%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, bases.}

\begin{notabene}
	\color{red}Distribuer une photocopie de l'image du cube en grand format à tout le monde sur feuille libre pour accompagner les exercices.
\end{notabene}

\begin{notabene}
	Tout l'aspect lecture doit être traité rapidement ou en devoir maison car les deniers sujets de bac n'en demandent pas.
\end{notabene}

\subsubsection{Espace vectoriel euclidien.}

\begin{lecon}
	Comme dans le plan nous pouvons définir des vecteurs comme le déplacement associé à une translation mais dans un espace à trois dimensions. Comme trois points sont toujours contenus dans un plan un grand nombre de résultats du plan se retrouvent dans l'espace.
\end{lecon}

\begin{definition}
	On appelle \emph{\color{purple}espace vectoriel euclidien} et on note $\color{purple}\vec{\mathscr{E}}$ l'ensemble formé de tous les vecteurs de l'espace.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On retrouve dans cet espace les opérations d'addition de vecteurs et de multiplication d'un vecteur par un nombre réel  (appelé scalaire).
		\item Si $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ on dit que $\overrightarrow{AB}$ est un représentant de $\vec{u}$.
		\item On retrouve également la relation de Chasles: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
		\item L'identité du parallélogramme: $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
		\item La notion de colinéarité est toujours valable.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Combinaisons linéaires.}

\begin{definition}
	Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $(\alpha_1, \dots,\alpha_n)\in\mathbb{R}^n$, $()\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)\in\vec{\mathscr{E}}^n$. Le vecteur $\alpha_1\vec{v}_1 +\dots +\alpha_n\vec{n}$ est appelé une \emph{\color{purple}combinaison linéaire} des vecteurs $\vec{v_1}$, ..., $\vec{v}_n$.
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs alors $-3\vec{u}+2 \vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
		\item $4\vec{i}-\frac{1}{5}\vec{j} +\pi \vec{k}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$.		
		\item $4\vec{i}$ est aussi une combinaison linéaire (avec un unique vecteur).		
		\item $\vec{0}$ est aussi une combinaison linéaire.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La définition de combinaison linéaire est valable pour les vecteurs du plan.
		\item La combinaison linéaire est le calcul fondamental pour l'étude des vecteurs.
	\end{enumerate}
\end{remarques}


\begin{lecon}
	Dans les exercices lorsqu'on parle d'un parallélépipède rectangle, ou un cube, $ABCDEFGH$ vous pourrez raisonner sur la figure suivante. Les points qui ne sont pas de sommets les milieux des arêtes.
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	On attend des élèves qu'ils soient capables de lire des informations vectorielles sur une figure en perspective cavalière.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Démontrez les égalités de vecteurs de l'espace.
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$.
		\task $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$.
		\task $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
		\task $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Avec la relation de Chasles.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère la figure plane suivante.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A) at (1,0);
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at (2,2);
			\draw (B) node [above left] {$B$};
			\coordinate (C) at (3,4);
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at (5,4);
			\draw (D) node [below right] {$D$};
			\coordinate (E) at (4,2);
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (F) at (3,0);
			\draw (F) node [below right] {$F$};
			\coordinate (G) at (5,0);
			\draw (G) node [below right] {$G$};
			\coordinate (H) at (6,2);
			\draw (H) node [below right] {$H$};
			\coordinate (I) at (7,4);
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\draw [thick] (A) -- (G);
			\draw [thick] (A) -- (C);
			\draw [thick] (C) -- (I);
			\draw [thick] (I) -- (G);
			\draw [thick] (B) -- (H);
			\draw [thick] (F) -- (D);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Donnez un autre représentant de chacun des vecteurs proposés.	
	\begin{tasks}(6)
		\task $\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$.
		\task $\overrightarrow{DH}$.
		\task $\overrightarrow{FC}$.
		\task $\overrightarrow{HA}$.
		\task $\overrightarrow{IE}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HI}$.
		\task $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CA}$.
		\task $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{ED}$.
		\task $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HE}$.
		\task $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{BF}$.
		\task $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{IB}$.
		\task $\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{DB}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère un parallélépipède rectangle (pavé droit) $ABCDEFGH$. Donnez, sans justification, d'autres représentants des vecteurs suivants.
	\begin{tasks}(6)
		\task $\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{CA}$.
		\task $\overrightarrow{AE}$.
		\task $\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{FB}$.
		\task $\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{CH}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$.
		\task $\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{HF}$.
		\task $\overrightarrow{EF}$.
		\task $\overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{DE}$.
		\task $\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{BE}$.
		\task $\overrightarrow{HD}$.
		\task $\overrightarrow{HB}$.
		\task $\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{GA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{CB}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$.
		\task $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{GE}$.
		\task $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DE}$.
		\task $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{EA}$.
		\task $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$.
		\task $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$.
		\task $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{BE}$.
		\task $\overrightarrow{BH}=?$.
		\task $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{FA}$.
		\task $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{HF}$.
		\task $\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{DF}=?$.
		\task $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DG}$.
		\task $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CH}$.
		\task $\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{FB}$.
		\task $\overrightarrow{HB}=?$.
		\task $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{GA}=?$.
		\task $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
		\task $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. Exprimez les sommes de vecteurs suivantes sous forme d'un seul représentant faisant intervenir uniquement les points de la figure.
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{HG}$.
		\task $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{EA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GF}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{EA}=?$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AD}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.	Simplifiez les sommes suivantes sous forme d'un seul représentant. \emph{Vous pourrez utiliser l'identité du parallélogramme.}
	\begin{tasks}(5)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}$
		\task $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FH}$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
		\task $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FH}=2\overrightarrow{FQ}$.
		\task $\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DG}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GA}$
		\task $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}$.
		\task $\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FD}$
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère un cube $ABCDEFGH$. Simplifiez la combinaison linéaire sous forme d'un unique représentant. \emph{Exemple: $-2\cdot \overrightarrow{QM}+1 \cdot \overrightarrow{EF} + 1 \cdot \overrightarrow{FB}=\overrightarrow{MK}$.}
	\begin{tasks}(2)
		\task $ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PM}+ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{NQ}$.
		\task $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{TP}$.
		\task $3 \cdot \overrightarrow{DL}+ 2 \cdot \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{RQ}$.
		\task $\overrightarrow{CB}+ 2 \cdot \overrightarrow{UP}$.
		\task $\overrightarrow{SI}+ \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{AE}$.
		\task $2 \cdot \overrightarrow{HQ}+ 2 \cdot \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{FD}$.
		\task $\overrightarrow{DE}-2 \cdot  \overrightarrow{UH} + \overrightarrow{BG}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PM}+ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{NQ}= \overrightarrow{PQ}$.
		\task $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{TP}= \overrightarrow{DP}$.
		\task $3 \cdot \overrightarrow{DL}+ 2 \cdot \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{RQ}= \overrightarrow{DT}$.
		\task $\overrightarrow{CB}+ 2 \cdot \overrightarrow{UP}= \overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{SI}+ \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{AE}= \overrightarrow{TF}$.
		\task $2 \cdot \overrightarrow{HQ}+ 2 \cdot \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{FD}= \overrightarrow{HD}$.
		\task $\overrightarrow{DE}-2 \cdot  \overrightarrow{UH} + \overrightarrow{BG}= \overrightarrow{DE}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère un cube $ABCDEFGH$. Exprimez le vecteur $\vec{u}$ en fonction des vecteurs $\vec{v}$, $\vec{w}$ et éventuellement $\vec{s}$ dans les cas suivants. \emph{Exemple: $\overrightarrow{AF}= 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{BF}$ est une expression de $\vec{u}=\overrightarrow{AF}$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w}=\overrightarrow{BF}$.}
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{BD}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{BA}$.			\task $\vec{u}= \overrightarrow{DG}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{FC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{HD}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{MI}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AI}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{GT}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{QM}$, $\vec{v}= \overrightarrow{HE}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{EF}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CD}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{HF}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AE}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AP}$, $\vec{v}= \overrightarrow{IB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{DL}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CT}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DS}$, $\vec{v}= \overrightarrow{LR}$, $\vec{w} = \overrightarrow{EH}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AK}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{PB}$, $\vec{v}= \overrightarrow{UK}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{HE}$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{BD}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{BA}$.
		
		$\vec{u} = -1\vec{v}+ 1\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DG}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{FC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{HD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{MI}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AI}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{GT}$.
		
		$\vec{u} = 0\vec{v}+ 2\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{QM}$, $\vec{v}= \overrightarrow{HE}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{EF}$.
		
		$\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{v}+ \frac{1}{2}\vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		Impossible.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DJ}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-\frac{1}{2} \vec{w}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{HF}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AE}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-1 \vec{w}+0\vec{s}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AP}$, $\vec{v}= \overrightarrow{IB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{DL}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CT}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-2 \vec{w}+ 2\vec{s}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DS}$, $\vec{v}= \overrightarrow{KS}$, $\vec{w} = \overrightarrow{EQ}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AK}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}- 2\vec{w}+ 1\vec{s}$.		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{PB}$, $\vec{v}= \overrightarrow{UK}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{DL}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-\frac{1}{2} \vec{w}+ 2\vec{s}$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Ajouter des exercices avec d'autre solides tétraèdre, pyramide à base carrée.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Indépendance linéaire.}

\begin{definition}
	Pour $n \in \mathbb{N}$, nous dirons que des vecteurs $\vec{v}_1$, ..., $\vec{v}_n$ de $\vec{\mathscr{E}}$ sont \emph{\color{purple}linéairement indépendants} si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui égale le vecteur nul est obtenue avec des coefficients tous nuls.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit pour que les vecteurs soient linéairement indépendants il faut que: s'il existe des nombres $a_1$, .., $a_n$ tels que $a_1\vec{v}_1+\dots +a_n\vec{v}_n= \vec{0}$ alors, forcément, $a_1=\dots=a_n=0$.
		\item Cette définition technique signifie que les vecteurs contiennent des directions différentes, qu'aucun des deux (resp. trois) vecteurs ne peut être retiré sans une perte de possibilité de déplacement.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{u}$ et $\vec{u}$ ne sont pas linéairement indépendants puisque, par exemple: $2\cdot \vec{u}-1\cdot \vec{u} -1\cdot \vec{u}=\vec{0}$.		
		\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w} = -\vec{u}-\vec{v}$ ne sont pas linéairement indépendants car: $1\cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v} +1 \cdot \vec{w}=\vec{0}$.		
		\item Si $ABCDEFGH$ est un cube non réduit à un point alors (et nous l'admettrons pour l'instant) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont des vecteurs linéairement indépendants.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Deux vecteurs ne sont pas linéairement indépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Supposons les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non linéairement indépendants. S'il existe des réels $\lambda$ et $\mu$ dont l'un au moins est non nul, par exemple $\lambda$, et tel que $\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}=-\frac{\mu}{\lambda}\vec{v}$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
	
	La réciproque est du même tonneau.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas linéairement indépendant puisque colinéaires.
		\item %avec les coordonnées deux vecteurs du plan même si les repères n'ont pas encore étés introduits.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Vecteur directeur d'une droite.}

\begin{lecon}
	Pour des raisons pédagogiques (éviter le cours ne soit trop long et trop décousu) nous admettrons dès maintenant des résultats qui seront vus plus loin dans la leçon: {\color{red}les points et les vecteurs de l'espace admettent trois coordonnées} de la même façon que dans les plans il n'en admettent que deux.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace $\mathscr{E}$. On appelle \emph{\color{purple}droite $(AB)$} l'ensemble des points $M$ de l'espace $\mathscr{E}$ tels que $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ tels que: $\exists k\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$. On dit que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, pour tout $k\in\mathbb{R}$, est \emph{\color{purple}une représentation paramétrique vectorielle} de $(AB)$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{definition}
	Soient $A\in\mathscr{E}$ et $\vec{u}\in\vec{\mathscr{E}}$ tel que $\vec{u} \ne \vec{0}$. On appelle droite passant par $A$ et de \emph{\color{purple}vecteur directeur} $\vec{u}$ la droite $(AB)$ où $B$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$. Le couple $(A;\vec{u})$ est appelé \emph{\color{purple}un repère de la droite} $(AB)$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. $(A;\overrightarrow{AB})$ et $(B;-3\overrightarrow{BA})$ sont des repères de la droite $(AB)$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $A\in\mathscr{E}$ et $\vec{u}\in\vec{\mathscr{E}}$ tel que $\vec{u} \ne \vec{0}$. Notons $\mathscr{D}$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. Si $C \in \mathscr{D}$ alors il existe un unique $k\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\vec{u}$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $k$ est appelé \emph{\color{purple}l'abscisse de $C$ dans le repère} $(A;\vec{u})$.
		\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \vec{u}$ où $\lambda \in\mathbb{R}$ est la droite de repère $(A;\vec{u})$; on parle de \emph{\color{purple}représentation paramétrique vectorielle}. De cette égalité entre vecteurs on déduit trois égalités entre les coordonnées: $\left\{\begin{array}{l} x_M=\lambda x_{\vec{u}}+x_A\\ y_M=\lambda y_{\vec{u}}+y_A\\ z_M=\lambda z_{\vec{u}}+z_A
		\end{array}\right.,\quad \lambda \in \mathbb{R}$ qu'on appelle \emph{\color{purple}une représentation paramétrique de la droite} dont un repère est $(A;\vec{u})$. Il est clair que toute droite admet une représentation paramétrique (et la réciproque est également vraie) et que cette représentation paramétrique n'est pas unique.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace tels que $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires puisque $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2} \overrightarrow{AC}$ et donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés. De plus l'abscisse de $B$ dans le repère $(A;\overrightarrow{AC})$ est $\frac{3}{2}$. Celle de $A$ dans le même repère est $0$. L'abscisse de $B$ dans le repère $(C;\overrightarrow{AB})$ est $\frac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0)--(8,0);
			\coordinate (A) at (5,0);
			\draw (A) node {\footnotesize |};
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,0);
			\draw (B) node {\footnotesize |};
			\draw (B) node[below left] {$B$};
			\coordinate (C) at (4,0);
			\draw (C) node {\footnotesize |};
			\draw (C) node[below left] {$C$};
			\coordinate (D) at (6,0);
			\draw (D) node {\footnotesize |};
			\draw (D) node[below left] {$D$};
			\coordinate (E) at (2,0);
			\draw (E) node {\footnotesize |};
			\draw (E) node[below left] {$E$};
			\coordinate (F) at (7,0);
			\draw (F) node {\footnotesize |};
			\draw (F) node[below left] {$F$};
			\coordinate (G) at (4,0);
			\draw (G) node {\footnotesize |};
			\draw (G) node[below left] {$G$};
			\coordinate (H) at (3,0);
			\draw (H) node {\footnotesize |};
			\draw (H) node[below left] {$H$};
			\draw [>=latex,violet,->] (2,0.5)--(3,0.5) node [midway, above] {$\vec{u}$};
			\draw [>=latex,purple,->] (6,0.5)--(4,0.5) node [midway, above] {$\vec{v}$};
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
	Donnez sans justification l'abscisse du point dans le repère.
	\begin{tasks}(3)
		\task $B$ dans $\left( A;\vec{u} \right)$.
		\task $H$ dans $\left( B;\vec{v} \right)$.
		\task $G$ dans $\left( D;2\vec{u} \right)$.
		\task $E$ dans $\left( F;2\vec{v} \right)$.
		\task $A$ dans $\left( D;2\vec{v} \right)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère un pavé droit $ABCDEFGH$. Dans chaque cas décrivez par deux points la droite dont on donne un repère. Exemple: la droite dont un repère est $(A;\overrightarrow{AL})$ est la droite $(AL)$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $(A;\overrightarrow{DC})$.%AB
		\task $(H;\overrightarrow{TJ})$.%HA
		\task $(M;\overrightarrow{UD})$.%MI
		\task $(K;\overrightarrow{BE})$.%KU
		\task $(A;\overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{AE})$.%AM
		\task $(B;\overrightarrow{HM}+ \overrightarrow{HD})$.%BP
		\task $(S;\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{GH})$.%SU
		\task $(G;\overrightarrow{FE}+ \overrightarrow{TC})$.%TU
		\task $(I;\overrightarrow{KU}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{KP})$.%IE
		\task $(G;\overrightarrow{KL}+ \overrightarrow{KJ})$.%GF
		\task $(I;\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CG})$. %IG
		\task $(F;\overrightarrow{UD}+ \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{BS})$. %IG
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(5)
		\task $(AB)$.
		\task $(HA)$.
		\task $(MI)$.
		\task $(KU)$.
		\task $(AM)$.
		\task $(BP)$.
		\task $(SU)$.
		\task $(TU)$.
		\task $(IE)$.
		\task $(GF)$.
		\task $(IG)$.
		\task $(IG)$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer des alignements, de la colinéarité.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de $\mathscr{E}_3$ définie par:	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-1,-2,1)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2\\-3 \end{pmatrix}$,
		\task $A(1,0,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}$,
		\task $A(17,37,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\1\\0 \end{pmatrix}$,
		\task $A(100;2,4;-\frac{1}{3})$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi} \\ 3\times 10^2 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$,
		\task $A(2,3,4)$ et $B(-2,6,5)$,
		\task $A(6,-2,1)$ et $B(1,2,-1)$,
		\task $A(5,7,0)$ et $B(0,1,2)$,
		\task $A(1,2,3)$ et $B(-2,2,2)$,
		\task $A(0,-1,1)$ et $B(0,2,1)$,
		\task $A(2,0,4)$ et $B(1,0,3)$,
		\task $A(1,-1,0)$ et $B(0,2,0)$,
		\task $A(0,0,3)$ et $B(0,0,-2)$,
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez un vecteur directeur et deux points des droites dont les représentations paramétriques sont données:
	\begin{tasks}(3)
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t+1 \\ 
		y &=& 2t-3 \\ 
		z &=& -4t+2 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -2t+2 \\ 
		y &=& t-2 \\ 
		z &=& 6t+3 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 1 \\ 
		y &=& -t-3 \\ 
		z &=& t+2 
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t \\ 
		y &=& 3t-3 \\ 
		z &=& 4 
		\end{array} \right.$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		Montrer que deux représentations correspondent à la même droite et pas à la même droite.
	\end{notabene}
	Déterminez les points d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ dont on donne des représentations paramétriques.
	\begin{tasks}(1)
		\task $d_1:\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t_1+1 \\ 
		y &=& t_1+1 \\ 
		z &=& -4t_1+2 
		\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R} \quad \text{ et } \quad d_2:\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 4t_2-5\\ 
		y &=& -t_2+7 \\ 
		z &=& -2t_2-4 
		\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$.
		\task $d_1:\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -t_1+2 \\ 
		y &=& t_1+3 \\ 
		z &=& t_1 
		\end{array} \right.,\ t_1 \in\mathbb{R} \quad \text{ et } \quad d_2:\left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& t_2-2\\ 
		y &=& -3t_2+1 \\ 
		z &=& t_2+1 
		\end{array} \right.,\ t_2 \in\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans chaque dites si le point $A$ appartient à la droite $d$.
	\begin{tasks}(1)
		\task $A (11,-37,15)$ et $d:\left\{ \begin{array}{rl}
		x &= 2t+1 \\ 
		y &= -7t-2 \\ 
		z &= 3t
		\end{array} \right.,\ t \in\mathbb{R}$.
		\task $A (13,-6,12)$ et $d:\left\{ \begin{array}{rl}
		x &= 4t-3 \\ 
		y &= -3t +6 \\ 
		z &=  5t-10
		\end{array} \right.,\ t \in\mathbb{R}$.
		\task $A (138,-138,13)$ et $d:\left\{ \begin{array}{rl}
		x &= t+1 \\ 
		y &= -t-1 \\ 
		z &=  12
		\end{array} \right.,\ t \in\mathbb{R}$.
		\task $A (-5,-21,50)$ et $d:\left\{ \begin{array}{rl}
		x &= -5 \\ 
		y &= 3t \\ 
		z &=  -7t+1
		\end{array} \right.,\ t \in\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task Oui pour $t=5$.
		\task Non: $13=4t-3 \Leftrightarrow T=4$ mais $12=5t-10 \Leftrightarrow t=\frac{22}{5}$.
		\task Non: si $z_A=12$ alors $z_A \ne 13$.
		\task $-21=3t \Leftrightarrow t=-7$ or $-7 \times (-7)+1=50$ donc oui.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Direction d'un plan.}

\begin{definition}
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace $\mathscr{E}$. On appelle \emph{\color{purple}plan $(ABC)$} l'ensemble des points $M$ de $\mathscr{E}$ tels que $\overrightarrow{AM}$ soit une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. $J\in (AID)$ car $\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AI}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Donnez dans chaque cas un quatrième point du plan proposé. Par exemple, pour $(ABC)$ le point $D$ convient: $D \in (ABC)$.	
	\begin{tasks}(5)
		\task $(DEF)$.
		\task $(HCD)$.
		\task $(EFB)$.
		\task $(BCF)$.
		\task $(FHG)$.
		\task $(UJT)$.
		\task $(PRM)$.
		\task $(LBS)$.
		\task $(MJI)$.
		\task $(DNH)$.
		\task $(NGT)$.
		\task $(PQN)$.
		\task $(RQM)$.
		\task $(USR)$.
		\task $(HRT)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(4)
		\task $C \in(DEF)$.
		\task $G \in (HCD)$.
		\task $A \in (EFB)$.
		\task $G \in (BCF)$.
		\task $M \in (FHG)$.
		\task $L \in (UJT)$.
		\task $U \in (PRM)$.
		\task $Q \in (LBS)$.
		\task $N \in (MJI)$.
		\task $J \in (DNH)$.
		\task $S \in (NGT)$.
		\task $G \in (PQN)$.
		\task $? \in (RQM)$.
		\task $T \in (USR)$.
		\task $B \in (HRT)$.
	\end{tasks}		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Donnez quatre points non coplanaires du cube $ABCDEFGH$.
\end{exercice}

\begin{definition}
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux et non alignés. On appelle \emph{\color{purple}direction du plan $(ABC)$} tout couple $(\vec{u},\vec{v})$ de vecteurs non nuls tel que:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont linéairement indépendants (non colinéaires),
		\item les images de $A$ par les translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des points appartenant à $(ABC)$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Tout plan $(ABC)$ de l'espace admet au moins une direction: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ car les points sont distincts deux à deux et non alignés.
		\item On appelle \emph{\color{purple}vecteur du plan} $(ABC)$ toute combinaison linéaire de vecteurs d'une de ss direction.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Lisez sur la figure la décomposition en combinaison linéaire du vecteur proposé sur la direction donnée. Par exemple, pour $\overrightarrow{AC}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$, on peut écrire: $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AK}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{IK}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{LB}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DU}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{FP}$ et $\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC} \right)$.
		\task $\overrightarrow{EJ}$ et $\left(\overrightarrow{DH},\overrightarrow{QC} \right)$.
		\task $\overrightarrow{IM}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{BH}$ et $\left(\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BA} \right)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,-1);
			\coordinate (F) at (6,0);
			\coordinate (C) at (7,1);
			\coordinate (D) at (2,2);
			\coordinate (O) at (3.5,0.5);
			\coordinate (S) at (3.5,6);
			\coordinate (J) at (3.5,3.5);
			\coordinate (K) at (3,4.666);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (B)node {$\bullet$};
			\draw (F)node {$\bullet$};
			\draw (C)node {$\bullet$};
			\draw (D)node {$\bullet$};
			\draw (O)node {$\bullet$};
			\draw (S)node {$\bullet$};
			\draw (J)node {$\bullet$};
			\draw (K)node {$\bullet$};
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below right]{$B$};
			\draw (F)node[right]{$F$};
			\draw (C)node[right]{$C$};
			\draw (D)node[above right]{$D$};
			\draw (O)node[above right]{$O$};
			\draw (S)node[above]{$S$};
			\draw (J)node[above right]{$J$};
			\draw (K)node[below right]{$K$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
			\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
			\draw[blue, thick](A)--(S);
			\draw[blue, thick](B)--(S);
			\draw[blue, thick](C)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
			\draw[blue, thick](F)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
			\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
			\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
			\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
			\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Donnez au moins deux directions non triviales des plans suivants. Exemple: pour le plan $(ABC)$, $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB} \right)$ est une base triviale, $\left( \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC} \right)$ n'est pas une base mais $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD} \right)$ est une base qui convient.	
	\begin{tasks}(5)
		\task $(ODJ)$.
		\task $(BCJ)$.
		\task $(ADK)$.
		\task $(SDC)$.
		\task $(DOC)$.
		\task $(ABS)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soient $\mathscr{B}=(\vec{u},\vec{v})$ une direction d'un plan $\mathscr{P}$ et $A\in\mathscr{P}$. Si $M\in\mathscr{P}$ il existe un unique couple de nombres réels, $(x,y)$, tel que $\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le couple $(x,y)$ est appelé \emph{\color{purple}les coordonnées de} $M$. $x$ est appelé \emph{\color{purple}abscisse} et $y$ \emph{\color{purple}ordonnée}.
		\item L'écriture $\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$ est une représentation paramétrique vectorielle du plan. En considérant les coordonnées nous obtenons une représentation paramétrique du plan: $\left\{ \begin{array}{l} x_M=\lambda x_{\vec{u}}+ \mu x_{\vec{v}}+x_A\\ y_M=\lambda y_{\vec{u}}+ \mu y_{\vec{v}}+y_A\\ z_M=\lambda z_{\vec{u}}+ \mu z_{\vec{v}}+z_A \end{array} \right.,\ (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2$. Celle-ci fait intervenir deux paramètres. S'il peut arriver que nous la rencontrions nous n'en ferons pas un grand usage.
	\end{enumerate}
\end{remarques}


\begin{definition}
	Soient $\mathscr{P}$ un plan de $\mathscr{E}$, $A\in\mathscr{P}$ et $\mathscr{B}=(\vec{u},\vec{v})$ une direction de $\mathscr{P}$. La $3$-liste $(A;\vec{u},\vec{v})$ est appelée \emph{\color{purple}un repère du plan $(ABC)$}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Un plan peut être défini par trois points distincts deux à deux et non alignés où la donnée d'un repère.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Nommez par trois points distincts deux à deux et non alignés, le plan dont on donne un point et une base. Par exemple pour $A$ et $\left( \overrightarrow{DU}, \overrightarrow{AB} \right)$, le plan est $(ABR)$, ou $(ASF)$.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $S$ et $\left( \overrightarrow{SN}, \overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $S$ et $\left( \overrightarrow{LU}, \overrightarrow{DC} \right)$.
		\task $D$ et $\left( \overrightarrow{GT}, \overrightarrow{US} \right)$.
		\task $M$ et $\left( \overrightarrow{EQ}, \overrightarrow{HP} \right)$.
		\task $K$ et $\left( \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{BS} \right)$.
		\task $U$ et $\left( \overrightarrow{UE}, \overrightarrow{UP} \right)$.
		\task $M$ et $\left( \overrightarrow{UH}, \overrightarrow{KB} \right)$.
		\task $D$ et $\left( \overrightarrow{UM}, \overrightarrow{GT} \right)$.
		\task $U$ et $\left( \overrightarrow{SG}, \overrightarrow{HS} \right)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(5)
		\task $(BFC)$.
		\task $(NRS)$.
		\task $(URT)$.
		\task $(MFG)$.
		\task $(KPL)$.
		\task $(UEP)$.
		\task $(HMI)$.
		\task $(DUM)$.
		\task $(UBT)$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Base de l'espace.}

\begin{definition}
	Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de l'espace vectoriel $\vec{\mathscr{E}}$. Nous dirons que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est \emph{\color{purple}une base de $\vec{\mathscr{E}}$} si et seulement si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'utilisation des parenthèses n'est pas anodine: $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ et $(\vec{v},\vec{u},\vec{w})$ sont deux bases différentes.
		\item Les vecteurs d'une base doivent permettre de se déplacer dans toutes les directions de l'espace.
		\item Si $3$ vecteurs de l'espace ne sont pas linéairement indépendants on dit que ce sont des \emph{\color{purple}vecteurs coplanaires}. Cette dénomination indique qu'ils ne permettent pas d'atteindre tous les points de l'espace et qu'ils permettent au mieux de se déplacer dans un plan.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soit $\mathscr{B}=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ une base de $\vec{\mathscr{E}}$. Étant donné un vecteur $\vec{s}$ de l'espace il existe une unique $3$-liste $(x,y,z)$ telle que $\vec{s}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'unique $3$-liste est appelée \emph{\color{purple}les coordonnées} de $\vec{s}$.
		\item $x$ est appelé l'\emph{\color{purple}abscisse}, $y$ l'\emph{\color{purple}ordonnée} ou \emph{\color{purple}profondeur} et $z$ la \emph{\color{purple}cote} ou la \emph{\color{purple}hauteur}.
		\item Les coordonnées d'un vecteur se notent usuellement en colonne.
		\item C'est seulement à cette étape de la leçon que nous établissons que les vecteurs de l'espace se décrivent avec trois coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit un pavé droit $ABCDEFGH$. Dans la base $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE} \right)$, $\overrightarrow{AP}\begin{pmatrix} 1/2\\1\\ 1 \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	On considère un pavé droit $ABCDEFGH$. Dites si les $3$-listes proposées sont des bases de l'espace.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\left( \overrightarrow{AL}, \overrightarrow{CJ}, \overrightarrow{BS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DI}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{PF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{RI}, \overrightarrow{RM}, \overrightarrow{RS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DL}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KG}, \overrightarrow{KT}, \overrightarrow{KU} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{FI}, \overrightarrow{FM}, \overrightarrow{FH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{NL} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{FS}, \overrightarrow{GC} \right)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez $5$ bases distinctes du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes. Donnez à chaque fois les coordonnées du vecteur dans la base proposée.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AG}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left( \overrightarrow{HD}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HG} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DH}$ et $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\overrightarrow{AN}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{QM}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{PJ }$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ou pas dans les cas suivants.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\  1 \\ 1 \end{pmatrix}$.		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -8 \\  -16 \\ -57 \end{pmatrix}$.		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \pi \\ 1 \\ \sqrt{\pi} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi^3} \\  \sqrt{\pi} \\ \pi \end{pmatrix}$.		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\  0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task $1\times 3=3$ mais $-2 \times 3 \ne 1$ donc pas colinéaires.
		\task $1 \times (-8)=-8$ mais $7 \times (-8)\ne 57$ donc pas colinéaires.
		\task $\vec{v}=\sqrt{\pi}\vec{u}$ donc colinéaires.
		\task $\vec{v}=0\vec{u}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\begin{array}{ccccccc}
		x &-& y &&  &=& 0\\
		2x &&  &+& z &=& 0\\
		&& y &+& z &=& 0
	\end{array}$.
	
	Avec calculatrice une unique solution $x=y=z=0$.

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Ils constituent une base de l'espace si et seulement si ils sont linéairement indépendants.
	
	Soit $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ tel que $x \vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}=\vec{0}$.
	
	Autrement dit en considérant les coordonnées:
	
	$\begin{array}{ccccccc}
		x &-& y &+& 4z &=& 0\\
		2x &+& y &-& z &=& 0\\
		3x &+& y &+& 2z &=& 0
	\end{array}$.
	
	En échelonnant: $L_2\rightarrow L_2-2L_1$ et $L_3\rightarrow L_3-3L_1$
	
	$\begin{array}{ccccccc}
		x &-& y &+& 4z &=& 0\\
		&& 3y &-& 9z &=& 0\\
		&& 4y &-& 10z &=& 0
	\end{array}$.
	
	Puis: $L_3\rightarrow 3L_3-4L_2$
	$\begin{array}{ccccccc}
		x &-& y &+& 4z &=& 0\\
		&& 3y &-& 9z &=& 0\\
		&&  && 6z &=& 0
	\end{array}$.
	
	Puis en substituant: $z=y=x=0$.
	
	Les vecteurs sont donc linéairement indépendants et donc forment une base de l'espace.
\end{exercicecorrection}

\begin{definition}
	Soient $\mathscr{B}=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ une base de $\vec{\mathscr{E}}$ et $A$ un point de l'espace. La $4$-liste $(A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est appelée \emph{\color{purple}un repère de l'espace $\mathscr{E}$}.
	
	Si $M$ est un point de l'espace on appelle \emph{\color{purple}coordonnées de $M$ dans le repère} $(A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ dans la base $\mathscr{B}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées de $M$ et $\overrightarrow{AM}$ sont égales. On dira que $\overrightarrow{AM}$ est le \emph{vecteur position} de $M$ dans le repère. En mécanique l'utilisation du vecteur position plutôt que du point est importante: la dérivée du vecteur position est le vecteur vitesse, la dérivée du vecteur vitesse est le vecteur accélération or le vecteur accélération est (presque) homogène à une force donc un vecteur.
		\item On retrouve les résultats déjà connus sur les vecteurs du plan: les coordonnées de la somme de vecteurs sont les sommes des coordonnées et les coordonnées d'un vecteur multiplié par un nombre sont les coordonnées multipliées par ce nombre.
		\item Les coordonnées d'un point se notent usuellement en ligne.
		\item Ce n'est qu'à cette étape de la leçon que nous voyons que des points de l'espace se décrivent avec trois coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	On considère une pavé droit $ABCDEFGH$. Donnez les coordonnées du point dans le repère proposé.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $D$ dans $\left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $G$ dans $\left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $K$ dans $\left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $D$ dans $\left(A; \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB} \right)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task 
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	Soient $\mathscr{B}=(A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ un repère de l'espace $\mathscr{E}$, $M$ et $P$ deux points de l'espace dont les coordonnées relativement à $\mathscr{R}$ sont respectivement $(x_M,y_M,z_M)$ et $(x_P,y_P,z_P)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{MP}$ relativement à la base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ de l'espace vectoriel $\vec{\mathscr{E}}$ sont $(x_P-x_M,y_P-y_M,z_P-z_M)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}$.
\end{preuve}
\begin{exercice}
	Soient $A(3,-2,-4)$, $B(4,-3,-2)$, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$.
		\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils liés?
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$M(4,-3,-2)$.		
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$\overrightarrow{AB}=\vec{u}+\vec{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\vec{u} -\vec{v}=\vec{0}$, il existe doc une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls qui égale le vecteur nul, donc la famille est liée.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient $A(1,2,3)$, $B(2,0,3)$, et $C(6,3,8)$ des points de l'espace rapporté à un repère, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que: $\overrightarrow{AB}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w}$.
		\item Déterminez $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$ tels que: $\overrightarrow{BC}=\alpha' \vec{u} + \beta' \vec{v}+ \gamma' \vec{w}$.
		\item Déduisez-en les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère les points $A(1,2,3)$, $B(-1,1,4)$ et $C(3,5,-2)$ dans un repère $(O,I,J,K)$. Déterminez les coordonnées du point $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow 3-x_D=-1-1 \Leftrightarrow x_D=5$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 5-y_D=1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow -2-z_D=4-3 \Leftrightarrow z_D=-3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(5,6,-3)$.
		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère les points $A(1,2,1)$, $B(3,-1,2)$ et $C(-1,3,4)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez les coordonnées du milieu de $[AC]$.		
		\item Déterminez les coordonnées de $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow -1-x_D=3-1 \Leftrightarrow x_D=-3$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 3-y_D=-1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow 4-z_D=2-1 \Leftrightarrow z_D=3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(-3,6,3)$.
		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient les points $A(-1;4,-3)$ et $B(2;1;3)$ dans un repère $(O,I,J,K)$. Déterminez les coordonnées du point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$x_A-x_M+x_B-x_A=\frac{1}{3} \left( x_B-x_A \right) \Leftrightarrow -1-x_M+1-x_M=\frac{1}{3}(2-(-3))$	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère les points $A(0,1,1)$, $B(2,1,1)$, $C(3,1,1)$ et $D(1,1,1)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.		
		\item Soit $E(2,2,4)$. Déterminez les coordonnées du point $F$ telles que $ACEF$ soit un parallélogramme.		
		\item Soient $J$ le milieu de $[EF]$ et $I$ le point tel que $F$ soit le milieu de $[AI]$. Démontrez que $J$ est le milieu de $[IC]$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(1,2,1)$, $B(1,-1,1)$ et $C(3,1,2)$ trois points de l'espace rapporté à un repère. On note $I$ le milieu de $[BC]$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez les coordonnées du point $G$ (centre de gravité du triangle $ABC$) défini par $\overrightarrow{AG}= \frac{2}{3} \overrightarrow{AI}$.		
		\item On considère le point $E(3,7,2)$. Déterminez les coordonnées du point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$.		
		\item On note $J$ le milieu de $[BE]$. Les points $G$, $J$ et $F$ sont-ils alignés?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Norme d'un vecteur.}

\begin{definition}
	Soient $\mathscr{B}$ une base de l'espace vectoriel $\vec{\mathscr{E}}$, $\vec{u} \in\vec{\mathscr{E}}$, $(x,y,z)$ les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $\mathscr{B}$. On appelle \emph{norme (euclidienne) de $\vec{u}$ relativement à $\mathscr{B}$} le réel positif: $\| \vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{notabene}
	\color{red}Il manque des exercices sur la norme. Mais la plupart des exercices avec norme sont avec produit scalaire.
\end{notabene}

\subsubsection{Changement de base.}

\begin{exercice}
	Soient $A(2,4,-1)$, $B(3,1,2)$, $C(1,0,1)$, $D(3,2,1)$ et $E(1,2,0)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas liés.		
		\item Le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$ peut-il être un repère de l'espace?		
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Où se situe le point $M$?		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que: $\overrightarrow{AE} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} + \gamma \overrightarrow{AD}$. Quelles sont les coordonnées de $E$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
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%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}