%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Calcul intégral.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

%https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_C_1998_FH.pdf

\section{Calcul intégral.}

\begin{notabene}
	
	Faire un paragraphe sur le lien avec la mécanique avec les notations et l'analyse dimensionnelle qui est cohérente avec les résultats d'intégration.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Modifier l'intégrale est définie pour un fonction positive uniquement puis sa généralisation se fait grâce à la primitive : si $f$ n'est pas positive mais continue elle admet une primitive et alors l'intégrale est $F(x)-F(a)$.
	
\end{notabene}

\subsection{L'intégrale.}

\subsubsection{Aspect historique et géométrique.}

\begin{lecon}
	
	Comme (presque) toujours en mathématiques les théorie prennent naissance dans la géométrie. Le calcul intégral est l'aboutissement (en lien avec les fonctions) des problèmes de mesure d'aire. 
	
	Les mesures d'aires étaient appelés problèmes de quadratures. Dans le monde sans unité internationale de l'antiquité grecque, tout est question de rapport, de comparaison. Mesurer une aire c'est être capable de se ramener à des figures de même aire mais plus simples (carré, rectangle). Nous ne faisons pas autre chose en utilisant des $\mathrm{cm}^2$: nous comparons les aires à des petits carrés de $1\ \mathrm{cm}$ de côté. De plus ces petits carrés sont partout grâce au quadrillage induit par un repère orthonormé.
	
	On peut imaginer un cheminement assez naturel. L'aire d'un rectangle est obtenue en le recouvrant de petits carrés son aire est alors le nombre de petits carrés. Ce dénombrement est simple: nombre de carrés unités sur la largeur multiplié par le nombre de carrés sur la longueur. L'aire d'un triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle. L'aire d'un triangle quelconque est l'aire de deux triangles rectangles. L'aire d'un trapèze est l'aire de deux triangles et d'un rectangle. L'aire des lunules d'Hippocrate donnèrent aux Grecs bon espoir de pouvoir poursuivre cette démarche dans des cas de figures \og arrondies\fg{} comme le cercle ou la parabole. Mais le problème de la quadrature du cercle resta si longtemps irrésolu que l'expression passa dans le langage courant pour désigner un problème insoluble. Ce problème est en réalité résolu: il est impossible de recouvrir un cercle avec les procédés usuels des Grecs.
	
	Cependant il est un Grec, Archimède, qui trouva une parade. Recouvrir les figures par des figures dont on sait calculer l'aire certes, mais en nombre infini.
	
	\begin{notabene}
		
		Figure et animation de l'aire du cercle avec les deux suites adjacentes d'aire polygonales. 
		
	\end{notabene}
	
	Un célèbre palimpseste semble indiquer qu'Archimède alla encore plus loin: il recouvrit la surface sous une parabole par une infinité de figures dont l'aire devenait infiniment petite. Il avait inventer le calcul intégral. Cette découverte fut oubliée pendant deux mille ans jusqu'à ce que Leibnitz et Newton inventent une procédé similaire au $XVII\ieme{}$ siècle.
	
	Voyons l'idée d'Archimède.
	
	\begin{notabene}
		
		Faire figure plus animation.
		
	\end{notabene}
	
	On voit alors apparaître un encadrement de l'aire recherchée: \[ \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}. \]
	
	Bien sûr plus $n$ est grand, plus l'encadrement se ressert et se rapproche de l'aire sous la courbe: idéalement lorsque $n$ devient infiniment grand nous devrions obtenir exactement l'aire sous la parabole.
	
	Dans le cas de la parabole on a donc: \[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n}. \]
	
	Donc: \[ \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2.\]
	
	D'où: \[ \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
	
	En passant à la limite, et d'après le théorème des gendarmes: $\mathscr{A}=\frac{1}{3}$.
	
	\medskip
	Ce procédé est le fondement théorique de ce calcul d'aire appelé intégrale de Riemann.
	
\end{lecon}

\subsubsection{L'intégrale de Riemann pour calculer des aires.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'aire algébrique (positive ou négative) placée entre la courbe représentative d'une fonction $f$, l'axe des abscisses et deux droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$, et notée $\color{purple} \displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ est appelée \emph{\color{purple}intégrale de $f$ sur $[a;b]$}.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La notation est en fait un calque de la formule qui permet avant passage à la limite de calculer l'intégrale: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i$.
			
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Discret. & Continu. & Interprétation.
				\\
				\hline
				$n$ & $t$ & 
				\\
				\hline
				&&\\
				$\dfrac{1}{n}$ & $\mathrm{d}t$ & Largeur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$f\left( \frac{k}{n} \right)$ & $f(t)$ & Longueur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\Sigma$ & $\int$ & Somme.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\displaystyle \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}$ & $\displaystyle \int_0^1 f(t) \ \mathrm{d}t$ & Somme des aires des rectangles.
				\\
				&&\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Géométriquement, visuellement, voyons ce que cela donne.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-2.5};
			\def\xZ{6.5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)});
			\draw[blue] (5.5,4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
			\def\xA{1.5};
			\def\xB{5.5};
			\fill[color=purple , opacity=0.55] (\xA,0)
			-- (\xA, {0.25*\xA*(\xA-3)*(\xA-5)})
			-- plot [domain=\xA:\xB] (\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)})
			-- (\xB, {0.25*\xB*(\xB-3)*(\xB-5)})
			-- (\xB,0) 
			-- cycle;
			\draw[dashed] (\xA,\yY)--(\xA,\yZ);
			\draw[dashed] (\xB,\yY)--(\xB,\yZ);
			\draw (\xA,0) node[below,fill=white]{$a$};
			\draw (\xB,0) node[below,fill=white]{$b$};
			\draw[purple] (4,1) node[fill=white] {$\displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$};
			\draw (1.5,4)--({\xA+0.5},0.5);
			\draw ({\xA+0.5},0.5) node{$\bullet$};
			\draw (1.5,4) node[fill=white] {Aire comptée positivement};
			\draw (1.5,-1.5)--({3+0.5},-0.5);
			\draw ({3+0.5},-0.5) node{$\bullet$};
			\draw (1.5,-1.5) node[fill=white] {Aire comptée négativement};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Pour décrire en français la région du plan colorée ci-dessus nous dirons que c'est la surface comprise entre la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=a$ et la droite d'équation $x=b$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Comment peut-on noter l'aire (pas algébrique cette fois-ci) colorée?
	
\end{exercice}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La notation $\mathrm{d}t$ dans la pratique permet simplement d'identifier la variable. Quelle est la variable dans l'expression $a(r-\alpha)^2+\beta$?
		
		\item $\mathrm{d}t$ qui est un infiniment petit correspond à la construction qui permet de définir l'intégrale (comme somme d'aires de rectangles de largeur $\mathrm{d}t$). Il est également présent dans les calculs de dérivés pour le taux d'accroissement entre infiniment petits \[ f'(t)=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \]
		
		\item Nous pouvons définir une nouvelle fonction en considérant $b$ comme une variable \[ \displaystyle x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t \] Nous verrons plus loin que cette fonction est une primitive de $f$.
		
		\item Le procéder de somme discrète avec passage à la limite ne fonctionne pas toujours. Il faut des fonctions suffisamment régulière (continue par exemple) pour pouvoir l'utiliser.
		
		Nous dirons qu'une fonction est \emph{\color{purple}intégrable} lorsque le calcul d'aire est "possible".
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Les propriétés de l'intégrale.}

\begin{lecon}
	
	Par convention, si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, nous noterons: \[ \color{purple}\int_b^a  f(t) \ \mathrm{d}t := - \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t . \]
	
	\medskip
	Les propriétés suivantes se devinent aisément par les graphiques. Ce sont des propriétés indispensables pour des calculs d'aires. Si les intégrales de Riemann ne les avaient satisfaites nous aurions oublié ce procédé pour un autre.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Propriétés admises de l'intégrale.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b,c,\lambda)\in \mathbb{R}^4$,
		
		\item $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si la surface est réduite à un segment l'aire est nulle: \[  \int_a^b 0 \ \mathrm{d}t = 0. \]
	
	{\color{purple}Relation de Chasles}: \[ \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t =\int_a^c  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_c^b  f(t) \ \mathrm{d}t \]
	
	{\color{purple}Linéarité}: \[ \int_a^b \lambda f(t)+g(t) \ \mathrm{d}t= \lambda \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_a^b g(t) \ \mathrm{d}t. \]
	
	{\color{purple}Croissance (et donc positivité)}, pour $a<b$: \[ f\leqslant g \Rightarrow \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant \int_a^b  g(t) \ \mathrm{d}t. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ces propriétés se démontrent en utilisant la construction de Riemann des intégrales. 
	
	Remarquons qu'elles pourront être démontrées en utilisant l'existence d'une primitive vue plus loin.
	
\end{preuve}

\begin{theoreme}{ - admis}
	
	Les fonctions continues sur des segments sont intégrables.
	
\end{theoreme}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipses affinités page 258
		
	\end{notabene}
	
	Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\mathscr{A}_1=\int_a^b m\ \mathrm{d}t$ avec $m>0$.
		\task $\mathscr{A}_2=\int_1^2 t\ \mathrm{d}t$.		
		\task $\mathscr{A}_3=\int_2^3 m\ \mathrm{d}t$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\subsection{Valeur moyenne d'une fonction.}

\subsubsection{Inégalités de la moyenne.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$,
		
		\item $m$ et $M$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in [a,b]$ alors \[ m(b-a) \leqslant \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant M(b-a). \]
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $-2 \leqslant \int_1^3 \sin(x^2)\ \mathrm{d}x \leqslant 2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 173
		
	\end{notabene}
	
	Soit $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} t \sin(t)\ \mathrm{d}t$. Démontrez que $0\leqslant I \leqslant \frac{\pi^2}{4}$ sans calculer $I$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;0]$ par \[ f(x)= \frac{3x+4}{(x+2)^2}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $f(x)$ sur $[-1;0]$.
		
		\item Montrez que \[ 1 \leqslant \int_{-1}^0  f(x)\ \mathrm{d}x  \leqslant \frac{9}{8}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}{ - Inégalité de la moyenne avec valeur absolue.}
	
	Si $|f(x)|\leqslant M$ alors $\left| \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t\right| \leqslant M(b-a)$.
	
\end{corollaire}

\subsubsection{Valeur moyenne d'une fonction.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels avec $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$} le réel \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit $\mu$ est la réponse à la question: quelle serait la hauteur d'un rectangle dont un côté a une longueur de $b-a$ et dont l'aire égale celle $\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Il faudrait un exercic mais c'est difficile sans le théorème fondamental donc peut être déplacer apr-ès cette partie.
	
\end{notabene}

\subsection{Les primitives (rappels).}

\begin{lecon}
	
	Si $F'=f$ alors nous dirons que $F$ est \emph{\color{purple}une primitive de} $f$ sur leur ensemble de définition.
	
	Dans la littérature les dérivées successives (si elles existent) sont notées \[ F,\ f,\ f',\ f'',\ f^{(3)},\ f^{(4)},\ \dots \] 
	
	\medskip
	Dans cette suite nous pouvons dire que $F$ est une primitive de $f$, qui est elle-même une primitive de $f'$, qui est elle-même une primitive de $f''$, \emph{etc}. 
	
	Il n'y a pas unicité de la primitive. Si $F'=f$ alors pour $a$ une constante réelle, $(F+a)'=F'=f$. 
	
	Les primitives d'une fonction sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante. Ainsi, si $F_1$ et $F_2$ sont des primitives de $f$, alors $F_1-F_2$ est une constante.
	
	Pour spécifier une primitive on indique une valeur particulière; très souvent nous préciserons: la primitive de $f$ qui s'annule en $a$, autrement dit $F(x)-F(a)$ où $F$ désigne n'importe quelle primitive de $f$.
	
	\medskip
	Dans la pratique pour calculer les primitives nous utiliserons les dérivées usuelles:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Fonction & Primitives
			\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle x^{\alpha}$, avec $\displaystyle \alpha \in\mathbb{R}\setminus \{ -1 \}$ &  $\displaystyle \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle x^{-1}=\frac{1}{x}$ & $\displaystyle \ln x+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle \sin$ & $\displaystyle -\cos+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle \cos$ & $\displaystyle \sin+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle \mathrm{e}^x$ & $\displaystyle \mathrm{e}^x+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors quelque soit $\lambda \in\mathbb{R}$,  $\lambda F + G$ est une primitive de $\lambda f+g$.
	
	\medskip
	En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées, $f$ et $u$ désignant des fonctions, \[ \left[ f(u) \right]'=u' \times f'(u) \] nous généralisons le précédent tableau de primitives.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Fonction & Primitives
			\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle u' \times u^{\alpha}$, avec $\displaystyle \alpha \in\mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$ &  $\displaystyle \frac{1}{\alpha+1} u^{\alpha+1}+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle \frac{u'}{u}$ & $\displaystyle \ln u+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle u'\sin (u)$ & $\displaystyle -\cos (u)+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle u' \cos (u)$ & $\displaystyle \sin(u)+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
			&\\
			$\displaystyle u'\mathrm{e}^u$ & $\displaystyle \mathrm{e}^u+C$, avec $\displaystyle C\in\mathbb{R}$
			\\
			&\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2021 page 177
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=4x^3	-\frac{3}{2}x^2+7x-2$ et $f(x)=12x^2-3x+7$.
	
	Montrez que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2021 page 177
		
	\end{notabene}
	
	Trouvez toutes les primitives sur $I$ des fonctions suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)= -2x+3$ , $I=\mathbb{R}$,
		\task $g(x)= 5x^2+x+1$ , $I=\mathbb{R}$,
		\task $h(x)= \frac{1}{x^2}$ , $I=]0,+\infty[$.
	\end{tasks}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2021 page 177
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto 3x^2+3x-1$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Déterminez la primitive de $f$ qui s'annule en $1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Déterminez une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ donné.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f(x)=5x^6-2x^3+3x^2+7$, $I=\mathbb{R}$.
		\task $\displaystyle f(x)=-2x^8+7x^4+x^3$, $I=\mathbb{R}$.
		\task $\displaystyle f(x)=x^7+2x^6-5x^2-1$, $I=\mathbb{R}$.
		\task $\displaystyle  f(x)=\frac{3}{x^7}+\frac{1}{x^2}$, $I=]0;+\infty[$.
		\task $\displaystyle f(x)=3x^2(x^3+2)^4$, $I=\mathbb{R}$.
		\task $\displaystyle f(x)= \frac{-5}{(1-5x)^2}$, $I=\left] -\infty; \frac{1}{5} \right[$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $I=\mathbb{R}$.
		\task $\displaystyle f(x)= -\frac{\sin x}{\cos x}$, $I=\left]0;\frac{\pi}{2} \right[$.
		\task $\displaystyle f(x)=(2x+3)\mathrm{e}^{x^2+3x-7}+\cos x$, $I=\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}	

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $F(x)= \frac{5}{7}x^7-\frac{2}{4}x^4+x^3+7x$.
		\task $F(x)= -\frac{2}{9}x^9+\frac{7}{5}x^5+x^4$.
		\task $F(x)=\frac{1}{8}x^8 +\frac{2}{7} x^7 -\frac{5}{3} x^3-x$.
		\task $F(x)= -\frac{1}{2x^6} - \frac{1}{x}$.
		\task $F(x)= \frac{1}{5} (x^3+2)^5$.
		\task $F(x)= -\frac{1}{1-5x}$.
		\task $F(x)= \sqrt{x^2+2x+2}$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Théorèmes fondamentaux de l'analyse.}

\begin{theoreme}{ - Premier théorème fondamental de l'analyse.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		 \item $a<b$ des réels,
		 
		 \item  $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.
		 
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $F$ est la fonction définie sur $[a;b]$ par \[ \forall x \in [a;b],\ F(x) = \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t . \] alors \[ \forall x \in [a;b],\ F'(x)=f(x) . \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Soit $x_0\in [a;b]$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que le nombre dérivé de $F$ en $x_0$ est $f(x_0)$ en supposant $f$ croissante.}
	
	Soit $h\in \mathbb{R}$ tel que $x_0+h\in  [a;b]$.
	
	\begin{align*}
		& \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ F(x_0+h)-F(x_0) \right] -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\int_{x_0}^{x_0+h} \frac{f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t + \int_{x_0}^a f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left( \int_{x_0}^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t -\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t \right) \\
		&= \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Supposons, par exemple, $h>0$.
	
	Pour tout $t \in [x_0; x_O+h]$, $f$ étant croissante: \[ f(x_0) \leqslant f(t) \leqslant f(x_0+h).\]
	
	Donc en intégrant sur $[x_0;x_0+h]$ et puisque l'intégrale est croissante: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant h\left[ f(x_0+h) - f(x_0) \right]. \]
	
	Puis, comme $h \ne 0$: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant f(x_0+h)-f(x_0). \]
	
	Or, $f$ étant continue, $f(x_0+h)-f(x_0) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}  0$, donc, d'après le théorème des gendarmes \[ \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0.\]
	
	\begin{notabene}
	
	\medskip
	Une démonstration alternative ne nécessitant pas la croissance.
	
	Soit $M>0$.
	
	Puisque $f$ est continue en $x_0$, il est possible de trouver $h$ suffisamment petit pour que dès que $x\in [x_0-h; x_0+h]$, \[ -M \le f(t) - f(x_0) \le M \]
	
	Donc
	\begin{align*}
		\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} -M \ \mathrm{d}t \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} M \ \mathrm{d}t\\
		-M \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le  M 
	\end{align*}
	
	Et puisque l'encadrement est vrai quelque soit $M$ choisi (même très petit) cela signifie que pour $h$ suffisamment petit $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)$ l'est aussi: \[ \lim_{h\to 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)=0 \]
	
	Ainsi 
	\end{notabene}
	
	\begin{conclusion}
		
		$F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Ainsi la fonction $F$ définie dans ce théorème est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$}. Par conséquent la recherche de primitive peut se ramener à un calcul d'intégrale.
		
		\item Cela signifie aussi que tout pourrons toujours parler de la primitive d'une fonction continue même sans être capable d'en donner une expression calculatoire.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{theoreme}{ - Second théorème fondamental de l'analyse, formule de Newton-Leibniz.}
	
	Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ avec $a<b$ des réels et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
	
	\[ \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t =F(b)-F(a). \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Découle du précédent théorème en remarquant que $x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ et en sachant que deux primitives diffères d'une constante.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce théorème ramène donc le calcul d'intégrale à des recherches de primitives. Par exemple
		\begin{align*}
			\int_0^1 \frac{1}{2t+1}\ \mathrm{d}t &= \left[ \frac{1}{2} \ln (t+1) \right]_0^1\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3) -\frac{1}{2} \ln (1)\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3)
		\end{align*}
		
		\item La quantité $F(b)-F(a)$ est souvent notée $\displaystyle \color{purple}\left[ F(t) \right]_a^b$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		Repère 2012 page 203
	\end{notabene}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right)\ \mathrm{d}u$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3y \right)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3}\ \mathrm{d}z$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-2x+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x-3}{5}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{\mathrm{e}^{x}}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse affinités page 261
		
	\end{notabene}
	
	Calculez les intégrales.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \int_0^4 t-3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 t^2-4t+3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 t^2+t-\frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin(2t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(t+2)^3}\ \mathrm{d}t$.
		\task  $\displaystyle \int_0^1 5t \mathrm{e}^{t^2}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} \mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t$ pour $0<a\leqslant b$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 5\mathrm{e}^{3t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^9 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^3 \frac{\mathrm{d}u}{(2u+1)^2}$.
		\task $\displaystyle \int_0^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (2x+1)(x^2+x+1)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{3x+2}$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^1 \mathrm{e}^{3t-4} \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+3t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 \frac{t^3}{t^4+2} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (x-2)(x^2-4x+1)^2 \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 x \mathrm{e}^{x^2-1} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2t}} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}^2} \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t \ln(t)} \ \mathrm{d}t$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Démontrez que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(-2x-3)\mathrm{e}^{-x}$, est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$, définie par $f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{-x}$.
	
	Déduisez-en la valeur de l'intégrale $\displaystyle  \int_0^1 (2x+1)\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	On souhaite calculer l'intégrale $\displaystyle I=\int_0^1 \frac{1}{\mathrm{e}^t+1} \ \mathrm{d}t$. Posons $\displaystyle J=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^t}{\mathrm{e}^t+1}\ \mathrm{d}t$.
	
	Calculez $J$, puis $I+J$ et déduisez-en $I$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse affinités page 265
		
	\end{notabene}
	
	On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\int_0^1 \sin(t) \mathrm{e}^{-nt}\ \mathrm{d}t$.
	
	Montrez que $\lim_{n \to +\infty} I_n=0$.
	
\end{exercice}

\subsection{Intégration par parties.}

\begin{theoreme}{ - Formule d'intégration par parties.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle,
		
		\item $u$ et $v$ des fonctions dérivables sur $I$ dont les dérivées sont continues.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour tout $a$ et $b$ de $I$: \[ \int_a^b u(t)v'(t)\ \mathrm{d}t= \left[ u(t)v(t) \right]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t)\ \mathrm{d}t. \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	En intégrant: $uv'=(uv)'-u'v$.
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 113
		
	\end{notabene}
	
	Calculez $\int_1^{\mathrm{e}} x \ln(x)\ \mathrm{d} x$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 114
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez une primitive de $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 114
		
	\end{notabene}
	
	En procédant à deux intégrations par parties calculez $I=\int_0^{\pi} x^2 \sin(x)\ \mathrm{d}x$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 115
		
	\end{notabene}
	
	Calculez $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \sin(x)\ \mathrm{d}x$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 117
		
	\end{notabene}
	
	Calculez $I=\int_0^{1} (2t-1) \mathrm{e}^t \ \mathrm{d}t$, $J=\int_0^{\mathrm{e}} t^2(1-2\ln(t)) \ \mathrm{d}t$ et $K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ \mathrm{d}t$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 117
		
	\end{notabene}
	
	Notons $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \cos^2(t) \ \mathrm{d}t$ et $J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \sin^2(t) \ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $I+J$.
		
		\item Calculez $I-J$ à l'aide d'une intégration par parties.
		
		\item Déduisez-en les valeurs de $I$ et $J$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		EXercice 2 bac C asie juin 1998
		
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Problème bac C la réunion juin 1998
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Problème bac C sportifs de haut niveau octobre 1998
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Calcul d'aire d'une surface limitée par une ou deux courbes.}

\begin{lecon}
	
	Le calcul se fait en unités d'aires: $\| \vec{i} \| \times \| \vec{j} \|$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $\mathscr{A}$ l'aire délimitée par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
		
		Si $f$ est positive sur $[a,b]$ alors $\mathscr{A} = \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$.
		
		Si $f $ est négative sur $[a,b]$ alors $\mathscr{A} = \int_a^b -f(t)\ \mathrm{d}t$.
		
		Sinon $\mathscr{A} = \int_a^b |f(t)|\ \mathrm{d}t$.
		
		\item Soit $\mathscr{A}$ l'aire délimitée par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
		
		Si $f\leqslant g$ alors $\mathscr{A}=\int_a^b g(t)-f(t) \ \mathrm{d}t$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 115
		
	\end{notabene}
	
	Soient $f:x \mapsto x^2-\frac{3}{x}$ et $g:x \mapsto x^2$ définies sur $\mathbb{R}_+^*$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=\frac{1}{2}$ et $x=2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 115
		
	\end{notabene}
	
	Soient $f:x \mapsto 3x^2-7x+2$ et $g:x \mapsto x^2-5x+6$ définies sur $\mathbb{R}$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette Repère 2012 page 194
		
	\end{notabene}
	
	Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $I_n = \int_0^1 t^n \mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant I_n \leqslant 1$.
		
		\item Démontrez que $(I_n)$ est décroissante et en déduire que $(I_n)$ est convergente.
		
		\item Montrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $I_n \leqslant \frac{1}{n+1}$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette Repère 2012 page 194
		
	\end{notabene}
	
	Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $I_n = \int_0^1 t^n \sin(t)\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant I_n \leqslant 1$.
		
		\item Démontrez que $(I_n)$ est décroissante et en déduire que $(I_n)$ est convergente.
		
		\item Montrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $I_n \leqslant \frac{1}{n+1} \times \left( \frac{\pi}{4} \right)^{n+1}$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac1998 juin Asie
		
	\end{notabene}
	
	Pour tout entier n de $\mathbb{N}^*$, on considère l’intégrale: $I_n = \int_1^{\mathrm{e}} (ln (x))^n \ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entier naturel, on a :
	(ln x)n - (ln x)n+1 > 0
	b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.
	2. a. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.
	b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n N*, In = e - (n + 1)In .
	c. En déduire I2, I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs
	approchées à 10-3 prés par défaut.
	3. a. Démontrer que, pour tout n  N*, In > 0.
	b. Démontrer que, pour tout n  N*, (n + 1)In 6 e.
	c. En déduire la limite de In .
	d. Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn .
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 117
		
	\end{notabene}
	
	{\color{orange}Il s'agit d'une initiation à la méthode utilisée pour calculer une intégrale d'une fraction rationnelle, c'est-à-dire d'un quotient de deux polynômes. La méthode consiste à rechercher une expression avec des éléments simples.}
	
	\medskip
	Soit $f:x \mapsto \frac{2x^2+5x+1}{x+3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{ 3 \}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 3 \}$: $f(x)=ax+b+ \frac{c}{x+3}$.
		
		\item Déduisez-en la valeur de l'intégrale $\int_{-2}^{-1} f(x) \ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 117
		
	\end{notabene}
	
	Soit $I=\int_0^1 \frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que pour tout $x [0;1]$: $\frac{1}{1+\mathrm{e}} \leqslant \frac{1}{1+\mathrm{e}^x} \leqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $I$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 118
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto x-3+ \mathrm{e}^{-2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\mathscr{D}:\ y=x-3$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
		
		\item Étudiez la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}$.
		
		\item Déduisez-en l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{D}$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\ln(2)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $F(x)= \int_0^x \frac{3-t}{t^2+1}\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $F$ existe.
		
		\item Étudiez la variation de $F$ sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Inégalité des accroisements finis.}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		EXercice 2 bac C asie juin 1998
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Problème bac C Polynésie juin 1998
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Intégrales généralisées.}

Nous noterons $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t)\ \mathrm{d}t$ la limite de $\displaystyle  \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si elle existe.

\subsection{Justification de l'existence de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment.}

\begin{notabene}
	
	Faire un graphique avec des $h$ comme pour le dérivation  mais aussi un autre avec les notations de physique avec le $dt$.
	
\end{notabene}

\subsection{Changement de variable.}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}