%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}\exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Limites de fonctions.}

\begin{lecon}
	Nous avons déjà vu des limites celles de suites. Avec les fonctions la variété des situation est beaucoup plus importante. La variable d'une suite est un entier naturel il ne peut que tendre indéfiniment vers $+\infty$. Pour une variable $x$ nous pourrons nous rapproché indéfiniment d'un réel (par la droite ou par la gauche), ou tendre vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
\end{lecon}

\begin{notabene}
	Faire la leçon à partir des représentations graphiques des fonctions de référence. Étude aux bornes du domaine de définition. Quels sont tout les cas possibles: en dessous du graphique indiquer toutes les limites. Pour inverse en $0$ expliquer qu'il faut distinguer à gauche et à droite.
\end{notabene}

\subsubsection{Étude d'une fonction, étude des limites.}

\begin{lecon}
	Dorénavant lorsqu'on vous demandera d'étudier une fonction il faudra étudier ses limites aux bornes ouvertes du domaines de définition.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'étude d'une fonction $f$ définie sur $]-1;2[ \cup [3,+\infty[$ nécessitera la détermination de $\lim_{x \to -1} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous nous ferons désormais un devoir de compléter les tableaux de variations par les limites. Ainsi:		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^2$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $0$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
			\qquad
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
			{$-\infty$ , $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / $-\infty$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\subsubsection{Voisinage d'une valeur $a$.}

\begin{lecon}
	Soit $a \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$. Ainsi $a$ peut être un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$. Nous nous intéresserons à la limite de la quantité $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche de $a$ où $a$ peut être un nombre ou un infini.  Si $a \in \mathbb{R}$ nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $a$} tout intervalle ouvert contenant $a$. Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $+\infty$} tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ où $A \in\mathbb{R}$. Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $-\infty$} tout intervalle de la forme $]-\infty,A[$ où $A \in\mathbb{R}$. Le voisinage est un outil pour définir les limites de fonctions.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $]-1,2;0,5[$ est un voisinage ouvert de $0$ par contre $]2;4[$ n'en n'est pas un.		
		\item $]1;4[$ est un voisinage ouvert de $\pi$.		
		\item $]2;3[$ est un voisinage ouvert de $\mathrm{e}$.		
		\item $]-\infty,4[$ est un voisinage ouvert de $-\infty$.		
		\item $\mathbb{R}$ est un voisinage ouvert de n'importe quel nombre, de $+\infty$ et de $-\infty$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}


\subsubsection{Définition de la limite d'une fonction en $a$.}

\begin{definition}
	Soient $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$, $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$, $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application. 	Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: $\forall x \in I,\ f(x) \in J$.
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une application est une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l'ensemble de départ.
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ alors nous noterons $\color{purple} \lim_{x \to a} f(x)=\ell$ ou $\color{purple} f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell$ ou encore $\color{purple} \lim_{a} f =\ell$.
		\item Voici une visualisation de cette définition avec \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_02_definition_de_la_limite.ggb}{Geogebra}.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Limite
			\def\elle{2};
			\draw [dashed,black] (0,2) -- (8,2);
			\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
			%Voisinage de la limite
			\def\epsilone{0.5};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
			\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
			\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
			%Voisinage de l'image réciproque			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0) -- (8,5) -- ({(1+\epsilone)/\epsilone},5) -- cycle;
			\draw [Red] (6,-0.25) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0);
			\draw [Red] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		... se rapprocher de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.		
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Voisinage de la limite
			\def\A{1.5};
			\draw [Green] (-0.25,{\A}) node [above left] {$A$};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\A}) -- (3.5,{\A}) -- (3.5,9) -- (0,9)-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\A+3}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\A}) -- (0,{9});
			\draw [Green] (0,{\A}) node [rotate=90] {$]$};
			%Voisinage de l'image réciproque			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0) -- ({\xZ},{\yZ}) -- ({sqrt(1.5)},{\yZ}) -- cycle;
			\draw [Red] (3,-0.25) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0);
			\draw [Red] ({sqrt(1.5)},{0}) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		... augmenter sans limitation, $f(x)$ tend vers $+\infty$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] A,+\infty [$, de $+\infty$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		\item Au voisinage de $a\in \mathbb{R}$, $f(x)$ semble...		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Limite
			\def\elle{3};
			\draw [dashed,black] (0,3) -- (8,3);
			\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
			%Voisinage de la limite
			\def\epsilone{0.5};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
			\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
			\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
			%Voisinage de l'image réciproque
			\draw [dashed, black] ({(1+\elle)/(\elle-1)},0) -- ({(1+\elle)/(\elle-1)},{\elle});			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},5) -- ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},5) -- cycle;
			\draw [black] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.25) node {$a$};
			\draw [Red] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.5) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0);
			\draw [Red] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) node {$[$};
			\draw [Red] ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... se rapprocher de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $a$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Définition de la limite d'une fonction en $a$ par valeurs inférieures ou supérieures.}

\begin{lecon}
	Pour l'instant, si la fonction étudiée est définie sur $]0,+\infty[$ nous avons défini la limite en $+\infty$ mais pas celle en $0$. Cependant faire tendre $x$ vers $0$ pose problème car nous ne trouverons pas d'intervalle ouvert contenant $0$ et qui soit inclus dans $]0,+\infty[$. Nous devons adapter la définition pour indiquer que nous ne considérons que de $x$ supérieurs à $0$.
\end{lecon}

\begin{definition}	
	Soient $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$, $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$, $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application. Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: $\forall x \in ]-\infty,a[ \cap I \cap \mathscr{D},\ f(x) \in J$.
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On définit de même la \emph{\color{purple}limite à droite en $a$}: $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: $\forall x \in ]a,+\infty[ \cap I,\ f(x) \in J$.		
		\item Au lieu de dire \og limite à droite \fg{} nous dirons parfois \og \emph{\color{purple}limite par valeurs supérieures} \fg{} et au lieu de \og limite à gauche\fg{} nous dirons tout aussi bien \og \emph{\color{purple}limite par valeurs inférieures}.		
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ on note: $\color{purple} \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=+\infty$ ou $f(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}}{\longrightarrow} \ell$ ou $\color{purple} \lim_{x \to a^+} f(x)=\ell$. Cette dernière notation est incorrecte mais observable.		
		\item Si $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=\pm \infty$ alors, pour décrire la situation graphique, nous dirons que $\mathscr{C}_f$, \emph{\color{purple}la courbe représentative de $f$ admet une asymptote verticale en $a$}, ou encore que \emph{\color{purple}$\mathscr{C}_f$ admet une asymptote d'équation $x=a$}.		
		\item Les résultats précédemment vus sur les limites restent valables pour ces limites à gauche et à droite.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}


\subsubsection{Interprétation géométrique des limites finies en l'infini.}

\begin{definition}
		Soient $\ell \in \mathbb{R}$, $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$. Nous dirons que \emph{\color{purple}la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale à $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$} (respectivement en$-\infty$) si et seulement si $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell$ (resp. $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell$).
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit si $f$ admet une limite fini en $\pm \infty$ alors la courbe représentative de $f$, à l'infini semble se confondre avec la droite d'équation $y=\ell$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Interprétation géométrique des limites infinies en un réel.}

\begin{definition}
		Soient $a \in \mathbb{R}$, $f$ une fonction définie au voisinage de $a$. Nous dirons que \emph{\color{purple}la droite $x=a$ est asymptote verticale à $\mathscr{C}_f$} si et seulement si $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to a \\ x>a \end{subarray}}f(x)=\pm \infty$ ou $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to a \\ x<a \end{subarray}}f(x)=\pm \infty$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit si $f$ admet une limite infini en un réel $a$ alors la courbe représentative de $f$, à l'abscisse $a$ semble monter ($+\infty$) ou descendre ($-\infty$) jusqu'à se confondre avec la droite d'équation $x=a$.
		\item On obtient, éventuellement, des asymptotes au bornes ouvertes du domaine de définition. Ainsi $x\mapsto \frac{1}{x-2}$ qui est définie sur $]-\infty,2[ \cup]2,+\infty[$ est susceptible d'avoir une asymptote vertical en $2$ (ici il faudra considérer limites à gauche et à droite).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Exemples de référence.}

\begin{notabene}
	Faire la collection des résultats à partir des courbes représentatives pas de démonstrations.
\end{notabene}

\begin{lecon}
	Nous avons avec les suites vu la plupart des situations de limites à connaître avec les fonctions. Ainsi $\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x$ se retrouve par analogie avec $\lim_{n \to+\infty} \mathrm{e}^n$. De même $\lim_{x \to 0} x (x^2-1)$ se retrouve avec $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} \left( \left( \frac{1}{n} \right)^2-1 \right)$
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Soit $m \in \mathbb{N}^*$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item  $\lim_{x \to +\infty}x^m=+\infty$. Si $m$ est pair alors: $\lim_{x \to -\infty}x^m=+\infty$. Si $m$ est impair alors: $\lim_{x \to -\infty}x^m=-\infty$.
		\item $\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x=+\infty$, $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x=0$.
		\item $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x>0 \end{subarray}} \ln(x)=-\infty$. $\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty$.
		\item $\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$.
		\item $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^m}=0$. $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^m}=0$.
		\item $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x>0 \end{subarray}} \frac{1}{x^m}=+\infty$. Si $m$ est pair alors $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{1}{x^m}=+\infty$. Si $m$ est impair alors $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{1}{x^m}=-\infty$.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}



\subsubsection{Opérations sur les limites.}

\begin{proposition}{ - Limites et additions.}
	Soient $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$, $m,\ell \in \mathbb{R}$, $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ des applications.
	
	Limites de la fonction $f+g$ en $a$:	
	\begin{center}		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ .
			\\
			\hline
			\hline
			$m$ & $m+\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?} 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & $-\infty$
			\\
			\hline
		\end{tabular}		
	\end{center}	
	Limites de la fonction $f\times g$ en $a$:	
	\begin{center}		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell>0$ & $\ell=0$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			\hline
			$m>0$ & $m \ell$ & $0$ & $m\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & $0$ & $0$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?} 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $m\ell$ & $0$ & $m\ell$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	Limites de la fonction $\frac{1}{f}$ en $a$ ($0^+$ symbolise le fait que $f$ tend vers $0$ mais que de plus $f$ prend des valeurs positives au voisinage de $a$, tandis $0^-$ signifie que $f$ tend vers $0$ mais en prenant des valeurs négatives):	
	\begin{center}		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			&&&&&&\\
			$f$ & $\ell\ne 0$ & $\ell=0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			&&&&&&\\
			\hline
			&&&&&&\\
			$\frac{1}{f}$ & $\frac{1}{\ell}$ & \color{purple}\textbf{?} & $+\infty$ & $-\infty$ & $0$ & $0$ 
			\\
			&&&&&&\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}	
	Limites de la fonction $\frac{f}{g}$ en $a$:	
	\begin{center}		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell>0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			\hline			
			$m>0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $+\infty$ & $-\infty$    & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $0$ & $0$  & $0$ 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $-\infty$ & $+\infty$  & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?}  
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?}  
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}	
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item $x^4+ \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.		
		\item Nous ne pouvons pas donner la limite de $x \mapsto \mathrm{e}^x -\ln(x)$ en $+\infty$ car il s'agit d'une forme indéterminée {\color{orange}($+\infty- (+\infty)$)}.		
		\item La recherche de limite de $f(x)=\frac{1}{x} \times \mathrm{e}^x$ en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée {\color{orange}($0 \times (+\infty)$)}.		
		\item \objectif{Recherchons l'éventuelle limite de $x\mapsto x^3\ln(x)$ en $+\infty$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty \\ x^3 \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \end{array} \right., \] donc 
		
		\begin{conclusion}			
			$x^3 \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Recherchons l'éventuelle limite de $x \mapsto 4x^2-3x+1$ en $-\infty$.}
		
		Par combinaison linéaire {\color{orange}($4 \times (+\infty) -3 \times (-\infty) +1$)}:
		
		\begin{conclusion}			
			$4x^2-3x+1 \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} +\infty$.			
		\end{conclusion}		
		\item La recherche de limite de $x \mapsto x^2-x$ en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée {\color{orange}($+\infty-(\infty)$)}: nous ne pouvons conclure quant à la limite de la fonction en $+\infty$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il faudra surtout retenir les formes indéterminées qui sont les situations appelant une étude plus poussée dans les exercices. Schématiquement les formes indéterminées sont: $+\infty +(-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\cdot}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}


\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{\sqrt{x}+3} \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\frac{2}{x+1}+ \frac{1}{\mathrm{e}^x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\item $x^3h\frac{4}{x^2+x2} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	En combinant inverse et produit nous obtenons de nouveaux résultats sur les limites de fonctions.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Lever l'indétermination: expressions polynomiales et factions rationnelles.}

\begin{lecon}	
	{\color{orange}Un polynôme est une expression algébrique formée d'une somme de monôme, c'est-à-dire d'expression $ax^n$ (avec $a \in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$). Le degré du monôme $ax^n$ est la puissance $n$.}
	
	Dans des expressions polynomiales la factorisation par le monôme dominant permet de lever les indéterminations {\color{orange}(de la forme $+\infty - (+\infty)$)} en $\pm \infty$.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On cherche à déterminer la limite éventuelle de $P(x)=-2x^3+4x^2+5x+1$ en $+\infty$.
		
		{\color{orange}On essaye d'abord de passer à la limite directement: c'est une combinaison linéaire de fonctions de référence est l'on obtient schématiquement: $-2 \times (+\infty) +4 \times (+\infty) +5 \times (+\infty) +1$.
		
		Il s'agit d'une forme indéterminée \og$+\infty+ (-\infty)$\fg{}.
		
		Alors nous factorisons par le monôme dominant $-2x^3$.}
	
		\begin{align*}
		P(x) &= -2x^3\left( \frac{-2x^3}{-2x^3} + \frac{4x^2}{-2x^3}+ \frac{5x}{-2x^3}+ \frac{1}{-2x^3} \right)\\
		&= -2x^3 \left( 1-2 \times  \frac{1}{x}-\frac{2}{5} \times \frac{1}{x^2} -\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^3} \right)
		\end{align*}
		Or: $\left\{ \begin{array}{l} \lim_{x \to +\infty} 1-2 \times  \frac{1}{x}-\frac{2}{5} \times \frac{1}{x^2} -\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^3} = 1 \\ \\ \lim_{x \to +\infty} -2x^3 =-\infty\end{array} \right.$ donc, par produit: $\lim_{x \to +\infty} P(x) =-\infty$.
		\item Soit $F(x)= \frac{4x^3+2x}{3x^7+1}$. Forme indéterminée mais $F(x)=\frac{4x^3\left( 1+\frac{1}{2x^2}\right)}{3x^7\left( 1+\frac{1}{2x^7} \right)}=\frac{4}{3x^4} \times \frac{1+\frac{1}{2x^2}}{1+\frac{1}{2x^7}}$. Or $\lim_{x \to +\infty} 1+\frac{1}{2x^2}=1$ et $\lim_{x \to +\infty} 1+\frac{1}{2x^7}=1$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{3x^4}=0$ donc par produit: $\lim_{x \to +\infty} F(x)=0$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Soit $f$ une fonction polynomiale de degré $3$. Étudiez les limites de $f$ à l'infini.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $f$ dans les cas suivants.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f: x \mapsto -2x^7+4x^3+x$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto x^3+4x^2-x^4$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^4-3x^3+x^2+x+1}{4x^3+2x+7}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^3+10x^2+x}{x^{12}+1}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{7x^{32}-13x^{17}+x+2}{-3x^{32}+x+\pi}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^5-x^3+x^6}{2x^4+x^4+x^{7}}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Lever une indétermination: factoriser pour faire apparaître une croissance comparée.}

\begin{lecon}
	Nous retrouvons les mêmes résultats de croissances comparées, au voisinage de $+\infty$, qu'avec les suites que nous ne répéterons pas. Indiquons de nouveaux résultats.
\end{lecon}

\begin{proposition}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^{x}=0$.
		\item  $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}x^n \ln(x) =0$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{exercice}
	Déterminez les limites suivantes.
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{x}-1$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 1-\mathrm{e}^2x-x^3\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 - \frac{4\mathrm{e}^x}{x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{\mathrm{e}^x}{2x^2}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\mathrm{e}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5-3x}{\mathrm{e}^x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1)\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+x+3)\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x^2-2\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2-x\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Limites et compositions.}

\begin{notabene}
	Commencer et présenter sur des exemples pour montrer le côté intuitif: on enchaîne des limites.
\end{notabene}

\begin{proposition}
	Soient $\mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$, $\mathscr{D}_g \subset \mathbb{R}$, $a \in \mathscr{D}_f \cup \{ +\infty, -\infty\}$, $b \in \mathscr{D}_g \cup \{ +\infty, -\infty\}$, $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$, $f:\mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D}_g \rightarrow \mathbb{R}$ des applications telles que $f\left( \mathscr{D}_f \right) \subset \mathscr{D}_g$. $\left\{ \begin{array}{l} f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} b \\ \\ g(y) \underset{y \to b}{\longrightarrow} \ell \end{array} \right. \Rightarrow g\circ f (x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell.$.	
\end{proposition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On peut se représenter la chose comme un passage à la limite dans la fonction $g$: \[ \lim_{x \to a} g\circ f(x)= \lim_{x \to a} g \left[f(x) \right] = g \left[ \lim_{x \to a}f(x) \right] = g(b). \]
		\item Ce résultat permet parfois de lever l'indétermination pour les fonctions dont l'expression fait intervenir des fonctions imbriquées (composition) les unes dans les autres.	
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $h:x \mapsto \mathrm{e}^{-x+1}$ n'est pas une fonction de référence, mais n'est pas non plus une somme, ou un produit, ou un quotient, de fonctions de références. Nous étions pour l'instant impuissant à traiter cette situation.
		
		Mais en notant $f:x \mapsto -x+1$ et $g:x \mapsto \mathrm{e}^x$ nous remarquons que $h=g\circ f$ où $g$ et $f$ sont des fonctions de références (ou au moins des sommes, produits quotients de fonctions de référence).
		
		\objectif{Étudions la limite de $h$ en $+\infty$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+1 \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}-\infty \\ \\ \mathrm{e}^y \underset{y \to -\infty}{ \longrightarrow} 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathrm{e}^{-x+1} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}0. \]		
		
		\begin{conclusion}			
			$\lim_{+\infty} h= 0$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Déterminez les limites suivantes.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \sqrt{x^2+3}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \mathrm{e}^{1-0,5x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (5-x)^3$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{(x^2+x+1)^4}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{3x-2}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{2+x+\mathrm{e}^{-x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{-x^2+x+1}$.
		\task $\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} \mathrm{e}^{\frac{2}{x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} (2-3\mathrm{e}^{2x})^5$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x\mathrm{e}^{3x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (2-x)\mathrm{e}^{2-x}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Théorème du point fixe.}

\begin{proposition}
	Soient $p\in\mathbb{N}$, $(u_n)_{n\geqslant p}$ une suite définie par une formule de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ quelque soit $n \geqslant p$, avec $f$ une fonction admettant une limite en $\ell$. Alors: $\ell=f(\ell)$.  
\end{proposition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour une suite définie par récurrence nous sommes maintenant capable de donner une équation vérifiée par la limite. Nous avons donc une méthode pour trouver cette limite.
		\item Nous retiendrons que, pour peut que cela ait du sens (notamment qu'il y a effectivement des limites), il est possible de passer à la limite de la suite dans la fonction.
		
		Schématiquement: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(u_n)= f\left( \lim_{n\to +\infty} u_n \right)$.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	\color{red} plein d'exo sur le théorème du point fixe.
\end{notabene}

\begin{exercice}
	Soient $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ où $f$ est la fonction définie  sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $(u_n)$ est bien définie.		
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $[1;+\infty[$.		
		\item Montrez que la suite $(u_n)$ est convergente.		
		\item Déterminez la limite de $(u_n)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\item Par récurrence: $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geqslant 1$.		
		\item $f$ est strictement croissante.		
		\item $(u_n)$ est strictement décroissante et minorée par $1$ donc convergente.		
		\item $\ell =\sqrt{1+\ell}$ donc $\ell^2=1+ \ell$. $\ell =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ donc $\ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{4} u_n^2$.	
	\begin{enumerate}
		\item Si $(u_n)$ converge quelles sont les valeurs possibles de sa limite $\ell$?		
		\item Montrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant u_n \leqslant 3$.		
		\item Étudiez le sens de variation de la suite $(u_n)$.		
		\item Prouvez que $(u_n)$ converge et précisez sa limite.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{correction}	
	\begin{enumerate}
		\item $x=\frac{1}{4}x^2 \Leftrightarrow x \in \left\{ 0; \frac{1}{4} \right\}$.		
		\item $f:x \mapsto \frac{1}{4}x^2$ est croissante sur $[0;3]$ et $f(0)=0$ et $f\left(3 \right)= \frac{9}{4} \leqslant 3$.		
		\item $f$ est croissante et $u_0\geqslant u_1=\frac{9}{4}$ donc décroissante.		
		\item Converge vers $0$ car décroissante et $u_1<3$.
	\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{exercice}
	On considère la suite définie par $u_{n+1}=u_n^2-u_n-5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=1$. Si la suite converge quelle peut être sa limite?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$x=x^2-x-5 \Leftrightarrow x^2-2x-5=0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 1+\sqrt{6}; 1-\sqrt{6} \right\}$.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x-x}$. On admet que $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que pour tout $x \in [0;1]$, $f(x)$ appartient à $[0,1]$.		
		\item Soit $D$ la droite d'équation $y=x$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{\mathrm{e}^x-x}$ où $g(x)$ est à déterminer.			
			\item Du sens de variation de $g$ déduire le signe de $g(x)$ sur $[0;1]$.			
			\item Déduisez-en la position relative  de $D$ et de la courbe $\mathscr{C}$ représentant $f$.			
		\end{enumerate}		
		\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.		
		\begin{enumerate}
			\item Donnez une représentation graphique de $\mathscr{C}$ et $D$ puis dessinez les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.			
			\item Montrez que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$ et $u_n\leqslant u_{n+1}$.			
			\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge et précisez sa limite.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est croissante sur $[0;1]$ donc si $0\leqslant x \leqslant 1$ alors $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1)$. Or $f(0)=0$ et $f(1)=1$ donc $f(x) \in [0;1]$.		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in [0;1]$.			
			\begin{align*}
				f(x)-x &= \frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{x}-x}-x\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x-1-x(\mathrm{e}^x-x)}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x-1-x\mathrm{e}^x+x^2}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x(1-x)+x^2-1}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x(1-x)+(x-1)(x+1)}{\mathrm{e}^{x}-x}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				$\forall x \in [0;1],\ f(x)-x= \frac{(1-x) \left( \mathrm{e}^x-x-1\right)}{\mathrm{e}^{x}-x}$.			
			\end{conclusion}			
			\item $g'(x)=\mathrm{e}^x-1>0$ donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$ et strictement croissante sue $\mathbb{R}_+$.
			
			On en déduit: $\forall x \in [0;1],\ g(x)\geqslant g(0)=0$.
			
			\begin{conclusion}
				$g\geqslant 0$ sur $[0;1]$.				
			\end{conclusion}			
			\item $\mathrm{e}^x-x-1>0$ (car, par convexité $\mathrm{e}^x>x+1$, tangente en $0$), $g(x)\geqslant 0$ et $1-x>0$ pour $x \in [0;1]$.
			
			Ainsi $f(x)-x\geqslant 0$ pour tout $x \in [0;1]$.
			
			\begin{conclusion}				
				$\mathscr{C}$ est au-dessus de $D$.				
			\end{conclusion}			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\item ~			
			
			\begin{center}				
				\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
					%extremites du graphique
					\def\xcoinbasgauche{0};
					\def\xcoinhautdroit{1};
					\def\ycoinbasgauche{0};
					\def\ycoinhautdroit{1};
					%Les deux grilles
					\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%Les deux axes
					\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
					%repere orthonorme
					\coordinate (O) at ({0},{0});
					\draw (O) node[below left] {$O$};
					\coordinate (I) at ({1},{0});
					\draw (I) node[below left] {$I$};
					\coordinate (J) at ({0},{1});
					\draw (J) node[below left] {$J$};
					%fonction
					\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{(exp(\x)-1)/(exp(\x)-\x)});
					\draw [orange] (0.6,0.8) node {$\mathscr{C}$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{\x});
					\draw [red] (0.4,0.3) node {$D$};
					%Points
					\foreach \a in { {1/2},{(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)}, {(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))},{(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-1)/(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))}} { \draw [blue, thick] ({\a},0) node{$\times$};}
					\def\A{(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)};
					\def\B{(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))};
					\def\C{(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-1)/(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))};
					\draw [black] ({1/2},0) -- ({1/2},{\A}) -- ({\A},{\A}) -- ({\A}, {\B}) -- ({\B},{\B}) -- ({\B},{\C}) -- ({\C},{\C});
					\draw [dashed] (({\A},0) -- ({\A},{\A});
					\draw [dashed] (({\B},0) -- ({\B},{\B});
					\draw [dashed] (({\C},0) -- ({\C},{\C});
					%Tangentes horizontales
					%\def\longueurtangente{0.7};
					%\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
					%Ligne définie par des points
					%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
				\end{tikzpicture}			
			\end{center}			
			\item Par récurrence. L'hérédité de $0\leqslant u_n \leqslant 1$ découle de la question 1. L'hérédité de $0\leqslant u_{n+1}$ découle de $f$ croissante.			
			\item Théorème limite monotone.
			
			Conjecture graphique: converge vers $1$.			
			\begin{align*}
				f(x)=x &\Leftrightarrow f(x)-x=0\\
				&\leftrightarrow 1-x=0 \text{ ou } g(x)=0\\
				&\Leftrightarrow x=1 \text{ ou } x=0
			\end{align*}			
			Puisque $u_0=\frac{1}{2} $ et que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n \geqslant \frac{1}{2}$. par conséquent la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut être que $1$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f= \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{4} \right\}$ par $f(x)=\frac{2x+3}{4x+3}$.	
	\begin{enumerate}	
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Déterminez les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.		
		\item Construisez le tableau de variation de $f$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\emph{Bac série C et E 1988. Besançon, Dijon, Lyon, Grenoble, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg.} On se propose d'étudier la suite $(u_n)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par: $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n\mathrm{e}^{-u_n}$ pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ puis la convergence de la suite $(S_n)$ définie par $S_n=\sum_{p=0}^nu_p$, pour tout entier $n$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que pour tout entier $n$, $u_n$ est positif.
			\item Montrez que la suite $(u_n)$ est décroissante.
			\item Déduisez-en qu'elle converge et trouvez sa limite.
		\end{enumerate}
		\item Montrez que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\mathrm{e}^{-S_n}$ et déduisez-en que $S_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\emph{Bac série C 1068. Pondichéry.} On considère l'application qui, au nombre réel $x$, fait correspondre le nombre réel $f(x)=\sqrt{x(x-3)^2}$. Étudiez la fonction $f$, construisez son graphe dans un repère orthonormé. Quelle particularité présente ce graphe au point d'abscisse $3$?
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}