%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\section*{Continuité.}

\subsubsection{Un exemple.}

\begin{notabene}
	Nous n'avons pas beaucoup regarder les limites à l'intérieur du domaine de définition laissant entendre qu'il ny a pas de problème. regardon ce qui ce passe pour ctte fonction (affine par morceaux). On remarque limite différentes à droite et à gauche donc pas de limite de $f$.Graphiquement que ce passe t il: une discontinuité.
\end{notabene}

\begin{lecon}
	Nous avons passé, pour l'instant sous silence la limite d'une fonction en dehors des bornes ouvertes du domaine de définition. Le plus souvent (avec les fonctions de référence) $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ si $a$ est intérieur au domaine de définition de $f$. Ce n'est pas toujours aussi simple.
	
	Considérons la fonction $f$ affine par morceaux définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2x+1 \text{ si }x<2 \\ -3x+10 \text{ si }x\geqslant 2\end{array} \right.$. 
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f(-1)$ se calcule avec la première formule car $-1<2$ et donc $(-1)=2 \times (-1)+1=-1$
		\item $f(4)=-3 \times 4+10=-2$.
		\item $f(2)=-3 \times 2+10=4$ car l'inégalité large indique qu'il faut utiliser la seconde formule.
	\end{enumerate}
	Recherchons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$. Pour trouver la limite il faut considérer un voisinage ouvert de $2$ mais suivant qu'on est à droite ou gauche de $2$ dans ce voisinage ce n'est pas la même formule qui défini $f$. On peut regarder les limites par valeurs inférieures et supérieures: $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 2 \\ x<2 \end{subarray}} f(x)=\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 2 \\ x<2 \end{subarray}} 2x+1=5$ et $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 2 \\ x>2 \end{subarray}} f(x)=\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 2 \\ x>2 \end{subarray}} -3x+10=4$.
	
	Nous voyons que nous n'obtenons pas les mêmes valeurs à droite et à gauche et donc qu'il n'y a pas de limite de $f$ en $a$.
	
	Une dernière remarque: sur une représentation graphique nous voyons que le point d'abscisse $2$ est un point de discontinuité de $\mathscr{C}_f$: le tracé se fait avec deux lignes séparées.
\end{lecon}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	Soient $i$ un intervalle ouvert, $f$ une application sur $I$, $a \in I$. Une application $f$ est dite \emph{\color{purple}continue en} $a \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ est continue sur $\mathscr{D}$} si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\mathscr{D}$.		
		\item Cette définition ne permet pas de définir la continuité en $a$ lorsque $\mathscr{D}=[a,b]$.		
		\item {\color{orange}Graphiquement une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut être tracée sans lever le stylo.}		
		\item Comme la dérivation ou la croissance, la continuité est une propriété locale: il faut regarder ce qui se passe au voisinage d'un point.		
		\item Une fonction sera dite \emph{\color{purple}discontinue} si et seulement si elle n'est pas continue.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ une application sur $I$. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ admet des limites réelles à droite et à gauche en $a$ égales à $f(a)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Supposons $f$ continue en $a$.
		
		Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels tels que $\alpha <a<\beta$.
		
		Puisque $]\alpha,\beta[$ est un voisinage ouvert de $a$ et que $f$ est continue en $a$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in]\alpha,\beta[$.
		
		Donc: $\forall x \in I\cap ]-\infty,a[,\ f(x)\in]\alpha,\beta[$.
		
		Autrement dit $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$.
		
		De même  $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x<a\end{subarray}} f(x)=f(a)$.		
		\item Réciproquement, supposons que $f$ admet en $a$ des limites à droite et à gauche égales à $f(a)$.
		
		Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels tels que $\alpha <a<\beta$.
		
		Puisque $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$, il existe un voisinage ouvert $I_d$ de $a$ tel que: $\forall x \in I_d \cap ]a,+\infty[,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
		
		De même de $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$, nous déduisons l' existence d'un voisinage ouvert $I_g$ de $a$ tel que: $\forall x \in I_g \cap ]-\infty,a[,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
		
		$I_d \cap I_g$ est un voisinage ouvert de $a$ et: $\forall x \in I_g \cap I_d,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat permet si nécessaire (deux formules comme dans l'exemple introductif) de montrer une limite.
		\item  Nous en déduisons  par contraposition que: {\color{orange}si $f$ n'admet pas de limite à droite ou à gauche en $a$ alors $f$ n'est pas continue en $a$}. C'est une méthode à retenir pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point.
		\item Nous dirons, si $f$ est définie sur $[a,b]$, que $f$ est continue en $a$ la limite de $f$ en par valeurs supérieures est égale à $f(a)$ (et tant pis pour la limite à gauche).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
		\item La fonction partie entière n'est continue en aucun point de $\mathbb{Z}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Les fonctions continues de références.}

\begin{lecon}
	Les fonctions de référence que vous connaissez sont toutes continues. Pensez à leurs courbes représentatives qui sont d'un seul tenant.
\end{lecon}

\subsubsection{Des procédés pour construire des fonctions continues à partir d'autres fonctions continues.}

\begin{lecon}
	Comme pour les fonction dérivées, pour obtenir de nouvelles fonctions continues à partir des fonctions de référence on peut les additionner, les multiplier, les inverser, faire des combinaisons linéaire, les composées afin d'obtenir de nouvelles fonctions continues.
\end{lecon}

\subsubsection{Une condition suffisante de continuité.}

\begin{proposition}
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
\end{proposition}

\subsubsection{Théorème des valeurs intermédiaires.}

\begin{theoreme}
	Soient $a$ et $b$ des réels avec $a<b$, $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\end{theoreme}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ alors $f$ atteint toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
		\item Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
		\item L'image continue d'un intervalle $I$ est un intervalle noté $f(I)$.
		De plus l'image continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soit $f:x \mapsto \dfrac{x^2-8}{x^2+1}$ une fonction définie sur $[0;1]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez $f(0)$ et $f(1)$.
		\item Justifiez que l'équation $f(x)=-5$ admet au moins une solution dans $[0;1]$.		
		\item Les plus braves déterminerons l'ensemble des antécédents de $-5$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Démontrez que l'équation $\sqrt{x}+\mathrm{e}^x-2=1$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.	
\end{exercice}

\subsubsection{Théorème des valeurs intermédiaires avec des fonctions  strictement monotones.}

\begin{lecon}
	Les différentes images continues d'intervalles.
	
	Soit $f$ une fonction continue et monotone sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ sont dans $\mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$ suivant les cas.	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{1cm}|X|X|}
			\hline
			\[I\] & Croissante sur $I$, alors $f(I)=$ & Décroissante sur $I$, alors $f(I)=$
			\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b]$ & $\displaystyle [f(a),f(b)]$ & $\displaystyle [f(b),f(a)]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b[$ & $\displaystyle \left[f(a),\lim_{x \to b} f(x) \right[$ & $\displaystyle \left]\lim_{x \to b}f(x),f(a) \right]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b]$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a} f(x),f(b) \right]$ & $\displaystyle \left[f(b),\lim_{x \to a}f(x) \right[$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x) \right[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to b}f(x), \lim_{x \to a}f(x)\right[$
			\\
			&&\\
			\hline
		\end{tabularx}		
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Déterminez $f(]2;+\infty[)$ lorsque $f:x \mapsto \exp \left( \dfrac{1}{x^2-4}\right)$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$f$ est dérivable sur $]2,+\infty[$ (donc continue) et $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-4)^2} \mathrm{e}^{1/(x^2-4)}<0$. $f$ est décroissante.
	
	$\lim_{\begin{subarray} x \to 2 \\ x>2 \end{subarray}} f(x)= +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$.
	
	Enfin: $f(]2,+\infty[)= ]0,+\infty[$.	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ des réels avec $a<b$, $f$ une fonction définie sur $[a,b]$. Si $f$ continue est strictement monotone sur $[a,b]$ alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.	
\end{proposition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Pour $k=0$ alors il suffit de s'assurer que la fonction est continue, strictement monotone et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires pour affirmer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=0$. Pour montrer que que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signe contraire il suffit de vérifier que $f(a)f(b)<0$.		
		\item On peut étendre le corollaire en travaillant avec des intervalles semi-ouverts ou ouverts ($]a,b]$, $[a,b[$, $]a,b[$) $a$ et $b$ étant pris dans $\mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty\}$. Dans ce cas on considère $\lim_af$ et $\lim_bf$ à la place de $f(a)$ et $f(b)$. \emph{Confer supra}.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soit $f :x \mapsto x^3-6x+1$ une fonction définie sur $[-2;+\infty[$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.		
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[2;+\infty[$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f :x \mapsto x^3-8x+1$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;1]$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f :x \mapsto 4x^5+2x-2$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution que nous noterons $\alpha$.
		\item Déterminez un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ g(x)=2x^3-3x^2-1. \]
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Étudiez les variations de $g$.
		\item Montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$. Donnez un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près.
		\item Déterminez le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par: \[ f(x)= \frac{1-x}{x^3+1}. \]
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez $f'(x)$ puis exprimez $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
			\item Déduisez-en le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur $]-1,+\infty[$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $6x$ /0.8, $x-1$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $-1$ , - / $-2$ /, + / $+\infty$ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Sur $]-\infty,1[$ admet un maximum local égale à $-1$.
		
		$g$ est continue sur $]1,+\infty[$ et strictement croissante donc $f(]1,+\infty[)=]-2,+\infty[$.
		
		Comme $0\in]-2,+\infty[$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha\in]1,+\infty[$ tel que $g(\alpha)=0$.
		
		Enfin $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.
		\item 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
				{$-\infty$,$\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f'(x)=\frac{-1 \times (x^3+1)-(1-x)\times 3x^2}{(x^3+1)^2}=\frac{2x^3-3x^2-1}{(x^3+1)^2}=\frac{g(x)}{(x^3+1)^2}$.
			\item 	
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-1$ ,$\alpha$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $f(\alpha)$ , + / $0$ }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}
 
\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par: $f(x)=2x^3-\frac{5}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.		
		\item Déterminez le nombre de solutions dans $\mathbb{R}_+$ de l'équation $f(x)=2$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Étudions les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.}
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}			
			\item $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}_+$.			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$. $f'(x)=3 \times 2x^2-2 \times \frac{5}{2}x-1=6x^2-5x-1$.	
			\item $1$ est racine évidente du trinôme $6x^2-5x-1$ donc la seconde racine est $-\frac{1}{6}$.
			
			Enfin le trinôme est du signe de son coefficient dominant (ici $6$) sauf entre les racines.			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$ avec $x>1$.
			
			$f(x)=x^3\left( 2-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3} \right)$.
			
			Or d'une part, par somme: $\lim_{x \to +\infty} 2-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3}=2$ et d'autre part $\lim_{x \to +\infty} x^3=+\infty$ donc, par produit: $\lim_{+\infty} f=+\infty$.			
		\end{enumerate}		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ $\frac{1}{2}$, -/ $-1$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item D'après le tableau de variation $f$ admet un maximum égale à $\frac{1}{2}$ qui est atteint en $0$. Nous en déduisons que $f(x)=2$ n'a pas de solution sur $[0;1]$.			
			\item $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ (car polynomiale).
			
			$f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$.
			
			$f([1,+\infty[)= [ f(1), \lim_{x \to +\infty} f(x)[=[-1,+\infty[$.
			
			Comme $2 \in [-1,+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f(x)=2$ admet une unique solution sur $[1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}			
			$f(x)=2$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}_+$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4+3x^2-5x+1$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.		
		\item Déterminez le signe de $f''(x)$ puis dressez le tableau de variation de $f'$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que l'équation $f'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ donc on donnera en encadrement à $0,1$ près.			
			\item Déduisez-en le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$.			
			\item Dressez le tableau de variation de $f$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ est polynomiale donc indéfiniment dérivable et, pour $x \in \mathbb{R}$: $f'(x)=4x^3+6x-5$ puis $f''(x)=12x^2+6$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $\lim_{+\infty} f=+\infty$.			
			\item Clairement $f''\geqslant 6>0$ donc $f'$ est strictement croissante.			
		\end{enumerate}		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f''$ /0.8, $f'$ /1.6}
				{$-\infty$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale),
			
			$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
			
			$f(\mathbb{R})= ] \lim_{-\infty} f, \lim_{+\infty} f[=\mathbb{R}$,
			
			donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $f'(\alpha)=0$.
			
			Avec la calculatrice: $0,6 \leqslant \alpha \leqslant 0,7$.			
			\item De la question précédente nous déduisons			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
					{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
		\end{enumerate}		
		\item $\lim_{+\infty} f= +\infty$ et $\lim_{-\infty} = +\infty$ donc 		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $f(\alpha)$,  +/ $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On veut résoudre dans $[0,\pi]$ l'équation: $3x-2\cos(x)-2=0$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par: $f(x)=3x-2 \cos(x)-2$. Étudiez les variations de $f$.		
		\item Démontrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0,\pi]$. Donner à la calculatrice un encadrement à $0,1$ près de $\alpha$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	\emph{Bac 1976 Série C remplacement Clermont-Ferrand.} Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $f(x)=\ln(x^2-1)+\frac{1}{x^2-1}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x^2-1)=\ln(x+1)+\ln(x-1)$. Même question pour l'équation $\ln(x^2-1)=2\ln(x=+\ln\left( 1-\frac{1}{x} \right)$. Calculez $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x^2-1)}{x}$.
		\item Étudiez les variations de $f$ et la représenter graphiquement.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\emph{Bac C 1988. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes.} Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par: $f(x)=\frac{1}{x}\left(x^2+1-\ln(x)\right)$ et de construire sa courbe représentative $\mathscr{C}$, ce qui fait l'objet de la partie $I$, puis de décrire un procédé d'approximation du nombre $\alpha$ pour lequel $f$ atteint son minimum, ce qui fait l'objet de la partie $II$.
	
	\textbf{$I$ Étude de $f$ et construction de $\mathscr{C}$.}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Étude d'une fonction auxiliaire. 
		
		Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0,+\infty[$ par: $g(x)=x^2+\ln(x)-2$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Étudiez le sens de variation de $g$ et ses limites en $0$ et $+\infty$. (On ne demande pas la représentation graphique de $g$.)
			\item Déduisez-en que l'équation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ et une seule et que: $1,30\leqslant \alpha \leqslant 1,35$.
			\item Étudiez le signe de $g(x)$.
		\end{enumerate}
		\item Étude de $f$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Étudiez les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
			\item Exprimez $f'$ à l'aide de $g(x)$. Déduisez-en le sens de variation de $f$.
		\end{enumerate}
		\item Construction de la courbe $\mathscr{C}$.
		
		Le plan est rapport au repère orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j}\right)$. On choisit pour unité graphique $2\ \mathrm{cm}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote en $+\infty$ à la courbe $\mathscr{C}$.
			\item Déterminez le point d'intersection $B$ de $\mathscr{C}$ et de $\Delta$; précisez la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\Delta$.
			\item Construisez la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, en précisant la tangente en $B$ à $\mathscr{C}$.
		\end{enumerate}
		\item Calcul d'un aire.
		
		Pour tout nombre réel $t \geqslant \mathrm{e}$ calculez l'aire $A(t)$ de la portion de plan comprise entre $\mathscr{C}$ et $\Delta$ et les droites d'équations $x=\mathrm{e}$ et $x=t$.
	\end{enumerate}
	\textbf{$II$ Approximation de $\alpha$.}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que l'équation $g(x)=0$ est équivalente à l'équation $h(x)=x$, où $h$ est la fonction définie sur $I=[1,30;1,35]$ par: $h(x)=\sqrt{2-\ln(x)}$.
			\item Justifiez la décroissance de $h$ sur $I$ et montrez que pour tout éément $x$ de $I$, $h(x)$ appartient à $I$.
			\item Prouvez que, pour tout élément $x$ de $I$: $-\frac{1}{3}\leqslant f'(x)\leqslant 0$.
			\item Déduisez-en que pour tout élément $x$ de $I$: $|h(x)-\alpha| \leqslant \frac{1}{3} \left| x-\alpha\right|$.
		\end{enumerate}
		\item Soit $(u_n)$ la suite d'éléments de $I$ définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=h(u_n)$ et la condition initiale $u_0=1,30$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que pour tout entier $n$: $|u_{n+1}-\alpha| \leqslant \frac{1}{3} |u_n-\alpha|$.
			\item Déduisez-en que pour tout entier $n$: $|u_n-\alpha|\leqslant \frac{5}{100} \left( \frac{1}{3} \right)^n$.
			\item Déterminez la limite de la suite $(u_n)$.
			\item Précisez un entier $n_0$ tel que $|u_{n_0}-\alpha| \leqslant 10^{-6}$ et donnez la valeur de $u_{n_0}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\emph{Bac série C 1968. Mexico.} En étudiant les variations de la fonction $y$ définie par $y(x)=\frac{x-1}{x+1}-\mathrm{e}^{-2x}$ (dont on ne construira pas le graphe), montrez que, dans l'ensemble des nombres réels positifs, l'équation $(x-1)\mathrm{e}^x-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=0$ admet une racine réelle et une seule.
\end{exercice}
\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}