%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{Limite et continuité.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Limite de fonctions et continuité.}

\subsection{Voisinage.}

\begin{lecon}
	
	Soit $a \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$. Ainsi $a$ peut être un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$.
	
	\medskip
	Si $a \in \mathbb{R}$ nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $a$} tout intervalle ouvert contenant $a$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $+\infty$} tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ où $A \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $-\infty$} tout intervalle de la forme $]-\infty,A[$ où $A \in\mathbb{R}$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $]-1,2;0,5[$ est un voisinage ouvert de $0$ par contre $]2;4[$ n'en n'est pas un.
		
		\item $]1;4[$ est un voisinage ouvert de $\pi$.
		
		\item $]2;3[$ est un voisinage ouvert de $\mathrm{e}$.
		
		\item $]-\infty,4[$ est un voisinage ouvert de $-\infty$.
		
		\item $\mathbb{R}$ est un voisinage ouvert de n'importe quel nombre, de $+\infty$ et de $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Dans cette leçon nous nous intéressons à ce qui se passe pour $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche de valeurs particulières dans l'ensemble de définition ou aux bornes de l'ensemble de définition. Le fait de travailler avec des voisinages signifie pouvoir choisir un ensemble qui nous facilite les choses (ne contenant pas de valeurs interdite, sur lequel la fonction est monotone, ...): nous intéressons aux propriétés asymptotiques.	
	
\end{lecon}

\subsection{Limites.}

\begin{lecon}
	
	Une approche intuitive des situations et questions que nous allons rencontrer: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_01_approche_intuitive_de_la_limite.ggb}{fichier Geogebra}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in I,\ f(x) \in J. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Une application est une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l'ensemble de départ.
		
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ alors nous noterons \[ \color{purple} \lim_{x \to a} f(x)=\ell. \] ou \[ \color{purple} f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \] ou encore \[ \color{purple} \lim_{a} f =\ell. \]
		
		\item Voici une visualisation de cette définition avec \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_02_definition_de_la_limite.ggb}{Geogebra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Il faudrait un accompagnement visuel géogébra ou diapositive montrer l'aspect dynamique: je prends un voisinage plus proche de la limite et je constate que je peux trouver un voisinage plus proche de $a$ qui convienne.
		
		Peut être faire une escroquerie qui donne l'impression que lorsque se ressert autour de $a$ c'est l'intervalle autour de $\ell$ qui se ressert.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Limite
			\def\elle{2};
			\draw [dashed,black] (0,2) -- (8,2);
			\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
			%Voisinage de la limite
			\def\epsilone{0.5};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
			\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
			\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
			%Voisinage de l'image réciproque			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0) -- (8,5) -- ({(1+\epsilone)/\epsilone},5) -- cycle;
			\draw [Red] (6,-0.25) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0);
			\draw [Red] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... se rapproche de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		
		Nous dirons que \emph{\color{purple}la droite $y=\ell$ est asymptote (horizontale) à $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$}.
		
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Voisinage de la limite
			\def\A{1.5};
			\draw [Green] (-0.25,{\A}) node [above left] {$A$};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\A}) -- (3.5,{\A}) -- (3.5,9) -- (0,9)-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\A+3}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\A}) -- (0,{9});
			\draw [Green] (0,{\A}) node [rotate=90] {$]$};
			%Voisinage de l'image réciproque			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0) -- ({\xZ},{\yZ}) -- ({sqrt(1.5)},{\yZ}) -- cycle;
			\draw [Red] (3,-0.25) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0);
			\draw [Red] ({sqrt(1.5)},{0}) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... augmenter sans limitation, $f(x)$ tend vers $+\infty$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] A,+\infty [$, de $+\infty$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		\item Au voisinage de $a\in \mathbb{R}$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
			\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
			%Limite
			\def\elle{3};
			\draw [dashed,black] (0,3) -- (8,3);
			\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
			%Voisinage de la limite
			\def\epsilone{0.5};
			\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
			\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
			\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
			\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
			\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
			%Voisinage de l'image réciproque
			\draw [dashed, black] ({(1+\elle)/(\elle-1)},0) -- ({(1+\elle)/(\elle-1)},{\elle});			
			\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},5) -- ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},5) -- cycle;
			\draw [black] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.25) node {$a$};
			\draw [Red] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.5) node {$I$};
			\draw [Red, very thick] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0);
			\draw [Red] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) node {$[$};
			\draw [Red] ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) node {$]$};
			%Fonction 
			\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... se rapprocher de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $a$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exemples de référence.}

\begin{notabene}
	
	Limites en $\pm \infty$ et aussi dans le domaine de définition et graphique côte à côte pour les fonctions:
	
	\begin{itemize}
		
		\item $x$
		
		\item $x^2$
		
		\item $x^3$
		
		\item $\sqrt{x}$.
		
		\item $\frac{1}{x}$.
		
		\item $\frac{1}{x^2}$.
		
		\item $\frac{1}{\sqrt{x}}$
		
		\item $\ln(x)$.
		
		\item $\exp(x)$.
		
	\end{itemize}
	
	Puis ajouter les limites générales de $x^n$ et $\frac{1}{x^n}$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les résultats qui suivent sont à connaître par cœur. Ils constituent un alphabet avec lequel nous allons composer des mots.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Fonctions puissances.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		\item $a \in\mathbb{R}$,
		\item $\alpha \in\mathbb{R}_+^*$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $\displaystyle x^n \underset{x \to a}{\longrightarrow}a^n$.
		
		\item $\displaystyle x^n \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		\item Si $n$ est pair alors: $\displaystyle x^n \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		\item Si $n$ est impair alors: $\displaystyle x^n \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}-\infty$.
		
		\item Si $a>0$ alors: $\displaystyle x^{\alpha} \underset{x \to a}{\longrightarrow}a^{\alpha}$.
		
		\item $\displaystyle x^{\alpha} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item Se déduit de (ii) par parité de $x \mapsto x^n$.
		
		\item Idem.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ |x| \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow}+\infty \quad \text{et} \quad |x| \underset{x \to a}{\longrightarrow}|a|. \]
	
\end{corollaire}

\begin{proposition}{ - Fonction racine carrée.}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
	
	\medskip
	\[ \sqrt{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sqrt{x} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \sqrt{a}\]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction racine cubique.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ \sqrt[3]{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{x} \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} -\infty  \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{x} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \sqrt[3]{a} \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction exponentielle.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ \mathrm{e}^{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty  \quad \text{et} \quad \mathrm{e}^x \underset{x \to a}{\longrightarrow} \mathrm{e}^a \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction logarithme népérien.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}_+^*$.
	
	\medskip
	\[ \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty  \quad \text{et} \quad \ln(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ln(a) \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous nous ferons désormais un devoir de compléter les tableaux de variations par les limites.
		
		Ainsi:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^2$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $0$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		et
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
			{$-\infty$ , $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / $-\infty$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Opérations sur les limites.}

\begin{proposition}{ - Limites et additions.}
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $m,\ell \in \mathbb{R}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ des applications.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On peut synthétiser les possibilités de limites de la fonction $f+g$ en $a$ par le tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ .
			\\
			\hline
			\hline
			$m$ & $m+\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?} 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & $-\infty$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $x^4+ \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		\item Nous ne pouvons pas donner la limite de $x \mapsto \mathrm{e}^x -\ln(x)$ en $+\infty$ car il s'agit d'une forme indéterminée {\color{orange}($+\infty- (+\infty)$)}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Limites et produits.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $m,\ell \in \mathbb{R}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ des applications.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On peut synthétiser les possibilités de limites de la fonction $f\times g$ en $a$ par le tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell>0$ & $\ell=0$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			\hline
			$m>0$ & $m \ell$ & $0$ & $m\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & $0$ & $0$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?} 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $m\ell$ & $0$ & $m\ell$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En choisissant pour $f$ une fonction constante égale à $\alpha$ nous voyons que le précédent résultat nous permet d'étudier la limite de $\alpha g$.
		
		En utilisant la précédente proposition concernant les sommes nous voyons que nous pouvons étudier la limite des fonctions polynomiales.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La recherche de limite de $f(x)=\frac{1}{x} \times \mathrm{e}^x$ en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée {\color{orange}($0 \times (+\infty)$)}.
		
		\item \objectif{Recherchons l'éventuelle limite de $x\mapsto x^3\ln(x)$ en $+\infty$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty \\ x^3 \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \end{array} \right., \] donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$x^3 \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Recherchons l'éventuelle limite de $x \mapsto 4x^2-3x+1$ en $-\infty$.}
		
		Par combinaison linéaire {\color{orange}($4 \times (+\infty) -3 \times (-\infty) +1$)}:
		
		\begin{conclusion}
			
			$4x^2-3x+1 \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La recherche de limite de $x \mapsto x^2-x$ en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée {\color{orange}($+\infty-(\infty)$)}: nous ne pouvons conclure quant à la limite de la fonction en $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Limites et inverse.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $\ell \in \mathbb{R}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On peut synthétiser les possibilités de limites de la fonction $\frac{1}{f}$ en $a$ par le tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			&&&&&&\\
			$f$ & $\ell\ne 0$ & $\ell=0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			&&&&&&\\
			\hline
			&&&&&&\\
			$\frac{1}{f}$ & $\frac{1}{\ell}$ & \color{purple}\textbf{?} & $+\infty$ & $-\infty$ & $0$ & $0$ 
			\\
			&&&&&&\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Où $0^+$ symbolise le fait que $f$ tend vers $0$ mais que de plus $f$ prend des valeurs positives au voisinage de $a$, tandis $0^-$ signifie que $f$ tend vers $0$ mais en prenant des valeurs négatives.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\ell=0$ ,alors $\frac{1}{f}$ a une limite infinie si $f$ est de signe constant au voisinage de $a$ et cette limite infinie est alors du signe de $f$ au voisinage de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}
\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous en déduisons de nouvelles limites de fonctions de référence.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}{ - Fonctions puissances.}
	
	Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\medskip
	\[ \displaystyle \frac{1}{x^n} \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow} 0.\]
	
\end{corollaire}

\begin{corollaire}{ - Fonction exponentielle.}
	
	\[ \displaystyle \mathrm{e}^{-x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]
	
\end{corollaire}

\begin{corollaire}{ - Fonction racine carrée.}
	
	\[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]
	
\end{corollaire}


\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{\sqrt{x}+3} \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\frac{2}{x+1}+ \frac{1}{\mathrm{e}^x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\item $x^3h\frac{4}{x^2+x2} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	En combinant inverse et produit nous obtenons de nouveaux résultats sur les limites de fonctions.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Limites et produits.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $m,\ell \in \mathbb{R}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ des applications.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On peut synthétiser les possibilités de limites de la fonction $\frac{f}{g}$ en $a$ par le tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$f$}{$g$} & $\ell>0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			\hline			
			$m>0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $+\infty$ & $-\infty$    & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $0$ & $0$  & $0$ 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $-\infty$ & $+\infty$  & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?}  
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & \color{purple}\textbf{?} & \color{purple}\textbf{?}  & $+\infty$ & \color{purple}\textbf{?}  & \color{purple}\textbf{?}  
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il faudra surtout retenir les formes indéterminées qui sont les situations appelant une étude plus poussée dans les exercices. Schématiquement les formes indéterminées sont: $+\infty +(-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\cdot}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{D'autres exemples de référence.}

\begin{lecon}
	
	{\color{orange}Un polynôme est une expression algébrique formée d'une somme de monôme, c'est-à-dire d'expression $ax^n$ (avec $a \in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$). Le degré du monôme $ax^n$ est la puissance $n$.}
	
	\medskip
	Dans des expressions polynomiales la factorisation par le monôme dominant permet de lever les indéterminations {\color{orange}(de la forme $+\infty - (+\infty)$)} en $\pm \infty$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item On cherche à déterminer la limite éventuelle de $P(x)=-2x^3+4x^2+5x+1$ en $+\infty$.
		
		{\color{orange}On essaye d'abord de passer à la limite directement: c'est une combinaison linéaire de fonctions de référence est l'on obtient schématiquement: $-2 \times (+\infty) +4 \times (+\infty) +5 \times (+\infty) +1$.
			
			Il s'agit d'une forme indéterminée ($+\infty+ (-\infty)$).
			
			Alors nous factorisons par le monôme dominant $-2x^3$.}
		
		\begin{align*}
		P(x) &= -2x^3\left( \frac{-2x^3}{-2x^3} + \frac{4x^2}{-2x^3}+ \frac{5x}{-2x^3}+ \frac{1}{-2x^3} \right)\\
		&= -2x^3 \left( 1-2 \times  \frac{1}{x}-\frac{2}{5} \times \frac{1}{x^2} -\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^3} \right)
		\end{align*}
		
		Or: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1-2 \times  \frac{1}{x}-\frac{2}{5} \times \frac{1}{x^2} -\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^3} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 1 \\ \\ -2x^3 \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} -\infty \end{array} \right. \] donc, par produit: $P(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} -\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Fonctions polynomiales.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $(a_0, \dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $a_n\ne 0$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La fonction polynomiale $x \mapsto a_nx^n+\dots + a_0$ admet une limite en $\pm \infty$ et celle-ci est la même que celle de $a_nx^n$ en $\pm\infty$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour exprimer la précédente proposition nous noterons \[ a_nx^n+\dots+a_0 {\color{purple}\underset{\pm\infty}{\sim}} a_nx^n\] et nous dirons que \emph{\color{purple}la fonction $x \mapsto a_nx^n+\dots+a_0$ équivaut à la fonction $x \mapsto a_nx^n$ en $\pm\infty$}.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse plus si affinité
		
		page 193
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ une fonction polynomiale de degré $3$. Étudiez les limites de $f$ à l'infini.
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}{ - Fonctions rationnelles.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $(a_0, \dots,a_n) \in \mathbb{R}^n$ avec $a_n\ne 0$.
		
		\item $m \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $(b_0, \dots,b_m) \in \mathbb{R}^m$ avec $b_m\ne 0$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La fonction rationnelle $x \mapsto \frac{a_nx^n+\dots + a_0}{b_mx^m+\dots + b_0}$ admet une limite en $\pm \infty$ et celle-ci est la même que celle de $\frac{a_nx^n}{b_mx^m}$ en $\pm \infty$.
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Découle du résultat précédent appliqué aux numérateurs et dénominateurs qui sont polynomiaux.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour exprimer la précédente proposition nous noterons \[ \frac{a_nx^n+\dots+a_0}{b_mx^m+\dots +b_0} \underset{\pm\infty}{\sim} \frac{a_nx^n}{b_mx^m}\] ou, mieux encore, \[ \frac{a_nx^n+\dots+a_0}{b_mx^m+\dots +b_0} \underset{\pm\infty}{\sim} \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\] et nous dirons que la fonction $x \mapsto \frac{a_nx^n+\dots+a_0}{b_mx^m+\dots + b_0}$ équivaut à la fonction $x \mapsto \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}$ en $\pm\infty$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $f$ dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f: x \mapsto -2x^7+4x^3+x$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto x^3+4x^2-x^4$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^4-3x^3+x^2+x+1}{4x^3+2x+7}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^3+10x^2+x}{x^{12}+1}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{7x^{32}-13x^{17}+x+2}{-3x^{32}+x+\pi}$.
		\task $\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^5-x^3+x^6}{2x^4+x^4+x^{7}}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Propriétés.}

\begin{proposition}{ - Unicité de la limite.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $\ell, \ell' \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ admet $\ell$ et $\ell'$ pour limites en $a$ alors $\ell=\ell'$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Comme pour les limites de suites un raisonnement par l'absurde convient.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Comparaison de fonctions.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $\ell, \ell' \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f,g,h:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ des applications,
		
		\item $I$ un voisinage de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \[ \left\{ \begin{array}{l}f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} +\infty \\ \\ \forall x \in I,\ f(x) \leqslant g(x) \end{array} \right. \Rightarrow g(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}  +\infty. \]
		
		\item \[ \left\{ \begin{array}{l} g(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}  -\infty \\ \\ \forall x \in I,\ f(x) \leqslant g(x) \end{array} \right. \Rightarrow  f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} -\infty. \]
		
		
		\item \[ \left\{ \begin{array}{l}f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \\ \\ g(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow}  \ell' \\ \\ \forall x \in I,\ f(x) \leqslant g(x) \end{array} \right. \Rightarrow \ell \leqslant \ell'. \]
		
		\item \[ \left\{ \begin{array}{l} f(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \\ \\ 
		g(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \\ \\
		\forall x \in I,\ f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x) \end{array} \right. \Rightarrow h(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell. \]
		
	\end{enumerate}
	
	~
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pourrons retenir le schéma mnémotechnique: si $f \leqslant g \leqslant h$ alors $\lim f \leqslant \lim g \leqslant \lim h$. Autrement dit on peut passer à la limite dans des inégalités larges.
		
		\item En passant à la limite dans des inégalités strictes on obtient a priori des inégalités larges: $\frac{1}{x}>0$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ et pourtant $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}
\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La recherche de la limite de $x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x}$ en $+\infty$ relève d'une forme indéterminée, mais de \[ \left\{ \begin{array}{l} \forall x \in \mathbb{R}_+^*, \ \frac{\mathrm{e}^x}{x}>\frac{x}{2} \\ \frac{x}{2} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \end{array} \right. \] nous déduisons: $\frac{\mathrm{e}^x}{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		\begin{notabene}
			
			Étude du signe en dérivant deux fois de  $\mathrm{e}^x-\frac{x^2}{2}$.
			
		\end{notabene}
		
		\item Limite en $\pm$ de $g:x \mapsto \frac{3 \cos(x)}{x}$.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
\begin{proposition}{ - Croissances comparées.}
	
	\begin{enumerate}
			\item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n} =+ \infty$.
			
			\item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^{x}=0$.
			
			\item $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =1$.
			
			\item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{x}} =+ \infty$.
			
			
		\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Nous avons démontré que $\frac{\mathrm{e}^x}{x}\underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		Or 
		
		\begin{align*}
		\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n} &= \frac{1}{n^n} \left( \frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}} \right)^n
		\end{align*}
		
		donc par composition $\frac{\mathrm{e}^x}{x^n} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		\item Découle de (i) par passage à l'inverse et composition.
		
		\item Il s'agit du taux d'accroissement de exponentielle entre $0$ et $0+x$. Le résultat découle donc de la dérivabilité et du calcul de $\exp'(0)$.
		
		\item D'après (i), par produit, $\sqrt{x} \frac{\mathrm{e}^x}{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		\item $\frac{\ln(x)}{x} \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ par composition avec la fonction exponentielle, d'après (i).
		
		\item C'est le taux de variation de $\ln$ en $1$.
		
		\item Comme pour (iii).
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Ce résultat permet parfois de lever l'indétermination pour les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Borda Indice 2020
		
		page 183 exerecices 110 à 117
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{x}-1$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 1-\mathrm{e}^2x-x^3\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 - \frac{4\mathrm{e}^x}{x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{\mathrm{e}^x}{2x^2}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\mathrm{e}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5-3x}{\mathrm{e}^x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1)\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+x+3)\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x^2-2\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2-x\mathrm{e}^x$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{proposition}{ - encore des croissances comparées.}
	
	Soient $\alpha >0$ et $\beta >0$.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{x^{\beta}} =+ \infty$.
			
			\item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} |x|^{\beta}\mathrm{e}^{\alpha x}=0$.
			
		\end{enumerate}
		&		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\setcounter{enumi}{2}
			\item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( \ln(x) \right)^{\alpha}}{x^{\beta}} =0$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Limites et compositions.}

\begin{proposition}{ - Passage à la limite dans une fonction.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $\mathscr{D}_g \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D}_f \cup \{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $b \in \mathscr{D}_g \cup \{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ et $g:\mathscr{D}_g \rightarrow \mathbb{R}$ des applications telles que $f\left( \mathscr{D}_f \right) \subset \mathscr{D}_g$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} b \\ \\ g(y) \underset{y \to b}{\longrightarrow} \ell \end{array} \right. \Rightarrow g\circ f (x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell. \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On peut se représenter la chose comme un passage à la limite dans la fonction $g$: \[ \lim_{x \to a} g\circ f(x)= \lim_{x \to a} g \left[f(x) \right] = g \left[ \lim_{x \to a}f(x) \right] = g(b). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $h:x \mapsto \mathrm{e}^{-x+1}$ n'est pas une fonction de référence, mais n'est pas non plus une somme, ou un produit, ou un quotient, de fonctions de références. Nous étions pour l'instant impuissant à traiter cette situation.
		
		Mais en notant $f:x \mapsto -x+1$ et $g:x \mapsto \mathrm{e}^x$ nous remarquons que $h=g\circ f$ où $g$ et $f$ sont des fonctions de références (ou au moins des sommes, produits quotients de fonctions de référence).
		
		\medskip
		\objectif{Étudions la limite de $h$ en $+\infty$.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+1 \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}-\infty \\ \\ \mathrm{e}^y \underset{y \to -\infty}{ \longrightarrow} 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathrm{e}^{-x+1} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}0. \]		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lim_{+\infty} h= 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat permet parfois de lever l'indétermination pour les fonctions dont l'expression fait intervenir des fonctions imbriquées (composition) les unes dans les autres.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Borda Indice 2020
		
		page 182 exerecices 91 à 97
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \sqrt{x^2+3}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \mathrm{e}^{1-0,5x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (5-x)^3$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{(x^2+x+1)^4}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{3x-2}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{2+x+\mathrm{e}^{-x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{-x^2+x+1}$.
		\task $\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} \mathrm{e}^{\frac{2}{x}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} (2-3\mathrm{e}^{2x})^5$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x\mathrm{e}^{3x}$.
		\task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (2-x)\mathrm{e}^{2-x}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}{ - Application au cas des suites.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{R}}$ une suite d'éléments de $\mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \left\{ \begin{array}{l} u_n \underset{ n\to +\infty}{\longrightarrow} a \\ \\ f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \end{array} \right. \Rightarrow f(u_n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell.\]
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous retiendrons que, pour peut que cela ait du sens (notamment qu'il y a effectivement des limites), il est possible de passer à la limite de la suite dans la fonction.
		
		Schématiquement: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(u_n)= f\left( \lim_{n\to +\infty} u_n \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Une astuce pour certaines compositions impliquant des racines carrées.}

\begin{notabene}
	
	Astuce de la quantité conjuguée. Faire le lien avec la quantité conjuguée des complexes.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cned 2000 page 9
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la limite en $\pm \infty$ de $f:x \mapsto 2x-\sqrt{4x^2-3x+1}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse plus si affinité
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la limite en $+ \infty$ de $f:x \mapsto \sqrt{x+3} -\sqrt{x}$.
	
\end{exercice}

\subsection{Limites en un réel par valeurs supérieures et inférieures.}

\begin{notabene}
	
	À refaire en travaillant avec les voisinages
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous avons été confrontés à la forme indéterminée $\frac{\cdot}{0}$. Nous allons voir une approche permettant de lever parfois cette indétermination.
	
	Un exemple typique de la situation qui nous intéresse est celui de la fonction inverse en $0$.
	
	Explorons cette nouvelle situation avec \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_01_approche_intuitive_de_la_limite.ggb}{Geogebra}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathbb{R}$.
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in ]-\infty,a[ \cap I \cap \mathscr{D},\ f(x) \in J. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On définit de même la \emph{\color{purple}limite à droite en $a$}: $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in ]a,+\infty[ \cap I,\ f(x) \in J. \]
		
		\item Au lieu de dire \og limite à droite \fg{} nous dirons parfois \og \emph{\color{purple}limite par valeurs supérieures} \fg{} et au lieu de \og limite à gauche\fg{} nous dirons tout aussi bien \og \emph{\color{purple}limite par valeurs inférieures}.
		
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ on note: \[ \color{purple} \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=+\infty\] ou \[ \color{purple} f(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}}{\longrightarrow} \ell \] ou \[ \color{purple} \lim_{x \to a^+} f(x)=\ell. \]
		
		\item Si $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=\pm \infty$ alors, pour décrire la situation graphique, nous dirons que $\mathscr{C}_f$, \emph{\color{purple}la courbe représentative de $f$ admet une asymptote verticale en $a$}, ou encore que \emph{\color{purple}$\mathscr{C}_f$ admet une asymptote d'équation $x=a$}.
		
		\item Les résultats précédemment vus sur les limites restent valables pour ces limites à gauche et à droite.
		
		
		\begin{notabene}
			
			Faire la liste des propriétés qui restent valables pour ces limites.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Exemples de référence.}

\begin{proposition}{ - Fonction inverse en $0$.}
	
	\[ \frac{1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item La seconde limite découle de la première par imparité de la fonction inverse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Fonction puissance d'un réel en $0$.}
	
	\[ x^a \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 0. \]
	
\end{proposition}


\begin{proposition}{ - Fonctions puissances négatives.}
	
	Si $n\in \mathbb{N}^*$ est impaire alors:
	
	\[ \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
	
	Si $n\in \mathbb{N}^*$ est paire alors:
	
	\[ \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
	
	Si $a\in \mathbb{R}_+^*$ alors:
	
	\[ \frac{1}{x^a} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction logarithme népérien en $0$.}
	
	\[ \ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty \quad \text{et} \quad  x^n \ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}0 \quad \text{} \quad  \lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^{\beta} \left| \ln(x) \right| ^{\alpha}=0. \]
	
\end{proposition}


\begin{proposition}{ - Fonction tangente.}
	
	\[ \tan(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to \frac{\pi}{2}\\ x < \frac{\pi}{2} \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \tan(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to -\frac{\pi}{2} \\ x> -\frac{\pi}{2} \end{subarray}}{\longrightarrow}-\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item La seconde limite découle de la première par imparité de la fonction inverse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 54 et 55 page 180 du \href{https://www.lelivrescolaire.fr/books/4634715}{manuel Lelivrescolaire}.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		boillley.ovh d'après ENS 2010
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez le domaine de définition de la fonction définie par $\varphi:x \mapsto \sqrt{1-x^2}$ et justifiez que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 
	
	Justifiez que $\varphi$ est dérivable sur $]-1;1[$ et calculez $\lim_{x \to -1} \varphi'(x)$, puis tracez la courbe représentative de $\varphi$ en faisant apparaître toutes les informations précédentes.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Une astuce pour certaines limites indéterminée en un réel.}

\begin{lecon}
	
	Il est possible parfois d'identifier une taux de variation d'une fonction dérivable: si $f$ est dérivable en $a\in\mathbb{R}$ alors $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous avions déjà indiqué dans la proposition sur les comparaisons de fonctions que: $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =1$ et $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x} =1$..
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse plus si affinité
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les limites suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x}$ en $a=0$.
		\task $\displaystyle \frac{\cos(x)-1}{x}$ en $a=0$.
		\task $\displaystyle \frac{\tan(x)}{x}$ en $a=0$.
		\task $\displaystyle \frac{\tan(x)-1}{4x-\pi}$ en $a=\frac{\pi}{4}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse plus si affinité
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la limite en $2$ de $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse plus si affinité
		
		page 192
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}_f= \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{4} \right\}$ par \[ f(x)=\frac{2x+3}{4x+3}. \]
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		
		\item Construisez le tableau de variation de $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Continuité: définition.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{lecon}
	
	Pour des raisons de cohérence des définitions nous aurons besoin de pouvoir dire qu'un nombre $a$ n'est pas sur une borne de l'ensemble $\mathscr{D}$. Pour cela nous dirons que le nombre $a$ est \emph{\color{purple}intérieur à $\mathscr{D}$} s'il existe un voisinage ouvert de $a$ inclus dans $\mathscr{D}$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		\item $a$ un point intérieur à $\mathscr{D}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Une application $f$ est dite continue en $a \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\displaystyle \lim_a f=f(a)$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ est continue sur $\mathscr{D}$} si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\mathscr{D}$.
		
		\item Cette définition ne permet pas de définir la continuité en $a$ lorsque $\mathscr{D}=[a,b]$ ou $]$
		
		\item Graphiquement une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut être tracée sans lever le stylo.
		
		\item Comme la dérivation ou la croissance, la continuité est une propriété locale: il faut regarder ce qui se passe au voisinage d'un point.
		
		\item Une fonction sera dite \emph{\color{purple}discontinue} si et seulement si elle n'est pas continue.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Fonction continue graphiquement.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Fonction avec un point en moins graphiquement.
			
		\end{notabene}
		
		\item La fonction partie entière n'est continue en aucun point de $\mathbb{Z}$.
		
		\item Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction inverse n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ mais elle est continue sur son domaine de définition $\mathbb{R}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Caractérisation de la continuité.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		\item $a$ un point intérieur à $\mathscr{D}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ admet des limites réelles à droite et à gauche en $a$ égales à $f(a)$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous en déduisons en particulier par contraposition que: {\color{orange}si $f$ n'admet pas de limite à droite ou à gauche en $a$ alors $f$ n'est pas continue en $a$}. C'est une méthode à retenir pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point.
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement est continue.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}$ est continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction n'est pas continue
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $f:x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ n'est pas continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement n'est pas continue.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & \text{si } x\ne 0 \\ 0, & \text{si } x=0 \end{array} \right.$
	
	Montrez que $f$ n'est pas continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Notre définition de la continuité nécessite de regarder un voisinage autour de $a$. Ce n'est pas toujours possible: $g:\left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x \mapsto x^2 \end{array} \right.$ est continue sur $]0;1[$ mais nous ne pouvons pas dire si elle continue en $0$.
	
	Pourtant la fonction carré étant continue  sur $\mathbb{R}$ il serait cohérent que nous puisions dire que $g$ est continue en $0$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels tels que $a<b$,
		\item $f$ une application définie sur $[a,b[$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}}{\longrightarrow} f(a)$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pourrons donc dire que $f$ est continue sur $[a,b[$.
		
		\item Nous aurions la même chose en $b$ en considérant une limite par valeurs inférieures.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction racine carrée est continue en $0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Les fonctions continues de référence.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $n \in\mathbb{N}^*$ et $a \in\mathbb{R}_+$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item La fonction $\displaystyle x \mapsto x^n$ est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction $\displaystyle x \mapsto x^a$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item La fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction tangente est continue sur son domaine de définition.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Opérations sur les fonctions continues.}

\begin{proposition}{ - opérations sur les fonctions continues.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle ouvert,
		
		\begin{notabene}
			
			On peut se passer de l'intervalle formulation à revoir.
			
		\end{notabene}
		
		\item $a \in I$,
		
		\item $f$ et $g$ des fonctions continues en $a$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\lambda f+ g$ est continue en $a$.
		
		\item $f \times g$ est continue en $a$.
		
		\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\frac{1}{g}$ est continue en $a$.
		
		\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\frac{f}{g}$ est continue en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Continuité et composition.}
	
	Si $f$ est continue en $a$ et $g$ est continue en $f(a)$ alors $g \circ f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement est continue.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $a$ un réel strictement positif et $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f_a(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^a & \text{si }x \geqslant 0\\ -|x|^a & \text{si }x<0 \end{array} \right. . \]
	
	Montrer que $f_a$ est continue et impaire.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.1
		
	\end{notabene}
	
	Dans chacun des cas suivants étudiez le continuité de $f$ en $a$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $a=2$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{3x^2-7x+2}{x-2}$ pour $x \ne 2$ et $f(2)=5$.
		
		\item $a=1$ et $f$ est définie sur $[-1;+\infty[$ par: $f(x)=\frac{\sqrt{4x+5}-3}{x-1}$ pour $x \ne 1$ et $f(1)=\frac{1}{3}$.
		
		\item $a=0$ et $f$ est définie sur $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[$ par $f(x)=\frac{\sin(x)-2 \tan(x)}{x}$ pour $x \in \left]0, \frac{\pi}{2} \right[$ et $f(0)=-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.2
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \frac{x^2-x-6}{x}$ pour $x \ne -2$ et $f(-2)=0$. $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.3
		
	\end{notabene}
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels, on donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x^2+ax-1 &, \text{si } x\in ]-\infty,-1[\\ 3x-2 &, \text{si } x\in ]-1;2[ \\ b(x^2-5x+6) &\text{si } x\in [2,+\infty[ \end{array} \right. . \]
	
\end{exercice}

\subsubsection{Une condition suffisante de continuité.}

\begin{proposition}{ - condition suffisante de continuité.}
	
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La réciproque est fausse. C'est pour cela que l'on parle de condition suffisante: la continuité n'impose pas de façon nécessaire la dérivabilité de la fonction. Le contre exemple usuel est celui de la fonction valeur absolue en $0$. Il y a le même phénomène avec la fonction racine cubique en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Toutes les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Toutes les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.
		
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\subsection{Suite image.}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\lim_{n \to + \infty} u_n= \ell$ et $f$ est continue au voisinage de $\ell$ alors $(f(u_n))$ converge et $\lim_{n\to + \infty} f(u_n)=f(\ell)$.
		
		\item Si $f$ est continue sur $I$ , pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in I$, $f(u_n)=u_{n+1}$ et si $\lim_{n\to +\infty} u_n=\ell$ alors $f(\ell)=\ell$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		bordas indice 2020
		
		50 page 214
		
	\end{notabene}
	
	Soient $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ où $f$ est la fonction définie  sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $(u_n)$ est bien définie.
		
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $[1;+\infty[$.
		
		\item Montrez que la suite $(u_n)$ est convergente.
		
		\item Déterminez la limite de $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Fonctions prolongeables par continuité.}

\begin{lecon}
	
	La fonction $f:x \mapsto x\ln(x)$ n'est pas définie en zéro mais nous savons que $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^2\ln(x)=0$. Autrement dit par passage à la limite par valeur supérieures nous obtenons une limite. Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}prolongeable par continuité en} $0$ et alors $f(0)=\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^2\ln(x)=0$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Prolongeable par continuité en un point qui est au milieu du domaine de définition.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction est prolongeable par continuité.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f: x\mapsto 3\mathrm{e}^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}$. Déterminez le domaine de définition de $f$ puis démontrez que $f$ est prolongeable par continuité en $0$.
	
\end{exercice}

\subsection{Continuité: théorème des valeurs intermédiaires.}

\subsubsection{Le théorème.}

\begin{theoreme}{ - des valeurs intermédiaires.}
	
	L'image continue d'un intervalle $I$ est un intervalle noté $f(I)$.
	
	De plus l'image continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.
	
\end{theoreme}

\begin{corollaire}{ - des valeurs intermédiaires.}
	
	Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ alors $f$ atteint toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
	
	Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.
	
\end{corollaire}

\begin{theoreme}{ - continuité et extrema.}
	
	Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit $f$ admet un maximum et un minimum sur $[a,b]$.
		
		\item Ce résultat est un théorème d'existence. Comme tous les théorèmes d'existence il est très important.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Cas des fonctions monotones.}

\begin{proposition}{ - les différentes images continues d'intervalles.}
	
	Soit $f$ une fonction continue et monotone sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ sont dans $\mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$ suivant les cas.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{1cm}|X|X|}
			\hline
			\[I\] & Croissante sur $I$, alors $f(I)=$ & Décroissante sur $I$, alors $f(I)=$
			\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b]$ & $\displaystyle [f(a),f(b)]$ & $\displaystyle [f(b),f(a)]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b[$ & $\displaystyle \left[f(a),\lim_{x \to b} f(x) \right[$ & $\displaystyle \left]\lim_{x \to b}f(x),f(a) \right]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b]$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a} f(x),f(b) \right]$ & $\displaystyle \left[f(b),\lim_{x \to a}f(x) \right[$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x) \right[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to b}f(x), \lim_{x \to a}f(x)\right[$
			\\
			&&\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Là encore c'est un résultat qui est intuitif (quand on connaît le théorème des valeurs intermédiaires). Il faut savoir qu'il existe et être capable de retrouver la réponse si nécessaire.		
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		boilley.ovh d'après ecricome
	\end{notabene}
	
	Dressez le tableau de variation de $\varphi:t \mapsto \dfrac{1+t\ln(t)}{2}$ et explicitez son intervalle image, puis vérifiez qu'il est stable par $\varphi$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\mathscr{D}_f= \mathbb{R}_+^*$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\varphi'$ /0.8, $\varphi$ /1.6}
		{$0$ ,$\mathrm{e}^{-1}$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $0$, - / $\frac{1-\mathrm{e}^{-1}}{2}$ , + / $+\infty$ / }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Cas des fonctions strictement monotones.}

\begin{corollaire}{ - Unicité de l'antécédent.}
	
	Si $f$ continue est strictement monotone sur $[a,b]$ alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour $k=0$ alors il suffit de s'assurer que la fonction est continue, strictement monotone et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires pour affirmer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=0$.
		
		\item On peut étendre le corollaire en travaillant avec des intervalles semi-ouverts ou ouverts ($]a,b]$, $[a,b[$, $]a,b[$) $a$ et $b$ étant pris dans $\mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty\}$. Dans ce cas on considère $\lim_af$ et $\lim_bf$ à la place de $f(a)$ et $f(b)$. \emph{Confer infra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Le résultat précédent montre qu'à chaque image par une fonction continue strictement monotone correspond un unique antécédent. Ce lien biunivoque nous montre l'existence d'une bijection.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}{ - Théorème de la bijection.}
	
	Si $f$ continue est strictement croissante (resp. décroissante) sur $[a,b]$ alors $f$ réalise une bijection de $[a,b]$ sur $[f(a),f(b)]$ (resp. $[f(b),f(a)]$).
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Là encore il est possible de généraliser ce résultat à d'autre intervalles.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La fonction exponentielle réalise une bijection dont la réciproque est la fonction logarithme népérien.
		
		\item La fonction carré réalise une bijection de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$ dont la réciproque est racine carrée.
		
		\item la fonction cube réalise une bijection sur $\mathbb{R}$ dont la réciproque est la fonction racine cubique.
		
		\item La fonction $\arctan$ est la fonction réciproque de la fonction $\tan: \left] -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[ \rightarrow \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		boilley.ovh d'après ecricome
	\end{notabene}
	
	Soit $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$. Montrez que la fonction $f: x \mapsto 1- \mathrm{e}^{-\lambda x}$ définit une bijection de $\mathbb{R}_+$ sur $[0;1[$ et déterminez l'expression de sa fonction réciproque.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		53 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto x^3-6x+1$ une fonction définie sur $[-2;+\infty[$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.
		
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution (dans $[2;+\infty[$).
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		54 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto x^3-8x+1$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	
	Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;1]$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		54 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto 4x^5+2x-2$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution que nous noterons $\alpha$.
		
		\item Déterminez un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		65 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ g(x)=2x^3-3x^2-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $g$.
		
		\item Montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$. Donnez un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près.
		
		\item Déterminez le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par: \[ f(x)= \frac{1-x}{x^3+1}. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $f'(x)$ puis exprimez $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur $]-1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.5
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par: $f(x)=2x^3-\frac{5}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item 
		Déterminez le nombre de solutions dans $\mathbb{R}_+$ de l'équation $f(x)=2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		66 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^4+3x^2-5x+1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
		
		\item Déterminez le signe de $f''(x)$ puis dressez le tableau de variation de $f'$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que l'équation $f'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ donc on donnera en encadrement à $0,1$ près.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$
			
			\item Dressez le tableau de variation de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.6
		
	\end{notabene}
	
	On veut résoudre dans $[0,\pi]$ l'équation: $3x-2\cos(x)-2=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par: $f(x)=3x-2 \cos(x)-2$. Étudiez les variations de $f$.
		
		\item Démontrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0,\pi]$. Donner à la calculatrice un encadrement à $0,1$ près de $\alpha$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		boilley.ovh d'après ENS
		
	\end{notabene}
	
	On souhaite déterminer par un sondage la proportion $q$ de la population qui consomme de la drogue mais on sait que les sondés hésiterons à donner une réponse qui puissent les mettre en cause. On fixe alors $(p,N) \in ]0;1[ \times \mathbb{N}^*$ et on considère une urne contenant un grand nombre de boules indiscernables au toucher et sur chacune desquelles une phrase est inscrite:
	
	\begin{itemize}
		\item \og Vous vous droguez \fg{}, en proportion $p$,
		
		\item \og Vous ne vous droguez pas en proportion $1-p$.
		
	\end{itemize}
	
	Un sondeur demande à $N$ personnes de tirer au hasard une boule dans l'urne, de lire la question sans la montrer puis de remettre la boule dans l'urne, avant de dire au sondeur si la phrase est vraie ou fausse. on suppose que les sondés ne mentent pas, mais la réponse de chaque sondé (\og vrai\fg{} ou \og faux \fg{}) ne permet pas de savoir avec certitude s'il se drogue ou pas.
	
	Soit $i \in \llbracket 1,N \rrbracket$ le numéro d'ordre d'un sondé, on note $A_i$: \og la boule porte la phrase affirmative \fg{}, $D_i$:\og Le sondé se drogue \fg{} et $V_i$: \og la phrase lue par le sondé est vraie \fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez la probabilité $\mathbb{P}(V_i)$ que la phrase lue soit vraie en fonction de $p$ et $q$. 
		
		Montrez qu'elle est non nulle puis calculer $\mathbb{P}(D_i | V_i)$.
		
		\item Déterminez l'ensemble image de $[0;1]$ par la fonction $g: x \mapsto \frac{px}{px+(1-p)(1-x)}$.
		
		Déduisez-en une condition sur $p$ pour avoir $\mathbb{P}(D_i | V_i) \leqslant 2 \mathbb{P}(D_i)$ quelle que soit la proportion $q$.
		
		\item Déterminez de même une condition sur $p$ pour avoir $\mathbb{P} \left( D_i | \overline{V_i} \right) \leqslant 2 \mathbb{P}(D_i)$ quelle que soit la proportion $q$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		boilley.ovh d'après ens 2018
	\end{notabene}
	
	Dressez le tableau de variation et représenter graphiquement la fonction $f: x \mapsto \frac{1}{1+x} - \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		
		Sujet analyse ave des tas de limites:
		%https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Polyne_sie_S_septembre_1996.pdf
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4 \mathrm{e}^{-x} -\mathrm{e}^{2x} + 10x-3$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
			
			Étudier le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire le sens de variation de $f'$ sur $\mathbb{R}$.
			
			\item Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f'(x)$, $\lim_{x \to + \infty} f'(x)$ et calculer $f'(0)$.
			
			En déduire que $f'$ s’annule pour deux valeurs $\alpha$ et $\beta$ de $x$ telles que $\alpha < 0< \beta$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item  On se propose de calculer $\alpha$ et $\beta$. Pour cela on pose $t = \mathrm{e}^x$ (ou ce qui revient au même $x = \ln(t)$).
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que si $f'(x)=0$, alors $t^3 - 5t + 2 = 0$.
			
			\item Montrer que $t = 2$ est solution de l’équation $t^3-5t +2 = 0$ et déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $t^3 -5t + 2 = (t - 2) (t^2 + at + b)$.
			
			
			\item En déduire les solutions de l’équation $t^3-5t+2=0$.
			
			\item En déduire alors les valeurs de $\alpha$ et $\beta$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Vérifier que pour tout réel $x$ non nul: \[ f(x)=x \left( h\frac{4}{x\mathrm{e}^x} - \frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}+ 10 -\frac{3}{x} \right). \]
			
			En déduire $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
			
			\item Dresser le tableau de variation de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Construire la représentation graphique $(\mathscr{C})$ de $f$ dans un repère orthonormal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ (unités $2\ \mathrm{cm}$).
		
	\end{enumerate}	
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}