%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Vecteurs, droites et plans de l'espace.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Vecteurs, droites et plans de l'espace.}

\begin{notabene}
	
	On aborde les vecteurs du point de vue purement géométrique: les translations, la norme c'est la longueur etc.
	
	Via les coordonnées on commence une introduction à la généralisation.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Compétences trouvées dans les sujets de Bac:
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez qu'un triangle est rectangle avec coordonnées.
		
		\item Avec produit scalaire et angle retrouver mesure d'angle.
		
		\item Démontrer que deux plan sont parallèles.
		
		\item É quation cartésienne s'un plan.
		
		\item Déterminer équation paramétrique d'un droite avec critères
		
		\item Coordonnées du proketé orthogonal sur un plan.
		
		\item Volume pyramide et aire triangle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}
\begin{lecon}
	
	L'espace correspond à l'environnement physique qui nous entour.
	
	Nous le percevons visuellement. Cependant lorsqu'on ferme un œil notre vision ne distingue plus la notion de profondeur. Nous voyons alors en deux dimensions comme sur un écran.
	
	La plupart des résultats de géométrie en deux dimensions se généralisent en trois dimensions. Nous allons l'étudier en détaillant les différences.
	
	\medskip
	Nous noterons $\mathscr{E}_3$ l'espace affine (formé de tous les points) de dimension 3.
	
\end{lecon}

\subsection{Vecteurs de l'espace.}

\subsubsection{Généralisations.}

\begin{notabene}
	
	Représentant, translation, vecteur. Représentation géométrique. Direction sens , norme. Somme et multiplication.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous définirons un \emph{\color{purple}vecteur $\vec u$} comme le déplacement associé à une translation $t$. Nous dirons que $t$ est \emph{\color{purple}la translation de vecteur $\vec u$} et nous noterons $t_{\vec{u}}$.
	
	\medskip
	Le vecteur associé à une absence de déplacement est appelé le \emph{\color{purple}vecteur nul} et est noté $\color{purple}\vec{0}$.
	
	\medskip
	Si $\overrightarrow{MN}$ est un représentant d'un vecteur $\vec u$ alors nous définissons
	
	\begin{itemize}
		\item la \emph{\color{purple}norme du vecteur} par: $\color{purple}\| \vec u \| =MN$ (si le repère est orthonormé voyez après),
		
		\item la \emph{\color{purple}direction du vecteur} qui est la droite $(MN)$,
		
		\item le \emph{\color{purple}sens du vecteur $\vec u$}: de $M$ vers $N$.
		
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $t$ une translation de $\mathscr{E}_3$ de vecteur $\vec u$,
		
		\item $M$ et $N$ deux points de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $t(M)=N$, alors nous dirons que $\overrightarrow{MN}$ est \emph{\color{purple}un représentant du vecteur $\vec u$} correspondant à la translation qui transforme $M$ en $N$.
	
\end{definition}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$, $B$, $M$ et $N$ des points de $\mathscr{E}_3$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que les représentants \emph{\color{purple}$\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont égaux} si et seulement si il existe une translation $t$ (de vecteur $\vec u$) telle que $t(M)=N$ et $t(A)=B$.
	
\end{definition}

\begin{exercice}{}
	
	On considère le parallélépipède rectangle (pavé droit) suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{5};
			\def\hauteur{3};
			\def\profondeur{2};
			\def\angledefuite{30};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Donnez sans justification d'autres représentants des vecteurs suivants.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{EF}$.
		\task $\overrightarrow{CA}$.
		\task $\overrightarrow{AE}$.
		\task $\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{FB}$.
		\task $\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{CH}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$.
		\task $\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{HF}$.
		\task $\overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{DE}$.
		\task $\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{BE}$.
		\task $\overrightarrow{HD}$.
		\task $\overrightarrow{HB}$.
		\task $\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{GA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{CB}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Deux représentants $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AB}$ d'un vecteur $\vec u$ sont égaux si et seulement si $ABNM$ est un parallélogramme.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Difficile sans définition de la translation...
	
\end{preuve}

\subsubsection{Somme de vecteurs.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $t_1$ et $t_2$ deux translations de vecteurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{w}$,
		
		\item $M$ et $N$ deux points de l'espace $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\color{purple}\vec{u}+\vec{w}$ si \[ t_2 \circ t_1 (M) = t_2 \left[ t_1(M) \right] = N. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ceci signifie notamment que $\vec{u} + \vec{w}$ est aussi un vecteur.
		
		\item Nous voyons que l'addition de vecteur "correspond" à la composition de translations en tant que fonctions.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Multiplication d'un vecteur par un scalaire.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$,
		
		\item $\vec{u}$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit de $\vec{u}$ par (le scalaire) $\lambda$} le vecteur noté  $\color{purple}\lambda\cdot \vec{u}$ (ou $\lambda \vec{u}$) défini par:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| \lambda \cdot \vec{u} \| = | \lambda | \times \| \vec{u} \|$.
		
		\item $\lambda \cdot \vec{u}$ et $\vec{u}$ ont la même direction.
		
		\item $\lambda \cdot \vec{u}$ et $\vec{u}$ sont 
		
		\begin{itemize}
			\item de même sens si $\lambda\geqslant 0$,
			
			\item de sens contraire si $\lambda <0$.
		\end{itemize}
		
	\end{enumerate}
		
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\vec{u}$ est un vecteur de $\mathscr{E}_3$ alors $\| 2\cdot \vec{u}\|=2  \|\vec{u}\|$, $\vec{u}$ et $2\cdot \vec{u}$ ont même direction et même sens.
		
		\item Si $\vec{u}$ est un vecteur de $\mathscr{E}_3$ alors $\left\| -\frac{1}{3} \cdot \vec{u} \right\| = \frac{1}{3} \|\vec{u}\|$, $\vec{u}$ et $-\frac{1}{3} \cdot \vec{u}$ ont même direction et sens contraire.
		
		\item En particulier, pour $\vec{u}$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$, $\vec{u}$ et $-1 \cdot \vec{u}=-\vec{u}$ ont mêmes norme et direction mais sont de sens contraire.
		
		Ainsi: $\vec{u}+\left( -\vec{u} \right)=\vec{0}$. Nous dirons que $-\vec{u}$ est \emph{\color{purple}l'opposé} de $\vec{u}$.
		
		\item Si, pour $(A,B,I) \in \mathscr{E}_3^3$, on a $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}$, alors $I$ est le milieu de $[AB]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La multiplication par un scalaire est une opération qui n'est définie qu'à droite. On n'écrira pas: $\overrightarrow{AB} \cdot 2$ mais bien $2 \cdot \overrightarrow{AB}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Les propriétés.}

\begin{notabene}
	
	Chalse identité du parallélogramme. Proprités de l'espace vectoriel: distributivité associativité.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Relation de Chasles}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. \[ {\color{orange}\overrightarrow{AB}}+{\color{red}\overrightarrow{BC}}={\color{Emerald}\overrightarrow{AC}} \]
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (D)node[right]{$C$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\draw (3,-0.7)node{\color{Emerald}$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour dessiner le représentant de la somme il faut choisir deux représentants des vecteurs qui \og se suivent \fg{}: l'extrémité d'un représentant est l'origine de l'autre représentant à sommer.
		
		\item Nous utiliserons aussi cette relation pour \og calculer\fg{} avec des vecteurs, \emph{i.e.} essentiellement pour simplifier les expressions.
		
		$-\vec{u}$ a le même sens et la même direction que $\vec{u}$ mais est de sens contraire.
		
		\item Il faut imaginer cette relation en trois dimensions comme dans l'exercice qui suit.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{}
	
	On considère le parallélépipède rectangle suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Exprimez les sommes de vecteurs suivantes sous forme d'un seul représentant faisant intervenir uniquement les points de la figure.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{HG}$.
		\task $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{EA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GF}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$.
				\item $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$.
				\item $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
				\item $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Identité du parallélogramme.}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d'un même plan.
			
			\medskip
			$\color{purple}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (C) at (3,-1);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (C)node[below]{$C$};
			\draw (D)node[right]{$D$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[black,thin,dashed] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (A)--(C);
			\draw[black,thin,dashed] (C)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous utiliserons ce résultat pour dessiner le vecteur somme lorsque les représentants additionnés ont la même origine.
		
		\item Cette identité est plus rarement utilisée dans les calculs que la relation de Chasles.
		
		\item Il faut imaginer cette relation en trois dimensions comme dans l'exercice qui suit.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	On considère le parallélépipède rectangle suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Simplifiez les sommes suivantes sous forme d'un seul représentant.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}$
		\task $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FH}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\lambda$ et $\mu$ des réels.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Les propriétés suivantes sont vraies.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$.
		
		\item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})= (\vec{u}+\vec{v} )+ \vec{w}= \vec{u}+ \vec{v}+ \vec{w}$.
		
		\item $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$.
		
		\item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
		
		\item $\lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} + \lambda \cdot \vec{v}$.
		
		\item $(\lambda +\mu) \cdot \vec{u}= \lambda \cdot \mu + \mu \cdot \vec{v}$.
		
		\item $(\lambda \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot ( \mu \cdot \vec{u})$.
		
		\item $1 \cdot \vec{u}=\vec{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Là encore pas de preuve sans définition des translations. Cependant il est possible de vérifier sur des représentants.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire des exemples de chaque propriétés pour montrer que ce sont simpolement les propriétés calculatoire habituelles.
		
		En profiter pour montrer que le point marquant la loi externe n'est pas obligatoire.
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ces propriétés ne doivent pas être apprises par cœur: il faut simplement retenir que l'on retrouve les loi habituelles qui régissent l'addition et a multiplication des réels.
		
		\item La propriété (i) signifie que $\vec{0}$ est un neutre pour l'addition.
		
		\item La propriété (ii) signifie que l'addition de vecteurs est associative. L'écriture de parenthèses, lorsqu'il ny a que des additions, n'est pas indispensable.
		
		\item La propriété (iii) signifie que tout vecteur est inversible pour l'addition (existence d'un opposé).
		
		\item Les propriétés (i), (ii) et (iii) combinées montrent que l'ensemble de tous les vecteurs du plan muni de l'addition forme un groupe.
		
		\item La propriété montre que l'addition est commutative. L'ensemble des vecteurs de l'espace forme un groupe abélien.
		
		\item Toutes les propriétés réunies forment la définition général d'un espace vectoriel.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}
\subsubsection{Colinéarité.}


\begin{definition}
	
	Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $\lambda$ (\emph{i.e.} on peut en trouver au moins un) tel que \[ \vec u=\lambda \cdot \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \cdot \vec u \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons voir la chose comme une sorte de rapport de proportionnalité entre les vecteurs.
		
		\item Il suffit d'établir l'une des deux égalités pour établir la colinéarité de deux vecteurs.
		
		\item Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
		
		\item L'expression \og colinéarité \fg{} signifie que les vecteurs représenterons la même \og ligne \fg{}, c'est-à-dire la même droite. Nous reverrons cela en disant que deux vecteurs colinéaires sont des vecteurs directeurs des mêmes droites.
		
		\item Des vecteur qui ne sont pas colinéaires seront dit \emph{\color{purple}linéairement indépendants}: ils ne dessinent pas les mêmes lignes, la même direction. 
		
		\item Sens, direction et norme...
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Développer l'idée que graphiquement il s'agit de regarder si les vecteurs sont portés par des droites parallèles. On imagine ces vecteurs comme des vecteurs directeurs. Comme nous regardons l'espace affine, il faut regarder les objets correspondant aux vecteurs de l'espace affine, c'est-à-dire les droites.
	\end{notabene}
	
	On considère le parallélépipède rectangle suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Dites, sans justifier, si, dans les cas suivants, les deux vecteurs proposés sont linéairement indépendants ou colinéaires.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{HG}$.
		\task $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{EH}$.
		\task $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{DG}$ et $\overrightarrow{FA}$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{GC}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Combinaisons linéaires.}

\begin{notabene}
	
	À partir de là on quitte le domaine des rappels et on commence à voir des nouveautés.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Pour l'étude des vecteurs la combinaison linéaire est un outil fondamental. À tel point que le domaine étudiant les vecteurs est appelé l'algèbre linéaire.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des vecteurs de l'espace $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\lambda$ et $\mu$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$} tout vecteur de la forme $\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $3 \cdot \vec{u}-4\cdot \vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
		
		\item $-\frac{1}{13}\cdot \vec{u} +\sqrt{3}\cdot \vec{v} + 0,8\cdot \vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
		
		\item Pour $(A,B,C,D) \in \mathscr{E}_3^4$, $\overrightarrow{AB}-6\cdot \overrightarrow{CD}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Trouver des relations de colinéarité avec la relation de Chasles.
		
	\end{notabene}
	
	Établissez une relation de colinéarité entre les représentant $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ sachant que
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Construire un point $M$ sur un pavé en le définissant à partir d'une combinaison linéaire de vecteurs apparaissant sur le pavé: recherche d'image par une translation.
		
	\end{notabene}
	
	On a dessinée ci-dessous le cube $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\def\longueur{3};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{3};
		\def\angledefuite{40};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		%Points milieux du bas.
		\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
		\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
		\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
		\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
		\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
		\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
		\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
		\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
		\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
		%Points milieux du haut.
		\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\draw (M) node [below left] {\color{red} $M$};
		\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
		\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
		\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
		\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%Points des arêtes verticales.
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
		\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
		\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
		\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
		\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimez les combinaisons linéaires suivantes sous forme d'un seul représentant.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $2 \cdot \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{FD}$.
			\task $4\cdot \overrightarrow{LK}+2 \cdot \overrightarrow{CA}$.
			\task $2 \cdot \overrightarrow{DM} + 2 \cdot \overrightarrow{QH}+2 \cdot \overrightarrow{NK}$.
			\task $\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{HF}$.
		\end{tasks}
		
		\item Proposez une combinaison linéaire
		
		\begin{tasks}(2)
			\task de $\overrightarrow{RM}$ et de $\overrightarrow{NP}$ qui égale $\overrightarrow{BD}$.
			\task de $\overrightarrow{HU}$ et $\overrightarrow{DB}$ qui égale $\overrightarrow{FD}$.
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec{u} $ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $(\lambda ,\mu)\in\mathbb{R}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe une combinaison linéaire telle que $\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}= \vec{0}$ et $\lambda$ et $\mu$ ne sont pas tous les deux nuls.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Par condition nécessaire et suffisante en distinguant les cas $\lambda$ ou $\mu$ nul.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette caractérisation de la colinéarité a l'avantage de ne pas contenir les deux possibilités de la définition (\og ou \fg{}).
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Vecteurs linéairement indépendants et base.}

\begin{lecon}
	
	La précédente proposition suggère un procédé de généralisation de la notion de colinéarité à plus de deux vecteurs.
	
	Nous dirons que des vecteurs $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ et $\vec{u}_3$ sont \emph{\color{purple}liés} s'il est possible de trouver une combinaison linéaire $\lambda_1 \cdot \vec{u}_1 +\lambda_2 \cdot \vec{u}_2 + \lambda_3 \cdot \vec{u}_3=\vec{0}$ avec les $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ non tous nuls.
	
	\medskip
	Cependant nous préférerons la notion contraire qui est celle de \emph{\color{purple}liberté}.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in\mathbb{R}^3$,
		
		\item $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$ des vecteurs de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que les vecteurs $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ et $\vec{u}_3$ sont \emph{\color{purple}linéairement indépendants} (ou \emph{\color{purple}libres}) lorsque, pour que $\lambda_1 \cdot \vec{u}_1 +\lambda_2 \cdot \vec{u}_2 + \lambda_3 \cdot \vec{u}_3=\vec{0}$, il faut forcément que $\lambda_1 = \lambda_2=\lambda _3=0$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{u}$ et $\vec{u}$ ne sont pas linéairement indépendants puisque, par exemple: $2\cdot \vec{u}-1\cdot \vec{u} -1\cdot \vec{u}=\vec{0}$.
		
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w} = -\vec{u}-\vec{v}$ ne sont pas linéairement indépendants car: $1\cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v} +1 \cdot \vec{w}=\vec{0}$.
		
		\item Si $ABCDEFGH$ est un cube non réduit à un point alors (et nous l'admettrons pour l'instant) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont des vecteurs linéairement indépendants.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous retrouvons ici une généralisation des notions de vecteurs linéairement indépendants.
		
		\item lorsque trois vecteurs de l'espace ne sont pas linéairement indépendant nous dirons qu'ils sont \emph{\color{purple}coplanaire}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Rappelons que nous avions défini une base du plan affine $\mathscr{E}_2$ comme un couple de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires).
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient :
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de l'espace $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que le triplet $(\vec{u}, \vec {v}, \vec{w} )$ est une \emph{\color{purple}base} de $\mathscr{E}_3$ si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour un cube $ABCDEFGH$ non réduit à un point $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$ est une base de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	On a dessinée ci-dessous le cube $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\def\longueur{4};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{3};
		\def\angledefuite{40};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		%Points milieux du bas.
		\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
		\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\draw (I) node [below left] {\color{Brown} $I$};
		\draw (J) node [below right] {\color{Brown} $J$};
		\draw (K) node [above left] {\color{Brown} $K$};
		\draw (L) node [above left] {\color{Brown} $L$};
		\draw (I) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (J) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (K) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (L) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%Points milieux du haut.
		\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\draw (M) node [below left] {\color{red} $M$};
		\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
		\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
		\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
		\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%Points des arêtes verticales.
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
		\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
		\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
		\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
		\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Proposez dix bases différentes de $\mathscr{E}_3$ en utilisant des représentants dont les extrémités apparaissent dans la figure ci-dessus.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Coordonnées.}

\begin{theoreme}{ et définition.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k} )$ une base de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\vec{u}$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe un unique triplet $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tel que \[ \vec{u} = x\cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}.\]
	
	Nous dirons que $(x,y,z)$ sont \emph{\color{purple}les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$}.
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Si \[ x\cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}= x'\cdot \vec{i} + y' \cdot \vec{j} + z' \cdot \vec{k} \] alors \[(x-x')\cdot \vec{i} + (y-y') \cdot \vec{j} + (z-z') \cdot \vec{k}= \vec{0}. \]
	
	Or les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ sont libres car formant une base et donc \[ \left\{ \begin{array}{c} x=x' \\ y=y' \ z=z' \end{array} \right. \]
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Autrement dit pour trouver les coordonnées d'un vecteur il suffit de l'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}
\begin{proposition}{ - coordonnées affines et vectorielles.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\vec{i}, \vec{j},\vec{k} )$ une base de $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $I$, $J$ et $K$ les images respective de $O$ dans les translations de vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$,
		
		\item $A$ un point de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ dans $(O,I,J,K)$,
		
		\item $B$ un point de coordonnées $(x_B,y_B,z_B)$ dans $(O,I,J,K)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Les coordonnées du représentant $\overrightarrow{AB}$ sont données par \[ \color{purple} \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix}\]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le repère (affine) $(O,I,J,K)$ sera aussi noté $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} )$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Expliquer que cela revient à rechercher la bonne combinaison linéaire.
		
	\end{notabene}
	
	On a dessinée ci-dessous un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=0]
		\def\longueur{6};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{3};
		\def\angledefuite{40};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
		%Points milieux du bas.
		\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
		\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
		\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\draw (I) node [below left] {\color{Brown} $I$};
		\draw (J) node [below right] {\color{Brown} $J$};
		\draw (K) node [above left] {\color{Brown} $K$};
		\draw (L) node [above left] {\color{Brown} $L$};
		\draw (I) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (J) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (K) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		\draw (L) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
		%Points milieux du haut.
		\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
		\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\draw (M) node [below left] {\color{red} $M$};
		\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
		\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
		\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
		\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
		\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
		%Points des arêtes verticales.
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
		\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
		\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
		\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
		\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
		\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
		\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Donnez à chaque fois les coordonnées du vecteurs dans la base proposée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AG}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left( \overrightarrow{HD}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HG} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DH}$ et $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\overrightarrow{AN}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{QM}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{PJ }$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	À partir de la définition des coordonnées il est aisé de vérifier les propriétés données dans la proposition suivante.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{B}=(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base de l'espace $\mathscr{E}_3$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$,
		
		\item $\vec{u} (x,y,z)$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$ dont les coordonnées sont données dans la base $\mathscr{B}$,
		
		\item $\vec{v} (r,s,t)$ un vecteur de $\mathscr{E}_3$ dont les coordonnées sont données dans la base $\mathscr{B}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On a: \[ \vec{u} +\vec{v} \begin{pmatrix} x+r \\ y+s \\ z+t \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \lambda \cdot \vec{u} \begin{pmatrix} \lambda \times x \\ \lambda \times y \\ \lambda \times z \end{pmatrix}. \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat explique que nous préférions noter les coordonnées des vecteurs en colonnes: on additionne et on multiplie en suivant les lignes des coordonnées présentées en colonnes.
		
		Nous pourrions (mais nous ne le ferons pas car c'est une approche différente de la question) définir l'addition des coordonnées: \[ \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 7 \\ 9	\end{pmatrix}.\]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ou pas dans les cas suivants. 
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\  1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -8 \\  -16 \\ -57 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \pi \\ 1 \\ \sqrt{\pi} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi^3} \\  \sqrt{\pi} \\ \pi \end{pmatrix}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
				
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 46
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,3)$, $B(2,0,3)$, et $C(6,3,8)$ des points de l'espace rapporté à un repère, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas liés.
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AB}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w}. \]
		
		\item Déterminez $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$ tels que: \[ \overrightarrow{BC}=\alpha' \vec{u} + \beta' \vec{v}+ \gamma' \vec{w}. \]
		
		\item Déduisez-en les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 67 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,3)$, $B(-1,1,4)$ et $C(3,5,-2)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $D$ telles ue $ABCD$ soit un parallélogramme.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 68 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,1)$, $B(3,-1,2)$ et $C(-1,3,4)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du milieu de $[AC]$.
		
		\item Déterminez les coordonnées de $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 70 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-1,4,-3)$ et $B(2,1,3)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 74 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $A(0,1,1)$, $B(2,1,1)$, $C(3,1,1)$ et $D(1,1,1)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item Soit $E(2,2,4)$.
		
		Déterminez les coordonnées du point $F$ telles que $ACEF$ soit un parallélogramme.
		
		\item Soient $J$ le milieu de $[EF]$ et $I$ le point tel que $F$ soit le milieu de $[AI]$.
		
		Démontrez que $J$ est le milieu de $[IC]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 77 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,1)$, $B(1,-1,1)$ et $C(3,1,2)$ trois points de l'espace rapporté à un repère. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $G$ (centre de gravité du triangle $ABC$) défini par $\overrightarrow{AG}= \frac{2}{3} \overrightarrow{AI}$.
		
		\item On considère le point $(E(3,7,2)$. déterminez les coordonnées du point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item On note $J$ le milieu de $[BE]$.
		
		Les points $G$, $J$ et $F$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Vérifier ou non l'indépendance de deux ou trois vecteurs.
		
		Montrer qu'une famille est une base.
		
		Montrer de la colinéarité.
		
		Repère 0iemes hachette page 310 et peut être montrer aux élève comment résoudre un système avec leur calculatrice.
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 44
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3,-2,-4)$, $B(4,-3,-2)$, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$.
		
		\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils liés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
				
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 45
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(2,4,-1)$, $B(3,1,2)$, $C(1,0,1)$, $D(3,2,1)$ et $E(1,2,0)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas liés.
		
		\item Le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$ peut-il être un repère de l'espace?
		
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Où se situe le point $M$?
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AE} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} + \gamma \overrightarrow{AD}. \] Quelles sont les coordonnées de $E$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Droites de l'espace.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Encore généralisation.
	
	Rappel vecteurs directeurs.
		
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Bien qu'une droite soit un ensemble de points la définition de la droite utilise les vecteurs.
	
	Ce sont les vecteurs, les translations, qui relient entre-eux les points de la droite.
	
	Rappelons qu'une droite est entièrement définie par la donnée de deux points distincts.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace affine $\mathscr{E}_3$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous noterons \emph{\color{purple}$(AB)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}droite passant par $A$ et $B$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La définition ci-dessus donne ce que l'on nomme un lieu géométrique: un procédé pour décrire la droite.
		
		Nous en utiliserons un autre qui sera souvent plus pratique: la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ tels que: \[ \color{purple}\overrightarrow{AM} = \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \] où $\lambda$ parcours l'ensemble des réels.
		
		Avec une notation ensembliste et le quantificateur existentiel $\exists$ on peut écrire: \[ (AB) =\left\{ M \in \mathscr{E}_3 \ | \ \exists \lambda \in \mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB} \right\}. \] 
		
		\item $\overrightarrow{AB}$ représente un vecteur $\vec{u}$ que nous appellerons un \emph{\color{purple}vecteur directeur} de $(AB)$.
		
		De façon plus générale nous appellerons vecteur directeur de la droite $(AB)$ tout vecteur \underline{non nul} colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
		
		\item On remarque qu'\emph{\color{purple}une droite est entièrement caractérisée par la donnée d'un point et d'un vecteur directeur}. Autrement dit pour parler d'une droite on peut en donner deux points distincts ($A$ et $B$) ou en donner un point ($A$) et un vecteur directeur ($\vec{u}$).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Avant d'aller plus loin faire un état des lieux des position relatives des droites de l'espace.
	
	À partir du dessin d'un cube d'un exercice avant interroger à l'oral sur les positions relatives sans démonstration.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Représentation paramétrique d'une droite.}

\begin{lecon}
	
	Soit $\mathscr{D}$ une droite de l'espace rapporté à repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} )$ passant par $A(1,-2,3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\-1\end{pmatrix}$.
	
	Dire que $M(x,y,z) \in \mathscr{D}$ équivaut à dire que $\overrightarrow{AM}$ et colinéaire à $\vec{u}$.
	
	Autrement dit, puisque $\vec{u} \ne 0$, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \vec{u}$.
	
	En considérant les coordonnées nous obtenons donc \[ \left\{ \begin{array}{c}x-1 = t \times 2 \\ y+2 = t \times 1 \\ z-3 = t \times -1 \end{array} \right. \]
	
	Ainsi dire que $M \in \mathscr{D}$ signifie qu'il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que les coordonnées de $M$ sont données par \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& 2t+1 \\ y &=& t-2 \\ z &=& -t+3 \end{array} \right. \]
	
	Formellement c'est comme si nous avions $M=t\vec{u}+A$.
	 
\end{lecon}

\begin{proposition}{ et définition.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A(x_A,y_A,z_A)$ un point de l'espace rapporté à un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$,
		
		\item $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur non nul de l'espace,
		
		\item $\mathscr{D}$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& at+x_A \\ y &=& bt+y_A \\ z &=& ct+z_A \end{array} \right. \]
	
	Nous dirons alors que ce système d'équation est une \emph{\color{purple}représentation paramétrique} de la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En physique nous utiliserons une notation fonctionnelle pour indiquer la dépendance de $x$ à $t$: $x(t)=at+x_A$.
		
		D'ailleurs si $x(t)$ représente l'abscisses d'un point $M$, $t$ sera souvent le temps.
		
		\item Chaque vecteur directeur de la droite donne une nouvelle représentation paramétrique: il y a donc une infinité de représentations paramétriques d'une droite.
		
		\item Formellement (il ne faut pas l'écrire comme ceci) la représentation paramétrique correspond à: $M=\vec{u}t+A$.
		
		\item Il n'est pas forcément étonnant que la représentation paramétrique d'une droite fasse apparaître des fonctions affines.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir d'un vecteur et d'un point.
		\end{notabene}
		
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir de deux points.
		\end{notabene}
		
		\item 
		\begin{notabene}
			À partir de la représentation paramétrique donnez deux points et un vecteur directeur.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver une représentation paramétrique à partir de deux points ou d'un point et d'un vecteur directeur.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de $\mathscr{E}_3$ définie par:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-1,-2,1)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2\\-3 \end{pmatrix}$,
		\task $A(1,0,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}$,
		\task $A(17,37,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\1\\0 \end{pmatrix}$,
		\task $A(100;2,4;-\frac{1}{3})$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi} \\ 3\times 10^2 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$,
		\task $A(2,3,4)$ et $B(-2,6,5)$,
		\task $A(6,-2,1)$ et $B(1,2,-1)$,
		\task $A(5,7,0)$ et $B(0,1,2)$,
		\task $A(1,2,3)$ et $B(-2,2,2)$,
		\task $A(0,-1,1)$ et $B(0,2,1)$,
		\task $A(2,0,4)$ et $B(1,0,3)$,
		\task $A(1,-1,0)$ et $B(0,2,0)$,
		\task $A(0,0,3)$ et $B(0,0,-2)$,
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Retrouver deux points distincts et un vecteur directeur d'une droite à partir de sa représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez un vecteur directeur et deux points des droites dont les équation paramétriques sont données:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t+1 \\ 
		y &=& 2t-3 \\ 
		z &=& -4t+2 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -2t+2 \\ 
		y &=& t-2 \\ 
		z &=& 6t+3 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 1 \\ 
		y &=& -t-3 \\ 
		z &=& t+2 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t \\ 
		y &=& 3t-3 \\ 
		z &=& 4 
		\end{array} \right.$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		Montrer que deux représentations correspondent à la même droite et pas à la même droite.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites sécantes.}

\begin{definition}
	
	Deux droites de l'espace sont dites sécantes si leur intersection est réduite à un point.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			À partir d'équations paramétriques. Montrer qu'elles sont sécantes.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			À PARTIR DE VECTEURS DIRECTEURS ET DE PINTS.
			
			Montrer qu'elles n'ont pas de point commun.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			À PARTIR DE POIINTS 
			
			Montrer qu'elles ont une infinité de points communs.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Dites si les droites suivantes sont scantes d'après leur représentation paramétriques (raisonnement par analyse synthèse
	\end{notabene}
	
	Déterminez si les droites suivantes de $\mathscr{E}_3$ rapporté à un repère, sont sécantes.
	
	\begin{tasks}
		\task $\Delta_1$ qui passe par $A_1(1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_1 \begin{pmatrix}
		1\\
		2\\
		-1
		\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ qui passe par $A_2(-1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_2 \begin{pmatrix}
		3\\
		6\\
		-3
		\end{pmatrix}$
		\task $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& t \\ 
		y &=& -2t-3 \\ 
		z &=& t+1 
		\end{array} \right.$ et 
		$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t \\ 
		y &=& 3t-3 \\ 
		z &=& 4 +1
		\end{array} \right.$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites parallèles.}

\begin{definition}
	
	Deux droites de l'espace sont dites parallèles si au moins un vecteur directeur de l'une est colinéaire à au moins un vecteur directeur de l'autre.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			Montrer que deux droites sont parallèles à partir de leur représentations paramétriques
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			Montrer que deux droites ne sont parallèles à partir de leur représentations paramétriques.
			
			Vérifier que deux vecteurs de l'espace ne sont pas colinéaires.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si les deux vecteurs directeurs sont effectivement colinéaires alors tous les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires entre eux.
		
		\item Le parallélisme inclus le cas des droites confondues.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer le parallélisme de deux droites à partir de leur représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les droites parallèles parmi
	
	$\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 3t +1\\ 
	y &=& 2t-3 \\ 
	z &=& -t+1 
	\end{array} \right.$, $\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 2t-17 \\ 
	y &=& -5t+7 \\ 
	z &=& t+45 
	\end{array} \right.$, $\Delta_3: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 4t +24\\ 
	y &=& -10t-3 \\ 
	z &=& 2t-\pi 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_4: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 3t+12 \\ 
	y &=& 2t-18 \\ 
	z &=& -t+34 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_5: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& -6t+1 \\ 
	y &=& -4t-3 \\ 
	z &=& 2t+1 
	\end{array} \right.$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminer représentation paramétrique à partir de la représentation paramétrique d'une autre droite parallèle et les coordonnées d'un point.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
	x &=& 7t-2 \\ 
	y &=& -2t+3 \\ 
	z &=& t+1 
	\end{array} \right.$ une droite et $A(1,0,1)$ un point.
	
	Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta_2$ parallèle à $\Delta_1$ et passant par $A$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 76 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABCD$ un tétraèdre.
	
	L'espace est rapporté au repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$.
	
	On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[DC]$ et de $[BC]$.
	
	Soient $E$ et $F$ les points définis par $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}= \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées des points $I$, $J$, $E$ et $F$.
		
		\item Démontrez que $(EF)$ est parallèle à $(IJ)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 84
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ où $A(1,-1,3)$ et $B(3,2,4)$.
		
		\item On considère le point $E(-5,7,1)$. 
		
		Déterminez une représentation paramétrique  de la droite $d$ contenant $E$ et parallèle à $(AB)$.
		
		\item On considère le point $F(-1,13,3)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $(AF)$ et $d$ ne sont pas parallèles.
			
			\item Déterminez les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites coplanaires.}

\begin{definition}
	
	Deux droites de l'espace sont dites coplanaires si elles sont sécantes ou parallèles.
	
\end{definition}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 1 15 mars	2021
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_geometrie_01_vecteurs_droites_et_plans_de_l_espace_01_bac_2022_sujet_1_15_mars.png}
		
	\end{center}
	
	SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
	
	Le point I est le centre du carré ABCD. 
	
	On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.
	
	Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
			\end{tabularx}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
	Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$.
	
	Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:
	
	\[\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1).\]
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		
		\item  Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
		{\footnotesize \begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
					\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
					\end{array}\right.$
					
					$(t \in \mathbb{R})$
				\end{tabularx}
		\end{center}}
		
		\begin{notabene}
		\item Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
				\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Droites non coplanaires.}

\begin{lecon}
	
	Des droites sont dites non coplanaires si elles ne sont pas coplanaires.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Deux droites sont non coplanaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et si leur intersection est vide.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 8 juin
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 81
		
	\end{notabene}
	
	Soient $d$ et $d'$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique:
	
	\[ d: \left\{ \begin{array}{l} -2t+3 \\y=-3t +1 \\ z=t+2 \end{array} \right. ,\ t\in\mathbb{R} \]
	
	\[ d': \left\{ \begin{array}{l} t'-1 \\y=-2t' \\ z=4 \end{array} \right. ,\ t' \in\mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour chaque droite donnez un point et un vecteur directeur.
		
		\item Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles? sécantes?
		
		\item Que pouvez-vous conclure?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 82
		
	\end{notabene}
	
	Dans chaque cas étudiez la position relative des droites $d$ et $d'$.
	
	\[ d:\left\{ \begin{array}{l} x= \\ y= \\ z= \end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 83
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 315 exercice 88: représentation paramétrique d'un segment.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 316 exercice 91 à 93: positions relatives
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 2022/09/13 jour 2
		
	\end{notabene}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
	
	$\left\{\begin{array}{l c r}
	x &=& 1 + 2t\\
	y &=& -2 + t\\ 
	z&=&4 - t
	\end{array}\right., t\, \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} M$(2~;~1~;~-1)$; & \textbf{Réponse B :} N$(-3~;~-4~;~6)$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} P$(-3~;~-4~;~2)$ ; & \textbf{Réponse D :} Q$(-5~;~-5~;~1)$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ admet pour coordonnées : 
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;& \textbf{Réponse B :}$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$& \textbf{Réponse D :} $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :}$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse B :} $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$\\
				\textbf{Réponse C :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse D :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
				
		\item On considère le point D défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} \parbox[t]{4cm}{$\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires ;} &\textbf{Réponse B :} $\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} \parbox[t]{4cm}{D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$ ;} &\textbf{Réponse D :} \parbox[t]{4cm}{les points A, B, C et D\\ sont alignés.}
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Plans de l'espace.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	
	Définition par trois points distincts non alignés? (exercice montrer par droites sécantes que trois points définissent bien un plan).
	
	Vecteurs coplanaires (2 ou 3 pas sur)
	
\end{notabene}


\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$, $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux  et non alignés de l'espace affine $\mathscr{E}_3$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous noterons \emph{\color{purple}$(ABC)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}plan passant par $A$, $B$ et $C$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}$ soit une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit: \[ (AB) =\left\{ M \in \mathscr{E}_3 \ | \ \exists (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC} \right\}. \] 
		
		\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ jouent, pour les plans, le même rôle que le vecteur directeur pour la droite. Ils indiquent \emph{\color{purple}la direction} du plan. La direction du plan est l'ensemble des tous les vecteurs qui peuvent être obtenus comme combinaisons linéaires de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
		
		\item Dire que $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts deux à deux et non alignés équivaut à dire que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
		
		Autrement dit {\color{purple}$\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)$ est un repère du plan $(ABC)$}.
		
		\item On remarque qu'\emph{\color{purple}un plan est entièrement caractérisé par la donnée d'un point et de deux vecteurs non colinéaires de sa direction}. Autrement dit pour parler d'une plan on peut en donner trois points distincts non alignés ($A$, $B$ et $C$) ou en donner un point ($A$) et deux vecteurs non colinéaires de sa direction ($\vec{u}$ et $\vec{v}$).
		
		\item Comme pour les droites il existe une représentation paramétrique mais celle-ci fait intervenir deux paramètres. S'il peut arriver que nous la rencontrions nous n'en ferons pas un grand usage.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Position relative d'une droite et d'un plan.}

\begin{lecon}
	
	Nous aurons trois situations possibles: 
	
	\begin{itemize}
		\item la droite est parallèle au plan
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\def\xB{3};
				\def\yB{-1};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\def\xC{5};
				\def\yC{1};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\def\xD{2};
				\def\yD{2};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\fill          [Green!40] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\draw [blue] (1,3) -- (4,2);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item la droite est incluse dans le plan
		
		\item la droite et le plan sont sécants.
		
	\end{itemize}
	
	Hormis pour l'inclusion qui est déjà définie (il s'agit de l'inclusion d'ensembles: tout point de la droite appartient au plan) nous allons définir ces situations.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Faire l'arbre des possibles.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	\emph{\color{purple}Une droite et un plan de l'espace sont sécants} si et seulement si leur intersection est réduite à un point.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Exemples sur le cube.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	\emph{\color{purple}Une droite et un plan de l'espace sont parallèles} si au moins un vecteur directeur de la droite est colinéaire à au moins un vecteur de la direction du plan.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit il faut et il suffit qu'un vecteur directeur (de la droite) soit une combinaison linéaire des vecteurs d'une base du plan.		
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Exemples sur le cube.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Lelivrescolaire exercice 85 page 78.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[ \left\{ \begin{array}{l} x=-t+1\\ y=4t-3\\ z=\frac{1}{2} t + 6 \end{array} \right. , \ t \in \mathbb{R}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez un vecteur directeur de $d$.
		
		\item Soit $\mathscr{P}$ un plan dont un repère est $(A; \vec{u}, \vec{v})$ avec $A(-1,2,5)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix}
		1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\-3 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Le point $E(1,1,1)$ appartient-il à ce plan?
			
			\item La droite $d$ est-elle parallèle à $\mathscr{P}$? Justifier.
			
			\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ contenant $E$, de vecteur directeur $\vec{u}$.
			
			Que peut-on dire de $\Delta$ et de $\mathscr{P}$?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Lelivrescolaire exercice 86 page 78.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 mai 1mérique du nord. Remplacer équation catérsienne du plan par des vecteurs d'une base.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Plans parallèles.}

\begin{notabene}
	
	Deux plans sont parallèles si et seulement si ils ont une base commune.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Plans sécants.}

\begin{notabene}
	
	Il existe un vecteur de l'un qui forme avec une base de l'autre des vecteurs linéairement indépendants.
	
\end{notabene}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}