%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Dérivation.}

\subsubsection{Nombre dérivé.}

\begin{definition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ une application définie sur $I$. On dit que $f$ est \emph{\color{purple}dérivable en $a$} si et seulement si $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Si c'est le cas, alors cette limité est notée $\color{purple}f'(a)$ et appelée \emph{\color{purple}nombre dérivée de $f$ en $a$}.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La fonction constante égale à $2$ est dérivable en $3$ puisque $\frac{2-2}{x-3}=0\underset{x \to 3}{\longrightarrow} 0$ et son nombre dérivé en $3$ est $0$.
		\item La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$. En effet $\frac{|x|-|0|}{x-0}=\left\{\begin{array}{l}1 \text{ si } x> 0\\-1 \text{ si } x< 0 \end{array} \right.$. Ainsi: $\frac{|x|-|0|}{x-0}\underset{\begin{subarray}{c}x \to 0\\x<0 \end{subarray}}{\longrightarrow}-1$ et $\frac{|x|-|0|}{x-0}\underset{\begin{subarray}{c}x \to 0\\x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}1$ donc, par unicité de la limite, $\frac{|x|-|0|}{x-0}$ n'a pas une limite finie en $0$.
		\item La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ mais elle ne correspond pas à notre définition car $0$ est la borne de son domaine de définition et n'appartient pas à un intervalle ouvert.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La quantité $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est appelée \emph{\color{purple}taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $x$}. Il s'interprète graphiquement comme le coefficient directeur de la droite, appelée sécante à $\mathscr{C}_f$, passant par les points de coordonnées $(a,f(a))$ et $(x,f(x))$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ une application définie sur $I$. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe un nombre $m$ et une fonction $\varepsilon$ définie sur $I$ tels que: $\left\{ \begin{array}{l} \forall x \in I,\ f(x)=f(a)+m(x-a)+(x-a)\varepsilon(x) \\ \varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0 \end{array} \right.$. 
	
	Et si $f$ est dérivable en $a$ alors $m=f'(a)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\objectif{Démontrons le résultat par implication directe puis réciproque.}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Supposons que $f$ est dérivable en $a$ et démontrons l'existence de $m$ et $\varepsilon$.
		
		Notons $m=f'(a)$ qui existe puisque $f$ est dérivable en $a$. Notons $\varepsilon(x)=\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}$ pour tout $x\in I\setminus \{ a\}$ et $\varepsilon(a)=0$. Clairement $\varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$.
		\item Réciproquement, supposons l'existence de $m$ et $\varepsilon$ et démontrons que $f$ est dérivable en $a$.
		
		$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= m+\varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} m$ donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=m$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On remarque l'équation cartésienne de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
		\item L'écriture $f(x)=f(a)+m(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)$ avec $\varepsilon(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$ est appelée \emph{\color{purple}développement limité à l'ordre $1$ en $a$ de $f$.}
		\item Cette façon de voir le nombre dérivée (caractérisation) simplifie les démonstrations théoriques que nous ferons dans la suite.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ une application définie sur $I$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe un réel $d$ et une fonction $\varepsilon$ telle que $f(x)=f(a)+d(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)$ et $\lim_{x \to a} \varepsilon(x)=0$. Donc si $f$ est dérivable $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$.	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La réciproque est fausse. C'est pour cela que l'on parle de condition suffisante: la continuité n'impose pas de façon nécessaire la dérivabilité de la fonction. Le contre exemple usuel est celui de la fonction valeur absolue en $0$. Il y a le même phénomène avec la fonction racine cubique en $0$.	
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\subsubsection{Tangente.}

\begin{lecon}
	Il s'agit d'une interprétation géométrique du nombre dérivé comme coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative de la fonction.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ une application définie sur $I$, $\mathscr{R}$ un repère du plan. Si $f$ est dérivable en $a$ alors on appelle \emph{c\color{purple}tangente à $\mathscr{C}_f$ dans $\mathscr{R}$ au point d'abscisse $a$} la droite dont une équation dans $\mathscr{R}$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{definition}

\subsubsection{Fonction dérivée.}

\begin{definition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert et $f$ une application définie sur $I$. Si $f$ est dérivable en tout $a\in I$ on dit que $f$ est dérivable sur $I$ et on note $f'$ la fonction définie sur $I$ par $f':a\mapsto f'(a)$. $f'$ est appelée \emph{\color{purple}dérivée de $f$}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si la fonction dérivée est elle même dérivable on peut la dériver est obtenir la dérivée seconde qu'on note $f''$. On peut réitérer est obtenir des dérivées successives. Pour $n\geqslant 3$ un entier on note $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Fonctions puissances.}

\begin{proposition}
	Soient $m\in\mathbb{R}$ et $m$ des réels. $x \mapsto mx+p$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est la fonction constante égale à $m$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$f(x)-f(a)= m(x-a)=m(x-a)+(x-a)\times 0$.
\end{preuve}
 
\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item En particulier les fonctions constantes et la fonction identité sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et leurs dérivées sont respectivement la fonction nulle et la fonction constante égale à $1$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soit $n \in\mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. $f:x\mapsto x^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et: $\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=nx^{n-1}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	Soient $n$ un entier supérieur ou égale à $2$ et $a\in\mathbb{R}$.
	
	Soit $x \in \mathbb{R}$.
	\begin{align*}
		x^n-a^n &= ((x-a)+a)^n-a^n\\
		&= \left( \sum_{k=0}^n (x-a)^{n-k}a^k \right) -a^n\\
		&= \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x-a)^ka^{n-k} \right) -a^n\\
		&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} (x-a)^ka^{n-k}\\
		&= \binom{n}{1} (x-a) +\sum_{k=2}^n \binom{n}{k} (x-a)^ka^{n-k}\\
		&= \binom{n}{1} (x-a)a^{n-1} +(x-a)\sum_{k=2}^n \binom{n}{k} (x-a)^{k-1}a^{n-k}
	\end{align*}
	Or $k \geqslant 2$ donc $\sum_{k=2}^n \binom{n}{k} (x-a)^{k-1}a^{n-k} \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$. Et par conséquent $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\binom{n}{1} (x-a)a^{n-1}=na^{n-1}$.
\end{preuve}

\subsubsection{Linéarité de la dérivation.}

\begin{proposition}
	Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $\lambda \in \mathbb{R}$, $f$ et $g$ des fonctions définies et dérivables en $a$. La fonction $\lambda f+g$ définies sur $I$ par $(\lambda f+g):x \mapsto \lambda f(x)+g(x)$ est dérivable en $a$ et $(\lambda f+g)'(a)=\lambda f'(a)+g'(a)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$f$ et $g$ étant dérivables en $a$: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x)$ et $g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_2(x)$. En multipliant par $\lambda$ puis en sommant membre à membre: $\lambda f(x) + g(x)=\lambda f(a)+g(a) +\left( \lambda f'(a)+g'(a) \right) (x-a)+(x-a)\left( \lambda \varepsilon_1(x)+\varepsilon_2(x) \right)$.Or $\lambda \varepsilon_1(x)+\varepsilon_2(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$ donc $\lambda f+g$ est dérivable en $a$ et $\left( \lambda f+g \right)'(a)=\lambda f'(a) +g'(a)$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le résultat est ponctuel, en $a$, mais il se généralise sans problème à l'intervalle $I$.
		\item On dit que la dérivation est linéaire, elle respecte les combinaisons linéaires. Par conséquent l'ensemble des fonctions dérivables sur $I$ est un espace vectoriel.
		\item De la dérivabilité des fonctions puissances et de la linéarité de la dérivation nous déduisons le résultat important au lycée: toute fonction polynomiale, $P:x\mapsto a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Dérivation d'un produit.}

\begin{proposition}
	Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$, $f$ et $g$ des fonctions définies et dérivables en $a$. La fonction produit $fg$, définie par $(fg):x \mapsto f(x) \times g(x)$, est dérivable en $a$ et $(fg)'(a)=(f'g)(a)+(fg')(a)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$f$ et $g$ étant dérivables en $a$: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x)$ et $g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_2(x)$. En multipliant membre à membre: $f(x)g(x)= \left( f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x) \right) \left(g(a)+g'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_2(x) \right)= f(a)g(a) + f(a)g'(a)(x-a)+f(a)(x-a)\varepsilon_2(x) + f'(a)(x-a)g(a) +f'(a)(x-a)g'(a)(x-a) +f'(a)(x-a)(x-a)\varepsilon_2(x) +(x-a)\varepsilon_1(x)g(a)+(x-a)\varepsilon_1g'(a)(x-a) +(x-a)\varepsilon_1(x-a)\varepsilon_2(x) = f(a)g(a)+\left[ f'(a)g(a)+f(a)g'(a) \right] (x-a)+(x-a) \left[ f(a)\varepsilon_2(x)+ f'(a)g'(a)(x-a)+f'(a)(x-a)\varepsilon_2(x)+\varepsilon_1(x)g(a)+(x-a)\varepsilon_1g'(a)+(x-a)\varepsilon_1\varepsilon_2(x) \right]$. Or $f(a)\varepsilon_2(x)+ f'(a)g'(a)(x-a)+f'(a)(x-a)\varepsilon_2(x)+\varepsilon_1(x)g(a)+(x-a)\varepsilon_1g'(a)+(x-a)\varepsilon_1\varepsilon_2(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$ donc $fg$ est dérivable en $a$ et $\left(  fg \right)'(a)= f'(a)g(a) +f(a)g'(a)$.
\end{preuve}

\subsubsection{Composition et dérivation.}

\begin{proposition}	
	Soient $I$ et $J$ des intervalles ouverts, $f:I\rightarrow J$ une fonction définie sur $I$ et $g:J \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $J$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $g$ est dérivable sur $J$ alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ f)'=  g'\circ f \times f'$.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $a \in I$. Par construction $f(a)\in J$.
	$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe une fonction $\varepsilon_1$ définie au voisinage de $a$ telle que: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x)$ et $\varepsilon_1(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}0$.
	
	De même $g$ est dérivable en $f(a)$ si et seulement si il existe une fonction $\varepsilon_2$ définie au voisinage de $f(a)$ telle que: $g(f(x))=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+(f(x)-f(a))\varepsilon_2(x)$ et $\varepsilon_2(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}0$.	
	\begin{align*}
		g\circ f(x)&=g\circ f(a)+g'\circ f(a)(f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x))+(f(x)-f(a))\varepsilon_2(x)\\
		&= g\circ f(a)+g'\circ f(a)f'(a)(x-a)+g'\circ f(a)(x-a)\varepsilon_1(x)\\
		&\qquad+(f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_1(x))\varepsilon_2(x)\\
		&= g\circ f(a)+g'\circ f(a)f'(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon_3(x)
	\end{align*}
	où $\varepsilon_3(x)=g'\circ f(a)\varepsilon_1(x)+(f'(a)+\varepsilon_1(x))\varepsilon_2(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}0$.
	
	$g\circ f$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ f)'= g'\circ f \times f'$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $n\in\mathbb{N}^*$ et $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, alors $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n)'=nu^{n-1} u'$.
		\item Confer \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_01_composition_de_fonctions.pdf}{la leçon sur la composition}.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Dérivation de la fonction inverse.}

\begin{proposition}
	Soit $a\in\mathbb{R}^*$. La fonction $f:x \mapsto \frac{1}{x}$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=-\frac{1}{a^2}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $a\in\mathbb{R}_+^*$ par exemple. Le taux d'accroissement de $f$ entre $x\in \mathbb{R}_=^*$ et $a$ est: $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}=-\frac{1}{ax} \underset{x \to a}{\longrightarrow}0$. Ainsi $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=-\frac{1}{a^2}$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $u$ est une application dérivable et ne s'annulant pas sur $I$ un intervalle ouvert alors $\frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{u^2}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Dérivation d'un quotient.}

\begin{proposition}
	Soit $I$ un intervalle ouvert, $f$ et $g$ des fonctions définies et dérivables sur $I$, $g$ ne s'annulant pas sur $I$. La fonction quotient $\frac{f}{g}$, définie par $\left( \frac{f}{g}\right):x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$, est dérivable sur $I$ et $\left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	On utilise les résultats précédents: dérivation d'un produit et dérivation de l'inverse et composition.
\end{preuve}

\subsubsection{D'autres fonctions puissances.}

\begin{proposition}
	Soit $n \in\mathbb{N}^*$. $f:x\mapsto x^{-n}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et: $\forall x \in \mathbb{R}^*,\ f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Composition d'une fonction puissance par une fonction inverse.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Avec la notation $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ on retrouve la même formule que pour les fonctions puissances.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Dérivation de la fonction racine carrée.}

\begin{proposition}
	$f:x\mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et: $\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
	Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
	$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{x-a}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(x-a)}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \underset{x \to a}{\longrightarrow}\frac{1}{2\sqrt{a}}$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ mais nous ne l'avons pas démontré et pour cause: nous n'avons pas donné de définition de la dérivabilité aux bornes du domaine de définition.
		\item Par le biais de la fonction exponentielle il est possible de définir des fonctions puissances d'un nombre réel quelconque sur $\mathbb{R}_+^*$. Dans ce cadre: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ et on obtient bien une généralisation de la dérivation des fonctions puissances.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Dérivation et variation.}

\begin{proposition}
	Soient $I$ un intervalle ouvert, $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ une application dérivable sur $I$.
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f'\geqslant 0$ si et seulement si $f$ est croissante.		
		\item $f'\leqslant 0$ si et seulement si $f$ est décroissante.		
		\item $f'=0$ si et seulement si $f$ est constante.		
		\item Si $f'>0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante.		
		\item Si $f'<0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante.		
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	L'idée (très approximative) de la démonstration est la suivante pour le cas $f'\geqslant 0$. Pour $h$ suffisamment proche de $0$ le taux d'accroissement est positif: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\geqslant 0$. Donc pour $h>0$, $f(a+h)-f(a)\geqslant 0$. Ou encore: $f(a) \leqslant f(a+h)$. $f$ conserve l'ordre entre $a$ et $a+h$. Autrement dit $f$ est croissante.
	
	La réciproque est du même tabac.	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Par convention les tableaux de variations indiquent la stricte monotonie. Pour les construire nous utiliserons donc les implications $(iv)$ et $(v)$ correspondantes.		
		\item Le $(ii)$ offre une caractérisation des fonctions constantes. Autrement dit c'est un moyen des démontrer qu'une fonction est constante. Nous utiliserons ce résultat dans des démonstrations de la leçon sur la fonction exponentielle.		
		\item Ce résultat n'est valable que sur un intervalle. En effet, il n'est qu'à considérer la fonction inverse pour voir que le théorème ne fonctionne pas si on est pas sur un intervalle.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $f:x \mapsto -x^2+4x-7$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
				
		\objectif{Étudions les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.}
		
		{\color{orange}La démarche pour étudier les variations d'une fonction se fera désormais ainsi:
			\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
				\item calcul de la fonction dérivée,
				\item étude du signe de la fonction dérivée,
				\item construction d'un tableau indiquant le signe de la fonction dérivée puis les variations de la fonction.
			\end{enumerate}
		}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $]0;+\infty[$ et quelque soit $x\in ]0;+\infty[$, \[ f'(x)=-2x+4 \]
			
			\item Étudions le signe de $f'$.
			
			$f'$ est donc une fonction affine. Elle s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. Comme son coefficient directeur $a=-2<0$, elle et strictement positive sur $]0;2[$ et strictement négative sur $]2;+\infty[$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {+D- / / , + / $-3$, - /  / }
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $g:x \mapsto \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x-13$ définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.}
		
		{\color{orange}En devoir surveillé une telle question, qui nécessite de nombreuses étapes, sera coupée en plusieurs sus questions: calculez la fonction dérivée, étudiez le signe de la fonction dérivée, dressez le tableau de variation de la fonction.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminons la dérivée de $g$.
			
			$g$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, quelque soit $x$ réel,			
			\begin{align*}
				g'(x) &= \frac{1}{3}\times 3x^2-\frac{3}{2} \times 2x+2+0\\
				&= x^2-3x+2
			\end{align*}			
			\item Étudions le signe de $g'$.
			
			$g'$ est une fonction polynomiale de degré $2$ avec: $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.
			
			Recherchons les racines de $f'$.
			
			$\Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4\times (1) \times (2)=1$.
			
			$\Delta >0$ donc $g'$ admet deux racines distinctes.
			
			\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 1
				\end{aligned}$
				&
				$\begin{aligned}
				x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 2
				\end{aligned}$
			\end{tabularx}
			
			$g'$ est donc du signe de $a=1$ sauf entre les racines $1$ et $2$.			
			\item Nous en déduisons			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $g'(x)$ /0.8, $g(x)$ /1.6}
			{$0$ ,$1$,$2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+D- / / , + / $-\frac{73}{6}$, - / $-\frac{37}{3}$, +/  / }
			\end{tikzpicture}
			\end{center}			
		\end{enumerate}		
		\item Soit $h:x\mapsto -4\sqrt{x}$ une fonction définie sur $]0;+\infty[$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $h$ sur $]0;+\infty[$.}		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminons $f'$.
			
			$h$ est le produit d'une constante et de la fonction racine carrée donc $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, quelque soit $x\in ]0;+\infty[$,			
			\begin{align*}
				h'(x) &= 4\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
				&= \frac{2}{\sqrt{x}}
			\end{align*}			
			\item Étudions le signe de $h'$.
			
			Comme $x\ne 0$, $\sqrt{x}$ est strictement positif. Donc $h'$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{conclusion}				
				$h$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.		
			\end{conclusion}			
		\end{enumerate}		
		\item Soit $h:x \mapsto x^3$.		
		\begin{notabene}			
			Exemple de fonction strictement croissante avec dérivée strictement positive sauf en un point.			
		\end{notabene}		
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Étude d'une fonction, allure d'une courbe.}

\begin{lecon}
	Étudier une fonction c'est, par des procédés analytiques, trouver des informations sur l'allure de la courbe représentative. On peut considérer que l'aboutissement pour un élève est d'être capable de donner une allure précise de la courbe représentative sans faire l'usage de la calculatrice.
	
	L'étude d'une fonction inclus, en toute rigueur et sans exhaustivité: 
	\begin{itemize}
		\item recherche du domaine de définition (choix de l'axe des abscisses),
		\item étude de la parité et de la périodicité (réduire l'axe des abscisses),
		\item limites aux bornes du domaine de définition (asymptotes qui correspondent approximativement à l'allure de la courbe),
		\item étude de la dérivabilité (risque de piquants ou courbe arrondie),
		\item calcul de la fonction dérivée et étude du signe de la fonction dérivée (tangentes horizontales qui correspondent approximativement à l'allure de la courbe),
		\item variation de la fonction (choix de l'axe des ordonnées, courbe qui monte ou qui descend, points correspondant à des extrema),
		\item calcul d'images remarquables ou simples (points de la courbe),
		\item calcul de la dérivée seconde et étude de son signe (convexité de la courbe),
		\item recherche de zéros de la fonction.
	\end{itemize}
	L'énoncé d'un exercice peut proposer d'autres choses qu'on attend pas a priori de l'élève: position relative de deux courbes (notamment asymptotes), tangente spécifique ...
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}	
	Pour la fonction $f$ dont l'expression algébrique est proposée, donnez l'allure de sa courbe représentative. 
	\begin{tasks}(3)
		\task $x$.
		\task $x^2$.
		\task $x^3$.
		\task $\sqrt{x}$.
		\task $\frac{1}{x}$.
		\task $\mathrm{e}^x$.
		\task $2x+3$.
		\task $-4x+1$.
		\task $3x+6$.
		\task $2x^2-4x+5$. %2(x-1)^2+3=2x^2-4x+5
		\task $-3x^2-12x-14$.%-3(x+2)^2-2=-3x^2-12x-14
		\task $\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x+1$. %(x-1)(x+2)=x^2+x-2
		\task $-\frac{2}{3} x^3+13x^2+28x-17 $.%-2(x-14)(x+1)=-2x^2+26x+28
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(1)
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 1$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 2x$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 3x^2$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto -\frac{1}{x^2}$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto \mathrm{e}^x$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto 2$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto -4$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto 3$.
		\task Fonction polynomiale de degré deux. Possibilité d'étude des variations avec la forme canonique du trinôme.
		
		\smallskip
		\objectif{Étudions la fonction $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ f'(x)=4x-4.\]			
			\item Étude du signe de $f'$.
			
			$f'$ est affine de coefficient directeur $4>0$ donc strictement croissante. De plus $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$.			
			\item Nous en déduisons			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {+/ , - / $3$ , + /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
			\item Pour le tracer faire apparaître le point de coordonnées $(1;3)$ et la tangente horizontale en ce point. Mais aussi le point d'intersection avec l'axe des ordonnées de coordonnées $(0;5)$.
			
		\end{enumerate}			
		\task $f': x \mapsto -6x-12$.%-3(x+2)^2-2=-3x^2-12x-14
		\task %$f': x \mapsto x^2+x-2$. %(x-1)(x+2)=x^2+x-2
		\objectif{Étudions la fonction $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculons la dérivée de $f$.			
			$f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ f'(x)=x^2+x-2.\]			
			\item Étude du signe de $f'$.			
			$f'$ est polynomiale de degré deux et son discriminant est $\Delta= b^2-4ac=1^2-4 \times 1 \times (-2)=9$.
						
			$\Delta>0$ donc $f'$admet deux racines réelles distinctes: \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}= \frac{-1-\sqrt{9}}{2 \times 1}=-2, \] et \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}= \frac{-1+\sqrt{9}}{2 \times 1}=1. \]
			
			De plus le coefficient dominant  de $f'$ est $a=1>0$.			
			\item Nous en déduisons (le trinôme es du signe de son coefficient dominant sauf entre les racines):			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-\infty$ , $-2$ ,$1$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{13}{3}$ , - / $-\frac{1}{6}$, + / / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
			\item Pour le tracer faire apparaître les points de coordonnées $\left( -2, \frac{13}{3} \right)$ et $\left( 1,-\frac{1}{6} \right)$ et la tangente horizontale en ces points. Mais aussi le point d'intersection avec l'axe des ordonnées de coordonnées $(0;1)$.			
		\end{enumerate}
		\task $f': x \mapsto -x^2+26x+28$.%-2(x-14)(x+1)=-2x^2+26x+28
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Pour la fonction $f$ dont l'expression algébrique est proposée, procédez à son étude puis donnez l'allure de sa courbe représentative.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $f: x \mapsto (x+1)\mathrm{e}^x$.
		\task $f: x \mapsto (x^2+2x+1)\mathrm{e}^x$.
		\task $f: x \mapsto (-3x+2)\sqrt{x}$.
		\task $f: x \mapsto (x^2+x+1)\sqrt{x}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{-2x+1}{3x+6}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{x^2-2}{x^2+x+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{x+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{-x+3}{x^7}$.
		\task $f: x \mapsto \sqrt{3x+6}$.
		\task $f: x \mapsto (2x+1)^7$.
		\task $f: x \mapsto \frac{3}{(-2x+1)^3}$.
		\task $f: x \mapsto \mathrm{e}^{-2x+7}$.
		\task $f: x \mapsto x^2 \mathrm{e}^{3x+6}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f': x \mapsto \mathrm{e}^x + (x+1)\mathrm{e}^x$. $f'(x)=(x+2)\mathrm{e}^x$.
		\task $f': x \mapsto (2x+2)\mathrm{e}^x+(x^2+2X+1)\mathrm{e}^x$. $f'(x)= (x^2+4x+3)\mathrm{e}^x$. 
		\task $f': x \mapsto -3\sqrt{x}+\frac{-3x+2}{2\sqrt{x}}$. $f'(x)=\frac{-9x+2}{2\sqrt{x}}$.
		\task $f': x \mapsto (2x+1)\sqrt{x}+ \frac{x^2+x+1}{2\sqrt{x}}$. $f'(x)=\frac{5x^2+3x+1}{2\sqrt{x}}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x(x^2+1)-2x\mathrm{e}^x}{(x^2+1)^2}$. $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{-2(3x+6)-3(-2x+1)}{(3x+6)^2}$. $f'(x)=-\frac{15}{(3x+6)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{2x(x^2+x+1)-(x^2-2)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$. $f'(x)=\frac{2x^3+2x^2+2x-2x^3-x^2+4x+2}{(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2+6x+2}{(x^2+x+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2}$. $f'(x)= \frac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{-x^7-(-x+3)7x^6}{(x^7)^2}$. $f'(x)= \frac{6x^7-21x^6}{(x^7)^2}=\frac{x^6(6x-21)}{(x^7)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$.
		\task $f': x \mapsto 2 \times 7(2x+1)^6$.
		\task $f': x \mapsto \frac{3\times(-3) \times (-2)}{(-2x+1)^4}$.
		\task $f': x \mapsto -2\mathrm{e}^{-2x+7}$.
		\task $f': x \mapsto 2x \mathrm{e}^{3x+6}+x^2 3 \mathrm{e}^{3x+6}$. $f'(x)=x \mathrm{e}^{3x+6} (3x-2)$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de variation de la fonction $f$ dont la fonction dérivée $f'$ est représentée ci-dessous.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(1,2)(3,0)(4,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction dérivée, $f'$, qui est représentée. À partir de son signe nous pourrons retrouver les variations de $f$ d'après le théorème.
		
		Pour se représenter les choses et justifier notre réponse, nous pouvons construire un tableau indiquant le signe de la dérivée et la variation de la fonction.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de signe de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ qui est représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-2,-0.5)(1,2)(3,0)(4,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction $f$ qui est représentée. À partir de ses variations nous pourrons retrouver le signe de sa fonction dérivée $f'$ d'après le théorème.}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est représentée ci-contre. Par lecture graphique précisez les extrema locaux de $f$ et pour quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(-0.5,1)(0.5,0)(1,1)(1.5,0)(2,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(2,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[ f(x)=5\mathrm{e}^{-x} -3 \mathrm{e}^{-2x}+x-3.\]
	On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x-3$ dans un repère orthonormal.
	
	Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-(x-3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Position relative.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Justifiez que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;+\infty[$, $g(x)>0$.			
			\item $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{D}$ ont-elles un point commun?			
		\end{enumerate}		
		\item On note $M$ le point d'abscisse $x$ de $\mathscr{C}_f$, $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathscr{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Justifier que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0 ; +\infty[$, la distance $M N$ est égale à $g (x)$.			
			\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
			Pour tout $x$ de l’intervalle $[0 ; +\infty[$, calculer $g' (x)$.			
			%{\color{red} Nécessite ln \item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ que l’on déterminera. En donner une interprétation graphique.			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Les fonctions du baccalauréat.%2025
	\begin{tasks}(3)
		\task $(x^2+3x+2)\mathrm{e}^x$.%2025
		\task $\mathrm{e}^x \sin(x)$.
		\task $x\mathrm{e}^{-x}+2x+1$.
		\task $\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
		\task $(60x+40)\mathrm{e}^{-0,5x}$.
		\task $4\ln(x+1)-\frac{x^2}{25}$.
		\task $-0,05x^2+1,1x$.
		\task $x\left( 2(\ln(x))^2-3\ln(x)+2\right)$.
		\task $(12+x)\mathrm{e}^{-0,6x}$.
		\task $x^n\mathrm{e}^{-x}$.
		\task $x\ln(x-2)$.
		\task $x\ln(x^2)-\frac{1}{x}$.
		\task $2x-x^2$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task Notons $f:x\mapsto (x^2+3x+2)\mathrm{e}^x$.
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
			\item $x^2+3x+2 \underset{x \to \pm\infty}{\sim}x^2$. $x^2\mathrm{e}^x \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$. Croissance comparée: $x^2\mathrm{e}^{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}0$. Axe des abscisses est asymptote à la courbe en $-\infty$.
			\item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ce qui signifie que sa courbe représentative est sans piquants.
			\item $f'(x)=(2x+3)\mathrm{e}^x+(x^2+3x+2)\mathrm{e}^x=(x^2+5x+5)\mathrm{e}=\left( x-\frac{-5-\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\frac{-5+\sqrt{5}}{2} \right)\mathrm{e}^x$. $f$ strictement croissante sur $\left]-\infty, \frac{-5-\sqrt{5}}{2}\right]$ t sur $\left[ \frac{-5 +\sqrt{5}}{2},+\infty \right[$ et strictement décroissante sur $\left[ \frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2} \right]$. Un sommet de coordonnées $\left( \frac{-5-\sqrt{5}}{2}, f\left((\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\right) \right)$ et l'autre $\left( \frac{-5+\sqrt{5}}{2},f\left( \frac{-5+\sqrt{5}}{2} \right) \right)$. En ces sommets des tangentes horizontales.
			\item $f(0)=2$ donc la courbe passe par le point de coordonnées $(0;2)$. $f(1)=6\mathrm{e}$ avec $\mathrm{e}\approx 2,71$.
			\item $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(2x+5)\mathrm{e}^x+(x^2+5x+5)\mathrm{e}^x=(x^2+7x+10)\mathrm{e}^x= (x-5)(x+2)\mathrm{e}^x$. $f$ est concave sur $]-\infty, -2]$ et sur $[5,+\infty[$ et concave sur $[-2;5]$. Les points de coordonnées $(-2;0)$ et $(5;42\mathrm{e}^5)$ sont des points d'inflexion de $\mathscr{C}_f$.
			\item Nous avons déjà obtenus un zéro: $-2$. L'autre racine de $x^2+3x+2$ est donc $-1$. La courbe passe par le point de coordonnées $(-1;0)$.
		\end{enumerate}
		\task Notons $f:x \mapsto \mathrm{e}^x\sin(x)$.
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$. On peut limiter le domaine d'étude en utilisant le fait qu'il y a de la pseudo périodicité avec un agrandissement.
			\item $f$ est du même signe que $\sin$ et s'annule en $0+k\pi$ pour $k\in\mathbb{Z}$.
			\item $-\mathrm{e}^x\leqslant \mathrm{e}^x \sin(x)\leqslant \mathrm{e}^x$. $\mathrm{e}^x\sin(x)\underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}0$. Pas de limite en $+\infty$ car $(\mathrm{e}^{\frac{n\pi}{2}}\sin\left( \frac{n\pi}{2} \right))$ diverge vers $+\infty$ et $(\mathrm{e}^{\frac{n\pi}{2}+\pi}\sin\left( \frac{n\pi}{2}+\pi \right))$ diverge vers $-\infty$.
			\item $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
			\item $f'(x)=\mathrm{e}^x\sin(x)+\mathrm{e}^x\cos(x)=\mathrm{e}^x\left( \sin(x)+\cos(x)\right)$. $\cos(x)=\sin\left( \frac{\pi}{2} -x \right)$ et $\sin(x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\sin\left( \frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\right)\cos\left( \frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}\right)=2\sin\left\frac{\pi}{4} \right)\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)$. Donc $f'$ est positif sur $\left[0,\frac{3\pi}{4} \right]$ puis négatif sur $\left[ \frac{3\pi}{4},\frac{7pi}{4} \right]$.
		\end{enumerate}
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Les fonctions du baccalauréat.%2024
	\begin{tasks}(3)
		\task $\frac{0,96x}{0,93x+0,03}$.%2024
		\task $2x\mathrm{e}^{-x}$.
		\task $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}$.
		\task $10x\mathrm{e}^{-0,01x}+20$.
		\task $(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}$.
		\task $x^2-x\ln(x)$.
		\task $x-\ln(x)$.
		\task $x-2+\frac{1}{2}\ln(x)$.
		\task $x-\ln(x^2+1)$.
		\task $x^2+2x-1+\ln(x+2)$.
		\task $\frac{4}{5-x}$.
		\task $x-\ln\left(\frac{x}{4}\right)$.
		\task $\mathrm{e}^x+x$.
		\task $(1-x^2)\mathrm{e}^x$.
		\task $8x^2(2-3\ln(x))-3$.
		\task $\frac{6}{1+5\mathrm{e}^{-x}}$.
		\task $(20x+8)\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
		\task $(x^2-4)\mathrm{e}^{-x}$.
		\task 
	\end{tasks}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}