Interprétation géométrique: toute droite est l'intersection de deux plans non parallèles.
		
		\item Toute droite peut être caractérisée par un système d'équations cartésienne.
		
		\item Ainsi il existe deux représentation analytique des droites: la représentation paramétrique et les équations cartésiennes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plu si affinité page 429 exo 387
		
	\end{notabene}
	
	Dans un repère orthonormé on considère $A(3;-3;1)$, $B(2;-1;2)$ et $C(-1;1;-1)$. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $C$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.
		
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{Q}$ médiateur de $[AC]$.
		
		\item Donnez une représentation paramétrique de l'intersection entre $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$.
		
		\emph{Vous pourrez poser $z=t$ dans les deux équations précédentes.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
		
		$-x+2y+z+d=0$.
		
		$C$ appartient au plan donc $-(-1)+2  \times 1 +(-1)+d=0$ donc $d=-2$.
		
		$-x+2y+z-2=0$.
		
		\item $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix}$
		
		$-4x+4y-2z+d=0$.
		
		$I(1;-1;0)$.
		
		$-4-4+d=0$
		
		$-4x+4y-2z+8=0$.
		
		\item {\color{orange}Il faut choisir l'une des variables comme paramètre de la représentation paramétrique et résoudre le système.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+2y+t-2=0 \\ -4x+4y-2t+8=0\end{array} \right. \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+2y=-t+2 \\ -4x+4y=2t-8\end{array} \right. \]
		
		$-4y=6t-16$, $y= -\frac{3}{2}t+4$.
		
		$-2x=4t-12$, $x=-2t+6$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Orthogonalité de  deux plans.}

\begin{lecon}
	
	Voici une définition théorique que nous n'utiliserons pour ainsi dire jamais.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} (ou perpendiculaires) si et seulement si l'un contient une droite qui est perpendiculaire à une droite de l'autre.
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous préférerons la caractérisation suivante:
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{P}_1$ un plan de l'espace dont $\overrightarrow{n}_1$ est un vecteur normal,
		
		\item $\mathscr{P}_2$ un plan de l'espace dont $\overrightarrow{n}_2$ est un vecteur normal.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{n}_1$ et $\overrightarrow{n}_2$ sont orthogonaux.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Démontrez que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $2x+3y+z=0$ et $-x+2y-4z=0$ sont orthogonaux.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	On donne les points suivants $A(-2,1,3)$ et $B(1,-2,2)$ et $C(4,1,-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un seul plan $\mathscr{P}$.
		
		\item Déterminez une équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}'$ orthogonal à $\mathscr{P}$ passant par le point $A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		
		\item Il faut trouver un vecteur normal à $\mathscr{P}$. 
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} 3-3y+z=0 \\ 6 -4z=0 \end{array} \right. \]
		
		$z=\frac{3}{2}$ et $y=\frac{3}{2}$.
		
		$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{P}$.
		
		Clairement $\overrightarrow{m} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} \\0 \end{pmatrix}$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$.D'où une équation d'un plan orthogonal: $3x-2y+d=0$ et enfin $d=8$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Point et droite.}

\subsubsection{Projeté orthogonal d'un point sur une droite.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $M$ un point de l'espace,
		
		\item $\mathscr{D}$ un plan de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}projeté orthogonal} de $M$ sur $\mathscr{D}$, le point $H$ intersection de $\mathscr{D}$ et du plan orthogonal à $\mathscr{D}$ passant par $M$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition est aussi une proposition puisqu'elle sous-entend l'existence et l'unicité du projeté orthogonal.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme specialite bordas  indice 2020
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{D}$ la droite passant par le point $A(1;-2;1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -3\\1\\4 \end{pmatrix}$. Déterminez les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $B(-15;-10;4)$ sur la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Distance d'un point à une droite.}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse page 424 exo 384
		
	\end{notabene}
	Soit $\mathscr{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[ \mathscr{D}:\ \left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2-t \\ z=4+2t \end{array} \right. \]
	
	Montrez qu'il existe un unique point $H$ de $\mathscr{D}$ tel que la distance entre l'origine du repère $O$ et $H$ est minimale. Montrez que $(OH)$ et $\mathscr{D}$ sont perpendiculaires.
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Le projeté orthogonal du point $M $ sur la droite $\mathscr{D}$ est le point de $\mathscr{D}$ le plus proche de $M$.
	
\end{proposition}

\subsection{Point et plan.}

\subsubsection{Projeté orthogonal d'un point sur un plan.}

\begin{notabene}
	
	Au programme démonstration que le projeté orthogonal sur un plan réalise la distance minimale entre ce point et le plan.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $M$ un point de l'espace,
		
		\item $\mathscr{P}$ un plan de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{P}$, le point $H$ intersection de $\mathscr{P}$ et de la droite orthogonale à $\mathscr{P}$ passant par $M$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition est aussi une proposition puisqu'elle sous-entend l'existence et l'unicité du projeté orthogonal.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soit, dans l'espace rapporté à un repère,  $\mathscr{P}$ le plan passant par le point $A(1,-2,1)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{u}(-3,1,4)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $B(-15,-10,4)$ sur le plan $\mathscr{D}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Distance d'un point à un plan.}

\begin{proposition}{}
	
	Le projeté orthogonal du point $M $ sur le plan $\mathscr{P}$ est le point de $\mathscr{P}$ le plus proche de $M$.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal on considère les points $A(2,3,3)$, $B(-1,17,-17)$ et un vecteur $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$. On note $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $H(-9,5,-1)$ appartient à $\mathscr{P}$.
		
		\item Démontrez que $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $\mathscr{P}$ et déduisez-en la distance de $B$ à $\mathscr{P}$.
		
		\item Soit $C(5,11,-5)$. Justifiez que $C$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(BC)$ puis calculez la distance de $H$ à $(BC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Soient $A(8,10,5)$ un point et $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-z+1=0$ dans l'espace muni d'un repère. Déterminez les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme spécialite hatier variations 2020
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1;0;-2)$, $B(0;3;-1)$, $C(-1;2;1)$, $D(0;-1;0)$ et $S\left( \frac{5}{2} ; -\frac{3}{2}; 4 \right)$ des points de l'espace muni d'un repère orthonormé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un rectangle.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ alors, pour tout point $M$ du plan $(ABC)$, on a $SH= \frac{| \overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{n} |}{\|\overrightarrow{n} \|}$, où $H$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $ABC$.
			
			\item Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $(ABC)$.
			
			\item En déduire la hauteur $SH$ de la pyramide $SABCD$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Calculez le volume de la pyramide $SABCD$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac sujet 2 2021 15 mars 
		
	\end{notabene}
	
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points:
	
	\text{A} de coordonnées (2~;~0~;~0), B de coordonnées (0~;~3~;~0) et C de coordonnées
	(0~;~0~;~1).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_01}
		
	\end{center}
	
	
	L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).
			\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
		\end{enumerate}
		\item  On note $d$ la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
			\item Montrer que la droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right)$.
			\item Calculer la distance OH.
		\end{enumerate}
		\item  On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une
		base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
		
		En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 Asie 7 juin 2021
		
	\end{notabene}
	
	On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$. Les points P, Q et R sont définis par $\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AQ}} = ~\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{FG}}$. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$ avec : $\overrightarrow{\imath} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\jmath}= \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{k} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AE}}$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_02.png}
	\end{center}
	
	\textbf{Partie I}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8~;~2~;~8). 
		
		Donner les coordonnées des points P et Q.
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	
	\textbf{Partie II}
	
	\medskip
	
	On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4~;~4~;~4).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.
		\item Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)$
		\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 asie 8 juin
		
	\end{notabene}
	
	
	On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous.
	
	Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L
	est défini par: $\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_03.png}
	\end{center}
	
	\medskip	
	On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AI}}\right)$. 
	
	On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$ et $\overrightarrow{\text{AL}}$.
		\item  
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6~;~-3~;~2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).
			\item En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).
			\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et
			perpendiculaire au plan (AKL).
			\item En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : 
	
	\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times  (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base. 
			\item Calculer la distance du point D au plan (AKL).
			\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AK} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AL} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AL}$ forment une base de $(AKL)$. Avec les coordonnées: $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AL} =0$. Donc $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$.
			
			\item $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$ donc une équation cartésienne de la forme $6x-3y+2z+d=0$. De $A \in (AKL)$ on déduit $d=0$. $(AKL):\ 6x-3y+2z=0$.
			
			\item $\Delta $ perpendiculaire à $(AKL)$ et $\overrightarrow{n}$ orthogonal à $(AKL)$ donc $\overrightarrow{n}$ est vecteur directeur de $\Delta$.
			
			$\Delta$ passe ar $D$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ donc \[ \Delta: \ \left\{ \begin{array}{l} x=6t\\ y=-3t+1 \\ z= 2t \end{array} \right. \]
			
			\item $N \left( 3 \times \frac{3}{49}; -3 \times \frac{3}{49} +1 ; 2 \times \frac{3}{49} \right)$ donc $N \in \Delta$.
			
			$6x_N-3y_N+2z_N=0$ donc $N \in (AKL)$.
			
			Comme $D \in \Delta$, $N \in \Delta \cap (AKL)$ et $\Delta$ perpendiculaire à $(AKL)$, $N$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AKL)$.
			
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathscr{V}=\frac{1}{8}$.
			
			\item $d\left( (AKL); D \right)= DN= \left\| \overrightarrow{DN} \right\| = \sqrt{x_{\overrightarrow{DN}}^2 + y_{\overrightarrow{DN}}^2 + z_{\overrightarrow{DN}}^2}= \frac{21}{7}$.
			
			\item $\mathscr{A}=3 \times \frac{1}{ND} \mathscr{V} = \frac{1}{8}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		bac 2021 métropole 7 juin
		
	\end{notabene}
	
	
	\begin{minipage}[]{7.5cm}
		Dans un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ on considère
		
		\begin{itemize}
			\item [$\bullet$] le point A de coordonnées (1~;~3~;~2),
			
			\item[$\bullet$]le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$
			
			\item[$\bullet$] la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}$. 
		\end{itemize}
		
		Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.
		
		On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[]{7cm}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_02_produit_scalaire_et_equations_cartesiennes_04.png}
		
	\end{minipage}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. 
		
		\item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$. 
		\begin{enumerate}
			\item  On note A$M$ la distance entre les points A et $M$. Démontrer que: 
			
			\[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\] 
			
			\item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. 
			
			On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal. 
		\end{enumerate}
		\item Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales. 
		
		\item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$. 
		
		Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère. 
		
		\item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$. 
		
		On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire  
		
		d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. 
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}